CC BY
43
общественные идеалы, родительские советы, предрасположенность сверстников к определённым видам деятельности, сведения, почерпнутые из книг и иных средств коммуникации. Процесс этот до конца непредсказуем. Поэтому-то у одного и того же индивида может возникнуть как мечта о профессии пилота скоростного самолёта или карьере астронома, так и меча о работе спасателя.
Превращение потребности в мечту происходит под действием быстропротекающей интенсивной эмоции, а создаваемый благодаря этому психический образ - один из тех, которые кардинально отличают человека от всего его окружения.
Литература
1. Акимов А. В. Долгосрочные перспективы роста численности населения мира.// Историческая психология и социология истории. - 2010. - Том 3. - № 2. - С. 5-24.
2. Бакулина М., Скворцова Я. Прогнозирование методом сценариев. 2012. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://iupr.ru/domains_data/files/zurnal_osnovnoy_5/BakuHna%20M.%20S.%20Skvorcova%20Ya.%20A..pdf
3. Глазунов Ю.Т. Эмоциональное переживание в системе целеполагания человека. // Вестник Мурманского государственного технического университета. - 2011. - Том 14. - № 1. - С. 126-140.
4. Глазунов Ю.Т. Моделирование целеполагания / Ю.Т. Глазунов. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012, - 216 с.
5. Глазунов Ю.Т. Программирование регионального развития / Ю.Т. Глазунов. - Апатиты: изд. Российская Академия Наук. Кольский научный центр, 2008. - 264 с.
Заславский Ю.М.
С.н.с., д.ф.-м.н. Институт прикладной физики Российской академии наук, Россия, 603950, Нижний Новгород, Ульянова ул.,
д.46
О ПРОФИЛЕ КАПЛИ ЖИДКОСТИ В КОНТАКТЕ С ПОДЛОЖКОЙ
Аннотация
Проведено теоретическое исследование формы профиля капли жидкости в случаях растекания по твердой ровной смачиваемой подложке и для капли, свисающей с подложки вниз. Граница газ-жидкость рассматривается в условиях равновесия сил поверхностного натяжения и сил гравитации. Проанализирована зависимость радиуса растекания жидкой капли от величины краевого угла для обоих случаев верхнего и нижнего расположения капли.
Ключевые слова: профиль разреза, капля жидкости, поверхностное натяжение, краевой угол, твердая подложка
Zaslavsky Yu.M.
Leader scientist, doctor of p.-m.s., Institute of applied physics Russian academy of science, Russia, 603950, Nizhny Novgorod,
Ul’yanov Str., 46.
ON THE PROFILE OF A LIQUID DROP IN TOUCH WITH THE SUBSTRATE
Abstract
Vertical cross sections of a liquid drop spread over a rigid flat wettable substrate and the drop hanging from the substrate are studied theoretically. The gas-liquid boundary analyzed in equilibrium of the surface tension forces and the gravity forces is analyzed. The radius of spreading of a liquid drop as a function of the contact angle is considered for both cases of the upper and lower location of the drop.
Keywords: section profile, liquid drop, surface tension, contact angle, rigid substrate
Известно, что жидкость, растекшаяся по идеально ровной горизонтальной твердой смачиваемой подложке, собирается в капли, которые сохраняют устойчивую форму. Линия границы (профиль) вертикального разреза капли жидкости, удерживающейся в равновесии на идеально гладкой подложке, привлекает внимание исследователей, поскольку информация о форме профиля имеет важное практическое применение [1-5]. В [6] выполнен расчет профиля капли, находящейся в равновесии под действием центробежных сил и сил поверхностного натяжения, когда подложка и капля вращаются вокруг оси симметрии. Там, в частности, показано, что форма капли без вращения, т.е. при действии только сил поверхностного натяжения, представляет собой сферический сегмент.
Теоретический и практический интерес представляет также анализ формы огибающей поверхности капли при отсутствии вращения. Предполагается осесимметричная модель и рассматриваются два случая - капля, растекшаяся поверх твердой ровной горизонтальной подложки, и капля, свисающая с нижней стороны подложки вниз, в которых имеет место равновесие под действием сил тяжести и сил смачивания. В данной статье строится профиль вертикального разреза капли, анализируется зависимость радиуса растекания от величины контактного угла, при этом используется подход, аналогичный предложенному в [6]. Результаты работы могут использоваться в обосновании модели протекания жидкости сквозь вертикальное капиллярное отверстие с последующим срывом капли вниз, анализ которой представлен в работе [7], посвященной расчету периода цикличности капиллярного течения. Рассмотрение начнем со случая нижнего расположения, т.е. со случая капли, висящей под подложкой.
В работе [6] показано, что давление внутри капли, имеющей осесимметричную форму, обусловленное поверхностным натяжением на границе жидкость-пар, описывается выражением
gZ п
p = ~
(1 + Zп f
(1)
где g - коэффициент поверхностного натяжения на границе жидкость-пар,
z
Z (r)
высота огибающей - линии профиля
Z' = dZldr Z" = d2 Zldr2
вертикального разреза капли, как функции радиуса, , .
Записывая условие равновесного состояния капли в поле тяжести, в пренебрежении противодавлением со стороны газовой фазы и под действием сил натяжения, нетрудно показать справедливость уравнения:
p0 + PgZ
gZ п
(i+z ”)
g\
dZ '2 dZ
2(1 + Z '2 T
интегрируя которое, можно придти к соотношению
(2)
27
_ pgZ2 G
p0 Z + —----h const. =
2
VT+Z72
(3)
z = h h Z ^ = 0
При ^ rt (где ,l- полная высота капли) имеет место ^ ^ , откуда
Z' = ctg^0
const. = G - p0h
pgh_
2
Аналогичное
z = 0 ^ --,-,4-
условие при ^ KJ записывается как от0, что позволяет получить выражение для постоянной составляющей давления
_ = g(1 - sin ^0) + pgh
У0 '
h
2
(4)
где ^0 - контактный угол, являющийся вторым из двух параметров (наряду с константой G ), характеризующим область
пересечения трех фаз - подложка-жидкость-пар в «тройной» точке.
Раскрывая в (3) корень и интегрируя, приходим к выражению для Г , как функции высоты z :
с dZ
r = J-
G
Г
G + Р0(Z - h) +
pg (Z2 - h 2)V 2
-1
p
Подставляя в (5) выражение * 0 из (4) и переходя к безразмерным
Ц = r/h и £ = z/h
(5)
получаем формулу, на основе
которой проводится расчет требуемой функции профиля вертикального разреза
Z'h d£
ц = J I T
^ + (£ -1)(1 - sin % + pgh-) + (C! -1)pgh Л
V
2G
2G
У
(6)
Интеграл в (6) сводится к табличному, но ввиду громоздкости результата, расчет профиля и его анализ выполнены численным способом с применением стандартных функций, реализованных в пакете Mathcad. Из расчетных формул (5), (6) следует, что вместо Г, Z
координат ’ могут использоваться отношения координат к максимальной высоте капли, при этом независимыми параметрами
(р0 | = pgh2/2g П ф б Z/h
0 При графическом построении необходимо строить
задачи являются величины
r/h
как функцию от
аргумента
Ц
вычитая текущие значения ' из максимального значения этой величины. Легко также видеть, что переход от
g ^ - g
рассматриваемого случая капли, свисающей вниз, к случаю верхнего расположения капли, производится сменой знака
й I ^-|
или заменой .
На рис. 1 а представлены профили капли в виде Z/ h , как функции ^h , для нижнего расположения капли (свисающей
, (р0 = к/6 (р0 = к/4
вниз, ввиду чего ордината также откладывается вниз), при значениях контактного угла 7 0 ' (кривая 1), 0 '
. .т0 = к! 3 т = я/2.75 | = pgh 2/2g = 0.7^
(кривая 2), r° ' (кривая 3), Т0 1 (кривая 4) и при ^ ^ 1 . Последняя из представленных -
» к/ 2.75 А „
кривая 4 соответствует предельному значению контактного угла , при котором кривая профиля устойчиво
h
рассчитывается, а радиус растекания минимален. Максимальное значение радиуса растекания в единицах 11 (кривая 1) достигает ~
h
0.8. Характерно наличие перегиба в профиле приблизительно на половинной его высоте относительно максимальной высоты 71 . Можно предположить, что на указанном месте формируется область перетяжки у «набухающей» капли при увеличении ее массы, например, за счет конденсации влаги из соседней паровой фазы. Вероятно, разрыв в профиле и срыв капли вниз, т.е. потеря устойчивости формы, также произойдет в указанной области. Однако такое заключение может быть сделано только на основе решения динамической задачи, хотя на предварительном этапе картина статической равновесной конфигурации также может рассматриваться как пролегомен к анализу динамики.
На рис. 1 б представлены аналогичные профили капли, соответствующие верхнему ее расположению, т.е. сверху на подложке,
(р0 = к/6 ф0 = к/4 = к/3
при тех же значениях угла смачивания т 0 ' (кривая 1), 0 ' (кривая 2), т 0 ' (кривая 3), но при
I = pgh 2/2g =- 0.7 й ф
^ ^ 1 . Здесь имеет место монотонный спад высоты профиля вплоть до нулевого значения с ростом
радиуса и достижения им своего максимума - радиуса растекания. Величина радиуса растекания, измеренная в относительных
h
единицах достигает
1
2
28
а
rjh
1 ------
2 ......
3 -----
4 -----
б
rjh
1 ------
2 ......
Рис. 1.а - Профиль вертикального разреза капли, свисающей с подложки вниз.
.1 - % = л/6 2 - % = ж/4 3 - % = ж/3 4 - % = ж/2_75
Значения контактного угла
Параметр S = PghV2ff = 0'7.
б - Профиль капли, растекшейся по подложке сверху:
3 - % = Ж3 . Параметр ^ = ^Ч2<? =- О-7
1 - % = ж/6 2 - % = Ж/4
теперь ~ 1.6, хотя масштабная единица в этом случае может оказаться другой. Если свести к равным значениям не максимальные высоты капель (как это дается на рис. 1 а, б для свисающей вниз капли и для лежащей на подложке), а радиусы растекания, то нетрудно заключить, что максимальная высота капли, растекшейся по подложке сверху, меньше в 2 раза, чем у капли, свисающей вниз.
Сравнение профилей вертикального разреза капель жидкости на подложке и свисающей с подложки вниз показывает принципиальное различие их вида и в количественных значениях таких параметров как высота капли и радиус растекания.
Полученные результаты анализа профиля капли, находящейся в контакте с подложкой в условиях равновесия сил гравитации и сил поверхностного натяжения, могут найти применение при проведении фармацевтических исследований, при производстве продуктов питания, а также при выполнении работ, требующих сравнение результатов для обычных условий с теми, которые предполагают отсутствие силы земного тяготения.
Литература
1. П.Ж. Де Жен (P. G. De Gennes) Смачивание: Статика и динамика / Успехи физических наук 1987, т.151, вып.4, С. 619-681.
2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
3. А.В. Лыков Тепломассообмен (Справочник). М.: Энергия, 1978.
4. В.Н. Николаевский Геомеханика и флюидодинамика с приложениями к проблемам нефтяных и газовых пластов. М.: Недра, 1996.
5. Ш.Г. Гиматудинов, А.И. Ширковский Физика нефтяного и газового пласта. М.: Альянс, 2005. 309с. (Учебник для ВУЗов изд. 4-е перепечатано с 3-го 1982.)
6. П.В. Лебедев-Степанов, Т.А. Карабут, Н.А.Чернышев, С.А. Рыбак Исследование формы и устойчивости капли жидкости на вращающейся подложке. //Акуст. ж. 2011. 57, №3, с.323-328
7. Ю.М. Заславский, В.Ю. Заславский К оценке периода вытекания капель жидкости из капиллярного отверстия // Вестник ННГУ (Математическое моделирование. Оптимальное управление) 2012. №5-2, с.90-92
29
