О распределении случайных ошибок измерений по закону Коши Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 519.2:528.1

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ ПО ЗАКОНУ КОШИ

Галина Ивановна Лесных

Новосибирский государственный университет архитектуры, дизайна, искусств, 630099, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 38, кандидат технических наук, доцент кафедры основ архитектурного проектирования, истории архитектуры и градостроительства, тел. (383)222-00-97

Владимир Евгеньевич Мизин

Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, ст. преподаватель кафедры геома-тики и инфраструктуры недвижимости, тел. (383)361-07-09

Установлено, что оценки параметров усеченного закона распределения Коши совпадают с оценками параметров нормального закона распределения. Статистический анализ данных, с усеченным по правилу «3о» законом распределения Коши, не опровергает гипотезу относительно их нормального распределения.

Ключевые слова: анализ, закон распределения, ошибка, критерий, статистика.

ABOUT DISTRIBUTION ACCIDENTAL ERRORS OF MEASURIMENTS WITH THE KOSHY LAW

Galina I. Lesnykh

Novosibirsk State University of Architecture, Design, Arts, 630099, Russia, Novosibirsk, 38 Krasnuy Prospect, Assoc. Prof., the Department of Basis of Architectural Desing and History of Architecture, tel. (383)222-00-97

Vladimir E. Mizin

Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Senior lecture. the Department of Geomaties and Real Property Infrastructure, tel. (383)363-07-09

The estimates of the parameters of distribution Koshy cut law are coinciding with the estimatesof the parameters distribution normal law are determined. The statistical analysis of the data with cut by rule '3o' distribution Koshy law are not against of the supposition about their distribution normal law.

Key words: analysis, distribution law, error, criterion, statisties.

При строительстве и мониторинге инженерных сооружений выполняют геодезические измерения, сопровождаемые ошибками случайного и систематического характера. Основной вероятностной характеристикой случайных ошибок измерений является закон распределения. Считается, что случайные ошибки геодезических измерений подчиняются нормальному закону, который представляет удобную математическую модель их распределения.

Установлено ([1] - [10]), что на практике, помимо нормального закона, имеет место ряд других двухпараметрических распределений, одним из которых является закон Коши. Роль этого закона в теории математической обработки геодезических измерений изучена недостаточно.

Плотность вероятности закона распределения Коши выражается формулой:

ад^1 —2, (1)

я X2 + (х, - а)2

где а и X - параметры распределения Коши, а е (-да, да), X е (0, да), х е (-да, да).

Функция распределения Коши -

Б(х) =1 + 1агс^(х-а). (2)

2 я X

Распределение Коши не имеет математического ожидания, не сходится дисперсия, моменты порядка к > 1 не существуют.

Характерной особенностью случайной величины Х (СВ Х), распределенной по закону Коши, является наличие резко выделяющихся значений, которые не могут присутствовать в рядах ошибок геодезических измерений или их функций и должны быть отбракованы, как грубые результаты. Таким образом, фактически, в геодезической практике имеет место усеченный закон Коши.

Для нормального закона распределения грубыми считаются ошибки, превышающие по абсолютной величине утроенное среднее квадратическое отклонение а (правило «3а»),

Если из генеральной совокупности значений СВ Х выделить некоторую область, задаваемую неравенством а < х < р, то плотность распределения усеченного значения случайной величины будет равна:

ад=сед, (3)

где постоянная с находится из условия:

р р

| ^ (х) ёх = с | Г (х) ёх = с (Б(Р) - Б(а)} = 1,

а а

с =-1-, (4)

Р(Р) - Р(а) ( )

Для усеченного распределения Коши плотность вероятности имеет вид:

Г(х) = - -2, (5)

я X2 + (х1 - а)2

Методом максимального правдоподобия найдем оценки параметров усеченного распределения Коши. Функция правдоподобия выборки имеет вид:

n

L=L(xb...,xn;ab...,ak) = уП f(xi;aba2,...,ak),

i=1

где а; - независимые параметры, хi - результаты наблюдений, у - некоторая константа.

Оценки параметров получают в результате максимизации функции правдоподобия max L(xi,...,xn;ai,...,ak) или ее логарифма. ai,...,ak

L:

г лп

' c Л

v^y

An

{A2 + (xi -a)2}n

(6)

ln L = nln c - nln л + nln A- nln {A,2 + (xi - a)2}

5 lnL

n

n

5a A2 + (xi - a)

•2 • (xi - a) • (-1). 2n(xi - a) = 0 , I xi - na = 0.

i=1

a = x =

n

I xi

i=1_

n

(7)

- оценка параметра сдвига а - среднее арифметическое значений СВ Х.

5 ln L n

n

5A A A2 + (xi - a)2

•2A = 0, n A2 + n(xi - a)2 - 2n A2 = 0:

I (xi - a)2 = n A2 . i=1

A:

n 9

I (xi - a)2 i=1

n

(8)

- оценка параметра масштаба А.

Оценки параметров усеченного распределения Коши совпали с оценками параметров нормального закона: а = х, А = а.

2

Моделируем ряд чисел, распределенных по закону Коши по формуле [4]:

X = а + Х- (У-0,5)], (9)

где У - случайная величина, распределенная по равномерному закону на интервале [0, 1]. Примем: а = 0, X = 1. Перейдем к усеченному ряду, отбросив значения - 3 > х > 3.

Статистическим анализом проверяем соответствие распределения полученной выборки объемом п = 74 нормальному закону. Методика исследования изложена в работах [11], [12].

Оценки параметров нормального закона распределения определены по формулам (7) и (8) и составили:

а = х = 0,154 - среднее арифметическое, оценка математического ожидания, Х = а = 0,98 - оценка среднего квадратического отклонения.

Числовые характеристики:

Б = = 0,27 - оценка асимметрии, а3

=1^ = 0,28 - оценка среднего квадратического отклонения асимметрии,

Дз = 0,25 - оценка центрального момента 3 - го порядка. Т. к. Б , асимметрия несущественна.

Е = - 3 = 0,590 - оценка эксцесса, а

_ /24

аЕ =Л— = 0,57 - оценка среднего квадратического отклонения эксцесса V п

Т. к. Е < 2 аЕ, эксцесс несущественный.

2 2

Статистика критерия Пирсона х : Xэ = 6,51 при числе степеней свободы

2 2

г = 3. Вероятность достигнутого уровня значимости Р(х >х2 ) = 0,089 превышает 5% уровень значимости.

Все свойства случайных ошибок измерений для нормального закона распределения выполняются. Статистика критерия равенства средних

1 э = = 0,114 . (10)

а / л/п

Вероятность Р(1 > 1 э ) = 0,91 - велика. Проверка числа попаданий значений случайной величины в заданные интервалы выполнена с использованием критерия равенства средних:

Р(| к - пр |<1 а) = Р. (11)

Все разности | к - п р | эмпирических - к и теоретических - п р частот не превосходят 2 а=р^ (q = 1 - р), с доверительной вероятностью в = 0,95.

Таким образом, результаты статистического анализа выборки усеченного распределения Коши не противоречат гипотезе о нормальном законе распределения этих данных.

При статистическом анализе разностей средних превышений [3] наилучшим распределением (по величине максимума функции правдоподобия) оказалось в большинстве случаев усеченное распределение Коши. В соответствии с нашими результатами исследования гипотеза о нормальном распределении тех же данных согласно предлагаемым критериям остается также допустимой.

Находит объяснение тот факт, что случайные величины в геодезии [5] подчиняются закону распределения Коши почти так же часто, как и нормальному закону распределения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Денисов В. И., Лемешко Б. Ю., Лесных Н. Б., Постовалов С. Н. Теория, методы и программное обеспечение задач статистического анализа независимых и зависимых случайных величин в геодезии: Вероятностные модели, непараметрические критерии, анализ. Отчет по НИР, НГТУ, 1995 г., № гос. рег. 01.9.60 003119, инв. № 02.9.60 005332. - 42 с.

2. Лемешко Б. Ю., Лесных Н. Б., Мизина Г. И., Постовалов С. Н. Статистический анализ независимых и зависимых случайных величин в геодезии. Отчет по НИР (Промежуточный), НГТУ, 1996 г., № гос. рег. 01.9.60 003120, инв. № 02.9.60 008130. - 69 с.

3. Лемешко Б. Ю., Лесных Н. Б., Мизина Г. И., Постовалов С. Н. Статистический анализ независимых и зависимых случайных величин в геодезии. Отчет по НИР (Заключительный), НГТУ, 1997 г., № гос. рег. 01.9.60 003120, инв. № 02.9.80 001109. - 40 с.

4. Лемешко Б. Ю. Статистический анализ одномерных наблюдений случайной величины // Программная система. - Новосибирск : НГТУ, 1995. - 125 с.

5. Лесных Н. Б. Законы распределения случайных величин в геодезии : монография. -Новосибирск : СГГА, 2005. - 128 с.

6. Лесных Н. Б., Лесных Г. И. Законы распределения экстремальных значений // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 2 (18). - С. 30-34.

7. Лесных Н. Б., Мизин В. Е. Сравнительная характеристика результатов двух статистических методов анализа разностей повторных измерений // Вестник СГГА. - 2012. -Вып. 1 (17). - С. 41-46.

8. Лесных Н. Б., Лесных Г. И. О законе распределения линейных функций случайного аргумента // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 4 (20). - С. 27-31.

9. Лесных Н. Б., Лесных Г. И. Иллюстрация к теореме Гаусса - Маркова // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоин-

форматика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск : СГГА, 2012. Т. 1. - С. 116-120.

10. Лесных Н. Б., Мизин В. Е. Разности повторных измерений как объекты статистического анализа // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 1 (21). - С. 27-30.

11. Лесных Н.Б. Некоторые аспекты алгоритма статистического анализа геодезических данных // ГЕ0-Сибирь-2009. V Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 20-24 апреля 2009 г.). - Новосибирск : СГГА, 2009. Т. 1, ч. 2. - С. 16-19.

12. Лесных Н. Б. Объекты статистического анализа в геодезии // монография. - Новосибирск : СГГА, 2010. - 128 с.

© Г. И. Лесных, В. Е. Мизин, 2016