О распределении надежностного ресурса в сложной системе при фиксированных средствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.067

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ НАДЕЖНОСТНОГО РЕСУРСА В СЛОЖНОЙ СИСТЕМЕ ПРИ ФИКСИРОВАННЫХ СРЕДСТВАХ

А.Л. РЫБАЛКИНА

Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.

Статья посвящена решению задачи оптимизации затрат на надежность сложных технических систем.

Ключевые слова: ресурс, надежность технической системы.

Одной из узловых проблем, стоящих перед разработчиками сложных систем, в частности авиационной техники, является задача обеспечения их надежности на заданном уровне. Одним из сдерживающих факторов, влияющих на решение этой задачи, является ограниченность материальных и финансовых средств, выделяемых на эти цели. Поэтому возникают две оптимизационные задачи о распределении надежностного и материального ресурсов.

Первая из них сводится к распределению имеющихся средств между элементами сложной системы таким образом, чтобы надежность всей системы была максимальной. Вторая задача формулируется аналогично: как распределить заданный надежностный ресурс между элементами сложной системы, чтобы добиться минимального потребного ресурса.

Для решения сформулированных задач можно использовать следующую модель.

Имеется некоторая сложная система, состоящая из N структур, таких что работоспособность каждой из них не зависит от работоспособности других.

Обозначим вероятность нормального функционирования у-й структуры у = 1,2,3,...N за некоторое время Т через Ру, под которым будем понимать, что данная структура выполняет свои функции за время Т.

В этом случае вероятность работоспособности за время Т всей системы в целом будет определяться равенством

N

Р0 =ПР ■ (1)

1=1

При этом, что крайне важно и принципиально, каждая из Ру по своему значению близка к 1, т.е. речь идет об очень высоко надежных системах, что характерно для гражданской авиации, например, суммарная вероятность аварийной ситуации на воздушном транспорте равна 10-6 на 1 ч полёта.

Представим каждое из Ру в виде

Р. = 10~п}, у = 1# . (2)

При таком представлении значения пу- являются очень малыми величинами, близкими к нулю.

Равенства (1) и (2) позволяют представить формулу (1) в эквивалентном виде

N

Р„ = 10 - ^ п, = 10. (3)

у=1

Очевидно, что расходы на поддержание надежности (в дальнейшем будем говорить о стоимости) системы, а равно как и стоимость каждой из образующих систему структур тем выше, чем выше вероятности Р0 и Ру, т.е. чем меньше Пу и М выше, чем выше вероятности Р0 и Ру, т.е.

чем меньше пу и М. При этом сказанное относится как к этапу разработки, так и к этапу экс-

плуатации.

Обозначим стоимость расходов на поддержание надежности всей системы (далее стоимость) через £0, а соответствующую стоимость у-й структуры - £у. Очевидно, что зависимость стоимости £у от вероятности Р у или от параметра Пу носит сугубо нелинейный характер.

Таким образом, можно сформулировать следующую задачу. Имеются некоторые средства £0. Требуется их так распределить между N структурами, образующими систему, чтобы обеспечить максимальную надежность ее функционирования, то есть определить значения Пу, при ко-

N

торых величина М - минимальна. При этом £ Пу = М .

у=1

Можно сформулировать обратную задачу определения минимальной стоимости разработки (эксплуатации) системы. Задана вероятность функционирования всей системы Р0. Требуется ее так распределить между N структурами, образующими систему, чтобы стоимость была минимальной, то есть необходимо определить значения £у, при которых величина £ ^ шт. При этом

N

£=£ у

у=1

Для решения задач подобного типа, прежде всего, необходимо построить модель стоимости, т.е. построить аналитическую зависимость вида £ у = £ у (пу).

Основой для построения такой модели является тот факт, что создание структуры, обеспечивающей абсолютную надежность (Ру = 1, Пу = 0), с неизбежностью требует бесконечно

больших расходов. Другими словами, искомая стоимостная модель должна удовлетворять следующим двум свойствам

Нш £у (пу) = ¥ . (4)

Условие (4) означает, что функция £у (п у) должна рассматриваться только в окрестности нуля, и говорит о том, что эта функция в точке Пу=0 имеет особенность типа полюса некоторого порядка qу, что позволяет разложить функции £у (пу) в ряд Лорана

^(п , )=2 гг+с0 + 2 Г (Пу)" ■ (5)

,■=1 (Пу ) ,=1

где Г±, - некоторые коэффициенты разложения.

г,+1) г-

Поскольку —(і^ >> , , то очевидно, что основной вклад в сумму (5) вносит слагаемое из

(пу Г (пу )

первой суммы с индексом зу, это значит, что с очень высокой степенью точности можно записать

Г -

^«=(^7 > (6)

При этом равенство (6) тем точнее, чем ближе п, к нулю, и для реальных структур практически может считаться строгим.

Порядок полюса принципиально зависит от того, что из себя представляет у-я структура. Введем обозначения

(пу У' = *у , Г-у = а). (7)

Таким образом, вместо равенства (6) будем иметь

(8)

у

N

а вместо равенства 2 п у = М будем использовать другое равенство

у=1

(9)

,=1 1=1

Сказанное позволяет записать выражение для суммарной стоимости в виде следующего ряда

N

а.

= Т (о )=Т- ■ (1°)

1=1 1=1 1,

Для решения задачи по определению максимальной надежности (минимального значения К) при заданном значении Я0 необходимо найти при которых К ^ шт, то есть найти минимум

выражения (12) при выполнении условия (9), т.е. требуется решить систему из (#-1) уравнения с (#-1) неизвестными.

При этом

2

(11)

Получаем систему уравнений

ёЯ

0, і = 1, N -1,

Я =

а~ N 1 а ^

N________+ ^ и

N-1 2-й о

Решив уравнение (12), получим

Я, =

5 0 - I ^

і-1

1-1 5 і

(12)

а1 • 50

N

I аі

і=1

для всех і =(1..^).

Определив «,, при помощи формулы (11) находим искомые — обеспечивающие минималь-

ное значение требуемых средств Я

0тіп

аі

і, =

1 5,

N

а1 ' I а1

і =1

5

для всех

і = (1..^);

Я

( N \ 2

і аі

V і=1 У

5П

(13)

(14)

,=1 ^0

Для решения второй задачи, сформулированной выше, необходимо найти — при которых Б0 принимает минимальное значение, т.е. надо минимум выражения (15) при выполнении условия (9), т.е. требуется решить систему из (#-1) уравнения с (#-1) неизвестными

йі-

= 0, і = 1, N -1,

5 о =-

а

N-1 а2

Я -1 і

г

і-1 іі

Аналогично (13) получаем

(15)

і-1

а • Я

для всех і = (1..^).

N

І аі

і=1

(16)

і

Определив — при помощи формулы (8) находим искомые Я-, обеспечивающие минимальное значение требуемых средств Я00тт.

N

2 а • Т а

Я, = ^— для всех - = (1.#). (17)

К

N { # \2

# #а, ■ Та, |Та-

Я™ = ТЯ- = Т-^К— = 1^ (18)

-=1 -=1 К К

Приведем некоторую численную иллюстрацию полученных соотношений. Система состоит из пяти элементов. Нормируемая надежность каждого из элементов взята случайным образом. Параметр К = 2. Изменяя значения ^ при постоянных а, и учитывая соотношение (9), эмпирическим путем находим минимальное значение Я = 3,87 (рис. 1). Используя полученную формулу (18), получим значение Я0тп = 2,88. Таким образом, при применении полученного выражения можно достичь существенного выигрыша в затратах.

Рис. 1. Сравнение расчетного значения минимальной стоимости и значения, полученного случайным путем

DISTRIBUTION OF RELIABILITY RESOURCES IN COMPLEX SYSTEMS WITH FIXED COST

Rybalkina A.L.

The article is devoted to solving problems of optimizing costs of reliability in complex technical systems.

Key words: resource, reliability of technical systems.

Сведения об авторе

Рыбалкина Александра Леонидовна, окончила МГТУ ГА (2009), ассистент кафедры БП и ЖД МГТУ ГА, автор более 20 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов, надежность технических систем.