CC BY
23
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 62-50 © Л. В. Спесивцев
О ПРИВЕДЕНИИ ДВИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ В ОКРЕСТНОСТЬ ВЫБРАННОЙ ТОЧКИ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ1
Введение
Рассматривается управляемая система на конечном промежутке времени, стесненная фазовым ограничением. Предлагается метод построения управления, приводящего движение управляемой системы в окрестность выбранной точки на множестве из системы множеств, аппроксимирующей множество достижимости. Метод базируется на «пиксельном» (сеточном) представлении фазового пространства системы.
§ 1. Основные определения
Пусть дана управляемая система, поведение которой описывается уравнением
x = f (t,x,u), u € P, t € I, I = [to,e], to <в< to. (1)
Здесь x — m -мерный вектор системы, u — управление, P — компакт в евклидовом пространстве Rm.
Предполагается, что для этой системы выполнены стандартные условия (см. [6]).
Поставим в соответствие уравнению (1) дифференциальное включение (ДВ)
X € F(t,x), t € I, F(t,x) = co{f(t,x,u) : u € P}, (2)
где coY означает выпуклую оболочку множества Y.
Наряду с системами (1) и (2) задано замкнутое множество Ф € I х Rm, имеющее непустые сечения Ф^) = {x € Rm : (t, x) € Ф}, t € I, причем Ф(в) - компакт в Rm. При этом предполагаем, что выполнено следующее условие относительно множества Ф :
sup d^(t*), Ф(Г)) ^ х(£), £> 0,
t*,t*€[to,0],||t*-t* |<<5
где функция х(^) удовлетворяет предельному соотношению lim х(^) = 0.
5J.0
Будем говорить, что решение x[t], x[t*] = x* уравнения (1) или ДВ (2) является выживающим в Ф, если (t,x[t]) € Ф, t € [t*,e].
Обозначим через X(t*; t*, x*), to ^ t* ^ t* ^ в, множество всех x* € Rm, в которые приходят в момент t* всевозможные выживающие в Ф решения x[t], x[t*] = x*, ДВ (2). Полагаем также
X(t*; t*,X*)= U X(t*;t*,x*), X* С Rm.
ж*
Множеством достижимости X ДВ (2) в множестве Ф на отрезке [to, в] назовем множество всех точек (t*,x*) € Ф, таких, что x* € X(t*; t0,X0).
Полагаем, что задана последовательность {Гп} разбиений Гп = {to, ti,..., t^(n) = в} временного интервала I так, что диаметры разбиений стремятся к нулю с ростом номера n. Пространство Rm разбито на m -мерные кубы Bj с центрами bj и вершинами, отстоящими от центров на величину jn ^ (A(n))3/2. На каждом множестве F(t, x), (t, x) € I х D, с помощью некоторого правила задана конечная £n -сеть F (5n)(t, x) = {f € F (t, x) : k = 1, 2,...,Ko }, такая, что d(F(t, x),F(5n)(t, x)) ^ £n ^ (A(n))1/2.
хРабота выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 05-01-00601-а, № 04-01-96099-р2004урал_а) и Программы поддержки ведущих научных школ РФ (грант № НШ-8512.2006.1).
Полагаем, что с учетом дискретизации временного интервала I, пространства Rm и множеств F(t,x), (t, x) € I х D, для для каждого разбиения Гп задана последовательность {X(n) (ti)} множеств, аппроксимирующая множество достижимости X ДВ (2). Способ построения такой системы можно найти в [6].
§ 2. Задача о приведении движения управляемой системы в окрестность выбранной точки множества достижимости
Пусть на множестве из аппроксимирующей системы множеств в момент времени t_N, N = N(n) выбрана некоторая точка y[tN] и задано е* > 0.
Требуется построить допустимое управление u*(t), t € [to, в] , приводящее фазовый вектор x[t] системы (1) из начального множества Xo в е* -окрестность точки y[tN] в момент tN :
x[tN] € Oe* (y[tN]) = {x € Rm : ||x - y[tN] у ^ е*}.
При этом должно выполняться включение
x[t] € Ф(0е*, t € [to, tN].
В настоящей работе рассматривается способ построения требуемого управления u*(t) = u*(t*), t € [ti, ti+i), i = 0,1, ...,N — 1, и устанавливается справедливость следующей теоремы:
Теорема 1 (о построении движения). Для любого е* > 0 найдется такой номер n*, что для всякого n > n* управление u*(t) = u*(ti), t € [ti, ti+i), i = 0,1, ...,N — 1 порождает движение системы (1) x[t], t € [to, в], удовлетворяющее включениям
x[t] € Ф^)е*, t € [to,tN],
x[tN] € Oe* (y[tN]).
Список литературы
1. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука. 1974.
2. Куржанский А. Б., Филиппова Т. Ф. Дифференциальные включения с фазовыми ограничениями. Метод возмущений. // Оптимальное управление и дифференц. ур-ния. Тр. МИ РАН. Т. 211. М. 1995. С. 304-315.
3. Филиппова Т. Ф. Задачи о выживаемости для дифференциальных включений. // Дис. ...докт. физ.-матем. наук: Екатеринбург: Ин-т матем. и механ. УрО РАН, 1992. 266 с
4. Никольский М. С. Об аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения. // Вестн. МГУ. Сер. Вычисл. матем. и кибернетика. 1987. Т. 4. С. 31-34.
5. Незнахин А. А., Ушаков В.Н. Сеточный метод приближенного построения ядра выживаемости для дифференциального включения. // Распределенные системы: оптимизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде. Сборник докладов к Международной конференции. Научное издание. Екатеринбург: УрО РАН 2000. с. 156-158.
6. Незнахин А. А. Построение ядер выживаемости в нелинейных задачах управления. // Дис. ...канд. физ.-матем. наук: Екатеринбург: Ин-т матем. и механ. УрО РАН, 2001. 132 с.
7. Aubin J.-P. Viability Theory. Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 1991.
8. Saint-Pierre P., Quincampoix M. An algoritm for viability Kernels in Holderian case: approximation by discrete dynamical systems // J. Math. System Estim. Control. 1995, V. 5, №1. P. 115-118.
9. Ушаков В. Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения. // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика Т. 4., 1980. с. 32-45.
Спесивцев Леонид Валерьевич
Институт математики и механики УрО РАН,
Россия, Екатеринбург e-mail: [email protected]
