О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.9 А.И. Кожанов

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Исследуется разрешимость начально-краевой задачи для линейных параболических уравнений с заданием на боковой границе условия, связывающего значения решения со значениями некоторого линейного оператора от него. Доказывается существование и единственность регулярного решения.

Задача, исследуемая в настоящей работе, относится к числу нелокальных краевых задач; по своей постановке она представляет собой обобщение некоторых задач с интегральными краевыми условиями. Отметим, что задачи с интегральными условиями активно изучаются в последнее время, но при этом рассматривается в основном лишь одномерный по пространственным переменным случай — см. работы [1-9]. В многомерном же случае можно отметить лишь работу [10], в которой рассматривалась краевая задача с граничным условием

и(Х, 0|(x,t)e3Wx(0,г) = j K(Х, У, tУ, tН ()e3Wx(0,T) (*)

W

(W - область изменения пространственных переменных, (0,Т) - интервал изменения временной переменной) и в которой изучались лишь свойства решений.

Перейдем к содержательной части работы.

Пусть W есть ограниченная область пространства Rn с гладкой (для простоты бесконечно- дифференцируемой) границей Г, Q есть цилиндр W х (0, Т) (0<Т<+ ¥), S = Г х

(0, Т) есть его боковая граница, a1 (x, t), a (x, t), a(x, t) и fx, t) - заданные в цилиндре Q

функции, и 0 (x) - заданная на множестве W функция, А - линейный оператор, ставящий в

соответствие функции v(x, t) из пространства L 2 (Q) функцию A(x, t, v), принадлежащую

пространству L 2 (S).

Краевая задача: найти функцию u(x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Lu ° и t- ay (x, t)ux x + a1 (x, t)ux +a (x, t)u = f(x, t) (1)

и такую, что для нее выполняются условия

u(x, t)| S = A(x, t, u)| S , (2)

u(x, 0) = u0 (x), x e W . (3)

Уточним, что здесь и далее по повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до n.

Пусть V j и V 2 суть следующие пространства:

¥г = {v(x, t) : v(x, t) e L ¥ (0, T; W2 (Q)), v( (x, t) e L 2 (0, T; W\( W))},

V2 = {v(x, t) : v(x, t) e L ¥ (0, T; W2 (Q)), vt (x, t) e L 2 (0, T; W2 (W))};

нормы в этих пространствах определим равенствами

llvll V1 = llvll l¥ (0,T; W22 (W)) + ||vt 11 L2(0,T; W21(W)) ,

llvll V2 = ||v|1 l¥ (0,T ;W22(W)) + llvt ll L2(0,T ;W22(W)) .

Далее, обозначим через В оператор I-A. Через Qt будем обозначать цилиндр Q х (0, t).

Теорема 1. Пусть оператор А определен как оператор, переводящий пространство Ь 2 (0 в себя, и при этом пусть В является взаимно-однозначным ограниченным оператором из пространства Ь 2 (0 на себя. Далее, пусть выполняются условия

а'1 (х, і) є С2 (Q), а (х, і) є С'(Q), а(х, і) є С(Q), а'1 (х, і) = а'1 (х, і), (х, і) є Q,

і, І = 1,..., п;

a'1 (x, t) Х' Х, > к0 X , к0 > 0, (x, t) є Q, Х є Rn;

a(x, t) > a0 > 0, (x, t) є Q ;

д

— A(x, t, v) = A(x, t, vt) + Ai (x, t, v), ||A(x, t, v)|| l2(q,)

(4)

(5)

(6)

+

— A(x, t, v)

дх'

+

L2(Qt )

+

дх'дх,

1 1

A(x, t, v)

+ ||A l(х, ^ v)|1 l2(q,;

+

дх1 дх1

1 1

Ai(x, t, v)

L2(Qt )

< aJVl

— Ai(x, t, v)

дх1

+

L2(Qt )

L2(Q, )

l(), a 1 > 0, 1,1 = 1,_, n, (x, t) є Q, v є V1,

L2(Q, )

|^(x, t, j Vx, ^2©) < a 2||v||l2(0,, ;W21(W)), a2 > 0, 1 = 1,-, n,

(7)

(8)

j e C\Q), (x, t) e Q, v e Vx; если последовательность {v m (x, t)} слабо сходится в пространстве W\ (Q) к функции v(x, t), то имеет место слабая в пространстве L 2 (Q) сходимость A(x, t, jvmx ) ________® A(x, t, jvx ),

m —_ ¥

i = 1,_, n, для любой функции j(x, t) из пространства Cl(Q). (9)

Тогда для любых функций f(x, t) и u 0(x) таких, что f(x, t) e L2(Q), ft (x, t) e L2(Q), u 0(x) e W22 (W), u0(x) - A(x,0, u0) = 0 при x er, краевая задача (1)-(3) имеет решение u(x, t), принадлежащее пространству V1, и это решение единственно.

Доказательство. Введем обозначения

■■ д2 д

F(x, t, v) = Aj (x, t, v) - a11 (x, t)-A(x, t, v) + a1 (x, t)-A(x, t, v) + a(x, t) A(x, t, v) +

dxidxJ dxi

+ A(x, t, a11 vxx ) - A(x, t, a'vx ) - A(x, t, av), LBv = LBv + F(x, t, v).

Пусть g(x, t) есть заданная функция из пространства L 2 (Q). Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Lbu = g(x, t) (10)

и такую, что для нее выполняются условия

Bu|S = 0, Bu|(=0 = B(x, 0, u 0),. x e W. (11)

Докажем, что при выполнении условий (4)-(9) данная краевая задача имеет решение u(x, t) такое, что u(x, t) e V, Bu(x, t) e V для любой функции g(x, t), принадлежащей вместе с производной gt (x, t) пространству L 2(Q), и для любой функции u 0(x), принадлежащей пространству W2(W) и удовлетворяющей условию согласования u 0(x) - A (x,0, u0) = 0 при x e Г. Воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру. Именно, для чисел 1 и e , l e [0,1], e > 0, определим семейство операторов {L B e я }: LB e ku = LBu +

+ ЯФ(x, t, u) - ea11 (x, t)(Bu)x x t.

Рассмотрим краевую задачу: найти решение уравнения

L

u = g(x, t),

(10 s,i)

для которого выполняются условия (11).

Прежде всего покажем, что краевая задача (10еЯ), (11) имеет решение и(х, і) такое, что

и(х, і) є У2, Ви(х, і) є У2 для любого фиксированного значения числа е и для всех чисел X из

2

д

отрезка [0, 1] при принадлежности функции g(x, 0 лишь пространству Ь 2 О) . Обозначим через Л множество тех чисел X из отрезка [0, 1], для которых краевая задача (10 е л), (11) разрешима в классе функций (V : V е У2, Бу е У2 } для любых функций g(x, ^ из пространства Ь 2 О) и и 0(х), удовлетворяющей условиям теоремы. Если мы докажем, что это множество не пусто, открыто и замкнуто, то оно, как известно, будет совпадать со всем отрезком [0, 1].

Краевая задача (10е0), (11) представляет собой первую начально-краевую задачу относительно функции w = Би для линейного псевдопараболического уравнения третьего порядка. Заметим, что при принадлежности функции и 0 (х) пространству Ж2 (О) функция Б(х, 0, и0) также будет принадлежать тому же пространству — это следует из условия (7). Принадлежность начальной функции пространству Ж2 (О), функции g(x, 0 пространству Ь 2(0) и условия (4)-(6) гарантируют нам разрешимость данной задачи в пространстве V 2

[11, 12]. Далее, из условия взаимной однозначности оператора Б и вновь из условия (7)

вытекает, что функция и(х, 0 однозначно находится как решение уравнения

Би = w

и что она будет принадлежать пространству V2. Следовательно, число 0 является элементом множества Л - то есть множество Л не пусто.

Доказательство открытости и замкнутости множества Л проводится с помощью априорной оценки решений краевой задачи (10 е л), (11) в пространстве V 2.

Анализируя последовательно равенства

\ \ ЬБ е лУ • wdxdт = II g • wdxdт , (12)

0 О 0 О

t t

| | ЬБ,е, 1и • ^^Т = II g • wтdxdт , (13)

0 О 0 О

t t

11 ЬБ,е, 1и • = II g • , (14)

0 О 0 О

t t

I I ЬБ,е,1и • )т ^Т = Ц £ • (аХ^ )т ^Т (15)

0 О 0 О

и используя при этом условия (4)-(8), неравенство Юнга и второе основное неравенство для эллиптических операторов [13], получим, что для решений рассматриваемой краевой задачи будет выполняться неравенство

N1 ^ £ К1 [11,?1|Ь2(е) + l|B(x,0,u 0 11 Ж22(О) + N^(0,t;Ж22(О) + 11и11 Ь2(0,t;Ж22(О)], в котором постоянная К1 зависит лишь от области О, коэффициентов оператора Ь и от чисел а1з а2 и е . Вновь вследствие условия (7) от данного неравенства можно перейти к неравенству

и1 ^2 £ К2 [||8||Ь2(6) + ||У 0^ Ж22(О) + |М|Ь2(0, ПЖ22(О)];

используя же далее лемму Гронуолла, мы получим, что для функции w(x, 0 имеет место априорная оценка

v2 £ К0[|У ь2(о) + || и0 || Ж.?(О)] (16)

с постоянной К0 , зависящей от тех же величин, от которых зависит постоянная К1 , а также от

числа Т. Наконец, еще раз используя условие (7), мы придем к аналогичной оценке для

функции и(^ 0:

||и|^2 £ К0 [||8Ц Ь2(0) + К11ж22(О)]. (17)

С помощью оценок (16) и (17) мы и докажем открытость и замкнутость множества Л.

Пусть 10 есть элемент множества Л, 1 = 10 + 1. Покажем, что при малой величине 111 число 1 также будет принадлежать множеству Л.

Для произвольной функции у(^ 0 из пространства V 2 рассмотрим краевую задачу: найти решение уравнения

1Б,е,1 и = ^(Х’ 1) " ЯФ(Х’ *’ ^ (10е,Яо)

для которого выполняются условия (11). Из условий (4), (7) и (8) следует, что функция

Ф(х, I, V) будет принадлежать пространству Ь2 (0). Но тогда согласно определению множества Л краевая задача (10^), (11) будет иметь решение и(х, г), принадлежащее

пространству V2. Другими словами, данная краевая задача порождает оператор О,

переводящий пространство V2 в себя: О^) = и. Из оценки (17) и из условий (4), (7) и (8) следует, что для любых двух функций V 1(х, г) и v2(х, г) из пространства V2 имеет место неравенство

№ ,) - О^ 2)|| V, < Щ1\IV ! - V 2|| V,

с фиксированной постоянной М, зависящей лишь от числа К'0, коэффициентов оператора Ь и

от чисел ах и а2. Если теперь для числа 1 будет выполняться неравенство М\ 1\ < 1, то

оператор О окажется сжимающим в пространстве V2 и тем самым имеющим неподвижную

точку: О(и) = и. Очевидно, что эта неподвижная точка является решением из пространства V2

краевой задачи (10е1), (11), 1 = 10 + 1. Следовательно, число 1 будет принадлежать

множеству Л. А это и означает, что множество Л открыто.

Докажем теперь замкнутость множества Л .

Пусть {1т} есть последовательность элементов множества Л, сходящаяся к некоторому числу 10 . Покажем, что число 10 также будет элементом множества Л .

Каждому числу 1т соответствует функция ит (х, г) принадлежащая пространству V2 и являющаяся решением краевой задачи (10е1 ), (11). Из оценок (16) и (17) следует, что последовательности {ит(х, г)} и {^т(х, г)}, wm = Вит будут равномерно ограниченными в пространстве V2 последовательностями. Но тогда существуют последовательность {тк} натуральных чисел и функции и(х, г) и ^(х, г) такие, что при к ® да будут иметь место

слабые в пространстве Ь2(® сходимости итк ® и , ит,г ® иг , итЛ ® ихг , иткхг ® их$ ,

ит^х; ® их, ит^ ® их,х;г , ™тк ® ™ , ™т,г ® , Wmtxi ® ^ , Wmkxit ® ™х^ ,

№т,х^ ® , ™т1х1х/ ® ™^х/ , ^ П Из этих схоДимостеЙ, условия непрерывности

оператора В, из сходимости ® 10 и из условия (9) следует, что будут иметь место равенства w = Ви, ЬВ £ ^и = g. Кроме того, будут выполняться условия (11). Наконец, из оценок (16) и (17) следует, что функции и(х, г) и w(x, г) будут принадлежать пространству V2.

Но тогда все условия принадлежности числа 10 множеству Л будут выполняться. Принадлежность предельной точки множества ему же и означает его замкнутость.

Итак, множество Л есть отрезок [0, 1], краевая задача (10£1), (11) разрешима в

пространстве V2 для любого фиксированного положительного числа £ . Обозначим решение

данной задачи как и£ (х, г) . Покажем, что при выполнении всех использованных выше условий

и при выполнении дополнительного условия gt (х, г) е Ь2(0) из семейства функций {и£ (х, г)} можно выбрать последовательность {и£ (х, г)}, сходящуюся при т ® ¥ к

решению краевой задачи (10), (11).

Вновь анализируя равенства (12)-(15) с тем лишь изменением, что в последнем равенстве выполняется интегрирование по переменной т, мы получим для семейства функций {и£ (х, г)} априорные оценки

\к X, +£ Ё\\ wгw \\Ь2(а) < ^, (18)

г, ] =1

\\и ^ +£ Йи^Лш < N (19)

г, ] =1

^£ = Ви£) с постоянными N и N2, зависящими от коэффициентов оператора Ь, от области

О и от чисел ах, а2 и Т, но не зависящими от числа £ . Из этих оценок следует, что существуют последовательность чисел {£т}, функций {и£ (х, г)}, а также функций и(х, г) и w(x, г), такие, что при т ® ¥ имеют место числовая сходимость £т ® 0, а также сходимости функций и£ ® и, и£ г ® иг, и£ х ® их , и£ хг ® ихг, и£ хх ® ихх ,

А ст Ст1 1 Лг ьтх11 Лг ьтх1х] Х1Х;

W£m ® W , W£mt ® ^ , W£»XІ ® Wxj , №£тх,( ® WXit , ^х^ ® ^ , ^^х/ ® 0,

г, ; = 1,..., п, слабые в пространстве Ь2(0). Из этих сходимостей, условия непрерывности оператора В и из условия (9) и вытекает, что будут иметь место равенства w = Ви, ЬВи = g . Далее, предельный переход в неравенствах (18) и (19) дает принадлежность функций и(х, г) и w(x, г) пространству V . Выполнение условий (11) для функции и(х, г) очевидно. Следовательно, найденная функция и(х, г) будет требуемым решением краевой задачи (10), (11).

Выберем функцию g(x, г) специальным образом: g = В/. Из условия (7) следует, что если функции /и / принадлежат пространству Ь2(0), то и функции g и gt будут принадлежать этому же пространству. Согласно доказанному, краевая задача (10), (11) для такой функции g(x, г) будет разрешима в классе {и е ^, Ви е Vl}. Поскольку уравнение (10) теперь приобретает вид

В(Ьи - /) = 0 (20)

и поскольку оператор В взаимно-однозначен, то функция и(х, г) - решение уравнения (10) -будет решением уравнения (1). Вновь в силу взаимной однозначности оператора В для функции и(х, г) будет выполняться условие (3). Следовательно, функция и(х, г) - решение краевой задачи (10), (11) - будет и решением исходной краевой задачи (1)-(3).

Единственность решений очевидна — достаточно рассмотреть равенство (12) (с£ = 0) и вновь воспользоваться взаимной однозначностью оператора В.

Теорема полностью доказана.

Заметим, что возможность предельного перехода как при осуществлении схемы метода продолжения по параметру, так и в уравнении (10£ 1) (более точно говоря, в слагаемых

А(х, г, агих ) и А(х, г, ауих х;)) нам обеспечивают условие (9) и необходимые для использования

этого условия априорные оценки (17) и (19). И если для доказательства оценки (17) нам требуются естественные для псевдопараболических уравнений условия на функции /(х, г) и

и0( х), то для доказательства оценки (19) требуемые условия представляются завышенными по отношению к первой краевой задаче для параболических уравнений. Приведем другой вариант условия (9) и тем самым теоремы о разрешимости краевой задачи (1)-(3), в которых ограничения на функции /(х, г) и и0 (х) будут естественными для параболических уравнений.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (4)-(8) теоремы 1, а также условие: если последовательность {Vт (х, г)} слабо сходится в пространстве Ж22,1(0) к функции v(х, г), то имеют место слабые в пространстве Ь2(0 сходимости

А(X t, jvmXi) ® А(х, t, jvXi), А(х, t, jvmxix.) ® A(x, t, jvXiX.),

mm

i ,j = 1,..., n, j( x, t) e C\Q ). (9')

Тогда для любых функций f (х, t) и и0(х) таких, что f (х, t) e L2(Q), u0(x) e W2(W), и0(x) - A(x,0, и0) = 0 при x e Г, краевая задача (l)-(3) имеет решение и(х, t),

принадлежащее пространству W22,1 (Q) I L¥ (0, T; W2 (W)), и это решение единственно.

Доказательство. Вновь рассмотрим краевую задачу (10)-(11). Покажем, что при выполнении условий теоремы эта задача имеет решение u(x, t) такое, что

u(х, t) e W221(Q) I L* (0, T; W'(W)), Bu(x, t) e W2,\Q) I L*(0, T; W'(W)).

Воспользуемся методом продолжения по параметру. Именно, для чисел X из отрезка [0, 1] рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию u(х, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Ьв хи ° ЬВи + 1Ф(х, t, и) = /(х, I) (10я)

и такую, что для нее выполняются условия (11). Множество Л определим как множество тех чисел X из отрезка [0, 1], для которых краевая задача (10я), (11) имеет решение и(х, t) из требуемого класса. Это множество не пусто, поскольку число 0 принадлежит ему — это следует из известных результатов о разрешимости первой краевой задачи для параболических уравнений в пространстве ^221(2) I Ь¥ (0, Т; Ж2(О)) [14] и из условия взаимной

однозначности оператора В. Анализируя далее равенства, аналогичные равенствам (12)-(14), но для оператора Ьв х, нетрудно установить, что для решений краевой задачи (10А), (11) при выполнении условий (4)-(8) имеет место априорная оценка

1|и|1 ^22Д(2 ) п Ь¥ (0, Т;Ж21(П))+ 1М1 №2Л(д ) П Ь¥ (0, Т;Ж21(П)) £ К [||^Ч Ь2®)+||и 0^ Ж2(О)] (21)

с постоянной К0, зависящей лишь от коэффициентов оператора Ь, области О и чисел а1, а2 и Т. С помощью оценки (21), вновь условий (4)-(8), а также условия (9') нетрудно показать, что множество Л будет открытым и замкнутым — делается это так же, как доказывается аналогичный факт в теореме 1. Непустота, открытость и замкнутость множества Л дают разрешимость задачи (101), (11) в требуемом классе. Переходя же далее к уравнению (20), мы получим разрешимость краевой задачи (1)-(3) в требуемом классе.

Единственность решений очевидна.

Рассмотрим краевую задачу с интегральным условием (*). Пусть функция К(х,у,() принадлежит классу С2’21(2 х Q х [0, Т]). Тогда оператор А:

Аи = А(х, tu) = | К(х, у, 0и(у, ^у

О

определен при х е О; очевидно, что вследствие указанной гладкости функции К(х,у, ^ для этого оператора будут выполняться условия (7) и (8). Далее, взаимная однозначность оператора В гарантируется однозначной разрешимостью в пространстве Ь2^) интегрального оператора и - Аи = 0; последнее имеет место, например, при выполнении условия

| | К 2(х, у, ^ёуёх < 1.

тах

[0,Т ]

О О

Пусть ф(х, t) есть функция из класса С1^). Имеют место равенства

А(х, t, щ) = | ф(у, t)К(х, у, t)уУ1 (у, t)<* = -| (ч(у, t)К(х, у, 0)^ у(у, t)4у -

ОО

- | Ч( у, 0 К (х, у, t М у, Г)пуЖу ,

Г

А(х, t, ) = | Ч(y, t)К(х, y, t)уу1у,(y, ^у = -| (Ч(y, )К(х, y, t))у, уу,(y, )ёу -

ОО

- I Ч(у, t)К(х, у, t)Уу. (у, tПуЖу.

Г

Если теперь для функций /(х, t) и и0(х) выполняются условия теоремы 1, то имеют место равномерные в пространстве Ж2, ^) оценки соответствующих семейств первых производных. Из этих оценок следует возможность выбора слабо сходящихся последовательностей и далее -возможность использования условия (9) при осуществлении предельного перехода в предпоследнем и последнем слагаемых функции Ф (как при доказательстве замкнутости множества Л , так и при доказательстве возможности предельного перехода по параметру е ).При выполнении же дополнительного условия

К(х, у, о|уег = 0 (22)

в представлении функции А(х, t, Ч^хх ) мы можем еще раз проинтегрировать по частям (при

выполнении условия ч е С2^)) и теперь осуществить всю процедуру выбора слабо сходящихся подпоследовательностей и предельного перехода с помощью условия (9') при наличии априорной оценки в пространстве ^2^) лишь для семейства решений. Требуемая же оценка имеет место при выполнении для функций /(х, t) и и0 (х) условий теоремы 2.

Проведенные рассуждения показывают, что для краевой задачи (1)-(3) с интегральным условием (*) в общем случае применима теорема 1, требующая дополнительных условий для функций f (х, t) и u0 (х); при выполнении же условия (22) применима теорема 2 и от функций f (х, t) и u0 (х) при этом требуется выполнение естественных для первой краевой задачи для параболических уравнений условий.

Нетрудно провести аналогичный анализ и установить разрешимость краевой задачи (1)-(3) со следующими операторами Л :

t

Au = II K(х, y, t, t)u(y, t)dtdy,

Q 0

t

Au = | K1(х, y, t)u(y, t)dy + || K2(х, y, t, t)u(y, r)drdy .

Q Q 0

Нетрудно привести и другие примеры.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Carlson D.E. Linear Thermoelas Ticity // Encyclopedia of Physics. Berlin, Springer, 1972.

2. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math. 1963, V. 21,

P. 155-160.

3. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводимости с неклассическими граничными условиями // Журнал вычисл. матем. и мат. физики. 1964. Т. 4. № 6. С. 1006 - 1024.

4. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводимости с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С 294 - 304.

5. Cannon J.R., Van der Hoek J. The classical solution of the one-dimensional two-phase Stefan problem with energy specification // Ann. Math. Pura ed Appl. 1982. V. 130. P. 385 - 398.

6. Cannon J.R., Van der Hoek J. The one - phase Stefan problem subject to the spesification of energy // J. Math. Anal.

and Appl. 1982. V. 86. N 1.P. 281 - 291.

7. Муравей Л.А., Филиновский А.В. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения // Мат. заметки. 1993. Т. 54. № 4. С. 98 - 116.

8. Bouziani A., Benouor N.-E. Problem mixte avec conditions integrals pour une classe d'equations paraboliques // C. R. Acad. Sci. Paris. 1995. V. 321. Ser. I. P. 1177 - 1182.

9. Иванчов Н.И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральными условиями // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 4. С. 547 - 564.

10. Fridman A. Monotonic decay of solutions of parabolic equations with nonlocal boundary conditions // Quat. of Appl. Math. 1986. V. XLIV. N 3. P. 401 - 407.

11. Якубов С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1995.

12. Kozhanov A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems // Utrecht: VSP, 1999.

13. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

14. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, код проекта 03-01-00819.

Поступила 17.06.2004 г.