О пространстве орбит трехмерной простой компактной линейной группы ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2010. №6

51

УДК 512.815.1 + 512.816.2

О ПРОСТРАНСТВЕ ОРБИТ ТРЕХМЕРНОЙ ПРОСТОЙ КОМПАКТНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ ЛИ

О. Г. Стырт1

Получена верхняя оценка коразмерности подпространства точек с конечной орбитой для представления трехмерной простой компактной группы Ли, фактор которого является многообразием.

Ключевые слова: группа Ли, топологический фактор действия.

An upper estimate for the codimension of the subspace of points with finite orbits for a representation of a three-dimensional simple compact Lie group whose factor is a manifold is obtained.

Key words: Lie group, topological factor of an action.

Настоящая работа является непосредственным продолжением статьи [1]. Прежде всего дадим три базовых определения, игравшие ключевую роль ив [1].

Определение. Непрерывное отображение гладких многообразий назовем кусочно-гладким, если оно переводит любое гладкое подмногообразие в конечное объединение гладких подмногообразий.

В частности, всякое собственное гладкое отображение гладких многообразий является кусочно-гладким.

Рассмотрим дифференцируемое действие некоторой компактной группы Ли G на гладком многообразии M.

Определение. Будем говорить, что фактор действия G : M диффеоморфен (кусочно-диффеоморфен) гладкому многообразию M', если топологический фактор M/G гомеоморфен M', причем отображение факторизации M ^ M' гладкое (кусочно-гладкое).

Определение. Будем говорить, что фактор действия G : M является гладким многообразием, если он кусочно-диффеоморфен некоторому гладкому многообразию.

Перейдем непосредственно к постановке задачи.

Рассмотрим линейное представление компактной группы Ли G в вещественном пространстве V. Нас по-прежнему (как ив [1]) интересует вопрос о том, является ли фактор V/G этого действия топологическим многообразием, а также гладким многообразием. Следуя [1], будем далее для краткости называть топологическое многообразие просто многообразием.

Через G0 будем обозначать связную компоненту единицы группы G, а через g — ее касательную алгебру.

Случай, когда группа G0 коммутативна, был разобран автором в [1]. Данная же работа посвящена исследованию поставленной проблемы в предположении, что g = su2.

Везде далее будем предполагать, что g = SU2, это равносильно тому, что группа G0 изоморфна одной из групп SU2 или SO3.

Обозначим через ni,..., m размерности неприводимых компонент представления g : V (с учетом кратностей). Если все числа m равны единице, то группа G0 действует на V тождественно и вопрос описания фактора V/G сводится к аналогичному вопросу для действия конечной группы G/G0 в пространстве V (случай конечной линейной группы разобран в [2]). Поэтому будем считать, что ni ^ ... ^ щ > 1 = 1 = ... = пь, I = 1, • • •, L. Число является натуральным при щ > 1 и равно нулю при

L l

щ = 1. Положим q{V) := £ [f ] = £ [f ] £ N.

i=i i=i

Теорема 1. Если V/G — гладкое многообразие, то q(V) ^ 4.

Теорема 2. Если V/G — многообразие, то q(V) > 2.

Следствие. Если V/G — гладкое многообразие, то q(V) G {3;4}.

Теорема 3. Если G = G0, V/G — гладкое многообразие, а среди чисел i = 1,... ,1, хотя бы одно нечетно, то q(V) = 3.

Согласно следствию и теореме 3, если G = G0, а V/G — гладкое многообразие, то (конечная) последовательность (ni,..., m ) совпадает с одной из последовательностей (4, 4), (4, 3), (3, 3, 3), (5, 4), (7), (8),

1 Стырт Олег Григорьевич — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

52

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2010. №6

(5, 3), (5, 5), (9). Теоремы 4-6 описывают первые семь из этих девяти случаев; для последних двух случаев вопрос о том, является ли фактор V/G (гладким) многообразием, остается открытым.

Теорема 4. Предположим, что последовательность (ni) совпадает с одной из последовательностей (4, 4), (4, 3) и (3, 3, 3). Тогда фактор V/G0 диффеоморфен вещественному векторному пространству размерности dim V — 3, причем группа G/G0 действует на нем линейно.

Замечание. Теорема 4 позволяет свести произвольное представление G : V, для которого последовательность (ni,...,n) совпадает с одной из последовательностей (4, 4), (4, 3) и (3, 3, 3), к линейному представлению конечной группы G/G0 в векторном пространстве V/G0.

Теорема 5. Если G = G0 и (ni,..., щ) = (5, 4), то фактор V/G не является гладким, многообразием.

Теорема 6. Если G = G0, а последовательность (ni,..., щ) совпадает с одной из последовательностей (7), (8), (5, 3), то фактор V/G гомеоморфен вещественному векторному пространству размерности dim V — 3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стырт О.Г. О пространстве орбит компактной линейной группы Ли с коммутативной связной компонентой // Тр. Моск. матем. о-ва. 2009. 70. 235-287.

2. Михайлова М.А. О факторпространстве по действию конечной группы, порожденной псевдоотражениями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. 48, № 1. 104-126.

Поступила в редакцию 23.04.2010

УДК 511

О ПОРОЖДЕНИИ ОДНОМЕСТНЫХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ

МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

Д. Ю. Панин1

В работе рассмотрено некоторое множество одноместных функций многозначной логики, монотонных относительно частичного порядка специального вида. Введены операции композиции и свертки. Получен критерий полноты для рассматриваемой функциональной системы.

Ключевые слова: функции многозначной логики, одноместные функции, замыкание, полные системы.

A set of unary monotone functions of the multi-valued logic is considered. These functions are monotone with respect to a partial order of special form. The composition and convolution operations are introduced. A criterion for the completeness of the functional system is obtained.

Key words: functions of multi-valued logic, unary functions, closure, complete systems.

В работе рассматривается некоторое множество одноместных функций многозначной логики, монотонных относительно частичного порядка специального вида. Вводятся операции композиции и свертки. Получен критерий полноты для рассматриваемой функциональной системы. Подобные вопросы возникают при изучении свойств предполных классов монотонных функций, не имеющих конечных порождающих систем [1-4], а также при решении задачи о полноте систем функций многозначной логики (см., например, [5-9]).

Пусть n ^ 1. Положим Qk = |0,ai,a'i,...,ak, a'fc}, где 0 ^ k ^ n. Положим Q = Qn, a0 = a0 = 0. Введем на элементах множества Q отношение частичного порядка ^ следующим образом:

1) £ ^ £j для всех £i, £j, таких, что £i G (a^, a^}, £j G (aj, aj}, 0 ^ i < j ^ n;

2) £ ^ £ для всех £ G Q.

Пусть a, в G Q. Если для этих элементов выполняется по крайней мере одно из соотношений a ^ в, в ^ а, то эти элементы называются сравнимыми, в противном случае — несравнимыми.

1 Панин Дмитрий Юрьевич — студ. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].