О продолжении отображений, определяемых некоторым семейством ультрафильтров Текст научной статьи по специальности «Математика»

О продолжении отображений, определяемых некоторым семейством ультрафильтров Болжиев Б. А.

Болжиев Бурас Асанбекович /Бо1рвг Бигаз ЛзапЬекоукИ - кандидат физико-математических

наук, старший научный сотрудник, Национальная академия наук Кыргызской Республики (НАН КР) Институт теоретической и прикладной математики, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в данной работе обобщается понятие секвенциальной непрерывности, и

рассматриваются вопросы продолжения этих отображений.

Ключевые слова: секвенциально непрерывные отображения, ультрафильтры.

Ранее в работе [2] были исследованы секвенциально непрерывные отображения и продолжение секвенциально непрерывного отображения в секвенциально полное равномерное пространство. В данной статье рассматривается обобщение секвенциально непрерывного отображения и его продолжение в равномерное пространство, обладающее свойством типа полноты. Толчком для такого обобщения послужила работа Бернштейна [3].

Пусть т - бесконечный кардинал, т* = /Зш\ш - Стоун-Чеховский нарост дискретного пространства мощности т или пространство всех свободных ультрафильтров на множестве мощности т . Под т мы будем также понимать также первое порядковое число мощности т . Пусть теперь р е т* и Р с т*,

причем Р # 0. Произвольный набор точек : 2, е т| в топологическом пространстве будем называть т - последовательностью. Следуя работе [3], будем говорить, что X = р- Итх^ или х является р - предельной точкой

последовательности : 2, е т| в пространстве (X, г) , если для любой

окрестности Ох точки х следует еОх|^р . Если х = р-Итх^ для любого

р е Р, то будем говорить, что последовательность Х^ : ^ СЕ ОТ Р — 5 - сходится

к х, или : С, 6 ОТ| является Р — Я - сходящейся и х является его Р — Я -пределом.

Для произвольного множества М топологического пространства ( положим М; = |х, х = р-Итх^ для любого р е Р и для некоторой последовательности С М . Положим М2 = {М, . Этот процесс

можно стандартным образом продолжить и определить для любого а в т , а именно: пусть М„ определены для любого у < а0, где а0 = а + 1, тогда пусть М = {Ма), если же а0 - предельный ординал, то положим Ма^ =^|Му, у < а }. Очевидно, этот процесс стабилизируется при а = т+ , т.е. М, с М + для любого у. Множество М + будем обозначать через Мс.

у т 1 т 5

Подмножество Н а X назовем Р — 5 - секвенциально плотным, если Н^Х.

Определение 1. Подмножество О а X называется Р — 5 - секвенциально открытым, если из того, что X = р- Итх^ для любого р е Р и X е О следует,

что % :х^Ет Ер для всех р е Р.

Отметим без доказательства следующие предложения.

Предложение 1. Пусть Н-Р — 5 - секвенциально плотное подмножество пространства (Х,Т) и О - произвольное /' — Л - секвенциально открытое подмножество в X. Тогда О с Н # 0 .

Предложение 2. Для отображения (Х,т~}—(У,(з} следующие условия эквиваленты:

1. Отображение / 1' — Л - секвенциально непрерывным, т.е. переводит 1' — Л -сходящиеся последовательностив Р — Я - сходящиеся последовательности;

2. / 1 (О) является /' — Л - секвенциально открытым для любого /' — Л -секвенциально открытого подмножества О с У .

Предложение 3. Пусть X = ^ |На : а е т+}, На с Н^, для любого а < $ и

—> У - отображение, обладающее следующим свойством: Р н является

| а

Р — 5 - секвенциально непрерывным отображением пространства Н в У . Тогда

Р

является Р — 5 - секыенциально непрерывным отображением пространства X в

7.

И как следствие получаем лемму. Лемма 1. Пусть

Н-Р — 5 - секвенциально плотное подмножество пространства (Х,т) , Р:Х — У-отображение, обладающее следующим свойством: р|н является Р — 5 - секвенциально непрерывным отображением пространства Н в У для любого а е т . Тогда

Р является г — 5 - секвенциально непрерывным отображением пространства X вУ.

Лемма 2. Пусть Н-Р — 5 - секвенциально плотное подмножество пространства

(X, г) и Ж - произвольное /' — Л - секвенциально открытое подмножество пространства (X, г) . Тогда Ж ГлНа а (Ж ГлН) для всех а.

Доказательство следует из монотонности операции Р — 5 - секвенциального замыкания и из того, что Ж ^ Нх с (Ж ^ Н) .

Пусть (Х,и) - отделимое равномерное пространство. Последовательность С '. Х,^ Е 111 в (Х,11) называется /' — Л - последовательностью Коши, если для

любого покрытия (I Е 11 существует множество V Е а такое, что С '. Х,^ Е V Ер для любого р е Р .

Определение 2. Равномерное пространство (X, I I) называется Р — 5 - полным, если любая Р — 5 последовательность Коши Р — я - сходится.

Предложение 4. Если Р — Я - последовательность Коши р0 — имеет предельную точку х для некоторого р0 е Р. то X = р - /НИХ. для любого р £ Р .

Теорема 1. Пусть Н-Р — 5 - секвенциально плотное подмножество пространства (X, (и (), V) -1' — Л - секвенциально полное равномерное пространство. Для того чтобы Р — Я - секвенциально непрерывное отображение / : Н(У, /' — Л - секвенциально непрерывно продолжалось на все X необходимо и достаточно, чтобы для любого £ V существовало Р — Я -секвенциально открытое покрытие а пространства (X, г) такое, что а л{Н } было вписано в покрытие /1 (/> ) .' { / ' :Ве .

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение /' является .Р — 5 -секвенциально непрерывным продолжением отображения / со множеством Н на

все пространство. Пусть

и в0 = {(В):В е в}, где означает взятие

внутренности множества В . Тогда в ° является открытым покрытием пространства (Г, Тг ) . Положим а /' 1 ( /;" ^. Тогда, в силу предложения 2, а является Р — 5 -секвенциально открытым покрытием пространства () и а л{Н} вписано в / 1 (в), где / 1 (в): {/-1 (В) :В е в}.

Достаточность. Итак, пусть х е Н1 \ Н - произвольная точка и ^ - семейство всех Р — 5 - секвенциально открытых множеств пространства X, содержащих точку X. Тогда в силу предложения 1 VПН ^ 0 для любого К е . Введем

обозначение

. Из определения множества ^ следует существование такой последовательности Х^, £ < Ш С Н . которая /' — Л -сходится к точке X. Пусть Ф Х^ - база фильтра, образованная элементами вида Х^, С ЕЕ р, р ЕЕ I* . Фильтр, порожденный базой Ф X , будем назьшать фильтром, ассоциированным с последовательностью . Нетрудно

заметить, что фильтр Ф Х,:_ является более тонким, чем фильтр, порожденный семейством Fx.

Покажем, что А'>: является базисом некоторого фильтра Коши в У, У . Пусть Р £ V - произвольное равномерное покрытие. Тогда найдется такое Р — Я -секвенциально открытое покрытие а пространства (X,T), что ал{Н} вписано в

f 1 (ß). А это означает, что существуют такие A е а и B е ß, что X е у! / ' , следовательно, АГ\Н Е 1' 'х и /I П Н С /' 1 5 , следовательно, / ЛПЯ С в , т.е. fFx является базисом некоторого фильтра Коши, причем этот фильтр грубее фильтра, пороченного образом фильтра Ф X, .

Обозначим через Ф f Х^ - фильтр Коши, порожденный образом Ф Х^ . Тогда, очевидно, фильтр Коши Ф f Х^ , в силу Р — S - секвенциальной полноты равномерного пространства Y,V сходится к некоторой единственной точке ух е Y . Положим yx=F X , если хеН^Н и F X = f X , если хеН . Покажем, что отображение F на множестве H определено корректно.

Для всякого х е Hj Н F X определен как Р — S - предел некоторой фиксированной последовательности Х^, С < 111 С Н - Р — s -сходящегося к точке х, т.е. F х =Р — slimjCj;. Пусть х = Р — slimx^ для некоторой последовательности X, £ < т С Н . Покажем, что

Р — sYxmf х^ =P — s\m\f х^ и, значит, F х =P — s\m\f х^ .

Нетрудно заметить, что фильтр, порожденный образом фильтра Ф X,

I у

ассоциированного с последовательностью X< 111 является более тонким, чем

фильтр, порожденный семейством Fx. Таким образом, образ фильтра Ф X,

является базисом некоторого фильтра, Р — S сходящегося к точке ух = F X , но

тогда ух = Р — s lim / Х'^ . Итак, отображение f: HX^Y определено корректно.

Покажем, что отображение / .' Н —> (} , тг ) обладает следующим свойством: пусть W — Р — S - секвенциально открытое подмножество пространства X. Положим l\ =W Г) Н1, V = W ПН, которые не пусты. Тогда /' l\ c[f F ]. Действительно, для любой точки х Е \ V найдется такая последовательность <т С Н . что F X = Р — S lim / Х^ , откуда непосредственно следует,

что F Vl с[/< V ]. а именно, /' 1\ С F V ^. Осталось показать Р — S -секвенциальную непрерывность отображения f : HY ^ Y.

Пусть x0 е Hj\H и O ( F (x0 )) - произвольная окрестность точки F (x0) .

Тогда по теореме [1], найдется ßx eV для которого ßx (F (х0 )) ^ O ( F (х0 )).

32

Подберем ß е V так, чтобы ß* >- ßx. Тогда, по условию теоремы, существует такое P — S - секвенциально открытое покрытие (X пространства X, что Ч Л {Н} вписано в f 1 В . Подберем такие Леа и В е ß, что Л"0 е А и f (A о H) с B. По определению отображения F и в силу доказанного свойства отображения F , имеем: F (х0 )е[ f (A о H )]с[ B] с в (B) с ß\ (F (х0 )) . Осталось показать, что F (A о Hx )с ßx (F (Х0 )). Известно, что F (A о H ) с [F (A о H )] = [ f (A о H )], поскольку

(х0 )), то получим, что F^n^Jc^fF (х0 )) .

Таким образом, отображение f: HY —> Y является Р — S - секвенциально непрерывным. Мы описали первый шаг трансфинитного построения.

Пусть теперь (X - произвольный фиксированный ординал < т+ . Предположим, что для любого изолированного ординала (X < (X определено Р — S - секвенциально непрерывное отображение Fa : Ha ^ Y такое, что Fa\ = f и для любых ординалов OL < OL < Ч выполняется /• I = F . Таким образом, можно считать,

I — / — а2

что семейство отображений ■ с — а) определяет некоторое отображение

F : ({H ■ а — а)) ^ (Y V) . Пусть а" = inf {ß: ß > а). Очевидно, а"

является изолированным ординалом. Продолжим отображение F на множество H „=^<H , :а —а). Возьмем х е H . \ ,: а'—а), тогда найдется

а а' ) а { а' )

последовательность {х,, с < с 'о, : сх < такая, что х = P — s lim X . Покажем, что для любого V Е Fx существует С (V^ < ОС такое, что F(xf(F))e[/(F пЯ)] для всех и £<а.

Действительно, в силу леммы 2 и свойства Р — S - секвенциально непрерывного отображения, переводящего Р — S - сходящиеся последовательности в Р — S -сходящиеся, нетрудно доказать по трансфинитной индукции следующее: для всякого

сС — а и любого х е H^ оW, где W - секвенциально открытое подмножество

пространства X, справедливо соотношение: F ( х )е[ f (W о H )J. Таким

образом, для любого V е F найдется такое £ (V), что х^ eV для всех

£ > £ (V) . Что и требовалось доказать.

Ранее было показано, что семейство j f (V о H) ,V e Fx ), является базисом некоторого фильтра Коши и, следовательно, семейство множеств jF (V о H), V е F ) является базисом того же минимального фильтра Коши.

Легко заметить, что фильтр Ф е (у ), ассоциированный с последовательностью (У^, ^ < т), где у = F ( у ), является более тонким, чем фильтр Коши, порожденный семейством £ pj. Поэтому, в силу P — S

секвенциальной полноты пространства Y, V фильтр Ф е (у) сходится к некоторой единственной точке ух е Y. Положим Fx = ух . Доказательство того, что определенное таким образом отображение F на множестве H . корректно, мало отличается от доказательства корректности отображения F на множестве Н , .

Нетрудно заметить, что для любого Р — S - секвенциально открытого множества W в X и для произвольного x е H , о W выполняется следующее соотношение

F(x) g f^H^ r^iK^J. Осталось показать P — S - секвенциальную непрерывность отображения F: H . ^ Y.

Пусть x0 е H. и О (F (x0 )) - произвольная окрестность точки F (x0). Тогда найдется такое Д е V . что Д cz 0(/' (х(1)). Пусть ß е V такое, что

ß* >- ßY. Тогда, по условию теоремы, существует такое Р — S - секвенциально открытое покрытие а пространства X, что а А Я вписано в f ß . Подберем такие A е а и B е ß, что x0 е A и У (A о H)с B. По доказанному выше имеем: F (x0 )е[ f (A о H )] с [ B] с ß (B )с ß (F (х0 )) . Пусть теперь x! е H. о A . Тогда F (x! )е [ f (A о H)] с ßx (F (х0 )) и, следовательно, /{А гл Нч ) с= Д (/-'(x0)) с= <9(/<(х0)). Итак, отображение F: На. Y

является Р — S - секвенциально непрерывным. Доказательство по индукции завершено. Таким образом, существует такое отображение /• ; X —> У . что F\ : Н ч —> У является P — S - секвенциально непрерывным. В силу леммы 1,

отображение F: X —> Y является Р — S - секвенциально непрерывным. Теорема доказано полностью.

Литература

1. Борубаев А. А. Равномерные пространства: Учебное пособие. - Фрунзе, 1987.-85с.

2. Болжиев Б. А. Об одном классе пространств, содержащем секвенциальные пространства. - Кирг.гос.ун-т им. 50-летия СССР.- РНТБ Кирг. ССР 16.11.87. № 320.

3. Bernstein A. R. A new kind of completeness for topological speces // Fund. Math.-1970.- V.66-P.185-193.