CC BY
116
Геодезия
УДК 519.2:528.1
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Наталья Борисовна Лесных
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доцент, кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник СГГА, тел. (383)343-29-21
Галина Ивановна Лесных
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной геодезии СГГА, тел. (383)344-36-60, e-mail: [email protected]
Статистическими методами анализа определены условия возникновения законов распределения экстремальных значений ошибок и поправок МНК.
Ключевые слова: сеть, анализ, закон распределения, критерий, ошибка, поправка.
LAWS OF DISTRIBUTION OF EXTREMAL VALUES
Natalya B. Lesnykh
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., associate Prof., leading Researcher SSGA, tel. (383)343-29-21
Galina I. Lesnykh
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., associate Prof., department of applied geodesy and information systems SSGA, tel. (383)343-29-55, e-mail: [email protected]
Origin conditions of distribution laws extremal values of errors and corrections were defined, using statistical method of the analysis.
Keywords: network, analysis, distribution law, criterion, error, correction.
Вероятностно-статистический анализ ошибок измерений или их функций выполняют для того, чтобы установить закон распределения объекта анализа и в любом случае получить определенную информацию о статистических свойствах ошибок измерений. Рассмотрим в этой связи роль законов распределения экстремальных (максимальных и минимальных) значений случайных величин в геодезии. Асимметрия S, эксцесс Е и свойства случайных ошибок измерений для этих законов в сравнении с нормальным законом распределения представлены в табл. 1.
Законы экстремальных значений - двухпараметрические: а - параметр сдвига, А, - масштабный параметр; а = МХ - Ас - закона максимальных значений, а = МХ + Ас - закона минимальных значений. Здесь МХ - математическое ожидание, с = 0,5772 - постоянная Эйлера. Второй параметр -
А = а-л/б/л = 0,7797 а, а - среднее квадратическое отклонение.
30
Геодезия
Характеристики и свойства
Таблица 1
Законы S E Р(|А| < а) Р(|А| < 2а) Р(|А| < 3а) Р(|А| < 4а) Р(А > 0)
Норм. 0 0 0,683 0,954 0,997 1,000 0,500
max 1,14 2,4 0,724 0,957 0,988 0,997 0,430
min -1,14 2,4 0,724 0,957 0,988 0,997 0,570
Вероятности попадания случайных ошибок измерений А в заданные интервалы вычислены в предположении, что математическое ожидание М(А) = 0, по определению случайной ошибки измерения. В этом случае для закона максимальных значений параметр а = - X с = - 0,450 а, для закона минимальных значений а = X с.
При М(А) = 0 среднее арифметическое случайных ошибок при возрастании числа наблюдений по вероятности должно стремиться к нулю:
Вер. lim [А]/п = 0 при (1)
Плотность распределения закона максимальных значений имеет вид:
f(x)=l/X-exp{-z-exp(-z)}, z = (x-a)/X. (2)
Плотность распределения закона минимальных значений
f(x) = (1/Х) exp(z-ez). (3)
Кривые распределения максимальных и минимальных значений для а = 0 и X = 1 показаны на рисунке.
а б
Рис. Графики плотности законов экстремальных значений:
а - тах; б - min
31
Геодезия
Функции распределения законов максимальных и минимальных значений соответственно:
F(x) = exp(-e z); F(x) = 1 - exp (-ez). (4)
Экстремальные законы распределения были установлены при исследовании невязок (по очень небольшой выборке), поправок к результатам измерений Vi и поправок к приближенным значениям параметров 5Xj (вместе с нормальным), а также в смесях распределений разностей отметок АН [1, 2].
Эти исследования нельзя считать завершенными. Программная система [1] не предназначалась для анализа именно геодезических измерений, в ней не была предусмотрена проверка свойств случайных ошибок, объемы выборок невязок и поправок были невелики.
Условия появления экстремальных законов еще раз проверим на моделях случайных ошибок измерений и поправках, полученных из уравнивания по методу наименьших квадратов (МНК) нивелирной сети, состоящей из 25 замкнутых полигонов с числом измерений n = 60 и избыточных измерений г = 28. В ряды случайных ошибок, распределенных по нормальному закону с параметрами М(А) = 0 и а = 1, внесены грубые ошибки в различных вариантах.
Вероятностно-статистический анализ выполнен в системе Mathcad с определением оценок параметров и числовых характеристик по не группированным данным, группированием и вычислением критерия Пирсона х2, проверкой четырех свойств случайных ошибок измерений для интересующего закона распределения (нормального, Лапласа, логистического, максимальных или минимальных значений) с использованием критериев равенства вероятностей и равенства средних [2].
Результаты статистического анализа истинных ошибок 0 представлены в табл. 2. Первый вариант - выборка из n = 30 случайных, нормально распределенных ошибок, содержащая резко уклоняющееся значение А = 3,521, превышающее 3а. Остальные варианты - случайные ошибки, среди которых присутствуют одна-две грубых.
По результатам, представленным в табл. 2, гипотеза о нормальном законе распределения отклоняется, превышен допуск 3 а.
Закон максимальных значений имеет место в том случае, когда в ряду случайных ошибок, распределенных по нормальному закону, появляется значение в интервале 3,5а< |Дтах| < 4а, превышающее допуск нормального закона и
допустимое для экстремальных законов распределения.
В первом варианте нормально распределенного ряда случайных ошибок измерений, при n = 12, 30, 60 с увеличением допуска до 3,6 а закон максимальных значений имеет место наряду с нормальным и логистическим [3].
В табл. 3 приведены результаты анализа поправок.
32
Геодезия
Таблица 2
Результаты статистического анализа ошибок
Закон д = [д] n a X? p(x2>x?) S 3cS E 3aE Свойства
n = 30, 0max =02 = 3,521
Норм. 0,321 0,966 1,99 0,159 0,903 1,24 1,885 2,25 3,5 > 3 a
max 1,32 0,250 +
n = 60, 0max-028-^7
Норм. 0,069 1,07 0,77 0,379 0,331 0,91 0,821 1,73 3,7 > 3 a
max 2,65 0,103 +
n = 60, 028 - 3,9, 042 - 3,9
Норм. 0,135 1,19 1,42 0,233 0,715 0,91 1,465 1,73 3,9 > 3 a
max 2,48 0,115 +
n = 60, 028-4,0
Норм. 0,074 1,088 0,51 0,475 0,468 0,91 1,341 1,73 4 > 3 a
max 1,84 0,175 +
n = 60, 028=5,0
Норм. 0,095 1,115 7,07 0,007 0,974 0,91 3,637 1,73 5 > 3 a
max 5,60 0,018 5 > 4a
Таблица 3
Результаты статистического анализа поправок
Закон v ll P(X2>Xa) S E Свойства
^28 =7A 034 =6,1; V28=-3,75, ¥34=-2,93
Норм. -0,113 1,07 1,38 0,290 - 0,607 1,794 3,75 > 3 a
min 0,336 0,563 +
028 =7A 034=6,1, 942=6,2; V28 =-3,94, V34 =-2,73 V42 =-3,28
Норм. -0,155 1,137 3,68 0,055 -0,833 2,14 3,94 > 3 a
min 0,29 0,59 +
028=10,0, v28 =-5,46; ctv =1,21, 5,46 > 4a
33
Геодезия
По результатам статистического анализа поправок гипотеза о нормальном законе отклоняется по допуску 3 av и значению оценки эксцесса E > 3 erg.
Закон распределения минимальных значений имеет место в тех случаях, когда максимальная абсолютная величина поправки ориентировочно находится в интервале 3,5 av < |vmax| < 4av. Это означает, что соответствующие таким
поправкам ошибки измерений превосходят их в 1,8-2 раза, являются грубыми и должны быть устранены.
Наличие связи грубых ошибок измерений, близких к предельным для нормального и логистического распределений, с условиями появления законов экстремальных значений исключает применение допуска Апред = 4 а законов
максимальных и минимальных значений в отношении геодезических объектов статистического анализа.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лемешко Б.Ю. Статистический анализ одномерных наблюдений случайных величин. -Новосибирск: НГТУ, 1995. - 125 с.
2. Лесных Н.Б. Законы распределения случайных величин в геодезии: монография. -Новосибирск: СГГА, 2005. - 128 с.
3. Предельные ошибки измерений / Н.Б. Лесных, Г.И. Лесных, А.Л. Малиновский // ГЕО-Сибирь-2011: сб. материалов VII Междунар. науч. конгр. Т. 1, ч. 1. Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия. -Новосибирск: СГГА, 2011. - С. 26-31.
Получено 04.02.2012
© Н.Б. Лесных, Г.И. Лесных, 2012
34
