CC BY
0
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ.
2024. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1
Научная статья УДК 517.983.24
doi: 10.18522/1026-2237-2024-1-38-42
О РАСШИРЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ ГИЛЬБЕРТА
Алексей Николаевич Хопёрский1, Рустам Викторович Конеев2^, Алексей Михайлович Надолинский3
1,2, зРостовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону, Россия
1hoperskyvm_1 @rgups. ru
2koneev@gmail.comB
3amnrnd@mail.ru
Аннотация. Представлена конструкция расширенного пространства Гильберта в виде прямой суммы пространств векторов конечной и бесконечной нормы как основного пространства в математическом формализме квантовой механики многоэлектронного атома. На примере построения аналитической структуры амплитуды вероятности 1s-3p фотовозбуждения атома неона дана реализация EHS-конструкции для решений уравнений самосогласованного поля Хартри - Фока.
Ключевые слова: пространство Гильберта, векторы конечной и бесконечной нормы, несобственный интеграл, ортонормированный базис, прямая сумма, условие замкнутости
Для цитирования: Хопёрский А.Н., Конеев Р.В., Надолинский А.М. О расширенном пространстве гильберта // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 1. С. 38-42.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0). Original article
ON THE EXTENDED HILBERT SPACE
Alexey N. Hopersky1, Rustam V. Koneev2B, Alexey M. Nadolinsky3
1:2,3Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, Russia 1hopersky_vm_1 @rgups. ru 2koneev@gmail.comB 3amnrnd@mail. ru
Abstract. The construction of the extended Hilbert space is presented in the form of a direct sum of the spaces of vectors offinite and infinite norms as the main space in the mathematical formalism of quantum mechanics of a many-electron atom. On the example of constructing the analytical structure of the probability amplitude 1s-3p of photoexcitation of a neon atom, the implementation of the EHS-construct for solving the equations of the self-consistent Hartree-Fock field is given.
Keywords: Hilbert space, finite and infinite norm vectors, improper integral, orthonormal basis, direct sum, closedness condition
For citation: Hopersky A.N., Koneev R.V., Nadolinsky A.M. On the Extended Hilbert Space. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(1):38-42. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
© Хопёрский А.Н., Конеев Р.В., Надолинский А.М., 2024
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1
Введение
Методы функционального анализа [1-3], теория линейных операторов в гильбертовом пространстве [4-6], теория обобщённых функций [7-10] позволяют решить, в частности, одну из фундаментальных математических проблем квантовой механики - проблему построения полного ортонормированного набора волновых функций дискретного и непрерывного спектров (остовных и возбуждённых) состояний многоэлектронного атома. Суть проблемы в том, что волновые функции состояний непрерывного спектра обладают бесконечной нормой и, таким образом, не могут быть функциями пространства Гильберта. Как результат, функции с конечной нормой из пространства Гильберта не образуют полного ортонормированного набора, необходимого для описания квантовой динамики атома. Поль Дирак в монографии [11] высказал идею поиска «более общего, нежели гильбертово» пространства квантовой механики с исполь-
( Л [0, £Ф£
зованием понятия обобщённой функции S (s — s' ) = < для бесконечной нормы волно-
[œ, s = s
вой функции непрерывного спектра (s е [0; œ)), но попыток построения такого пространства не предпринял. Конечно, здесь и далее подразумевается функционал («распределение») [7-10] — s') ^ (S(e)'f) — — £')f(£')ds' — f(£), где дельта-функция Дирака - ядро интегрального оператора. Иоганн фон Нейман в монографии [12] предпринял попытку математически строго решить проблему учёта состояний непрерывного спектра в классе обычных (локально интегрируемые) функций математического анализа, оставаясь при этом в пространстве Гильберта и используя так называемое разложение единицы (формально бесконечное семейство проекционных операторов [5]) для эрмитова оператора. Теория фон Неймана не нашла применения при решении конкретных задач квантовой механики многоэлектронного атома и «оказалась лишь одним из тех милых лиц, что на мгновение появляются из толпы, чтобы исчезнуть в ней навсегда» [13]. В работе авторов [14] идея П. Дирака [11] реализована через конструкцию расширенного пространства Гильберта. В данной статье мы дополняем математический формализм и физические результаты этой работы.
Результаты
Утверждение. Пусть } - бесконечная и счётная (n = 1,2,...,œ) система линейно независимых векторов конечной нормы: ||xn|| = = 1 и ^xn|xm^ фSnm (символ Кронекера -Вейерштрасса) при n Ф m . Пусть js^} - континуум (s е [0;œ)) векторов бесконечной нормы: (s\s'^j = S(s — s') (дельта-функция Дирака) и ^хт) ф 0. Тогда система векторов } и js^}
образует полный ортонормированный базис бесконечномерного расширенного пространства Гильберта (Extended Hilbert Space; EHS) как прямой суммы D-пространства Гильберта векторов конечной нормы (состояния дискретного спектра) и его расширения (ортогонального дополнения) С-пространством векторов бесконечной нормы (состояния непрерывного спектра):
EHS = D ФC, \zn)}e D, {е)}е С , (1)
,, W (2)
\\Уп\\
->п-1
|Уп> — Ю + If=i ain |yi>,
|xn) —an(|xn> — f0œ|£> <£|xn>d£), (3)
_ <У£|^п>
Œin — \\yi\\2,
an — (1 — f0°°<£|xn>2d£)-1/2, (4)
(Zn|Zm) = Snm , s I Zn) = 0 . (5)
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1
Доказательство. Пусть определены |xn)} (система линейно независимых векторов конечной нормы) и je)} (континуум векторов бесконечной нормы). Переопределим jxn)} следующим образом:
\x„) Ч xj = an (l - L)\xn), {e\xn) = 0 . (6)
л
Здесь a„- нормировочный множитель (||х^|| = 1) (4); L = J\ е}(е \ de - линейный инте-
0
гральный оператор проектирования D-пространства на C-пространство. Система векторов (6) становится стартовой для реализации процесса ортогонализации Грама - Шмидта [2, 15]. После ортогонализации получаем ортонормированную систему векторов конечной нормы | zn )} ((2) и (5)). Дополняя эту систему континуумом |е^}-векторов бесконечной нормы, получаем прямую сумму D- и C-пространств как EHS- пространство. При этом, согласно (3), С «отражено» в D (|zn) определены через |г)). В силу полноты набора {z^)}- и |е)}-векторов выполняется условие замкнутости [16]:
L + P = S(r - r '), (7)
где определён оператор проектирования С-пространства на ^-пространство Р = £I |.
И=1
Действуя оператором (7) на произвольный вектор | е ЕИБ и интегрируя по г', получаем
n=1 Г
да / да
представление \ | - вектора в ортонормированном базисе \ | = J \ ед e \ |de + zn)(zn \ |
и его норму (обобщённое равенство Парсеваля [16]) || = I j(e|| de + £ (zn|| I , где
n /\ n
0 ' \ ' n=1
\1/2
i2 , да / i \2
n
0 ' n-1
предполагается сходимость несобственного интеграла и ряда.
Утверждение доказано.
В качестве примера реализации ЕЖ-пространства для решений уравнений Хартри - Фока найдём матричный элемент (М) одноэлектронного Г-оператора радиационного перехода как амплитуду вероятности ^ 3р фотовозбуждения атома неона (№; заряд ядра атома I = 10; конфигурация и терм основного состояния [о] = Ъ22э2 2р6 [!£0]): Нш + [0] ^ 15(252 2р6 )зр(1Р1), где Н - постоянная Планка; ш - круговая частота поглощаемого фотона. По утверждению
Г - л
М = цИ0 -1М(г\гр+ | 3р+)йг , М,Мо,М(е) = ||Г\\3~+ ,3р+ ,гр+),
V о )
= (1*, |1*+)(2*> |2*+)^2ро |2р+)6 , (8)
Г - 9 Л-1/2
п= 1 -\{sp+|3p+)2 ёг , (3~+|2р+) = 0, (Ър+ | 2 р+)ф 0 ,
V 0 )
(3"р+|гр+) = 0, <3р+^р+> Ф 0.
Структуры (8) возникают при реализации методов теории неортогональных орбиталей [17]. Индексы «0» и «+» соответствуют радиальным частям волновых функций электронов, полученных решением уравнений самосогласованного поля Хартри - Фока [18] для конфигураций основного ([0]) и возбуждённого ([1^+ 2^+2р+3р+]) состояний атома №. В обозначениях утвержде-
ния | X;) = | 2р+) , | х2) = | 3р+) и |г2> = |3р+). Численное решение уравнений Хартри - Фока
р /м \ 2
даёт заметное (~7 %) отличие вероятностей 15 ^ 3р фотовозбуждения атома №: (т^) = = 1,07, где р0 (р) - вероятность без учёта (с учётом) конструкции ЕЖ-пространства.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1
Замечания
1. Если исходные системы векторов \ xn )} и je)} ортонормированы [ (xn|xm> — 5nm, ||xn|| = 1, !x^ = 0, (s\s') = S(s — s')], то процесс ортогонализации Грама - Шмидта теряет смысл и определено EHS-пространство вида (без «отражения» C в D):
EHS = D Ф C , jxn)}е D js)}e С . (9)
Пространство (9) возникает, например, при описании состояний одноэлектронного атома водорода (1s[2Si/2)]), где возможно (в отличие от уравнений Хартри - Фока) аналитическое решение стационарных уравнений Шрёдингера [19]: H | xn} = xn | xn}, H | s) = s | s} .
Здесь H - эрмитов оператор Гамильтона атома; jxn,s} - собственные значения; j xn},| s)} -собственные функции оператора H .
2. В работе [20] обнаружено, что в приближении Хартри - Фока (s | s') = S(s — s') + P f f (s,s )
где P - символ главного значения (несобственного интеграла) в смысле Коши и f (s, s ' )ф 0 при s ф s'. Таким образом, нелокальность обменного потенциала в уравнении Хартри - Фока нарушает требование нормируемости волновых функций непрерывного спектра на «чистую» 8 -функцию Дирака. Формально математически этот результат не имеет отношения к утверждению, но говорит о необходимости аналитической модификации широко используемого в литературе приближения Хартри - Фока.
3. Согласно (3), особенностью прямой суммы (1) оказывается тот факт, что ^-пространство становится «гильбертовым» через С-пространство векторов бесконечной нормы («от-себя-к-себе через иное-самого-себя» [21]).
Список источников
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физма-тлит, 2012. 544 с.
2. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. Т. 1. 355 с.
3. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 592 с.
4. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1966. Т. 2. 1063 с.
5. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. 544 с.
6. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Изд-во МГУ, 1986. 368 с.
7. Schwartz L. Théorie des distributions. Vol. 1, 2. Paris: Hermann, 1959.
8. Шварц Л. Математические методы физических наук. М.: Мир, 1965. 740 с.
9. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщённые функции. Вып. 1: Обобщённые функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. 243 с.
10. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М. : Мир, 1968. 276 с.
11. Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979. 481 с.
12. Нейман фон И. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964. 367 с.
13. Ходос А. Теории Калуцы - Клейна: общий обзор // УФН. 1985. Т. 146. С. 647.
14. Hopersky A.N., Nadolinsky A.M. On the completeness of one-particle states of a many-electron atom in an extended Hilbert space // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2011. Vol. 44, № 7. P. 075001.
15. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 282 с.
16.МессиаА. Квантовая механика. М.: Наука, 1978. Т. 1. 478 с.
17. Jucys A.P., Naslënas E.P., Zvirblis P.S. The general theory of the extended method of calculation of atomic structures // Int. J. Quantum Chemistry. 1972. Vol. 6. P. 465.
18. Froese Fischer Ch., Brage T., Jonsson P. Computational Atomic Structure: An MCHF Approach. Bristol; Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 1997. 280 p.
19. Шифф Л. Квантовая механика. М.: Изд-во иностранной литературы, 1959. 471 с.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ.
2024. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1
20. Novikov S.A., Hopersky A.N. Free-free matrix elements for a many-electron atom // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2011. Vol. 44, № 23. P. 235001.
21. Гегель Г.В.Ф. Наука логики. Т. 2: Учение о сущности. М.: Мысль, 1971. 248 с.
References
1. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elements of the theory offunctions and functional analysis. Moscow: Fiz-matlit Publ.; 2012. 544 p. (In Russ.).
2. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Functional analysis. Moscow: Mir Publ.; 1977. Vol. 1. 355 p. (In Russ.).
3. Riesz F., Szokefalvi-Nagy B. Lectures on functional analysis. Moscow: Mir Publ.; 1979. 592 p. (In Russ.).
4. Dunford N., Schwartz J.T. Linear operators. Spectral theory. Self-adjoint operas in Hilbert space. Moscow: Mir Publ.; 1966. Vol. 2. 1063 p. (In Russ.).
5. Akhiezer N.I., Glazman I.M. Theory of linear operators in Hilbert space. Moscow: Nauka Publ.; 1966. 544 p. (In Russ.).
6. Sadovnichy V.A. Theory of operators. Moscow: Moscow State University Press; 1986. 368 p. (In Russ.).
7. Schwartz L. Théorie des distributions. Vol. 1, 2. Paris: Hermann Publ.; 1959.
8. Schwartz L. Mathematical methods of physical sciences. Moscow: Mir Publ.; 1965. 740 p. (In Russ.).
9. Gelfand I.M., Shilov G.E. Generalized functions. Iss. 1: Generalized functions and actions on them. Moscow: Fizmatgiz Publ.; 1959. 243 p. (In Russ.).
10. Bremerman G. Distributions, complex variables and Fourier transforms. Moscow: Mir Publ.; 1968. 276 p. (In Russ.).
11. Dirac P. Principles of quantum mechanics. Moscow: Nauka Publ.; 1979. 481 p. (In Russ.).
12. Von Neumann J. Mathematical foundations of quantum mechanics. Moscow: Nauka Publ.; 1964. 367 p. (In Russ.).
13. Khodos A. Kaluza-Klein theories: a general overview. UFN = Advances in Physical Sciences. 1985;146: 647. (In Russ.).
14. Hopersky A. N., Nadolinsky A. M. On the completeness of one-particle states of a many-electron atom in an extended Hilbert space. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2011:44(7):075001.
15. Lancaster P. Matrix Theory. Moscow: Nauka Publ.; 1978. 282 p. (In Russ.).
16. Messia A. Quantum mechanics. Moscow: Nauka Publ.; 1978. Vol. 1. 478 p. (In Russ.).
17. Jucys A. P., Naslenas E. P., Zvirblis P.S. The general theory of the extended method of calculation of atomic structures. Int. J. Quantum Chemistry. 1972:6:465.
18. Froese Fischer Ch., Brage T., Jonsson P. Computational Atomic Structure: An MCHF Approach. Bristol, Philadelphia: Institute of Physics Publ.; 1997. 280 p.
19. Schiff L. Quantum mechanics. Moscow: Publishing House of Foreign Literature; 1959. 471 p. (In Russ.).
20. Novikov S.A., Hopersky A. N. Free-free matrix elements for a many-electron atom. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2011:44(23):235001.
21. Hegel G.V.F. The science of logic. Vol. 2: The doctrine of essence. Moscow: Mysl' Publ.; 1971. 248 p. (In Russ.).
Информация об авторах
А.Н. Хопёрский - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики. Р.В. Конеев - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. А.М. Надолинский - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры физики.
Information about the authors
A.N. Hopersky - Doctor of Science (Physics and Mathematics), Professor, Professor of the Department of Higher Mathematics.
R.V. Koneev - Candidate of Science (Physics and Mathematics), Associate Professor of the Department of Higher Mathematics.
A.M. Nadolinsky - Doctor of Science (Physics and Mathematics), Professor, Professor of the Department of Physics.
Статья поступила в редакцию 20.09.2023; одобрена после рецензирования 14.10.2023; принята к публикации 19.02.2024. The article was submitted 20.09.2023; approved after reviewing 14.10.2023; accepted for publication 19.02.2024.
