О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика, физика, техника. 2022, №1

УДК 517.95

Б01: 10.52754/16947452_2022_1_29

О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Аблабеков Бактыбай Сапарбекович, доктор физ.-мат. наук, профессор,

[email protected] Жуман кызы Айнура, аспирант Кыргызский национальный университет имени Жусуп Баласагына,

Бишкек, Кыргызстан

Аннотация: При исследовании обратных задач математической физики важную роль играет знание решений соответствующей прямой (в данном случае первой начально- краевой) задачи. В настоящей работе исследуется существование и единственность классического решения первой начально-краевой задачи для одномерного неоднородного псевдопараболического уравнения с дробными по времени производной Капуто в замкнутом прямоугольнике с однородными краевыми условиями. Доказана теорема существования и единственности решения рассматриваемой задачи. Для доказательства существования и единственности решения поставленной задачи применяется метод Фурье. Установлены достаточные условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в классе непрерывно дифференцируемых функций. Получено явное классическое решение исследуемой задачи.

Ключевые слова: псевдопараболическое уравнение, краевые задачи, дифференциальное уравнение дробного порядка, дробная производная Капуто, дробный интеграл Римана-Лиувилля, метод Фурье, функция Миттаг-Леффлера.

бир элчэмдуу бэлчэктуу туундулуу

ПСЕВДОПАРАБОЛИКАЛЫК ТЕНДЕМЕ УЧУН БИРИНЧИ ТУРДЭГУ БАШТАПЧЫ-ЧЕК МАСЕЛЕНИН ЧЕЧИМДУУЛУГУ

жеНУНде

Аблабеков Бактыбай Сапарбекович, ф.-м.илим.докт., профессор,

[email protected]

Жуман кызы Айнура, аспирант Жусуп Баласагын атындагы Кыргыз улуттук университети,

Бишкек, Кыргызстан

Аннотация: Математикалык физиканын тескери маселелерин изилдввдв тиешелYY тYЗ (бул учурда биринчи баштапкы чектик) маселенин чечимдерин 6myY маанилYY роль ойнойт. Бул эмгекте биз бир тектYY чек ара шарты бар жабык тик бурчтукта убакыт боюнча бвлчвктYY Капуто туундулары менен бир влчвмдYY бир тектYY эмес псевдопараболикалык тецдеме YЧYн биринчи тYрдвгY баштапкы- чектик маселенин классикалык чечиминин бар экендигин жана жалгыздыгын изилдейбиз. Каралып жаткан маселени чечYY YчYн бар жана кайталангыстык теоремасы далилденген. Коюлган маселенин чечиминин бар экендигин жана жалгыздыгын далилдвв YЧYн Фурье ыкмасы колдонулат. YзгYлтYксYЗ дифференциалдануучу функциялар классында каралып жаткан маселенин бир маанилYY чечилиши YЧYн жетиштYY шарттар алынган. Изилдеп жаткан маселенин ачык-айкын классикалык чыгарылышы алынган.

Ачкыч свздвр: псевдопараболикалык тецдеме, чектик маселелер, бвлчвк тартиптеги дифференциалдык тецдеме, Капутонун бвлчвк туундусу, Риман-Лиувилл бвлчвк интегралы, Фурье ыкмасы, Миттаг-Леффлер функциясы.

ON THE SOLVABILITY OF THE FIRST INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A ONE-DIMENSIONAL PSEUDOPARABOLIC EQUATION WITH FRACTIONAL DERIVATIVES

Ablabekov Baktybai Saparbekovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor,

[email protected] Juman kyzy Ainura, graduate student Kyrgyz National University Jusup Balasagyna,

Bishkek, Kyrgyzstan

Abstract: In the study of inverse problems of mathematical physics, knowledge of the solutions of the corresponding direct (in this case, the first initial boundary value) problem plays an important role. In this paper, we study the existence and uniqueness of the classical solution of the first initial-boundary value problem for a one-dimensional inhomogeneous pseudoparabolic equation with time-fractional Caputo derivatives in a closed rectangle with homogeneous boundary conditions. The existence and uniqueness theorem for the solution of the problem under consideration is proved. The Fourier method is used to prove the existence and uniqueness of a solution to the problem posed. Sufficient conditions are establishedfor the

unique solvability of the problem under consideration in the class of continuously differentiable functions. An explicit classical solution of the problem under study is obtained.

Keywords: pseudoparabolic equation, boundary value problems, fractional order differential equation, Caputo fractional derivative, Riemann-Liouville fractional integral, Fourier method, Mittag-Leffler function.

Введение

Дифференциальные уравнения с дробными производными естественным образом возникают в ряде областей науки, таких как физика, инженерия, биофизика, явления кровотока, аэродинамика, электронно-аналитическая химия, биология, теория управления и т. д. Более подробную информацию о таких уравнений можно найти в работах [1-4].

Псевдопараболические уравнения с дробными производными возникают при описании процессов фильтрации жидкости в сильно пористой (фрактальной) среде, фильтрации жидкости в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин, переноса почвенной влаги в зоне с учетом ее движения против потенциала влажности [4-7]. В связи с этим возникает необходимость исследования краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными и разработки методов их решений.

Задача Коши, начально-краевые задачи для псевдопараболического уравнения, в том числе для уравнения Адлера с дробными производными Римана-Лиувилля были изучены в работах [8-11].

В данной работе изучается первая начально-краевая задача для одномерного псевдопараболического уравнения уравнения с дробными производными Капуто.

1. Определение дробных проиводных и интегралов.

Введем некоторые понятия, необходимые для дальнейшего исследования.

Определение 1. Дробным дифференциальным оператором Капуто D< порядка <0<#<1 для дифференцируемой функции f называется оператор, определенная выражением [3,4]:

/ ] (г) = IГ /(г)

1 г

——-{/т - т)~аат, 0 < « < 1,

Г(1 -аУо

(1.1)

/(г), а = 1,

где Г (г) - гамма функция.

Определение 2. Дробным интегральным оператором Римана-Лиувилля порядка а, 0 < а < 1 для интегрируемой функции

/ называется оператор, определенная выражением [3,4]:

Оа/(г) = I а[ / (г )] =

Г (а)

| / (т)( г -т)а-1с1т,0 <а< 1,

I

| /

(1.2)

а = 1.

Определение 3. Дву параметрическая функция Еаф(г) определяемое формулой [3]:

Е^Р( *) = 1

» гп

Г (ап + Р)

, (а>0, р>0)

называется функцией Миттаг-Леффлера.

Приведем некоторые соотношения, приведенные в [3]:

Ец( г) = в2,

Ец( г) =

вг -1

(1.3)

(1.4)

Е 1( г) = Е 1( г) =

-

Е1/2,1(2) = "Г в' вФ(—г X ыж

При Р = 1 получим Миттаг-Леффлера:

ад п

ЕаЛ(.г) = 2 ,, = Еа(г).

(1.5)

(1.6)

п=0

Г (ап +1)

одно параметрическую функцию

(1.7)

1

0

0

п

г

Обобщение формулы Ньютона-Лейбница, при а, (0 < а < 1)

у.а-1

ЦОЦгЦ) = ^)- — г а-1)(0). Г (о)

2. Постановка и основной результат

В области Ц,= {(: 0 < х < 1,0 <К Т} начально-краевую задачу

БОи - БОи - и = 0,0 < х < /,0 <t< Т.

X X хх хх ~ ?

(1.8)

рассмотрим

(2.1)

и(х,0) = р(х), 0 < х < /, и(0, X) = 0, и(/, X) = 0, 0 < X < Т.

(2.2)

(2.3)

где <р(х), /(х, X) - заданные функции.

Здесь Ба° - дробная производная Капуто порядка о(0 <а<1). Определение 1. Классическим решением задачи (2.1) - (2.3) в области назовем функцию и = и(х, X) из класса БОи(х, X) еС(Ог),

и^(х,X) еС(Ог), БОи^(х, X) еС(Ог), которая уравнению (2.1) при всех

(х,X) , начальному условию (2.2) при всех хе[0, /] , и краевым

условиям (2.3) при всех tе[0,T].

ТЕОРЕМА. Если и0(х) е С2 [0,/] , и0"(х) е !1(0,/) и ио(0) = и0(/) = 0,

и0(0) = и0(/) = 0. то решение задачи (1) -(3) существует и единственно. Это решение представимо в виде

< х 0 = ^РпЕа

( пп )2

пп

81П-х.

/

/ 2 (пп)2

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Решение задачи (2.1) ,(2.3) ищем в виде

и( х, X ) = X (х)Г (X ).

(2.4)

(2.5)

Подставляя значения u(x, t) из (2.4) в (2.1) и разделяя переменные, получим

D<y =xL=_2

D<y + y X ■ Отсюда, предполагая, что D<y+y ф 0 , и учитывая условие (2.3), получим следующие уравнения относительно функций х, Y:

X" + AX = 0, X(0) = X(/) = 0, (2.6)

D<y +—y = 0 (2.7)

1 + л

Известно, что задача Штурма-Лиувилля (2.6) имеет следующий вид собственные значения и собственные функции:

(кж^2 ¡2 кп

2 Чт J,Xk (x) =i isin ~x

и образуют ортонормированный базис в пространстве L2(0,/).

Дифференциальное уравнение дробного порядка (2.7) при 22 = 2n, n = 1,2,... имеет вид

Y(0 = cA- (2.8)

^ l + (n ж)2 )

ад n

где E 1 (z) = У--функция Миттаг-Леффлера.

, n=0 ^(аи +1)

ик{= cn

п ж sin — x /

Таким образом, все функции

г (П п)2 О V /2 + (пп)2 у

удовлетворяют уравнению (2.1) и граничным условиям (2.3).

Воспользовавшись обобщенным принципом суперпозиции, запишем решение задачи (2.1), (2.3) в виде

и(х, X) = £ сА-п х. (2.9)

п=1 V /2+ ^ пп)2 J / Для нахождения неизвестных постоянных Сп , воспользуемся начальным условием (2.2). Тогда из (2.9) имеем

u( x.

,0) = V(x) = 2 Cn sin nf x.

n=1 1

(2.10)

Рассматривая это равенство как разложение <р(х) в ряд Фурье, найдем коэффициенты Фурье

21 пж

V = Cn = 2 {^(£)sin -f^.

2.11)

Подставив найденные Сп в (2.9), получим формальное решение задачи (2.1)-(2.3):

<Х, t) =2^пЕа

( пж )2

v 12 (nf )2 у

nf

Sin-x.

1

(2.12)

Теперь покажем, что найденная функция и( х, г) является классическим решением задачи (2.1)-(2.3).Сначала покажем непрерывность функции и(х, г) в области . Из условий, наложенных на

функции <р(х), следует, что

kl <

const

~ПГ

(2.13)

Отсюда следует, что ряд (2.12) с коэффициентами Сп, определяемым

по формулам (2.12), равномерно и абсолютно сходится к функции ^(х).

Далее покажем, что формально построенное решение (2.4) является

классическим, т.е. регулярным при 0 <х <г, 0 <г <г, непрерывным по х

при 0 < х < г и удовлетворяет дополнительным условиям (2.1), (2.3). Используя неравенство (2.13) и то, что

M

E (-z) <-<M, z > 0, 0 <а< 1,

1 + z

из формулы (2.11) , имеем

\u( x, t) <|;

n=1

E_

(пж)

2 Л

12 + (пж)2

. пж Sin — x

1

^M

<2 —<+<ю.

2n

(2.14)

n=1

Поэтому функция и(х, г), определяемая рядом (2.12), непрерывна в

области и удовлетворяет начальному условию (2.2) и граничным условиям (2.3).

Остается показать, что функция и(х, г) удовлетворяет уравнению

(2.1) в области . Для этого достаточно показать равномерную сходимость рядов

Ь иг ип Ь ^2 , Ь Я„2

п=1

п=1 дх к=1 дх

Формально дифференцируя ряд (2.12), находим

' (пл)2 „V пл (пл)2 г Г (пл)2 . ^

Я>( х, г) = ^ФпО„Еа

/2 + (пл)2

пл

/ п2 + (пл)2 Фп "

д2и(х, г )

дх2

Е| пл

[Т

п=1 V 1

пл \ „ Г (пл)2

ФпЕа

-Ф Е

тп „

Л

[

/2 + (пл)2

пл

81П-X,

/

/2 + (пл)2

пл

81П-X,

/

д22и(х, г) ^д22ик ^ (пл)2 Г ^^ .

г - = ^ я'2 к ,2 . -ч2 I — \ФпЕ„

дх

= дх2

=12 + (пл)2 ^ /

(пл)2

/2 + (пл- )2

пл

81П-х.

/

Поскольку

ы<

V пл у

Фп

то

ад

и( х, г )|

(пл)2

/2 + (пл)2

(пл)2

/2 + (пл)2

<

<+ад,

п

д2 и( х, г)

дх2

ад

< М Ьфп

п=1

д2 Б„и( х, г )

<Ь

п=1

пл

т

у

ФпЕ„

(пл)2

/2 + (пл)2

пл

81П-х

/

<

< +ад.

дх2

<Ь

п=1

(пл)2 Г пл4 2

/2 + (пл-)2 ^ /

фп

(пл)2

/2 + (пл )2

(2.15)

<Ькп<+ад.

И=1

ш ш д2и ад д2оаи Из оценок (2.15) заключаем, что ряды Ь А*ипЬ —п, Ь-

п=1 п=1 дх к=1 дх

< 7 Л2

™ , ч 82и(x,t) 82D"u(x,t)

сходятся равномерно к Dtu(x, t) , ———и —^- соответственно.

8x 8x

Теорема доказана.

Литература

1. Kilbas, A. A. "Theory and Applications of Fractional Differential Equations" [Текст] / A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo // North-Holland Mathematics Studies, Vol. 204, 2006.

2. Miller, K. S. "An Introduction to the Frac- tional Calculus and Fractional Differential Equations," [Текст] / K. S. Miller, B. Ross // John Wiley, New York, 1993.

3. Podlubny, I. "Fractional Differential Equations," [Текст] / I. Podlubny // Aca- demic Press, San Diego, New York, London, 1999.

4. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения [Текст] / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

5. Джарбашян, М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области [Текст] / М.М. Джарбашян - М., 1966.-672с.

6. Нахушев, А.М. Дробное исчисление и его применение [Текст] / А.М.Нахушев -М.: Физматлит, 2003. 272 с.

7. Учайкин, В.В. Метод дробных производных [Текст] / В.В. Учайкин -Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

8. Псху, А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка [Текст] / А.В. Псху - М.: Наука. 2005. 199 с.

9. Аблабеков, Б.С. Обратные задачи для псевдопараболических уравнений [Текст] / Б.С. Аблабеков - Бишкек: Илим, 2001. -183 с.

10. Аблабеков, Б.С. Метод полуобращения и существование решений начальной, начально-краевой задачи [Текст] / Б.С. Аблабеков // Наука и новые технологии. -1999.-№4. - С. 12- 19.

11. Макаова, Р.Х. Первая краевая задача для неоднородного уравнения Аллера [Текст] / Р.Х. Макаова // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1 (16). С. 45-49.

12. Макаова, Р.Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля [Текст] / Р.Х. Макаова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17, № 3. С. 35-38.