CC BY
46
М.В. Першина, МЛ. Чичева
О РАЗЛИЧНЫХ СХЕМАХ ДЕКОМПОЗИЦИИ ДВУМЕРНОГО ДПФ С ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ ДАННЫХ В АЛГЕБРЕ КВАТЕРНИОНОВ
ВВЕДЕНИЕ
В теории быстрых спектральных преобразований хорошо известны способы использования вещественности входного сигнала: совмещение и уменьшение размера фундаментальной области (1,2]. Такие возможности обеспечиваются избыточностью комплексных базисных функций по отношению к вещественному входному сигналу, а точнее, наличием в поле комплексных чисел С нетривиального автоморфизма
(комплексного сопряжения).
В двумерном случае использование таких приемов осложняется тем, что поле С
имеет слишком мало автоморфизмов, необходимых для разделения частичных спектров (1] или уменьшения длины преобразования [2]. Поэтому возникает необходимость использования других алгебраических структур, обладающих большим числом автоморфизмов над К, реализация которых не требует выполнения нетривиальных
операций умножения.
В данной работе рассматриваются быстрые алгоритмы двумерного ДПФ вещественной последовательности с представлением данных в алгебре кватернионов. Разработаны алгоритмы, учитывающие вещественность входного сигнала двумя указанными способами: совмещением и уменьшением размера фундаментальной области. Приведены различные схемы декомпозиции преобразования, получены оценки мультипликативной сложности.
Под телом Н гамильтоновых кватернионов [3] понимается четырехмерная ассоциативная алгебра над К:
Н = { я = а + Ы + с] + ёк; а, Ь, с, 6 е К } с определяющими соотношениями для умножений базисных элементов {1, ], к }:
1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ КВАТЕРНИОНОВ
(1)
Поле комплексных чисел С канонически вкладывается в Н:
а + Ы ->а + Ы + 0^ + 0-к,
Кроме того, справедливо соотношение
я = а + Ы + С) + ак = (а + Ы) + (с +
(3)
Операция сложения кватернионов осуществляется покомпонентно, а умножения - с учетом правил (1) и с приведением подобных членов. Далее, отображения
ГЧр, Б^я^Г'ф, в^я^к^к,
являются автоморфизмами Н над К, причем
ео (я) = а + Ы + с] + с1к, а+ Ы-ся-ёк, е.(я) = а-Ы + с)-с1к, Ек(я) = а-Ы-с] + <1к.
(4)
(5)
Система уравнений (5), рассматриваемая относительно а, Ь, с, <1, разрешима при любых значениях левых частей и требует для решения не более четырех вещественных умножений:
4а = б0(я) + Б1(я) + е^я) + ек(я)> 4Ы = ео(я) + е1(я)-е)(я)-ек(я), 4д = ео(я)-Е.(я) + е.(я)-Ек(я), 4ак = Ео(я)-е1(я)-б](я) + ек(я).
(6)
Считая умножения на степени двойки более элементарной операцией по сравнению с вещественным умножением |2,4), мы не будем учитывать их при анализе вычислительной сложности рассматриваемых алгоритмов.
Определим число вещественных умножений, необходимых для перемножения двух кватернионов. Умножение комплексных чисел может быть реализовано по схеме "три умножения, три сложения" [4], тогда, в соответствии с представлением (3), умножение двух кватернионов общего вида может быть реализовано с помощью девяти вещественных умножений. Пусть далее 8 = а + р1 - ¡-кватернион; 1 = у + 5] - .¡-кватернион. Тогда для
вычисления произведений бя и я! необходимо по шесть вещественных умножений, а для одновременного вычисления произведения - девять вещественных умножений:
8я = ((а - р ) Ь + а(а - Ь)) + ((а - р) Ь + р(а + Ь)) + +{(а-р)а + а(с-а)^ + ((а-р)а + а(с + с1))к;
(7)
8Я1 = ([(а-р)(Ь-с1) + а(а-Ь-с + с1)]5 + [(а-р)Ь + а(а-Ь)](у-8)) + +[[(а-р)(Ь-с1) + р(а+Ь-с-<!)]8 + [(а-р)Ь + р(а + Ь)](7-б))1 + +([(а-р)(Ь-а) + о(а-Ь-с + а)]8 + [(а-р)а + а(с-<|)](у-5))] + +[[(а-р)(Ь-с1) + р(а + Ь-с-<1)]5 + [(а-р)а + р(с + (1)](у-5))к.
(8)
При этом считаем, что произведения и суммы констант а, р, у, 5 выполнены заранее.
2. АЛГОРИТМ ДВУМЕРНОГО ДПФ С СОВМЕЩЕНИЕМ
Пусть х(п1,п2) вещественная N-периодическая по каждому аргументу функция; N - четное. Ее спектр Фурье:
«(»,.«,)- 2 1>(пгП2К'Ш,'П1т! = (9)
1^-0 п2-0 а.Ь-0
где
8аь(т1' т2) = £ х(2п1+а, 2п2+ь)(а>2)т1П,+т2\ (10)
Используя для представления входных данных функцию я(п1,п2) со значениями в теле кватернионов Н:
= х(2пг, 2п2) + х(2п1, 2п2+ ф + х(2п1+ 1,2п2)з + х(2п,+ 1, 2п2+ 1)к, (11)
вычисление спектра исходной последовательности можно свести к вычислению спектра новой последовательности иной внутренней структуры, но меньшего объема, что и делает алгоритм более быстрым.
"Кватернионный спектр" (^(я^, Я12) такой последовательности определяется
равенством [5]:
Выделить "частичные спектры" в^л^, ш2) из массива кватернионов, являющегося
результатом ДПФ в алгебре кватернионов, можно решением следующей системы
уравнений вида (6):
4S(ю(ml'm2) = ^(ml'm2)+si(Q(ml'm2))+^(Q(-ml>-m2))+ek(^(-mг-m2))•
. 4*01 (т1'т2) = Р(т1,1П2) + Е1(д(т1,ш2))-8.(о(-т15 - т1))-ек(д(-т1, - т,)),
4ЮП (т^т,) = д(т1}т2) - .^(т^т,))-е.^-п^, - т2)) + «^(-т,, - т,)).
Для решения данной системы требуется не более 4 вещественных умножений на степени двойки.
Комплексные значения отсчетов спектра двумерного ДПФ в области находятся непосредственным применением формулы (9), для чего
требуется -1) умножений на степени базисной функции со.
N-1 N-1 1^-0 п2-0
Вычисление спектра для остальных значений пар (ш,, ш2) производится без дополнительных умножений и может быть представлено в матричной форме следующим образом:
Х(т1' "ч)
Х(т1+%т2) Х(т1,т2+^)
х(т1+%т2+%)_
1111 1-1 1-1 1 1-1-1 1.1 -1 -1 1.
8оо(т1' тг) шт>8ш(трт2)
сога^01(т1, ш2)
"'^„к.т,)]
(13)
Таким образом, мультипликативная сложность рассматриваемого алгоритма определяется, в основном, мультипликативной сложностью вычисления кватернионного аналога спектра двумерного ДПФ. Рекуррентное соотношение для оценки мультипликативной сложности алгоритма имеет при этом вид:
>2
(14)
где М* - оценка мультипликативной сложности вычисления кватернионного аналога спектра.
При использовании построчно-столбцового алгоритма в качестве способа декомпозиции двумерного ДПФ и кватернионного аналога алгоритма Кули-Тыоки с прореживанием по времени для вычисления одномерного ДПФ, а также с учетом того, что для умножения кватерниона общего вида на комплексное число требуется 6 вещественных умножений, получаем следующее значение этой оценки:
.[ N N^1 ЗК
~2~ * ~2~
(1оЙ2 N - 1
Откуда
М(МхЮ =
ЗТ*'
(15)
(16)
3. АЛГОРИТМЫ ДВУМЕРНОГО ДПФ С УМЕНЬШЕНИЕМ РАЗМЕРА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
Пусть х(п ,п2] - входной вещественный массив размера Их>1, где N = 2"; его спектр Фурье
х(шрш2)=Х £х(прп2)<оп'т'+п>т>;
л, =0 п2«=0
0< т],ш2 <N-1, со = ехр{2%). Следуя [5], определим кватернионный спектр соотношением:
(17)
N-1 N-1
х(трт2)=Х £<0Г'П|х(п1'п2)й)!Г2П2>
п.-О п,=0
где ©1 =ехр{27^}, <о2=ехр|2%}, О 5 т1,т2 £ N - 1.
Поскольку кватернион я = а + Ы + ^ + (1к определяется набором четырех вещественных чисел (а, Ь, с, ё), то комплексный спектр (17) может быть получен из
кватернионного спектра (18) следующим образом:
х(ш1,т2) = х(т1,ш2)ы, (19)
где Х(ш1,т2) = (х0(т1,т2),х1(т1,т2),х2(т1,т2),х3(ш1,т2))
компоненты
кватернионного спектра,
Ь =
' 1 О4
О 1
О 1
-1 о;
, 1.(1 1).
Таким образом, мультипликативная сложность вычисления х|ш15ш2) совпадает со
сложностью вычисления кватернионного спектра, т.к. умножения на матрицы Ь, I не требуют выполнения нетривиальных операций вещественного умножения.
Рассмотрим далее 3 способа декомпозиции кватернионного ДПФ, являющиеся аналогами различных схем двумерного комплексного БПФ, и приведем оценки мультипликативной сложности.
3.1. Алгоритм двумерного ДПФ с декомпозицией по основанию 2
Представим (18) в виде четырех сумм, разделяя входную последовательность по четным и нечетным значениям каждого индекса п1,п2:
N-1
хК,т2)= 1П,Х(П1'П2К2П2 =
п,,п2-0
2 _
а,Ь«0 п(1п2-0 1
= 2>Г'ХаЬ К^К"'»
а,Ь=0
(20)
где
х.ь(п1'п2) = х(2п1+а' 2п2+Ь)'
у2-1 т п
хаь(т1'т2)= £ (<РЛ1*Лл1-лг)(<)ЯгЯ*>
п,.«»а-0
Вычисление спектра для остальных значений пар (т,,ш2) производится без дополнительных умножений и может быть записано в матричной форме:
Х(т1,т2) Х(т1+%т2) х(т1,т2+%)
Кроме того покажем, что умножения на фазовые множители достаточно выполнять только для фундаментальной области
остальные значения определяются с использованием автоморфизмов поля кватернионов (5) без дополнительных умножений. Действительно, пусть вычислены значения
йГ'Хаь(т.'т2Кт2 Для(трт2)еП0, и и,=
тогда
-Г,Х»ь(т,,и2)со^ =Е1(шрХ,ь(т,,тг)иГ!)(-')Ь. «2)
Учитывая количество вещественных умножений для перемножения кватернионов (7), (8), получим рекуррентное соотношение для определения оценки мультиплика-тивной сложности изложенного алгоритма с разбиением по основанию 2:
м(1ч х м) = 4м(у 4)+6¥2 + 9¥' (23)
Отсюда, как обычно [4), следует
М(К х 14) = у^2 1оёз N + о(№). (24)
Переход от х[ш1,т2) к х(т ,т2) осуществляется без умножений (19), значит оценка (24) с константой 21/16 справедлива и для вычисления комплексного спектра х(ш1,ш2).
1 1
1 -1 1
1 -1
1 1
1 -1
1 -1 -1
1 1
Х00(ш1,т2)
а>Г'Хю(т1'т2)
Х01(т1,т2)ш т|У I \ 1
'Х1|1т1»т2К
(21)
3.2. Алгоритм двумерного ДПФ с декомпозицией по основанию 4
Разобьем теперь входную последовательность на 16 подпоследовательностей и запишем (2) в виде:
з
Х(т,.т2)= ЕОХ^Ц.т^™', (25)
а.Ь-0
хаь1п1'п2) = х(4п, + а'4п:+ь),
ХаЬ(т1>т2)= 2Мт|П1Хаь(П1'П2)(т2)т2П2'
п,,п -О
При этом значения спектра для остальных значений аргументов вычисляются без дополнительных умножений, а именно:
х(т1+г-^,1п2+р^}= 2»аГй>Г,Хаь(т1>т2)СЙГ^ЬР» г,р = 0,1,2,3. (26)
а,Ь=0
Умножения на степени базовых элементов 1 и } тривиальны, они сводятся к перестановкам элементов кода и/или смене знака компонент.
Кроме того, умножения на фазовые множители ш*™1, ы™2 достаточно
производить только в фундаментальной области
Остальные значения находятся без дополнительных умножений с использованием автоморфизмов (6). Пусть в области {1 найдены значения
^Г^аьК'^К"12' И ^1 = 1%-т1' »2 = У4-т2>
тогда:
= ¡■Е.(шрХаЬ(трт2)шГг).
»Г'Х.ьК.ц^ ^.(оГ'Х^т^ш^^, (27)
Такой алгоритм приводит к следующему рекуррентному соотношению для оценки мультипликативной сложности:
— X —1+6-6 + 9-9 , (28)
4 4/ 64 64
откуда следует
М(Ы ж КГ) = ^ 1об2 N + 0(И2). (29)
3.3. Алгоритм с расщеплением основания
Рассмотрим еще одну схему декомпозиции кватернионного спектра (18), в которой ДПФ объема N х N сводится к ДПФ % х % элементов входной последовательности с
четными индексами и двенадцати ДПФ объемом % х % с элементами, имеющими хотя бы один нечетный индекс. Пусть
А = {(0,1),(0,3),(1,0),(1,1),(и),(и),(2,1),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(33)},
