О разложении внутренней функции в областях класса (T) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Исключив тривиальные случаи X = 1, X = 0 , получим

(а(т )-в(т ))(а(п )-в(п ))= 0, (т, п ) = 1. (*)

Пусть а ^ в. Это значит, что 3! - простое, такое что а (/-) в(!к ) к > 1

Положив в (*) т = !к, получим

а(п )=в(п ) Уп, (п,! )= 1.

Иначе говоря, Уп, не делящееся на !, а(п )=Р(п )

Достаточные условия.

Пусть а(п )=в(п) Уп, (п,! ) = 1 и а(!к )фв(!к ).

Строение функции ф.

ф(п) = Ха (п)+ (1 - Х)в (п ) = а (п ). ф(!' )= Ха (Г )+ (1 - Х)в(!').

Теорема. || Функция ф мутипликативна.

Доказательство. (1) (т,п) = 1; (п,!) = 1; (т,!) = 1 ^ ф(тп) = а(тп) = а(т)а(п)= ф(т)ф(п).

(2) (п,! ) = 1

п!‘ ) = Ха( п!‘ ) + (1 _^)Р( п!‘ ) = Ха( п )а^!‘) + (! _^)Р( п )Р(! ) =

= а (п )^Ха (!) + (1 ~ ^)Р(!))= ф( п )ф(!г) • ^

Теорема. Для того, чтобы линейная комбинация двух мультипликативных функций была мультипликативна, необходимо и достаточно, чтобы эти функции были не тождественны ровно на одной серии, соответствующей некоторому простому !:

!,!2,!3,..., !к,... ▲

Замечание. Для нетождественности функций а и в на серии, порожденной простым ! , необходимо и достаточно, чтобы существовал хотя бы один показатель к такой, что

а(!к )фв(!к ).

УДК 517.55

о РАЗЛОЖЕНИИ ВНУТРЕННЕЙ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ КЛАССА (Т)

С. И. ФЕДИН

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа

В работе доказано существование аналога однопеременной теории о разложении каждой внутренней функции в произведение Бляшке и сингулярной функции в областях класса (Т ) пространства С2.

Существование непостоянных внутренних функций в шаре Вп при п > 1 было доказано в 1981 году А. Б. Александровым [2]. В настоящей статье для внутренней функции специального вида получен аналог однопеременной теории о разложении каждой внутренней функции в произведение Бляшке и сингулярной функции в выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области с центром в начале координат пространства С2 двух комплексных переменных ^, 22 ), граница которой дважды непрерывно дифференцируема (в области класса (Т)) [4].

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки » № 8 (12) 2008 г.

Для любой области D класса (T ) существует параметризация

21 = Г1 (т)Ре'9, 22 = г2 (т)Ре'(е -), где г (т), Гг (х) - функции А. А. Темлякова, р е [0,1[ ее[0,2п] (е[0,2п] те [0,1]

определение. Голоморфную в области О е (Т) и ограниченную в О функцию g (¿1, ¿2 ) назовем внутрен-

ней в О, если ее радиальные предельные значения удовлетворяют условию

всюду на границе области О.

теорема 1. Пусть в области О класса (Т) заданы семейства аналитических поверхностей {Пк }

Пк = {(^¿2): фк (2ъ22) = 0фк (0,0)=1фк (zl,¿2)е Н(О)^с(Б) > к = 1,2,..., не имеющих точек сгущения внутри О и {Пк }

Пк ¿2 ): Фк (2Ъ ¿2 )= 0, Фк (0,0)= 0, Фк (z1, ¿2 )е Н (О )П С (О ) > к = 1,2,...,т , причем голоморфные функции (интегралы типа Шварца-Темлякова II рода) [3].

= 1 почти

2п 1 2п

S (In IФ* ( Z1, Z2 )|) = J dt J d x{ 4n 0 0 0

1 2n 1 2я

S (Ч Ф* (Z1, Z2 )|) = —2 i dti dxi

0 0 0

( Л

к e'Q~ u у

( Л

v e'&~ u /

-1

-1

ln

ln

Ф* (r1 CO e'Q, r2 CO ^ *)) d 0 6 H (D )n С (D ), Ф* (r1 CO e'Q, r2 (T) e'<'e~t*) d06 H (D)n C (D),

T 1 -T it

ГДе u =—— Z1 +--Z Z2e . r1 (T) r2 (T)

Кроме того, определяющие функции всех поверхностей удовлетворяют условиям:

ln |ф* (Z1, Z2 )| dtJ dx J1 _4p + 4p cos (9 ф)р ln ф* iГ1 (x) ^, r (t) e(9_t)) d0 = ф* (Z1, Z2 ), (1)

oo о ll + p2 - 2p cos (9-ф)|

lnIV* (Z1, Z2)| f dt j dr /”1 _4p + 4p cos (e ф)р in w* /r1 (x) e‘0, r, (t)e{Q~*t) d0 = T* (Z1, Z2 ) peip = и

ooo ll + p2 - 2p cos (0-ф)|

и почти всюду на границе области D

Ф* (r1 СО e'Q, Г2 (Х) ^t) = ln Ф* (r1 (Х) e'Q, r2 (Х) ^t ) >

^* (Г1 (х) e'Q, Г2 (х) ^)) =ln W* (r1 (^) e'Q, r (х) ^t)

причем для функций {p* (Z1, z2 ) выполнено условие

(2)

да 2п 1 2п ч

Z i dti dTi ln+ Ф* (r1 (x) e’Q > r2 (X) ei(9_t))

*=1 o o o

d 0 < да.

(3)

Тогда произведение

ПФ* (Z1> Z2 ) eXP [~S (ln |ф* ( z1> Z2 )|)]ПФ* (Z1> Z2 ) eXP [~S (ln |Ф* ( z1> Z2 )|)] = B (Zb Z2 ) (4)

*=1

*=1

является внутренней функцией в D .

2

2

2

2

Доказательство. Условие (3) есть достаточное для голоморфности произведения (4) в области Б. Из (1) и (2) следует, что радиальные предельные значения ограниченной функции В (21, ) в Б удовлетворяют условию

= 1 почти всюду на границе области Б.

Пусть Б - круговая сильно звездная область с центром в точке (0.0) Сп (п > 1) Яе Ас (Б )

класс функций, являющихся действительными частями голоморфных в Б и непрерывных в Б функций. Если на

дБ задана мера ц, то [Яе Ас (Б)] - множество таких ф е С (дБ), что | /ф= 0 для всех / е Яе Ас (Б).

дБ

теорема 2 [6]. Если g(21,..., 2п) - внутренняя функция в Б, не обращающаяся в нуль в области Б, и g(0,...,0)> 0, то существуют замкнутое множество М с дБ и неотрицательная на подмножествах М мера ц такие, что для г е Б

g - 2п )= ехР

I б (С 2

М

(5)

где б (С, г) - ядро Шварца [1,115] для области Б, V - неотрицательная мера, для которой | = 0 при всех

ф е [Яе Ас (Б)^. М

Пусть g (21,22 ) - внутренняя функция, нули которой удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда по ее нулям

строим внутреннюю функцию В (21,22 ). Функция gl (21,22 )= g( ^ 2) будет внутренней в Б, не обращающей-

В (2Ъ 22 )

ся в нуль. Умножая g(21,22) на постоянную, равную по модулю единице, можем добиться того, что gl (0,0)> 0, то есть gl (21,22) удовлетворяет условие теоремы 2 и, следовательно, представима формулой (5).

Таким образом, каждая внутренняя функция, нули которой удовлетворяют условиям теоремы 1, представима с точностью до постоянной, равной по модулю единице, в виде произведения двух внутренних функций более специального вида. Первая из них - аналог произведения Бляшке - учитывает нули данной внутренней функции. Второй множитель определяется неотрицательной на подмножествах замкнутого множества М с дБ мерой ц,

для которой при всех ф е [Яе Ас (Б )]"*" | /с!ц = 0.

М

Проблема, аналогичная задаче одной комплексной переменной о представлении функции ] класса И* в виде / = В • 5 • Г, где В - произведение Бляшке, 5 - сингулярная функция, Г - внешняя функция для функции класса а*, нули которых удовлетворяют условиям теоремы 1, решается с учетом условий, рассмотренных в [5].

список литературы

1. Айзенберг Л. А., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979, 368 с.

2. Александров А. Б. Существование внутренних функций в шаре // Матем. сб. 1982. Т. 118. № 2. С. 147-163.

3. Баврин И. И. Интегральные представления голоморфных функций многих комплексных переменных // ДАН СССР. 1966. Т. 169. № 3. С. 495-498.

4. Темляков А. А. Интегральное представление функций двух комплексных переменных // Изв. АН СССР. Серия матем. 1957. Т. 21. С. 79-82.

5. Федин С. И. О некоторых свойствах функций класса Невалинны в С2 // 1нтегральш перетворення та !х застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. Ктв: 1н-т матем. АН Украши. 1997. Вип. 16. С. 263-273.

6. Федин С. И. О внутренних функциях // Диференщальт рiвняния та !х застосування. Мiждународна конференщя. Тези доповщей. Чертвцк Рута, 2006. С. 172.