О применении символьных вычислений для построения обобщенно периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полилинейной правой частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

О ПРИМЕНЕНИИ СИМВОЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ОБОБЩЕННО ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЛИЛИНЕЙНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

© М.А. Кириченко, H.A. Рубанов, Э.П. Агабекян

Ключевые слова: символьные вычисления; метод последовательных приближений Пикара; система Лоренца; построение нелокальных решений систем дифференциальных уравнений с полилинейной правой частью.

На основе метода последовательных приближений Пикара строится решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полилинейной правой частью.

1. Введение

Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с полилинейной правой частью, векторная запись которой имеет следующий вид:

x = f (x); (1.1)

здесь x = (x1,...,xn) — векторная функция действительного переменного t, а

f = (f1,..., fn) — действительная векторная функция, каждый элемент которой fг является многомерным многочленом переменных xl,...,xn. При этом степени многочленов fг и fj могут не совпадать.

Для отыскания решений системы (1.1) часто используют стандартные численные методы, не учитывающие вид правой части системы. Целью настоящей работы является разработка метода построения решений системы (1.1), учитывающего то, что каждый элемент fг функции f является многочленом переменных x1,...,xn.

2. Локальные решения системы

x(t)

x(0) = xo. (2.1)

Заменим (1.1) интегральным уравнением

t

x(t) = x0 + J f (х(т)) dr. (2.2)

o

Введем следующие обозначения, а и q — некоторые положительное числа. Г — компактная часть (п + 1) -мерного евклидова векторного пространства Rn+1, задаваемая неравен-

ствами \х — х0\ ^ а, |t| ^ q.

Также выведем некоторое положительное число r ^ q, которое будет определено ниже. Наряду с Г введем в рассмотрение более узкое компактное множество Гг С Rn+1, задаваемое неравенствами

\x — x0\ ^ а, \t\ ^ r. (2.3)

Обозначим через Пг — множество непрерывных функций, графики которых содержатся в Гг. Рассмотрим оператор

ь

Л<£ = хо + У /(^(г)) йт. (2.4)

Поскольку множество

£ = {х е М™ : \х — х0\ ^ а} (2.5)

компактно, найдется такое положительное число М, что для всех х е £ выполнено неравенство

\/(х)\ < м. (2.6)

Тогда из условия

т«М (2-7)

будет следовать, что оператор (2.4) является оператором, отображающим множество Пг в себя [1]. Поэтому предположим, что число т в (2.3) выбрано так, что выполнено неравенство (2.7).

Заметим теперь, что система (1.1) имеет единственное решение х(Ь) с начальным условием (2.1), определенное на некотором отрезке [—Т,Т]. Поэтому уравнение (2.2) также имеет единственное решение х(Ь), определенное на отрезке [—Т,Т]. Для отыскания этого решения будем использовать метод последовательных приближений Пикара и запишем

ь

хм+\(£) = хо + У /(хм(т)) йт. (2.8)

о

Действуя как обычно, положим

х\(1) = х0. (2.9)

Тогда несложно заметить, что существует некоторая итерация

Лр^ = Л.уЛ <р

р

оператора Л, являющаяся сжатием [1]. Следовательно, метод последовательных приближений (2.8), удовлетворяющий условию (2.9), на отрезке [—т,т] равномерно сходится к решению х(£). Остается построить последнее.

3. Нелокальные ограниченные решения

Пусть теперь х(£) — некоторое решение системы (1.1) с начальным условием (2.1), определенное для всех значений £ ^ 0 и содержащееся при этих значениях £ в множестве £, задаваемом равенством вида (2.5), в котором а — некоторое надлежащим образом подобранное положительное число. Тогда найдется такое достаточно большое положительное число М, что при х е £ выполнено неравенство (2.6).

а М Т

Т = —.

М

При всех значениях £ ^ 0 положим

хк (¿) = х(£ + (К — 1)Т), К = 1, 2,... (3.1)

о

Легко видеть, что каждая из функций семейства (3.1) является решением системы (1.1), определенным для всех значений t ^ 0 и содержащимся при этих значениях t в множестве £. С другой стороны, в силу ограниченности решения x(t) число M изначально может быть подобрано так, чтобы при выполнении условий

\x — xK(t)| ^ a, |t| ^ T

для всех значений K = 1, 2,... было также выполнено неравенство (2.6).

4. Приближенное построение решений

x(t)

для всех значений t ^ 0. Обозначим через

x(0),x(T),...,x(KT),... (4.1)

положения системы (1.1) в моменты времени

0,T,..., KT,... (4.2)

Далее введем в рассмотрение оператор дг.

x(t) = gbxo.

В частности, x(T) = gTxo, и, следовательно,

x(KT ) = gT...gTx0, K = 0,1,... (4.3)

K

Таким образом, если оператор gt построен, соотношение (4.3) однозначно задает положения (4.1) системы (1.1) в моменты времени (4.2).

5. Численный эксперимент

В качестве простейшего приложения приведенной выше схемы вычислений рассмотрим задачу приближенного построения решений системы Лоренца:

x = a(y — x),

y = sx — y — xz, (5.1)

z = xy — bz.

Для простоты ограничимся рассмотрением следующего случая классических значений параметров: a = 10, s = 28, b = 8/3 и положим x(0) = x0, y(0) = y0, z(0) = z0 и

gN = (xN ,yN i zN ^ N = 1, 2,...

Для заданной точности e признаком окончания итеративного процесса построения оператора gN в силу критерия сходимости Коши служило выполнение неравенства

max \gNс — g^+1с\ < e,

O^t^r

где с = (xo,yo, zo), а вычисления выполнялись с точностью до сорокового знака. Траектории системы (5.1) строились для широкого спектра начальных условий. Здесь, в частности, рассмотрим случай траектории K, описываемой решением с начальным условием

xo = —15.720831, yo = —16.587193, zo = 36.091132, (5.2)

взятым в непосредственной близости от аттрактора.

6. Выводы

Таблица 1

Структура решения системы (5.1) с начальным условием (5.2), описывающего типическую траекторию K

.№ t x(t) y(t) z(t)

1 0 -15.720831 -16.587193 36.091132

2 17.334 -15.659134 -16.566101 35.954224

3 45.017 -15.652555 -16.566140 35.938103

4 67.104 -15.689783 -16.635305 35.964610

5 86.686 -15.812414 -16.750982 36.164029

25 20 15 10 5

^ 0 -5 -10 -15 -20 -25

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

x

Рис. 1. Проекция на плоскость xOy дуги типической траектории K, построенной по

точкам (4.3) на отрезке времени [0, 90]

Не обнаружено каких-либо убедительных признаков существования циклов в системе Лоретща (табл. 1, рис. 1); чтобы полностью убедиться в этом достаточно, например, построить векторное поле системы (5.1) в приведенных здесь точках. Поэтому, поскольку существенного снижения скорости движения точки не зафиксировано, скорее всего, можно считать, что K -компактное минимальное множество, состоящее из незамкнутых рекуррентных траекторий [2-4]. Эти траектории, возможно, не являются даже почти периодическими, т. к. некоторое локальное разбегаттие типических траекторий в ходе вычислений наблюдалось [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1972. Т. 2. С. 10.

2. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // .1. Athmos. Sci. 1963. V. 20. P. 130-141.

3. Магницкий H.A., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: URSS, 2004.

4. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: URSS, 2004.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты .№ 10-07-00136, .№ 11-07-00098).

Kirichenko М.A., Rubanov N.A., Agabekyan Е.А. About application symbolic computing for construction of generalized-periodic solutions of systems of ordinary differential equations with multilinear right side. Based on the method of successive approximations of Picard based decision systems ordinary differential equations with multilinear term.

Key words: symbolic computation; the method of successive approximations of Picard; Lorenz system; the construction of non-local solutions of system of ordinary differential equations with multilinear right side.

Кириченко Михаил Александрович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры ПМиИ, e-mail: kirimedia@gmail .com.

Рубанов Никита Александрович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры ПМиИ, e-mail: [email protected].

Агабекян Эмиль Паргевович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры экономического анализа, e-mail: [email protected].

УДК 517.977

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ В ОДНОЙ ПОВТОРЯЮЩЕЙСЯ НЕАНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЕ ТРЕХ ЛИЦ

© А.Ф. Клейменов

Ключевые слова: повторяющаяся игра трех лиц; конечное число стратегий; типы поведения.

В рассматриваемой игре два игрока действуют в классе смешанных стратегий, а третий игрок — в классе чистых стратегий. Предлагаемый подход к построению динамики повторяющейся игры основан на: принципе неухудшения гарантированных выигрышей игроков [1, 2], на специальной процедуре нахождения нэшевских решений в вспомогательных биматричных играх, а также на использовании различных типов поведения игроков [3, 4]. Рассмотрен пример игры трех лиц типа дилеммы заключенного [5].

Рассмотрим следующую повторяющуюся игру трех лиц с конечным числом стратегий. Обозначим через I, т и п число стратегий игроков 1, 2, и 3 соответственно. Обозначим через ,д%]к и выигрыши игроков 1, 2 и 3 соответственно, доставляемые тройкой

стратегий (г, ], к), где г Е Ь = {1,..., I}, ] Е М = {1,..., т} и к Е N = {1,..., п}.

Пусть игроки выбирают свои стратегии последовательно в моменты 1, 2,.... Предполагаем, что в каждый момент £ игроки 1 и 2 действуют в классе смешанных стратегий, в то время как игрок 3 использует только чистые стратегии из множества N. Смешанные стратегии р = (р\, ...,Р1) игрока 1 и р = (51, ...,5т) игрока 2 определяются стандартным образом и выбираются из симплексов Б-1 и Бт-1 соответственно. При фиксированном состоянии игры (р*, р, к*) Е Б = £_1 х Бт_1 х N ожидаемый выигрыш игрока 1 определяется формулой

I т

¡(р, р, к) = ^ ^ РьШЖзЬ. (1)

i=1]=1