О ПРОВЕРКЕ СИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИННОВАЦИЙ В АВТОРЕГРЕССИОННЫХ СХЕМАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

10

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2023. №5

13. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых га-мильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.

14. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1, 2. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 1999.

15. Болсинов А.В., Рихтер П., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. 191, № 2. 3-42.

16. Kibkalo V.A. , Fomenko A.T. , Kharcheva I.S. Realizing integrable Hamiltonian systems by means of billiard books // Trans. Moscow Math. Soc. 2021. 82. 37-64.

17. Никонов И.М. Описание вырожденных двумерных особенностей с одной критической точкой // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2019. № 3. 5-15.

18. Fokicheva V. V. Description of singularities for system billiard in an ellipse // Moscow Univ. Math. Bull. 2012. 67, N 5-6. 217-220.

19. Fokicheva V. V. Description of singularities for billiard systems bounded by confocal ellipses or hyperbolas // Moscow Univ. Math. Bull. 2014. 69, N 4. 148-158.

20. Dragovic V., Radnovic M. Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards // Regul. Chaotic Dyn. 2009. 14, N 4-5. 479-494.

21. Николаенко С.С. Топологическая классификация гамильтоновых систем на двумерных некомпактных многообразиях // Матем. сб. 2020. 211, № 8. 68-101.

22. Oshemkov A.A. Morse functions on two-dimensional surfaces. Encoding of singularities // Proc. Steklov Inst. Math. 1995. 205. 119-127.

Поступила в редакцию 23.06.2022

УДК 519.24

О ПРОВЕРКЕ СИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИННОВАЦИЙ В АВТОРЕГРЕССИОННЫХ СХЕМАХ

М. В. Болдин1, А. Р. Шабакаева2

Рассматривается линейная авторегрессия с нулевым средним, неизвестными параметрами и неизвестным распределением инноваций. Проверяется гипотеза о симметрии инноваций относительно нуля в двух ситуациях. В первой наблюдается сама авторегрессионная последовательность: находятся оценки параметров, остатки, по ним строится подобие эмпирической функции распределения и соответствующая статистика типа омега-квадрат. Установлено предельное распределение тестовой статистики при гипотезе и локальных альтернативах. Во второй ситуации наблюдения содержат грубые ошибки. Для проверки гипотезы строится критерий типа хи-квадрат. Найдено предельное распределение при гипотезе и локальных альтернативах. Исследуется робастность теста.

Ключевые слова: авторегрессия, выбросы, эмпирическая функция распределения, остатки, тест хи-квадрат Пирсона, оценки, локальные альтернативы, тест омега-квадрат, робастность.

We consider a stationary linear AR(p) model with zero mean. The autoregression parameters as well as the distribution function (d.f.) G(x) of innovations are unknown. We test symmetry of innovations with respect to zero in two situations. In the first case the observations are a sample from a stationary solution of AR(p). We estimate parameters, find residuals. Based on them we construct a kind of emperical d.f. and the omega-square type test statistic. Its asymptotic d.f. under the hypothesis and the local alternatives are found. In the second situation

1 Болдин Михаил Васильевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Boldin Michael Vasilievich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory.

2 Шабакаева Альмира Ринатовна — студ. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Shabakaeva Almira Rinatovna — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2023. №5

11

the observations subject to gross errors (outliers). For testing the symmetry of innovations again we construct the Pearson's type statistic and find its asymptotic d.f. under the hypothesis and the local alternatives. We establish the asymptotic robustness of Pearson's test as well.

Key words: autoregression, outliers, empirical distribution function, residuals, Pearson's chi-square test, estimators, local alternatives, omega-square test, robustness.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-5-2

1. Введение и постановка задачи. В авторегрессионных моделях при неизвестном распределении инноваций (т.е. в непараметрической ситуации) существует несколько способов оценивания неизвестных параметров. Выделим, в частности, обобщенные М-процедуры (включающие процедуры наименьших квадратов), процедуры минимального расстояния (включающие метод наименьших модулей), ранговые и знаковые процедуры. Детали и ссылки для линейных авторегрессий можно найти, например, в монографиях [1, 2], результаты для нелинейных моделей с аддитивными и мультипликативными инновациями — в [3, 4].

Строятся упомянутые выше процедуры оценивания обычно в предположении симметрии инноваций или при родственных условиях. Естественная задача — проверить по наблюдениям за авторегрессией само предположение о симметрии инноваций и найти мощность соответствующего теста при естественных альтернативах. Это содержательная с точки зрения приложений и не очень простая математическая задача. Трудность заключается в том, что при неизвестных параметрах модели инновации ненаблюдаемы. В настоящей работе мы решим задачу о проверке симметрии инноваций для линейной авторегрессии.

Рассмотрим линейную ЛИ(р)-модель

ut = ei«t-i + ••• + врut-p + £t, t € Z, (1)

где инновации {£t} — независимые, одинаково распределенные случайные величины (н.о.р.сл.в.) с неизвестной функцией распределения (ф.р.) G(x); E£1 = 0, 0 < < то; в = (в1, • • •, вР)Т — вектор неизвестных параметров, для которых соответствующее характеристическое уравнение имеет корни, лежащие в единичном круге; размерность модели p предполагается известной.

Эти требования считаются выполненными всегда и далее особо не оговариваются.

Мы будем рассматривать две ситуации. В первой наблюдения ui-p, и2-р,^,ип суть выборка из стационарного решения (1). При сделанных выше предположениях такое стационарное решение существует [5, гл. 5]. Наша цель — по этим наблюдениям проверить гипотезу

S : £i = —£i, т.е. ф.р. G(x) симметрична относительно нуля. (2)

Для этого мы построим тест типа омега-квадрат со статистикой шП, найдем асимптотическое при n ^ то распределение ш"П при гипотезе и локальных альтернативах. Чтобы описать эти альтернативы, будем предполагать, что ф.р. G(x) зависит от числа наблюдений n и представляется смесью симметричной относительно нуля ф.р. P(ж) и несимметричной ф.р. Q(x):

G(x) = Ага(ж) := (1 — pn)P(ж) + pnQ(x),pn = min{1,pn-i/2} (3)

Если имеет место (3), будем говорить, что верна гипотеза An(p). При p > 0 гипотезу An(p) будем понимать как локальную альтернативу к S, ф.р. An(x) при p > 0 несимметрична. При p = 0, разумеется, An(0) и S совпадают. В этом случае (т.е. при гипотезе S) будем писать P(ж) вместо G(x). Асимптотические распределения ш"П будут найдены при An(p) сразу для всех p ^ 0, что позволяет изучить тест одновременно и при гипотезе, и при локальных альтернативах.

Отметим еще раз: строить тесты для S — содержательная задача, поскольку инновации {£t} ненаблюдаемы.

Соответствующие первой ситуации результаты представлены в п. 2.

Во второй ситуации наблюдения за авторегрессией содержат грубые ошибки, а именно наблюдаются величины

yt = ut + zYn6, t = 1 — p, • • •, n, (4)

где {ztYn} — н.о.р. сл.в., распределенные по закону Бернулли, zj™ ~ Br(Yn), jn = min{1,Yn-i/2}, Y ^ 0, значение параметра y неизвестно; {£t} — н.о.р.сл.в. с неизвестным и произвольным распределением П; {ut} — выборка из стационарного решения (1); последовательности {ut}, {z/n},

{&} независимы. Последовательность } интерпретируется как последовательность грубых ошибок (засорений). Схема (4) — локальный вариант известной схемы засорений для временных рядов (см. [6]).

Задачей ставится опять проверка гипотезы § из (2) по наблюдениям {уг}. Мы построим тест типа хи-квадрат для §, изучим асимптотическое поведение тестовой статистики при Ап(р) из (3), установим асимптотическую качественную робастность теста. Эти результаты приведем в п. 3.

2. Проверка симметрии в схемах без засорений.

2.1. Построение тестовой статистики и критерий Орлова. Пусть наблюдения и1-р,... ,ип — выборка из стационарного решения уравнения (1). Построим по этим наблюдениям тест для проверки гипотезы § из (2).

Пусть вп = (в1п,..., врп)Т — оценка вектора в, требования к ней уточним далее. Оценками ненаблюдаемых инноваций е\,... ,еп возьмем остатки

ёг := иг - выи— - ... - врпЩ-Р, г = 1,...,п; оценкой ф.р. С(х) — остаточную эмпирическую ф.р.

п

&п(х) = п-1 ^ I(ёг ^ х), х € М1, I(■) — индикатор события. г=1

В качестве тестовой статистики для § выступает

[Gn(x) + Gn(-x) — l]2dGn(x).

Вычислять ш"П удобно по формуле

n £

=

t=i

Gn{~£(t)) ~ +

n

где ё(1) ^ ... ^ ё(п) — упорядоченные остатки.

Статистика ш2п — аналог статистики ^ для проверки симметрии (см. [7]), которую можно было бы построить по самим ё1,... ,ёп, а именно

/те

[Gn(x) + Gn(-x) — l]2dGn(x),

-od

n

где Gn(x) = n-1 Y^ I(£t ^ x) — эмпирическая ф.р. e1,...,en. t=i

Пусть v(t), t € [0, l], — броуновский мост, т.е. гауссовский процесс с нулевым средним и кова-риацией min {t, s} — ts. Для An(p) из (3) положим

5(г) := р [Я (Р-1 (г)) - г],

где Р-1() - обратная к Р(■) функция. Из результатов [7] следует, что при гипотезе § для непрерывной ф.р. С(х)

2 d ^n -

/ [у(г) + у(1 - г)]2м, п ^ю, ./0

а при альтернативе Ап(р) с р > 0 для непрерывных Ап(х) и 5 (г)

^п - [ Ж + у(1 - г) + 5(г) + 5(1 - г)]2<г, п ^ю. 0

2.2. Предельное 'распределение тестовой статистики ш2п. Нам понадобятся следующие усло-Условие (1). Ф.р. Р(х) и Я(х) имеют нулевые средние и конечные дисперсии.

Условие (ii). Ф.р. P(ж) и Q(x) дважды дифференцируемы с ограниченными вторыми производными.

Условие (iii). Оценка /5П — такая оценка в, что при Ап(р), р ^ 0, имеет место

n1/2(/3„ - в) = Op(1). (5)

Если выполнено условие (i), то оценка наименьших квадратов вп,ья , построенная по ui-p,..., un, удовлетворяет (5). Это следует из утверждения, доказанного в [8], а именно при Ап(р) и условии (i) имеем

n1/2(/i,ls - в) -—N(0,E(ei)2 K-1), n — то, (6)

где E(^1)2 — дисперсия ф.р. P(ж), K = (kj), kj = E(u0 и0—), i, j = 1,... ,p, {u0} — стационарное решение (1) с инновациями {е0}, имеющими ф.р. P(ж).

Далее нам понадобится следующий результат (теорема 2.1 и следствие 2.1 из [8]). Если выполнены условия (i)-(iii), то при Ап(р) с любым фиксированным р ^ 0

sup |n1/2[Gn(x) - Gn(x)]| = oP(1), n — то. (7)

жек1

Доказательство соотношения (7) весьма кропотливо. Оно основано на идеях [9], где соотношение (7) было доказано при гипотезе.

Легко проверить, что в силу (7)

Ш-П - шП = oP(1), n —у то,

так что асимптотическое распределение ш-П при Ап(р) совпадает с асимптотическим распределением .

Значит, верна

Теорема 1. 1. Пусть верна гипотеза S, т.е. р = 0. Пусть для ф.р. P(ж) выполнены условия (i), (ii) и условие (iii) c р = 0 для -n. Тогда

- 2 d ^

0

/ [v(t) + v(1 - t)]2dt, n — то. 0

2. Пусть верна альтернатива Ап(р), р > 0. Пусть выполнены условия (г)-(ггг) и функция £ € [0,1], непрерывна. Тогда

.2 d -n -

f [v(t) + v(1 - t) + ¿(t) + ¿(1 - t)]2dt, n — то. 0

Для 0 < а < 1 критическое множество возьмем в виде

¿П > С1-а, (8)

где С1-а — это (1 — а)-квантиль предельной ф.р. ш2п. Эта предельная ф.р. табулирована в [10]. Асимптотический уровень теста (8) равен а.

Замечание 1. При фиксированной альтернативе к гипотезе § ф.р. инноваций не зависит от п и несимметрична относительно нуля. Пусть она, кроме того, имеет нулевое среднее, конечную дисперсию и ограниченную вторую производную. Пусть п1/2(вп — в) = Ор(1). Тогда статистика ¿П расходится по вероятности к бесконечности. Это означает, что тест (8) состоятелен против такой фиксированной альтернативы.

3. Проверка симметрии в схеме с засорениями.

3.1. Построение тестовой статистики. Пусть наблюдаются у1-р,... ,уп, определенные в (4). Построим по этим наблюдениям тест для проверки гипотезы § из (2).

Прежде всего построим по оценку вП = (вы, • • • ,врп)Т вектора в.

Условие (IV). Оценка вП — такая оценка в, для которой при Ап(р) для любых фиксированных р, 7 выполнено

п1/2(вП — в) = Ор (1). (9)

Если Е^2 < ю, то соотношение (9) выполнено, например, для оценки наименьших квадратов

вп,ЬЯ , поскольку

п1/2Ф1ь3 - в) (--уЕ^ К-1 в,Е(ё0)2 К-1), п ^ ю. (10)

Параметры в (10) такие же, как в (6), доказательство (10) проводится по той же схеме, что и доказательство (6).

Найдем остатки ё( = уг - вы уг-1 - • • • - врп Уг-р, г = 1,... ,п, и построим по ним остаточную

п

эмпирическую ф.р. Сп(х) = п-1 ^ I(ёУ ^ х).

г=1

Справедливо следующее утверждение (см. [11, теорема 2.1, следствие 2.1]).

Если выполнены условия (г), (гг), (т), то при Ап(р), р ^ 0, для фиксированных х € М1, р, 7

п1/2[ Суп(х) - Сп (х)] - ^А(х, П) = ор (1), п ^ю. (11)

р

Здесь А(х, П) = ^ [ЕР(х + вз- Р(х)], в0 = -1. Схема доказательства соотношения (11) похожа з=0

на схему доказательства соотношения (7), но наличие засорений усложняет рассуждения. Важно, что разложение (11) для Сп(х) справедливо только при каждом фиксированном х, поэтому его недостаточно для исследования основанных на С(х) статистик типа (ё2п из п. 2, однако достаточно для построения и исследования статистики типа хи-квадрат с целью проверки §. Она строится описанным далее образом. Введем полуинтервалы

В+ = (хз-1,хз}, ] = 1,...,т, т ^ 1, 0 = х0 <х1 < ... < хт =

.

Пусть (хз} таковы, что р+ := Р(хз) - Р(хз-1) > 0. Если ввести симметричные полуинтервалы В- = (-хз, -хз-1], то при гипотезе § для непрерывной ф.р. Р(х) будем иметь

Р- := Р(-хз-1) - Р(-хз) = р+, 3 = 1,... ,т.

Пусть ё+ обозначает число остатков среди ё\,... ,ёёп, попавших в В+, а ё- — число остатков, попавших в В~. Интересующая нас тестовая статистика для § имеет вид

,2 ^ (ё+ - ^

УСп ^ у

. . 2ё+ з=1 з

3.2. Предельное распределение тестовой статистики ¿¿п. Очевидно, ё+ ё-

^ = СЦхз) - ОЦх^), ^ = оц-х^) - ои-хз). (12)

Пусть ь>± обозначает число инноваций ё1,... ,ёп, попавших в В±. Тогда

з V-

= Сп{х3) - Сп{х3.1), -^ = Сп{-х3.1)-Сп{-х3). (13)

Поскольку х2 = Е {п1/2 {Цг ~ где Р7 = в СИЛУ (ПМ13) получаем

з = 1

т V'

XI = Е^1/2 (■^ - ^ + + ор{ 1), П^ оо, (14)

з = 1

где 5з(П) := А(хз, П) - А(хз-1, П) - [А(-хз-1, П) - А(-хз, П)].

Соотношение (14) сводит асимптотическое исследование статистики хП к анализу главного члена в правой части (14). Результат дается теоремой 2. В ней

9+ = Я(жз) — ФО^-^ 9- = Х-О — жз^ = (9±, • • •, )Т,

5(П) = (^1(П),...,^т(П))т,

Р — диагональная матрица, Р = diag{2p+, • • •, 2^+}

Через (ж, Л2) мы обозначаем ф.р. нецентрального хи-квадрат распределения с к степенями свободы и параметром нецентральности Л2, а через | ■ | — евклидову норму вектора.

Теорема 2. 1. Пусть верна гипотеза т.е. р = 0. Пусть для ф.р. Р(ж) выполнены условия (г)-(гг) и условие (г-и) с р = 0 для ¿П. Тогда

вир |Р(хП ^ ж) — Ет(ж, Л2)| ^ 0, п ^ то,

жек1

где Л2 = 72 |Р-1/2 5(П) |2•

2. Пусть верна альтернатива Ап(р), р > 0. Пусть выполнены условия (г)-(гг), (¿V). Тогда

вир |Р(хП < ж) — Ет(ж, Л2)| ^ 0, п ^ то, (15)

жек1

где

Л2 = |Р-1/2[р(9+ — 9-)+ 7^(П)]|2 • (16)

Доказательство теоремы 2 следует из формулы (14) и совместной асимптотической гауссовости

+

j_ _ 12_

п п

(при п —> то) при гипотезе и при альтернативе величин {п1/2 ---= 1,..., т}

Критическое множество для § возьмем в виде

хП > Х1—a (m), (17)

где X1-a(m) — это (1 - а)-квантиль ф.р. хи-квадрат с m степенями свободы. В силу (15) и (17) асимптотическая мощность нашего теста есть

W(р, Y, П, P, Q) = 1 - Fm(x1-a(m),A2), (18)

где Л2 = Л2(р ,7, П, P, Q) задается формулой (16). Сделаем несколько замечаний.

Замечание 2. Если 7 = р = 0, то асимптотическое распределение для хП есть обычное (центральное) распределение хи-квадрат с m степенями свободы, W(0,0, П, P, Q) = а. Если же распределение П симметрично, т.е. £1 = -£1, то ¿(П) =0 и асимптотическая мощность W(р, 7, П, P, Q) вовсе от П не зависит и совпадает с асимптотической мощностью теста в случае схемы без засорений: для р ^ 0 при симметричном распределении П и любых 7 ^ 0, р ^ 0

W(р, 7, П, P, Q) = W(р, 0, П, P, Q).

Замечание 3. Рассмотрим фиксированную альтернативу для S c дополнительными предположениями, как в замечании 1. Если P(£1 € Bj+) = P(£1 € B-) при каком-нибудь j, то хП -— то, n — то, т.е. тест (17) состоятелен против такой фиксированной альтернативы.

3.3. Асимптотическая качественная робастность теста хи-квадрат. Поскольку

Го

\Fk{x,\\) - Fk{x,\22)\ < J-|Ai-A2|,

V п

то из (18), (16) и определения вектора ¿(П) получаем соотношение

Го"

sup \W(p,^,U,P,Q) - W{p, 0, П, Р, Q)\ < л/-7 sup|P"1/2£(n)| 0, 7^0, n,p,Q V п п

8 ВМУ, математика, механика, № 5

которое качественно означает, что при малых 7 равномерно по П (а также по р и Q) асимптотические мощности в схемах с засорениями и без засорений близки. Это свойство свидетельствует об асимптотической качественной робастности теста.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Koul H.L. Weighted empiricals and linear models. Hayward: Michigan State University, 1992.

2. Болдин М.В., Симонова Г.И., Тюрин Ю.Н. Знаковый статистический анализ линейных моделей. М.: Наука, 1997.

3. Koul H.L. Asymptotics of some estimators and sequential residual empiricals in nonlinear time series // Ann. Statist. 1996. 24. 380-404.

4. Boldin M. V. On empirical processes in heteroscedastic time series and their use for hypothesis testing and estimation // Math. Methods Statist. 2000. 9(1). 65-89.

5. Anderson T. W. The statistical analysis of time series. N.Y.: John Wiley and Sons, 1971.

6. Martin R.D., Yohai V.J. Influence functionals for time series // Ann. Statist. 1986. 14. 781-818.

7. Орлов А.И. О проверке симметриии распределения // Теор. вероятн. и ее примен. 1972. XVII, вып. 2. 372-377.

8. Boldin M. V. On the asymptotic power of test of fit under local alternatives in autoregression // Math. Methods Statist. 2019. 28, N 2. 144-154.

9. Болдин М.В. Оценка распределения возмущений в схеме авторегрессии //Теор. вероятн. и ее примен. 1982. 27, вып. 4. 905-910.

10. Мартынов Г.В. Критерии омега-квадрат. М.: Наука, 1978.

11. Boldin M. V. On the power of Pearson's test under local alternatives in autoregression with outliers // Math. Methods Statist. 2019. 28, N 1. 57-65.

Поступила в редакцию 23.09.2022

УДК 517.926

СУЩЕСТВОВАНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ, ВСЮДУ РАЗРЫВНЫХ СПЕКТРОВ ВЕРХНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КОЛЕБЛЕМОСТИ ЗНАКОВ, НУЛЕЙ И КОРНЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

А. Х. Сташ1, А. Е. Артисевич2

Построены примеры двух линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка, спектры верхних сильных показателей колеблемости знаков, нулей и корней одного из которых совпадают с множеством рациональных чисел отрезка [0,1], а другого — с множеством иррациональных чисел отрезка [0,1], дополненным числом нуль.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, колеблемость, число нулей, показатели колеблемости, частоты Сергеева, показатели Ляпунова.

Examples of two linear homogeneous differential equations of the third order are constructed, the spectra of the upper strong exponents of oscillation of signs, zeros and roots of one of which

1 Сташ Айдамир Хазретович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа и методики преподавания математики, декан ф-та математики и компьютерных наук Адыг. гос. ун-та, e-mail: [email protected].

Stash Aydamir Khazretovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Dean, Adyghe State University, Faculty of Mathematics and Computer Science, Chair of Mathematical Analysis and Methods of Teaching Mathematics.

2 Артисевич Анжела Евгеньевна — ст. преп. каф. математического анализа и методики преподавания математики ф-та математики и компьютерных наук Адыг. гос. ун-та, e-mail: [email protected].

Artisevich Angela Evgenievna — Senior Lecturer, Adyghe State University, Faculty of Mathematics and Computer Science, Chair of Mathematical Analysis and Methods of Teaching Mathematics.