О разрешимости краевых задач для многомерных параболических уравнений четвертого порядка с нелокальным граничным условием интегрального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2016. Том 23, № 1

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВИДА Н. С. Попов

Аннотация. Исследуется разрешимость начально-краевой задачи для линейных параболических уравнений четвертого порядка с заданием на боковой границе условия, связывающего значения решения или же конормальной производной решения со значениями некоторого интегрального оператора от решения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.

Ключевые слова: параболическое уравнение четвертого порядка, пространство Соболева, начально-краевая задача, метод продолжения по параметру, априорные оценки, регулярное решение.

Введение

Нелокальные краевые задачи для параболических и гиперболических уравнений с интегральным условием на боковой границе активно изучаются в последнее время, но при этом в основном рассматривается лишь случай уравнений второго порядка по пространственным переменным (см. [1-3]) и гиперболическим уравнениям [4]. Отметим также исследования для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений с интегральным условием на боковой границе [5, 6].

Постановка задачи

Пусть О — ограниченная область пространства К" с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q — цилиндр О х (0, Т) (0 < Т < Б = Г х (0, Т) — его боковая граница, а(х, г), с(х, г) и f(х, г) — заданные в цилиндре (3 функции, щ(х) — заданная на множестве О функция, Кц(х,у^), К\2(х,у,Ь), К21(х,у,1), К22(х,у,1) — функции, заданные при х (Е О, у €= О,

г е [0,Т].

Краевая задача I. Найти функцию и(х,г), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Ьи = щ + Д2и + с(х, г)и = f (х, г) (1)

© 2016 Попов Н. С.

и такую, что для нее выполняются условия

u(x, 0) = uo(x), x £ Q,

u{x,t]\(x,t)es = J Ku(x,y,t)u(y,t) dy n

Au(x,i)\(x,t)es = J Ki2(x,y,t)u(y,t) dy

(x,t)es

(x,t)es

(2)

(3)

(4)

Краевая задача II. Найти функцию и(х, Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (2), (3) и условие

ди(х, Ь)

dv(x)

(x,t)es

= J K2i(x,y,t)u(y,t) dy

(5)

(x,t)es

Краевая задача III. Найти функцию u(x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (2), (5) и условие

dAu(x, t)

dv(x)

K22(x,y,t)u(y,t) dy

(x,t)€S

(6)

(x,t)es

где у(х) = (^1,..., ип) — вектор внутренней нормали к Г в текущей точке.

Разрешимость краевой задачи I

Пусть N1^, у, £) — функция, определенная на множестве О х О и такая, что при (х,у,Ь) € 2 = (Г х Г х (0,Т)) выполняются равенства

Ni(x,y,t)\xer = Ku(x,y,t), AxNi(x,y,t)\xer = Ki2(x,y,t),

(7)

где переменные у, Ь являются параметрами. Существование функции Ж1(х, у, Ь) очевидно, если добавить к краевым условиям (7) уравнение АХМ1(х,у,Ь) = 0.

С помощью функции Ы1(х,у,Ь) определим оператор М1 по формуле

(М1и)(х,Ь) = и(х,Ь) - J Ж1(х, у, Ь)и(у, Ь) ¿у. п

Будем считать выполненным следующее условие: оператор М1 однозначно и непрерывно обратим как оператор из Ь2($1) в Ь2($1) при всех Ь € [0,Т] и существуют положительные постоянные т1, т2 такие, что выполняются неравенства

я.,/и2(х.()¿х й/^,«)1"«Ъ < т21 и2(х,»)¿х (8)

п п п

при любом Ь € [0, Т1 и любой функции и(х, Ь) из Ьх(0, Т; Ь2($1)).

Пусть

V = {v(x,t) : v £ W4'1(Q) П LTO(0,T; Wf(O)), vt £ L2(Q)}

норму в этом пространстве определим следующим образом:

1М1у = Н^Н^4'1«) + 1Ы1ь2(д +

Положим

ЬЫ1п(х, Ь) - Ы1Ьп(х, Ь) = Ф(х, Ь, и), т = М1и.

Имеем

Ф(х, Ь,и) = - ! N14(х, у, Ь)и(у, Ь) ¿у о

А2хМ1(х,у,Ь)и(у,Ь) ¿у + У Nl(x, у, Ь) А2уи(у,Ь) ¿у. (9) о о

Введем обозначение

Р1 = шах]У J Nу(x,y,т) ¿хд,у. (10)

оо

Теорема 1. Пусть выполняются условия (8), а также условия

с(х, г) е с1 (Я), с(х, г) > с0 > о при (х, г) е <2, кп(х,у,г),к12(х,у,г) е с3(о х о х [о,т]),

Э50 € (0; 1/2) : 1 - > 0,

(11)

/(х,Ь) е Ьу(Я). (12)

Тогда краевая задача I имеет решение и(х, Ь), принадлежащее пространству V, и это решение единственно.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию т(х, Ь), являющуюся в цилиндре Я решением уравнения

Ьт = д(х,Ь)+ Ф1(х,Ь,т) (13)

и удовлетворяющую условиям

т(х,Ь)15 = 0, Ат(х,Ь)15 = 0, т(х, 0) = то(х), х е П, (14)

где

и(х, 0) - J Щ(х,у, 0)и(у, 0) ¿у = ио(х) ^ Щ(х,у, 0)ио(у) ¿у = то(х), оо

Ф1(х,Ь,'ш) = Ф(х,г,М-1т).

Докажем, что при выполнении условий теоремы краевая задача (13), (14) разрешима в классе

Ш = {у(х, Ь) : у(х, Ь) е V, т(х, Ь) = М^(х, Ь) е V}

для любой функции д(х, Ь) из пространства Воспользуемся методом про-

должения по параметру. Именно, для чисел А из отрезка [0,1] определим семейство операторов {Ь\}: Ь\т = Ьт — АФ1(х,Ь,т). Рассмотрим краевую задачу: найти функцию т(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Ь\т = д(х,Ь), (15)

при выполнении условий (14). Обозначим через Л множество тех чисел А из отрезка [0,1], для которых краевая задача (15), (14) разрешима в классе Ш для произвольной функции д(х, Ь) из пространства Ь2^). Покажем, что множество Л будет совпадать со всем отрезком [0,1]. Совпадение множества Л с отрезком [0,1], в свою очередь, означает разрешимость краевой задачи (13), (14) в требуемом классе.

Убедимся прежде всего, что множество Л непусто. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию т(х, Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения Ьт = д(х, Ь), при выполнении условий (14).

Как следует из результатов [7], при выполнении условий теоремы эта задача имеет решение, принадлежащее пространству V.

Пусть т(х,Ь) есть решение краевой задачи (15), (14) из пространства V. Если имеет место априорная оценка в том же пространстве V, то задача будет разрешима при А € [0,1] (см. [8]).

Для получения априорной оценки умножим уравнение (15), записанное в переменных х и т, на функцию тт +А2т и результат проинтегрируем по области О и по переменной т в пределах от 0 до Ь. Таким образом, преобразуем равенство

г

Ьт(тт + А2т) йхйт = J ^(д + АФ1)(тт + А2т) йхйт. о о о о

С помощью интегрирования по частям с учетом краевых условий (14) придем к равенству

г г

)2+(А2т)2] ЛЫт +//с(х т )(Ат)2 ЛЫт+/(Ат)2 "

о о о

г

+ \ / ф, г)<Ь = -Ц Ас(х, tMX, *) ДЦ*. *)

о о о

П г

— 2 £ I ^ А.« + / Ат0 *

1-1 о о о

г

+ \ ! с{х,0)уо1<1х + ! J(g + АФ1)(адт + А2уо) АхАт. (16)

Для получения априорной оценки из равенства (16) рассмотрим оценку интеграла

Ф1 • (тт + Аут) ¿,хв,т = 11 + 1у + /3,

(17)

о о

где Ф1 задается равенством (9).

Рассмотрим оценку интеграла 1у от Ф(х,Ь,и) вида

|1у|

<

УУ ^У А^1(х, у, т)и(у,т) ¿у^ (тт + Аут) ¿хйт о о о

1 I I

о о о о

4

- ~2 У У +

оо

+

2 ¿о

У У Ц(А2хт)у(х, у, т) ¿у)(Уиу(у,т) ^ ¿х^т о о о о

+ ^ + [ и2(у,т)с1ус1т, (18)

оо

оо

где

Ро = шах / I (А2^) (х,у,т) ¿х^у. *е[о,х] У } оо

Продолжая (18), с учетом неравенства (8) получим

о о о

У У ! А2^1(х,у,т)и(у,т) (тт + Аут) ¿х^т

4 4

<^У У (К)2 + (А2^)2] ¿ЖЙТ + У I ™2{у,т)с1ус1т. (19)

оо

Рассмотрим оценку интеграла /3 в (17)

|1з|

4

//(/ ^(х,у,т)А2уи(у,т) (тт + Аут) ¿х^т

о о о

4

< ¿У / / [К)У + (Аут)у] ¿х^т +

Р1

оо

2т15у]]у 2

Аут) (у, т) ¿у ¿т. (20)

оо

4

4

4

1

4

4

Зафиксируем ¿о € (0, и потребуем выполнения неравенства (11)

Р2 = 1 " -Р- > 0, (21)

00 ТО1

которое, очевидно, выполняется при малых |Ж1(ж, у,4)|. Применяя неравенство Юнга и используя лемму Гронуолла в равенстве (16), получим априорную оценку

[(шт)2 + (А2ш)2] ¿хйт + J[(Аш)2(х,£) ¿ж + ш2(х,Ь)\ ¿х о о о

т

Ко J J g2(x,t) dxdt (22)

< Ко

о о

с положительной постоянной Ко, определяемой лишь функцией c(x, t), числами T, со, а также областью О.

Очевидно, аналогичная оценка имеет место и для функции u(x, t), а именно

||u||v < КоЫу < Kiygyi2(Q) (23)

с положительными постоянными Ко, К1, определяемой теми же величинами, которыми определяются постоянные Ко.

Из оценок (22), (23) следует открытость и замкнутость множества Л (см. [4,8]). Следовательно, краевая задача (13), (14) разрешима в классе W.

Положим g = Mif. Повторяя рассуждения из [7], получим, что функция u = M-1w будет решением краевой задачи I из требуемого пространства.

Единственность решений очевидна — она вытекает, например, из неравенства (23). Теорема доказана.

Разрешимость краевых задач II, III

Пусть Ni(x,y,t), г = 2,3, — функция, определенная на множестве О х О и такая, что при (x,y,t) £ £ = (Г х Г х (0,T)) выполняются равенства

dNi(x, y, t)

Ni(x,y,t)\xer = К^д^, y,t),

= i(x, y, t), (24)

жег

ди (х)

где переменные у, Ь являются параметрами. Существование функции Ы^х, у, 4) очевидно, если добавить к краевым условиям (24) уравнение АХ,Щ(х,у,1) = 0.

Как и выше, с помощью функции Ы^х^^) определим оператор Ы^ по формуле

(ЫгП)(х, 4) = и(х, 4) — J Ыг(х, у, Ь)и(у, 4) ¿у. о

Условие на операторы Ы^: операторы Ы^ однозначно и непрерывно обратимы как операторы из Ь2($1) в Ь2($1) при всех Ь € [0, Т] и существуют положительные постоянные т1, т2 такие, что выполняются неравенства

тоз J и2(х,Ь) ¿х [Ы^и(х,£)]2 ¿х < т4 J и2(х,Ь) ¿х, г = 2, 3, (25)

при любом t G [0, T] и u(x, t) G Lœ(0, T; L2(tt)). Как и выше, ведем обозначения

Pi = maT]/ / N22(x,y,T) dxdy, i = 2, 3. (26)

о о

Теорема 2. Пусть выполняются условия (25), а также условия c(i,i) Ê C'(Q), c(x,t)>c0> 0 при (x,t) gQ, Ki-hl(x,y,t), K2,i-i(x,y,t) G C3(Ô x ÏÏ x [0,T]), ¿ = 2,3,

P (27)

1-тН->0 при ¿0 G (0,1/2), ¿2TO3

f(x,t) G L2(Q).

Тогда краевая задача II (или III) имеет решение u(x,t), принадлежащее пространству V, и это решение единственно.

Замечание 1. В теоремах 1, 2 условия малости на функции Ni(x,y,t) можно заменить на условия обращения в нуль на границе:

Ni(x,y,t) = Nyi (x,y,t)=0 (i = 1,...,n) при y G Г.

Замечание 2. В теоремах 1 и 2 от условия c(x,t) > cо > 0 можно отказаться, тогда при получении априорных оценок возникнут условия малости на функцию c(x, t) и его производные.

ЛИТЕРАТУРА

1. Fridman A. Monotone decay of solutions of parabolic equations with nonlocal boundary conditions // Quart. Appl. Math. 1986. V. 44, N 3. P. 401-407.

2. Кожанов А. И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений // Вестн. Самар. гос. тех. ун-та. 2004. № 30.

С. 63-69.

3. Абдрахманов А. М., Кожанов А. И. Задача со смещением для уравнений в частных производных // Изв. вузов. Математика. 2007. Т. 540, № 5. С. 3-26.

4. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1116-1172.

5. Попов Н. С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдопараболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, № 1. С. 82-95.

6. Попов Н. С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдогиперболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 2. С. 69-80.

7. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных уравнений общего вида // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

8. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

Статья поступила 16 января 2016 г. Попов Николай Сергеевич

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 [email protected]

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2016. Том 23, № 1

UDC 517.946

ON THE SOLVABILITY OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR MULTIDIMENSIONAL PARABOLIC EQUATIONS OF FOURTH ORDER WITH NONLOCAL BOUNDARY CONDITION OF INTEGRAL FORM N. S. Popov

Abstract: We investigate solvability of the initial-boundary value problem for linear parabolic equations of fourth order with the boundary conditions connecting the values of solution or conormal the derivative of the solution with values of a certain integral operator from the solution. We prove the theorem of existence and uniqueness of regular solutions.

Keywords: parabolic equation of fourth order, Sobolev space, initial-boundary value problem, continuation method the parameter, a priori estimates, regular solutions.

REFERENCES

1. Fridman A. "Monotone decay of solutions of parabolic equations with nonlocal boundary conditions," Quart. Appl. Math. 44, No. 3, 401-407 (1986).

2. Kozhanov A. I. "On resolvability of a regional problem with nonlocal boundary condition for the linear parabolic equations," Vestn. Samar. Gos. Techn. Univ., 30, 63-69 (2004).

3. Abdrahmanov A. M. and Kozhanov A. I. "Problem with displacement for the equations in partial derivatives," Russian Math. (Iz. VUZ) No. 5, 3-26 (2007).

4. Kozhanov A. I. and Pulkina L. S. "On resolvability of regional problems with nonlocal boundary condition of an integrated kind for the multidimensional hyperbolic equations," [in Russian] Differ. Equ., 42, No. 9, 1116-1172 (2006).

5. Popov N. S. "On the solvability of boundary value problems for multidimensional pseudopara-bolic equations with nonlocal boundary condition integral type," Mat. Zamet. YaGU. 19, No. 1, 82-95 (2012).

6. Popov N. S. "On the solvability of boundary value problems for multidimensional pseudo-hyperbolic equations with nonlocal boundary condition integral of the form," Mat. Zamet. SVFU. 21, No. 2, 69-80 (2014).

7. Solonnikov V. A. "Boundary value problems for linear equations of general type," Proc. Steklov Inst. Math., 83, 3-163 (1965).

8. Trenogin V. A., Functional Analysis, [in Russian] Nauka, Moscow, 1980.

Submitted January 16, 2016

Popov Nikolayi Sergeevich Nord-East Federal University,

Research Institute of Mathematic and Informatic, Kulakovskogo st., 48, Yakutsk 677000, Russia [email protected]

© 2016 N. S. Popov