CC BY
38
Абаев П.О.1, Бесчастный В.А.2, Гайдамака Ю.В.3
1 Российский университет дружбы народов, г. Москва, к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей, pabaev @ sci . pfu. edu. ru
2 Российский университет дружбы народов, г. Москва, магистр кафедры прикладной информатики
и теории вероятностей, vbeschastny@sci.pfu.edu.ru
3 Российский университет дружбы народов, г. Москва, к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей, ygaidamaka @ mail.ru
О ПРИМЕНЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТОЧЕЧНЫХ ПРОЦЕССОВ В РЕШЕНИИ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ БЕСПРОВОДНЫХ СЕТЕЙ С УСТАНОВЛЕНИЕМ ПРЯМЫХ СОЕДИНЕНИЙ8
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Пространственные точечные процессы, SIR, D2D. АННОТАЦИЯ
Наиболее точные результаты при моделировании беспроводных сетей позволяют достичь процессы твердого ядра Матерна. Тем не менее они достаточны сложны для анализа, и потому часто вместо них применяют пуассоновские пространственные процессы, которые отличаются своей простотой и широким применением в различных направлениях исследований. При этом переходе происходит некоторая потеря точности. В работе проводится оценка целесообразности такого перехода в контексте беспроводных технологий передачи данных, в которых ключевым показателем качества функционирования является отношение сигнала к интерференции SIR между взаимодействующими устройствами.
Установление прямых соединений между близко расположенными мобильными устройствами позволяет эффективно использовать выделенный спектр частот, увеличить общую пропускную способность сети, а также позволяет предоставлять услуги на базе технологии P2P (Peer-to-Peer) и определения текущего местоположения (Location-based services). Еще одним преимуществом такого типа соединений является возможность организации с помощью LTE-устройств (Long Term Evolution), поддерживающих технологию D2D (Device-to-Device), сетей общественной безопасности, которые должны функционировать там, где сотовая связь недоступна по тем или иным причинам, например, в случае возникновения аварийных ситуаций. Внедрение D2D-технологий постепенно ставит вопрос о пересмотре традиционной архитектуры сотовых сетей, центральными элементами которых являются базовые станции (рис. 1) [1]. Также к преимуществам использования D2D-технологии относятся[2]:
• высокая скорость передачи данных и низкая задержка за счет прямого соединения на малом расстоянии;
• более эффективное с точки зрения использования ресурсов устройств прямое взаимодействие, чем через базовую станцию и (возможно) базовую сеть;
• экономичное использование энергоресурсов беспроводных устройств;
• увеличение зоны покрытия за счет механизма ретрансляции.
При организации D2D-соединений возникает множество требующих решения задач. Одной из наиболее принципиальных задач является разделение частотного ресурса между двумя типами соединений: D2D-соединениями и соединениями традиционной сотовой связи.
Совокупность различных аспектов, в том числе интерференция и безопасность, не позволяет с уверенностью дать ответ на вопрос: должны ли D2D-устройства использовать строго выделенный для них спектр частот, или у них может быть доступ к частотам, используемым устройствами сотовой связи. К тому же, задача распределения частот осложняется тем, что устройства в некоторых случаях могут переключаться между обоими типами соединений. Ответ может быть получен с помощью решения задач, целью которых является оптимизация
8 Работа выполнена при поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 14-07-00090, 15-07-03051, 15-07-03608.
архитектуры и параметров сети, обеспечивающих наилучшие показатели её производительности, и последующего сравнительного анализа полученных результатов. К наиболее важным показателям можно отнести пиковые скорости передачи данных между устройствами, задержка начала передачи данных, соотношение сигнала к интерференции SIR (Signal-to-Interference Ratio), энергосбережение, эффективность использования частотного спектра и др.
eNIBl
Зона покрытия
S \
Ca моорга ни зующееся D2D сое,дунение вне зоны покрытия
Рис. 1. Беспроводная сеть с установлением D2D-rneduHeHuü
4
3
г -
ö а
О) (6)
Рис. 2. Процессы твердого ядра МНС 1 (а) и МНС 11 (б), полученные из исходного пуассоновского
пространственного процесса
Одними из наиболее интересных задач при изучении установления соединений в D2D-сетях являются задача поиска оптимального метода распределения данных в узлах сети для обеспечения высокой вероятности их доступности, а также задача выбора стратегии оптимального хранения файлов в сети. Для их решения в [3] применятся пуассоновские пространственные процессы (PPP, Poisson Point Process). Однако по сравнению с процессами твердого ядра Матерна (MHC, Matern Hardcore Process) PPP не позволяет достаточно точно учитывать факторы, оказывающие влияние на процесс передачи данных между устройствами, такие как расположение устройств относительно друг друга, затухание сигнала, интерференция и др. [4,5]
Для получения процессов Матерна различают два способа зависимого прореживания (т. е.
прореживание зависит от исходного процесса):
1.MHC I - процесс получается путем удаления каждой пары точек, расстояние между которыми меньше, чем параметр r (рис. 2 (а));
2.MHC II - процесс получается путем удаления точки с большим весом из каждой пары точек, расстояние между которыми меньше, чем параметр r (рис. 2(б), в центре окружностей находятся точки с меньшим весом).
При этом количество оставшихся точек будет распределено также, как и в случае с PPP, в
PPP п г2
соответствии с пуассоновским распределением с параметром XMHC=-2-[6].
П Г
Таким образом, алгоритм прореживания для получения МНС II процесса можно представить в виде:
points_field ^ (empty) for each k from 1 to n do point ^ ^ point.marker ^ k
end for
join point to points_field points_to_delete ^ (empty) for each point in points_field do
for each neighboring_point in points_field do
if || point - neighboring_point || < r and neighboring_point.marker <
point.marker then
if point £ points_to_delete then
join point to Points_to_delete
end if
(next point)
end if
end for
end for
for each point in points_to_delete
delete point from Points_field
end for
Выбор модели оказывает большое влияние на значение интерференции, в то время как влияние на SINR значительно меньше. В большинстве случаев MHC II-типа дает лучшее приближение, чем MHC I-типа [5]. Однако такие процессы очень сложны для анализа, поскольку получение аналитического решения в этом случае представляется практически невозможным. Часто их заменяют хорошо изученными и относительно простыми пространственными пуассоновскими процессами, с интенсивностью, полученной с помощью модели МНС [6]. Для PPP, в частности, известно распределение расстояний до n-ближайшего соседа [7], которое имеет классический вид гамма-распределения (1):
грП_ 1
f (t,n)=--Г-t> 0, n= 1,2,... (1)
(n-1)!
где t = пХpppr2 , что практически полностью определяет все характеристики взаимодействия устройств в модели.
В работе исследуется возможность и точность аппроксимации процессов твердого ядра Матерна пространственными пуассоновскими процессами. Оценка точности построена на анализе расстояний между устройствами, а также отношения сигнала к интерференции SIR [8].
Рассмотрим фрагмент сети, который представляет собой плоскость с распределенными на ней устройствами. Для простоты будем считать, что на плоскости нет объектов, которые могли вызвать затухания сигнала, мощности сигнала всех устройств положим равными. В рамках данной работы рассматривается только нисходящий сигнал от устройств-источников, которые в процессе функционирования могут вызывать явление интерференции. Таким образом, имеет смысл рассматривать все устройства как потенциальные источники.
Из представленных упрощений можно получить формулу для определения SIR в виде (2).
,
Где а - показатель затухания сигнала в среде (далее в работе полагается а = 2, что соответствует наиболее приближенным к идеальным условиям), ¡0 - расстояние между рассматриваемой парой «целевой источник-приемник» (ЦИ-П), ¡{ - расстояние между парами
«целевой источник-интерферирующий /-источник» (ЦИ-ИИ), д - мощность сигнала от источников, N+1 - общее количество источников (рис. 3).
Передающее устройств о (ЦИ)
Принимающее устройство (П)
Интерферирующая базовая станция (ИИ 1)
Интерфери рующее устройство (И И 2)
Рис. 3. Пары ЦИ-П и ЦИ-ИИ
Рис. 4. Эмпирические функции плотности распределения расстояний до ближайших пяти ИИ при (a) MHCII, (б)
PPP
Как уже ранее отмечалось, наиболее интересным параметром при исследовании взаимодействия беспроводных устройств является SIR, которое в общем случае является случайной величиной и меняется в зависимости как от принимающего устройства, так и от момента времени. Из формулы (2) видно, что наибольший вклад в уменьшение этого показателя
привносят ближайшие устройства, поэтому целесообразно проводить анализ в контексте именно таких устройств. Для определенности будем рассматривать пять пар ЦИ-ИИ с наименьшими расстояниями. На рисунке 4 представлены эмпирические функции плотности распределения расстояний, из которых видно, что отличия в расстояниях, даже в среднем значении, существенны. Результаты показаны для пространственных процессов с интенсивностями Xмнс= Xррр = 1 ИИ/м2, параметром MHC-процесса г=1.
На рисунке 5 представлены эмпирические функции распределения и функция плотности
' 1 1 3
SIR для пары ЦИ-П, где источник находится в трех положениях: 10
— r;—r;—r 4 2 4
Параметры
моделирования аналогичны.
\
0,95 0.9 0.В5
HL
0-7S
0-7
0.65. 0.6
-1-1— -1-1-1 -1-^—1-—
■■........- у. -i-%
^ МНСЕ.^-%
ррр.;,-/
MHCH.it-*/ -
ррр. -,-1'/
MHCZ.I,-:'/
{ 1
т F ' 1 1 1 1 1 1 1 1
10
РРР. j МЫС И, . ррр..
в -
•ГЛ •'А "А
МНС РРР.; -
шсл.^-^
RS
0,05 0,1
0.15 0.2 0.25
SIR. дБ (а)
0.3 0,35 а.4
0-CS
0.15 0.2 0.25 т. дБ (6)
0,3 0.35 0.4
Рис. 5. Эмпирические функция распределения (а) и функция плотности (б) SIR для ЦИ-П
Таким образом, можно сделать вывод о том, что в терминах SIR погрешность при переходе между процессами усугубляется еще больше.
В качестве критерия целесообразности перехода от MHC к PPP выберем критерий Фишера равенства выборочных дисперсий SIR [9]. В случае если критерий Фишера выполнятся при некотором наборе исходных параметров, то переход между процессами не приведет к значительной потер точности. В случае если критерий не выполняется, переход приведет к резкому ухудшению приближенности моделируемых процессов к реальным. На рисунке 6 представлена диаграмма, где обозначена область (зона 1) значений параметров, на которых критерий выполняется полностью.
В зонах 2 и 3 критерий не выполняется только для не более чем двух и четырёх ближайших пар ЦИ-ИИ соответственно.
Г
Стоит отметить, что на рисунке 6 по оси абсцисс отложены значения параметра y — — , где
S
S - это площадь исследуемого фрагмента сети. Несложно показать, что при выполнении этого соотношения, результаты являются действительными для любых плоскостей выпуклой формы. Исключением являются слишком малые плоскости, площадь которых не позволяет разместить статистически достаточное количество устройств (приблизительно менее 25 м2).
О 1-25 2.5 3-~5 5 0
г. хКГ'лГ1
Рис. 6. Критерий Фишера равенства выборочных дисперсий SIR
В работе построена математическая модель взаимодействия беспроводных устройств, применимая для решения задач оптимизации для беспроводных сетей с установлением D2D-соединений. Установлено, что аппроксимация процессов твердого ядра Матерна пространственными пуассоновскими процессами приводит к значительной потери точности при моделировании процессов. Тем не менее, существует ограниченная область значений параметров системы, при которых такой переход не влечет за собой качественного ухудшения приближенности модели к реальным процессам, и при этих значениях пуассоновские пространственные процессы могут применяться с большой долей уверенности.
Литература
1. Hesham ElSawy, Ekram Hossain, Mohamed-Slim Alouini Analytical Modeling of Mode Selection and Power Control for Underlay D2D Communication in Cellular Networks // IEEE Ieee Transactions on Communications, Vol. 62, No. 11. - 2014, pp.4147-4161.
2. Hesham ElSawy, Ekram Hossain, Martin Haenggi Stochastic Geometry for Modeling, Analysis, and Design of Multi-Tier and Cognitive Cellular Wireless Networks: A Survey// IEEE Communications Surveys & Tutorials, Vol. 15, No. 3. - 2013, pp.996-1019.
3. Derya Malak, Mazin Al-Shalash Device-to-Device Content Distribution: Optimal Caching Strategies and Performance Bounds // IEEE ICC 2015 - Workshop on Device-to-Device Communication for Cellular and Wireless Networks. - 2015, pp.664-669.
4. Abdelrahman M. Ibrahim, Tamer ElBatt , Amr El-Keyi Coverage Probability Analysis for Wireless Networks Using Repulsive Point Processes // IEEE 24th International Symposium on Personal, Indoor and Mobile Radio Communications: Fundamentals and PHY Track. - 2013, pp.1002-1007.
5. Qiaoyang Ye, Mazin Al Shalash, Constantine Caramanis, Jeffrey G. Andrews Device-to-Device Modeling and Analysis with a Modified Matern Hardcore BS Location Model // IEEE Communication Theory Symposium. - 2013, pp.1825 1830.
6. F. Baccelli, B. Blaszczyszyn Stochastic geometry and wireless networks, vol. 1. Now Publishers Inc, 2009. - 150 c.
7. D. Moltchanov Distance distributions in random networks // Tampere University of Technology. - 2013, pp.1-32.
8. Begishev V., Kovalchukov R., Samuylov A., Ometov A., Moltchanov D., Gaidamaka Yu., Andreev S.,Koucheryavy E. An analytical approach for SINR estimation in adjacent rectangular premises // Proc. of the 15th IEEE International Conference on Next Generation Wired/Wireless Networking NEW2AN 2015. - 2015, pp.446-458.
9. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.: Радио и связь, 1989. - 656 с.
