Алгоритм многомерного гиперкомплексного ДПФ, реализуемый в кодах Гамильтона-Эйзенштейна Текст научной статьи по специальности «Математика»

АЛГОРИТМ МНОГОМЕРНОГО ГИПЕРКОМПЛЕКСНОГО ДПФ, РЕАЛИЗУЕМЫЙ В КОДАХ ГАМИЛЬТОНА-ЭЙЗЕНШТЕЙНА

Алиев М. В. 1, Чичева М. А. 2, Алиева М. Ф. 1

1 Адыгейский государственный университет

2 Институт систем обработки изображений РАН

Аннотация

В работе синтезируется «совмещенный» алгоритм многомерного гиперкомплексного дискретного преобразования Фурье вещественного сигнала по основанию три с представлением данных в обобщенных кодах Гамильтона-Эйзенштейна. Получена сложность арифметических операций в коммутативно-ассоциативной гиперкомплексной алгебре и ее представлении в обобщенных кодах. Приводятся оценки вычислительной сложности синтезируемо-

го алгоритма.

Введение

В работе синтезируется «совмещенный» алгоритм многомерного гиперкомплексного дискретного преобразования Фурье (ГДПФ) вещественного сигнала:

N-1

р 0і )= І / (V Ж (і V), (1)

=0

где і=((,..., ), Щ,---, тё =0,1,..., N-1,

I={1,...,ё}, Ж(ц,V)=П®ГП , юг =е ^, а

ІЄІ

=...=є^ =-1, є1;...,- образующие элементы

некоторой 2ё -мерной коммутативно-ассоциативной гиперкомплексной алгебры (КГА).

Как показано в ряде работ [3, 4] для синтеза быстрых алгоритмов ДПФ длины N=3р, реЫ предпочтительней использовать представление комплексных чисел и кватернионов в так называемых циклотомических кодах (у- кодах). В настоящей

работе производится обобщение данного представления на случай многомерной КГА.

1. Коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные алгебры

Коммутативно-ассоциативной алгеброй Вё, согласно [1], будем называть 2ё -мерную алгебру над К с базисом:

л=|п є“І, а =од|, (2)

где є0 =1, єі =Єі - образующие элементы со следующим правилом умножения:

єієі =єієі, є2 =Рі , i, ієІ. (3)

Алгебра Вё представима в виде прямой суммы

2ё-1 комплексных алгебр [1].

Введем следующие обозначения

. . 2пєі/

У і єС (єі), у і =е /з , І'єІ, (4)

а гиперкомплексные числа уі есть соответствующие образы в Вё элементов, сопряженных в С (єі) элементам уі.

Определение 1. Упорядоченный набор вещественных чисел (п0, • • •, П, • • •, П2^ _1) таких, что:

Н=Еп П у)+1, (5)

геТ 1=1

где Т = {о,...,2й _1} , г=11 ,.лй , г={0,1} назовем обобщенным у_ кодом элемента Н и будем обозначать (к}.

Множество

т=|г =11У)+1, г=4.7,1) ={0,1}, (6)

назовем базисом представления алгебры , а полученную алгебру обозначим Бл . Данное представление элементов алгебры Бй однозначно и произвольный элемент )еБй примет вид:

=1^Гг .

геТ

Пусть у(),1)=П(_1)^(1,1), где функция Нг -

ге1

умножение г-го разряда двоичного представления ), 1. Тогда множество из 2а отображений ст):

° 1: Бй ^, (7)

таких, что ст 1 (х)=ХС^С1,г) , где ХеБ^ , СеК,

геТ

)еТ, является множеством автоморфизмов алгебры Ба.

Заметим, что ст) (Гг )=Гг®), где ® - поразрядное сложение по основанию 2, так как

Ст) (УгН+М 1,1 ) = Уг, -еI, 1еТ . Тогда автоморфизмы (7) алгебры Б^ над К приводят к следующему преобразованию кодов

Ь (8))=!^® 1 Г® 1 , (8)

геТ

причем переход от гиперкомплексного элемента к его автоморфному образу реализуется в кодах три-

виально, путем перестановки, и не требует дополнительных вещественных умножений.

В работе [1] показано, что для любого 1>1 существует только две различных коммутативноассоциативных алгебры: алгебра Б+, в которой Рг =1 для каждого /е/ и алгебра Б_ , в которой существует /е/ такое, что Рг =_1.

Будем считать, что при оценке вычислительной сложности рассматриваемых алгоритмов один из сомножителей предполагается постоянным, поэтому все арифметические операции над его компонентами могут быть реализованы заранее. Умножения на степени числа 2 являются более простыми операциями, чем сложения и умножения и не учитываются при анализе вычислительной сложности алгоритмов ДПФ [2, 4].

Теорема 1. Умножение двух произвольных элементов в алгебре Б_ можно реализовать за 3-21_ вещественных умножений и (41_1)-2ё_1 вещественных сложений.

Доказательство. Пусть 8=Х^Е , Н=1пЕ ,

1еТ 1еТ

8,НеБё и п\\_1, _1, ^ _\ ^_'еБё_1 тогда данные

элементы можно представить в следующем виде:

Ь=п0-1 +п0-1Е,

~ 'С 0-1 , £ 0-1 77

Я Чо +§1 Е ■.

где, согласно [1], Е =1. Тогда

(5+)(л+)+(л-)(5-У

(5+)(л+)-(л-)(5-)

(9)

где =^ё_' +^11_1, П =п0_1 ±П1а_1. Следовательно,

требуется выполнить два умножения элементов КГА размерности 21_ и четыре сложения элементов КГ А размерности 21 _. Применяя те же самые рассуждения к Бё_1 и далее, получаем алгоритм вычисления, на последнем шаге которого производится умножение элементов алгебры С (комплексных чисел). На к -ом шаге имеем 2к узлов, то есть 2к арифметических операций в алгебрах Бё_к . Для

каждого шага значения (0_к +П\ _) и (0_к _П\ к)

могут быть рассчитаны заранее. Тогда количество вещественных умножений можно сократить, используя на последнем шаге заранее вычисленное произведение соответствующих констант. Следовательно, мультипликативная сложность вычисления произведения двух произвольных элементов алгебры Б_ составляет 3-214 вещественных умножений.

Аналогичными рассуждениями получаем, что аддитивная сложность умножения двух элементов алгебры Б_ составляет (41_1)-2ё_2 вещественных сложений.

„,± „о-1 , о-1 П =П0 ±П1 •

ТеоРема 2. Пусть (8)=(о,•••, ^_),

(к)=(п0,---,П2\_1), тогда умножения (Иё) можно

ЗС%

вещественных умножений и 3 (31 _ 21) вещественных сложений.

Доказательство. Заметим, что в обобщенных кодах также имеет место соотношение:

(я)=аУ/ +РУг, Н=аУг +Ьу- , (10)

где (а),(р),(а),(Ь)еБ\_!. Тогда умножение (кя) можно реализовать за 3 умножения и за 3 сложения обобщенных кодов размерности 214. Получаем алгоритм вычисления умножения в обобщенных кодах, аналогичный синтезированному в теореме 1. Суммируя сложность на каждом шаге, получаем, что умножение двух произвольных элементов алгебры Бё реализуется посредством 31 веществен-

\ ( \ ных умножений и I 3г2ё_г =3( _21 I веществен-

г=1

ных сложений, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Пусть яеБк , НеБё, где к<1 . Тогда умножение элементов (я) и {к} реализуется

Зк 1—к ^

2 вещественных умножений и вещественных сложений.

3.20-к .(3к -2к )

2. Алгоритм многомерного ГДПФ вещественного сигнала по основанию три

Пусть /(V)еК - преобразуемый многомерный (Ы1) - массив, N=3Г . Его гиперкомплексный

спектр определяется соотношением (1). Константы Ж (ц, V), юг считаются заданными обобщенными

кодами Гамильтона-Эйзенштейна.

Спектр (1) можно представить в форме:

^ (Ц)= I (Ц)ж (ц, Р) ,

где

N3-1

І?Р (і)= І / (3V+р)Ж (ц^+Р).

«!,..., «2 =0

Значения і^р (і) достаточно полностью вычислять для векторов цєД , где Д - фундаментальная область:

Д={ц:°<ml,...,то<N3-і| .

Значения Рр (ц+а) для векторов ц+а , лежащих

в областях, полученных из области Д аддитивными сдвигами на векторы

а=1 а, —, •, аё — I, а, = 0,1, 2 ,

^ 1 3 3 / г

отличаются от соответствующих Рр (Ц) лишь множителями У], •, У\ , У!,..., У\ , и не требуют для вычисления дополнительных вещественных операций. При вычислении Г (Ц) достаточно ограничиться значениями цеД0 сД :

Д0 =jц:0<m1,...,т<-2 (3+1).

Значения спектра в остальных точках области А вычисляются с использованием тождеств:

стр ((ц )юа^шьи)пуГг+1=

/е/

=Г (ц)(-а+ц) (N3-а+ц)

Умножения на и выполнение отображе-

/е/

ний стр не требуют нетривиальных вещественных умножений.

Учитывая сложность арифметических операций в обобщенных у-кодах, получаем:

М\ (Ы1 )=^3_1N1 N+О (Ы1), (11)

А\ (ы1 )=4__3 N11оя3 N+О (Ы1), (12)

в! (ы1 )= 4 3 ~10 N11оя3 N + О(ы1 ), (13)

где М1 (ы1 ), А31 (ы1 ), в1 (ы1 ) соответственно

мультипликативная, аддитивная и общая сложность алгоритма.

Заключение

Предлагаемое представление КГ А позволяет синтезировать алгоритмы ГДПФ по основанию три произвольной размерности входного сигнала. При этом с ростом размерности сложность алгоритма возрастает достаточно медленно.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке Министерства образования РФ, Администрации Самарской области и Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF Project SA-014-02) в рамках российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE); а также при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ), проекты №№ 03-01-00736, 05-01-96501.

Литература

1. Алиев М.В. Быстрые алгоритмы d-мерного ДПФ вещественного сигнала в коммутативно-ассоциативных алгебрах 2d размерности над полем действительных чисел // Компьютерная оптика, 2002. № 24. C. 130-136

2. Алиев М.В., Чичева М.А. Алгоритмы двумерного ДПФ с представлением данных в алгебре гиперком-плексных чисел // Алгебра и линейная оптимизация: Труды международного семинара, посвященного 90-летию со дня рождения С.Н. Черникова. Екатеринбург: УрО РАН, 2002. C. 18-26

3. Фурман Я.А., Кревецкий А.В., Передреев .К. Введение в контурный анализ; приложения к обработке изображений и сигналов // Под ред. Фурмана Я. А. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 592с.

4. Geometric Computing with Clifford Algebra // Sommer G.

(Ed.). Berlin: Springer-Verlag, Springer Series in

Information Sciences, 2001.

5. Labunets E.V., Labunets V.G., Egiazarian K., Astola J. Hypercomplex moments application in invariant image recognition // Int. Conf. On Image Processing 98, 1998. P. 256-261.