CC BY
12
О применении одного класса интегральных штрафных функций...
УДК 517.5
О применении одного класса интегральных штрафных функций при решении вариационных задач
Т.В. Саженкова1, А.Н. Саженков1, Е.А. Плотникова2
'Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия) 2Новосибирский государственный технический университет (Новосибирск, Россия)
Application of One Class of Penalty Functions for Solving Variation Problems
TV. Sazhenkova1, A.N. Sazhenkov1, E.A. Plotnikova2
'Altai State University (Barnaul, Russia)
Novosibirsk State Technical University (Novosibirsk, Russia)
Применение методов штрафных функций при решении нелинейных экстремальных задач с ограничениями позволяет использовать методы безусловной оптимизации. В этом направлении хорошо известны работы таких авторов, как А. Фиакко, Г. Мак-Кормик, Ж. Сеа, Э. Полак, И.И Ерёмин, Б.Т. Поляк и др. Наиболее полно в литературе представлены исследования вопросов сходимости метода штрафных функций для задач выпуклого программирования с конечным числом ограничений. При этом рассматривается вполне определенный круг функций в качестве штрафных. Для сведения численного решения задачи минимизации нелинейного выпуклого функционала на выпуклом замкнутом множестве в пространстве Соболева к решению экстремальной задачи на всем пространстве предлагается использовать класс интегральных штрафных функций, введенный в работах А.А. Каплана.
В данной работе проводится исследование интегральных штрафных функций в сравнении с результатами исследований для случая конечного числа ограничений. С использованием применяемых в этих исследованиях методов доказывается теорема, предоставляющая оценку скорости сходимости метода штрафов с интегральными штрафными функциями. Полученные результаты могут быть применены при численном исследовании задач данного вида.
Ключевые слова: минимизация квадратичного функционала, интегральные штрафные функции, выпуклое программирование.
DOI 10.14258/izvasu(2018)1-22
Application of penalty function methods for nonlinear constrained extremum problems allows using unconstrained optimization methods. In this direction, the works of such authors as A.V. Fiacco, G.P. McCormick, J. Cea, E. Polak, I.I. Eremin, B.T. Polyak and others are well known. Investigation of the penalty function method convergence for convex programming problems with a finite number of constraints is the most complete in the literature. In this case, a completely defined range of functions is considered as a penalty.
We consider the minimization problem of non-linear convex functional on the convex closed set of Sobolev spaces. To solve this problem, one class of integral penalty functions introduced in papers by A.A. Kaplan is used. This leads to extremum problem on the whole Sobolev space. The estimation of convergence rate of the penalty method with integral penalty functions is obtained by generalizing the investigation methods for the case of a finite number of restrictions on the case of integral penalty functions. The obtained results can be used in numerical studies of similar problems.
Key words: quadratic functional minimization, integral penalty functions, convex programming.
Введение. Пусть Б — область в пространстве Л2, Г — кусочно-гладкая граница В, пространство У = Н (В) — пространство Соболева, т. е.
ди
У = | и(х1Ух2) и(х1Ух2) е I2 (В),^— е I2 (В),г = 1,2, и = 0 почтивсюдуна Г к
К={и(х1,х2)| и(х1,х2)е У,|grad и(х1,х2)| < 1 почтивсюду в в} .
Подмножество К является выпуклым замкнутым множеством пространства V. В работе рассматривается задача минимизации на К функционала
du dv
1 (U) //(5a dxj dxt
- a0uv)dxldx2 — 2 // fudx1dx2,
где ац = ац (xi,x2) = ai (xi,x2) e L™ (D),
a0 = a0 (x1,x2)> 0 почти всюду в D, f = f (x1, x2) eL2 (D
является решением задачи (-) + (-) = 1,
dx dx.
^(х1, х2) = 0 на Г. Поэтому для правильного многоугольника решение исходной задачи может быть сведено к решению вариационно-разностной задачи на неотрицательной четверти [2].
Для произвольной выпуклой области В с кусочно-гладкой границей задачу минимизации функцио-прерывной на У, удовлетворяющей условию нала I (и) на К предлагается решать методом штрафов
Здесь билинейная форма
г* г* х2 л du dv a(u, v)= II (/ ai■---+ a0 uv)dx1dx2 является не
D ij=! dxj dxi
/ a^ (x1, x2 > тЦеЦ2, Y> 0 почти всюду в В
j=i
для любого £ е Л2. Данное условие дает для функционала I(и) выполнение следующего неравенства:
I(и)-1(и )> 7||ц - и2||2.
Оператор, отвечающий представленной билиней-
с использованием следующих интегральных функций штрафа: Ф(к0(u) = AkJJ(g(u) + Jg2(u) + A-2-' )dx1dx2,
где t > 0 — константа, Ак > 0, Ак
2
при к ^, g(u) = grad и(х1,х2) -1.
Эти функции введены в рассмотрение ной форме, обозначим А, таким образом, А.А. Капланом [2]. Для их применения к различным а(и,V) = (Аи,V). Тогда задача минимизации функци- задачам и допустимым множествам, естественно, тре-
онала I(u) на K равносильна задаче упруго-пластич- буется обсуждение возможности использования их
ности [1]:
Au = f в D—,
|grad u(x1,x2)| = 1 в D1, где D— = {(x1,x2) | |grad u(x1,x2 )| < l} , Dj ={(xj,x2^ |grad u(xj,x2)| = l},
du
в качестве штрафных, а также вопросов сходимости.
Случай конечного числа ограничений. В работах [3-7] представлены исследования вопросов сходимости методов штрафных функций в применении к задаче минимизации выпуклой функции f на компакте К С Л", задаваемом системой неравенств gj (х) < 0, } = 1,2,..., т с выпуклыми функциями gj, в предположении, что существует точка х0, в которой gj(х0) < 0 для всех } (не пустая внутренность К). При этом в [3-5] рассматриваются штрафные функ-
а функции u(x1,x2) и -(x1,x2), i = 1,2 — «непре- ции типа срезки, обратная, логарифмическая и пока-
dxi зательная штрафные функции, а в работах [6, 7]
рывны» на кривой, разделяющей Ви D1. Здесь В_ яв- для решения поставленной задачи методом штрафов
ляется областью упругости, В1 — областью пластич- А.А. Капланом вводятся в рассмотрение функции:
ности, в них выполняются разные по сути уравнения. фк')(x) = Akgj(x) + ^g2(x) + A-2-'), ' > 0 — кон-
Условия |grad u(x1,x2)| < 1 и {u(x1,x2) = 0 на Г} станта, Ak > 0, Ak ^+ж .
(Аналогом этих функций и являются интеграль-
для правильного многоугольника В эквивалентны ус- ные штрафные функции.) В работах [8-10], с опорой
ловию u(x1,x2)<'■p(xl,x2), где функция ^(x1,x2) на предшествующие результаты и методы исследова-
D
D
О применении одного класса интегральных штрафных функций.
ний [3-6], установлена справедливость двух следующих теорем.
Теорема 1. Система функций:
, t > 0 —
m / i-
Фк'(*) = Цg,(x) + ^g2(x) + А—
j=i
Интегральные функции штрафа. Основываясь на результатах и алгоритмах работ [7-10], для рассматриваемых интегральных функций достаточно просто можно проследить удовлетворение их условиям принадлежности к штрафным функциям и установить справедливость следующей теоремы сходимости по-
константа, Ak > 0 , Ak ^ +< при к ^ +< обладает следовательности приближенных решений.
свойствами:
1. Ф' : Rn ^ R — выпуклые функции.
2. lim Ф^(х) = 0, если x е intK.
3. lim Ф^М = +<, если x 0 K.
4. Начиная с некоторого номера функции
Теорема 3. При реализации метода штрафов для решения задачи минимизации функционала I(и) на К с использованием системы интегральных штрафных функций начиная с некоторого номера выполняется следующая оценка скорости сходимости метода:
\\и — и* <-
A
ja
I (и0) — I (и*)) +
mesD
А-т—,где
Fk (x) = f (x) + ф' (x) достигают своего безусловного и0 удовлетворяет условиям g(и0 )> a > 0, и0 е K, минимума, последовательность {x } точек минимума
функций Fk ограничена, любая ее предельная точка при- y — параметр сильной выпуклости функционала
надлежит множеству Kи доставляет минимумf на K. I(и), т — фиксированное число из интервала (0, 1),
Приведенная теорема говорит о принадлежности и* — точное решение задачи.
рассматриваемого класса функций к внешним штраф- Доказательство. Пусть ик есть решение экстре-ным функциям для задачи минимизации выпуклой
функции на компакте, задаваемом системой неравенств мальной задачи I(и) + Ф' (и) ^ min. Для достаточно
с выпуклыми функциями. Следующая далее теорема Ат—i
представляет оценку скорости сходимости метода штра- больших k имеет место ик е K и Хк =—— < 1. Исполь-
фов для данного класса штрафных функций при t > 0 . a
Теорема 2. Если функции f е C2(R"), g. е C1(R"), зуя выпуклость g(и) и соотношение |g(и) > a > 0 ,
j = 1,2,..., m, (f "(x)s, s) > y||s||2 при некотором y > 0 получаем g (и(Хк))< Xkg (и0 ) + (l — Xk) g (и*)< A[—1,
и любых x иs , тогда для t > 0 ||xk — x*|| < -—A—2 на- где и(\к ) = Хки0 +(1 — Xk )и*, и* е K. Соответствующие
чиная с некоторого номера к (x * — точное решение свойства интеграла и функций, из которых формирует-
исходной задачи).
ся Ф() (и), дают справедливость следующих неравенств:
Ф") (и(\)) = Ak ff У g 2(и(\)) + А—2—' — | g (и(Хк ))| yx^
D
= A^1' ffУg2(и(Хк)) + A—2—t +1g(и(Хк))|)'ldxldx2 <
D
< К— НУAk2(T—1) + A—2—' + Al—1)—1dx,dx < mes(D) A
Теперь, воспользовавшись выпуклостью функци- Опуская среднюю часть этого двойного неравенства, онала, получаем
I(ик) + Ф^(ик)<I(и(Хк)) + Фк (и(Хк))<
<
A
I (и0) +
1—AT
I к)+
mes
'р> a—
поскольку Фк^(ик )> 0 и I (и1) — I (и2 )> y| |и1 — и2||2,
приходим к искомой оценке:
2 Ат—
y||ик — и*| < I(ик) — I(и*) < —к—
I (и0) — I (и')) +
(D)- А—
2
Здесь остается только поделить на 7 > 0 . ответствующего продвижения в численном исследо-
Замечание. Полученные результаты носят теоре- вании задач данного вида. тический характер и могут служить основой для со-
D
2
Библиографический список
1. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения краевых нелинейных задач / пер. с франц. — М., 1972.
2. Каплан А.А. О некоторых приложениях программирования к решению нелинейных краевых задач // Вариационно-разностные методы математической физики. — Новосибирск, 1973.
3. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации / пер. с англ. — М., 1972.
4. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы / пер. с франц. — М., 1973.
5. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход / пер. с англ. — М., 1974.
6. Каплан А.А. К вопросу о реализации метода штрафов. — Новосибирск, 1976.
7. Гроссман К., Каплан А.А. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. — Новосибирск, 1981.
8. Пронь С.П., Саженкова Т.В. О численном исследовании одного класса штрафных функций // Вестник АлтГПА: Естественные и точные науки. — 2010. — № 2.
9. Карпова И.С., Саженкова Т.В. О применении некоторых классов штрафных функций в решении нелинейных задач с ограничениями // Сборник трудов молодых ученых АлтГУ — 2015. — Вып. 12.
10. Гончарова А.В., Саженкова Т.В. Применение штрафных функций в решении экстремальных задач с ограничениями // МАК 2016 : сборник трудов всероссийской конференции по математике. — Барнаул, 2016.
