CC BY
33
УДК 517.956.37
О РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ
Н. В. Бейлина
Самарский государственный технический университет,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mails: natalie@samdiff .ru
Изучается 'разрешимость обратной задачи для гиперболического уравнения на плоскости с неизвестной правой частью. Доказывается однозначная разрешимость поставленной задачи. Доказательство существования обобщённого решения базируется на методе Галёркина, единственности — на полученной априорной оценке.
Ключевые слова: обратная задача, интегральное условие, разрешимость.
Введение. К настоящему времени появилось значительное количество работ, посвященных исследованию обратных задач с интегральным условием переопределения. Однако в подавляющем большинстве изучены задачи для параболических уравнений [1—7]. Более подробная библиография и классификация задач приведена в работах [5,7].
В предлагаемой работе рассмотрена обратная задача нахождения неизвестной функции, входящей в правую часть гиперболического уравнения, с интегральным условием переопределения.
1. Постановка задачи. В прямоугольнике Qt = {(х, t) :0 < х < 1,0 < t < Т} рассмотрим следующую обратную задачу: найти пару функций (и(х, t), p(t)), удовлетворяющих уравнению
Utt(x, t) — ихх(х, t) + с(х, t)u(x, t) = p(t)f(x, t) + G(x, t, u(x, t)), (1)
начальным условиям
u(x, 0) = <p(x), щ(х, 0) = ф(х), (2)
граничным условиям
ux{0, t) = ux(l, t) = 0 (3)
и интегральному условию переопределения
f К(х, t)u(x, t)dx = 0. (4)
Jo
Функции <p(x), ip(x) заданы на отрезке [0; I], a f(x, t), K(x, t), G(x, t, u), c(x, t) — в области Qt-
Введём понятие обобщённого решения задачи (1)—(4). Заметим, что условие (4) эквивалентно следующему условию:
Бейлина Наталья Викторовна (к.ф.-м.н.), старший преподаватель, каф. высшей математики и прикладной информатики.
-1 (
[К(х, t)c(x, t) — Ktt(x, t)]u(x,t) dx+
p(t) = (/ K(x, t)f(x, t)dx
+ / Kx(x, t)ux(x, t)dx — 2 / -К*(ж, t)ut(x, t)dx—
Jo Jo
— / К(ж, t)G(x, t, u(x, t))dx Jo
• (5)
Действительно, дифференцируя (4) дважды по ( и учитывая, что и(х, £) удовлетворяет уравнению (1) и условию (3), получим (5). Обратное показывается прямым вычислением.
Обозначим
Щ1 (Ят) = Мж, £) : ^(ж, £) € И^Ог), ^(ж, Т) = 0}.
Умножим уравнение (1) на функцию у(х, £) € И/Г21(<5т) и проинтегрируем по прямоугольнику С,}т- После интегрирования по частям получим
[Т I'1
/ / [—щ(х,1^(х,1)+их(х,£)ух(х,1)+с(х,1)и(х,£)у(х,£)]с1хсИ =
J О Л)
Г [1 Г [1
= / / p{t)f{x,t)v{x,t)dxdt + / / С (ж, £, и{х, £))г>(ж, £) dxdt+
Jо л) л) Уо
+ f tp(x)v(x,0) dx. (6) Jo
Определение. Пару функций («(ж, i), p(i)) будем называть обобщённым решением задачи (1)—(4), если u(x, t) € Ил21(<5т), и(х, 0) = <р(х), p(t) € Ьг(0, Т), и («(ж, i), p(t)) удовлетворяет (5) (в смысле равенства функций в L2) и тождеству (6) для любой функции v(x,t) € W£(QT).
2. Разрешимость поставленной задачи.
Теорема .Если К( ж, t) € C'1(Qt), Ktt{ ж, i) € C'1(Qt), с(ж, i) € C'1(Qt), /(ж, t) € C(QT), <p(x) € И^(0, 0) ^(ж) G ^2(0, 0) <2(ж, ^ e C(Qt x №■ ), fl
/ K(x, t)f(x, t)dx ф 0 и для любых (ж, t) выполняется условие Липшица Jo
\G(x, t, U\) — G(x, t, U2)\ ^ L\u\ — W2I) то существует единственное обобщённое решение (1)-(4).
Доказательство. Из условий теоремы следует, что найдутся такие положительные константы со, с\, сг, /1, <71, /го, 0,1, 0,2у чт° выполняются следующие неравенства:
max |С(ж, i, 0)| ^ д\, |/(ж, i)| ^/1, max\К(х, ^)c(ж, t) — Ktt(x, i)| ^ а\,
тах|К(ж, t);Kt(x, t);Kx(x, t)| ^ а2, с0 ^ |с(ж, t)| ^ сь \ct(x, t)\ ^ с2,
/ К(ж, t)f(x, t)dx = ho > 0.
Jo
Для доказательства теоремы построим последовательность приближённых решений, а затем покажем, что эта последовательность сходится к обобщённому решению поставленной задачи.
Приближённые решения (ит(х, £), рт(Ь)) будем искать из следующих соотношений:
[Т I'1
/ / [~иТ{х1 £) + и™{х, ^ух(х, £) + с(ж, £)-ит(ж, £)г>(ж, £)] (1хсИ =
Уо Уо
= [ [ Рт(1)/(х, Ь)ь(х, £)с?ж(Й + / ( 0(х, Ь, ит(х, 1))ь(х, 1)(1х(М+
Уо Уо Уо Уо
+ [ 1р(х)у(ж, 0)с£ж. (7) Уо
и°(ж, £) = О, «т(ж, 0) = <£т, ш = 1, 2,..., (8)
где ^Ь<р(х),
-1 I
[К(ж, £)с(ж, £) - К«(ж, £)] X
рт(^) = (/ ^(ж, £)/(Ж) ^с1х
х ит_1(х,Ь)йх + / Кх(ж, £)-и™_1(ж, Ь)г1х — 2 / К*(ж, £)-и™_1(ж, Ь)с1х—
Уо Уо
— / К(ж, £)С(ж, t, ьт~1)(1х . (9)
Уо
Покажем, что для каждого т существует единственная функция ит(ж, £), удовлетворяющая тождеству (7) и условию (8), если рт(£) известно. Для этого заметим, что тождество (7) и равенство (8) определяют обобщённое решение из И^((3т) второй начально-краевой задачи с однородными граничными условиями
■и™(ж, £) — и™х(х, £) + с(ж, £)-ит(ж, £) = Я(ж, £) + С(ж, £, ьт(ж, £)), (10)
Я(ж, 4) =рт{Ь)/{ж, 4), ит{ж, 0) = (рт(х), и™{х, 0) = ^(ж), (11)
и™(0, 4) = и™(1, *) = 0. (12)
Применяя стандартные методы [8] и условие Липшица, которому удовлетворяет функция С (ж, £, «(ж, £)), нетрудно доказать однозначную разрешимость задачи (10)—(12). Следовательно, можно утверждать, что для любого рт(£) существует единственная функция ит(х, £), удовлетворяющая тождеству (7). Так как рт(£) находятся явным образом из (9), то можно считать, что последовательность {■ит(ж, £), рт(£)} построена.
Для обоснования сходимости этой последовательности рассмотрим разности
гт(ж, г) = ит(Ж,«) -^-^ж,«), гт(г)=рт(г) -рт-\г).
Заметим, что для гт(х, £) справедливо тождество
гТ г1
[г™(х, £)г;(ж, £) + г™(х, ^ьх(х, £)+
/о Jo
+с(ж, £),гт(ж, £)г>(ж, £)] йхсИ = ( [ гт(£)/(ж, £)г>(ж, £)с?ж(Й+
Уо Уо
ГТ г1
[ [ \С{х, £, ит) — С{х, £, и"1 *)] г>(ж, £)(1хМ.
Уо Уо
Полагая ь(х, £) = -г™(ж, £) и интегрируя по частям интегралы в левой части, получим
(*г(я, г))2 + (С(ж, г))2 + с(ж, г) (гт(х, г))2
с?ж =
ГТ г1 ГТ г1
= 2 / / гт(£)/(ж, Ь)г™(х, £)с?жсЙ + 2 / / с*(ж, £) (<г™(ж, £))2 с1хсМ+
Уо Уо Уо Уо
ГТ /*/
+ 2
! / / [С(ж, £, ит) — С(х, £, и"1 *)] -г™(ж, 1)с1хсИ.
Уо Уо
Применяя к правой части неравенство Юнга, элементарные неравенства, а также условия теоремы, нетрудно получить оценку
ш
(^Г(ж,г))2 + (С(ж,т))2 + (^(ж,г))2
^ £ (1+£2) / ( (гт(£))2 (1х(М+
Уо Уо
+ М3
гг /*/
/0 </0
(г™(ж, £))2 + (гт(ж, £))2 + (<г™(ж, £))2 йхсИ, (13)
где Мз = тах {(/2 + 1)/<5; 2сг} . Применим к (13) неравенство Гронуолла [9], а затем интегрируя по г от 0 до Т, приходим к оценке
(14)
где Л^1 = ехр(~~)(1 + Ь2), 5 > 0 произвольно.
Оценим теперь гт(£), для которого справедливо равенство
К(х, £)/(ж, £)с?ж^ J [К(ж,£)с(ж,£) — Ки(х,Щ гт~1(х,1) (1х+
+ [ Кх(х, £),г™_1(ж, Ь)г1х — 2 / Kt(x,t)z^l~1(x,t)dx—
Уо Уо
— / К{ж,£) [С(ж,£, и"1 1) — С(х,1,ит 2)] Уо
с?ж
• (15)
Возводя равенство (15) в квадрат, учитывая условия теоремы, а также то, что гт_1(ж, £) € Ил21(<5т), нетрудно получить неравенство
кт(0)Иыо.т) < У~2||г”^1(.г'.()|1и-.(«зт),
(16)
где N2 = max {4a^l] 4{a\l + a^lL2)} .
Из (14) и (16) вытекает, что
\\zm(x,t))\\wi(0,T) ^ л/^з|кт 1(ж)^)||W^(Qt)’ (1^)
\\гтт\ыо,т) ^ л/^з1к"г_1(^))11ь2(о,т)) (18)
где N3 = N1N25.
Пользуясь произволом 5, выберем его так, чтобы л/Ns = q < 1. Тогда неравенства (17) и (18) означают, что последовательность (um(x,t), pm(t)) фундаментальна.
Так как W^iQr) и Ь2(0, Т) — полные пространства, то фундаментальная последовательность (um(x,t), pm(t)) сходится к элементу (u(x,t), p(t)), где u(x,t) € W^Qt), p(t) € L2(0,T). Но тогда, переходя к пределу в (7) и (9),
получим соответственно тождества (6) и (5), так как из сильной сходимости
следует слабая.
Таким образом, пара функций (u(x, t), p(t)), полученная в результате предельного перехода в (um(x,t), pm{t)) и эквивалентных преобразований, является обобщённым решением задачи (1)—(4).
Единственность задачи (1)—(4) непосредственным образом следует из оценок (17) и (18). Действительно, полагая, что существуют два различных решения (u\, р\) и (u2,P2), приходим к оценкам
(I - q)\\u(x,t)\\wi{QT) <0, (1 ~ q)\\p(t)\\L2{0tT) <0,
где (u, р) = (и\ — U2, Pi — Р2)- Но так как q < 1, то \\и(х, £)||иД(<зт) = 0 и
\\р(Щь2(о,т) = 0. □
Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, в рамках мероприятия 1.3.1 (госконтракт № П2589 от 26.11.2009)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Cannon J. R., Lin Y. Determination of a control parameter in a parabolic partial differential equation // J. Austral. Math. Soc. Ser. B, 1991. Vol. 33, no. 2. Pp. 149-163.
2. Cannon J. R., Lin Y. Determination of a parameter p(t) in some quasi-linear parabolic differential equations // Inverse Problems, 1998. Vol. 4, no. 1. Pp. 35-45.
3. Иванчов H. И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении// Сиб. матем. журн., 1998. Т. 39, №3. С. 539-550; англ. пер.: Ivanchov N. I. On the determination of the time-dependent leading coefficient in a parabolic equation// Siberian Math. J., 1998. Vol. 39, no. 3. Pp. 465-475.
4. Камынин В. Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения// Матем. заметки, 2005. Т. 77, №4. С. 522-534; англ. пер.: Kamynin V. L. On the inverse problem of determining the right-hand side of a parabolic equation under an integral overdetermination condition // Math. Notes, 2005. Vol. 77, no. 4. Pp. 482-493.
5. Кожанов А. И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности // Сиб. матем. журн., 2005. Т. 46, №5. С. 1053-1071; англ. пер.: Kozhanov А. I. Solvability of the inverse problem of finding thermal conductivity // Siberian Math. J., 2005. Vol. 46, no. 5. Pp. 841-856.
6. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением// Матем. сб., 1992. Т. 183, №4. С. 49-68; англ. пер.: Prilepko А. I, Kostin А. В. On certain inverse problems for parabolic equations with final and integral observation // Russian Acad. Sci. Sb. Math., 1993. Vol. 75, no. 2. Pp. 473-490.
7. Прилепко А. И., Ткаченко Д. С. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003. Т. 43, №4. С. 562-570; англ. пер.: Prilepko А. I, Tkachenko D. S. Properties of solutions of a parabolic equation and the uniqueness of the solution of the inverse source problem with integral overdetermination // Comput. Math. Math. Phys., 2003. Vol. 43, no. 4. Pp. 537-546.
8. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уралъцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.; англ. пер.: Ladyzenskaja О. А., Solonnikov V.A., Ural’ceva N. N. Linear and quasi-linear equations of parabolic type/ Translations of Mathematical Monographs. Vol. 23. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1968. 648 pp.
9. Garding L. Cauchy’s problem for hyperbolic equations / Lecture notes. Chicago, 111, USA: University of Chicago, 1957; русск. пер.: Гордине Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М.: Иностр. лит., 1961. 120 с.
Поступила в редакцию 25/IV/2011; в окончательном варианте — 05/V/2011.
MSC: 35R30; 35L10
ON SOLVABILITY OF A INVERSE PROBLEM FOR HYPERBOLIC EQUATION WITH AN INTEGRAL OVERDETERMINATION CONDITION
N. V. Beilina
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.
E-mails: [email protected]
In this paper we study an inverse problem with an integral overdetermination condition for a hyperbolic equation with an unknown coefficient in equation. The existence and uniqueness of a solution is proved with the help of an a-priory estimate and Galyorkin procedure.
Key words: inverse problem, integral condition, solvability.
Original article submitted 25/IV/2011; revision submitted 05/V/2011.
Natalya V. Beilina (Ph.D. (Phys. & Math.)), Senior Teacher, Dept, of Higher Mathematics & Applied Informatics.
