CC BY
28
Серия «Математика»
2011. Т. 4, № 2. С. 134-146
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 519.658.4
Поиск обобщенных решений несобственных задач линейного и выпуклого программирования с помощью барьерных функций *
Л. Д. Попов
Институт математики и механики УрО РАН
Аннотация. Исследуются возможности комбинированного применения внутренних и внешних штрафных функций для отыскания обобщенных (аппроксимационных) решений несобственных задач линейного и выпуклого программирования 1-го рода. Приводятся схемы алгоритмов, теоремы сходимости.
Ключевые слова: несобственные задачи математического программирования, процедуры оптимальной коррекции, метод штрафных функций, центральный путь.
Несобственными называются задачи линейного и выпуклого программирования, для которых не выполняются основные соотношения двойственности [2], а именно, условия обоюдной разрешимости прямой и двойственной задач и совпадения их оптимальных значений. Причины несобственности кроются, главным образом, в противоречивости систем исходных и двойственных ограничений [3, 4, 14], что может быть вызвано как ошибками самой математической модели и ее информационного обеспечения, так и реальными противоречиями моделируемого объекта, которые несобственная оптимизационная модель просто адекватно отражает [4].
Разумеется, противоречивая модель не имеет решения в привычном значении этого термина. Необходимо искать ее обобщенное (компромиссное, аппроксимационное) решение. Естественным способом получения такого решения является корректировка исходных данных несобственной задачи до того состояния, при котором задача становится
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00273) и президиума УрО РАН (проекты 09-П-1-1003, 09-П-1-1001 и 09-С-1-1010).
Введение
собственной и, следовательно, имеющей решение. При этом последовательно реализуются этап корректировки исходной постановки в соответствии с некоторым выбранным критерием качества коррекции и этап нахождения обычного решения скорректированной таким образом задачи. В наиболее эффективных и привлекательных методах оптимальной коррекции эти два этапа оказываются совмещенными.
К настоящему времени накоплен значительный математический инструментарий построения обобщенных решений несобственных задач математического программирования ([3, 4, 14, 5, 8, 6, 9, 10] и др.). Для численного построения таких решений широко используются внешние штрафные функции, нестандартные схемы двойственности, лексикографические модели, фейеровские отображения и пр. В последнее время возник интерес к применению для означенных целей и внутренних штрафных функций [12]. В частности, ниже будет предложено комбинированное применение методов внешних и внутренних штрафных функций для поиска одного класса обобщенных решений, связанных с минимальной коррекцией правых частей ограничений исходной задачи. Повторимся, что особенностью предлагаемых алгоритмов является эффективное совмещение процесса корректировки исходной постановки с непосредственным поиском решения скорректированной задачи.
1. Постановка задачи и исходные предположения
Пусть имеется задача выпуклого программирования (ВП)
f (x) ^ min, X = M П N, (1.1)
x€X
где
M = {x € Rn : hi(x) < 0 (i = 1,..., r)},
N = {x € Rn : gi(x) < 0 (i = 1,..., s)}.
Здесь функции f (x), hi(x), ..., hr(x) и gi(x), ..., gs(x) всюду конечны, выпуклы и дважды непрерывно дифференцируемы (последнее условие является необязательным и введено для для простоты построения решающих правил и алгоритмов).
Рассмотрим случай M П N = 0, когда исходная задача 1.1 — несобственная (противоречивая) и, как следствие, не имеет решения в обычном смысле. При этом будем предполагать, что в 1.1 множество M моделирует директивные ограничения, а множество N — факультативные. Первые, по определению, не подлежат пересмотру, в то время как вторые, напротив, можно (и нужно) корректировать.
Применим один из наиболее простых (но важных для практики) подходов к коррекции задачи 1.1. А именно, погрузим исходную постановку
в параметрическое семейство задач вида
f (ж) ^ min , X(u) = M П N(u), (1.2)
xeX (u)
где
N (u) = {ж € Rn : Qi (ж) < ui (i = 1,..., s)},
и сформулируем задачу отыскания оптимального вектора коррекции (возможно, не единственного)
u € Arg min H(u); (1.3)
u€cln, u>0
здесь u = [ui,...,us] — вектор параметров коррекции, Q — совокупность тех значений u, что обеспечивают задаче 1.2 свойство быть разрешимой1, H : Rs ^ R+ — числовой критерий качества коррекции.
Содержательно формула 1.3 формализует принцип минимальности вносимых в исходную несобственную задачу корректирующих изменений (например, можно положить H(u) = ||u||CT, а > 1, где норма || ■ || не обязательно евклидова).
Замечание 1. Множество разрешимости Q тесно связано со свойствами функции оптимального значения v(u) (или функции чувствительности) задачи 1.2. Для задачи выпуклого программирования функция v(u) всегда является выпуклой, а в случае ее разрешимости или несоб-ственности 1-го рода — также и собственной в терминологии [11], т. е. v(u) > —то всюду. При этом Q = domv, где domv — эффективная область (в рассматриваемом случае область конечности) функции v(u). Соответственно множество Q будет не пустым и выпуклым (но не обязательно замкнутым). Поэтому в общем случае возможно u € Q. Однако, если известно 0 < u0 €intQ = 0, то uY = yu0 + (1 — y)u € intQ при всех
0 <y < 1 и uY ^ u при y ^ +0.
Поставленную задачу 1.3 (или задачу оптимальной коррекции) будем рассматривать при следующем наиболее слабом из обычно используемых для этих целей наборе предположений:
intM = 0, (1.4)
функция H(u) — выпуклая, коэрцитивная и монотонная на R+, (1.5)
(H(u) > 0 Vu) & (H(u) = 0 ^ u = 0), (1.6)
выпуклая функция v(u) — собственная (т. е. v(u) > —то), (1.7)
u € domclv; (1.8)
здесь коэрцитивность выпуклой функции означает ее сверхлинейный рост при устремлении аргумента к бесконечности, clv(u) — замыкание
1 Множество П называют еще множеством разрешимости задачи 1.2.
функции оптимального значения задачи 1.2, R+ = {u > 0|u € Rs}. Если вектор u определяется соотношением 1.3 не единственным образом, мы будем искать тот из них, что отвечает минимальному значению clv(u).
Замечание 2. Функция clv(u) полунепрерывна снизу и выпукла [1], она совпадает с функцией оптимального значения двойственной к 1.2 задачи
clv(u) = sup
y>0
s
где L(x, y) = f (x) Уг^г(х) — функция Лагранжа задачи 1.1, (■, ■) —
i= 1
скалярное произведение векторов. При этом сделанные предположения гарантируют совпадение clv(u) = v(u) для u eintQ.
2. Штрафные конструкции, лежащие в основе метода
В основу предлагаемого ниже метода оптимальной коррекции задачи 1.1, в котором процесс поиска оптимального вектора коррекции 1.3 был бы совмещен с процессом отыскания решения оптимально скорректированной задачи, положена идея комбинированного применения внешних и внутренних (барьерных) штрафных функций.
Внешняя функция штрафа H : Rn ^ R будет иметь вид
H(x) = H (g(x)+);
здесь для краткости g(x) = (g1 (x),... , gs(x)), a+ = max{0, а} для числа a и b+ = (b+,...,b+) для вектора b = (b1,..., bs). Выписанная функция всюду конечна и выпукла (непрерывна); она отвечает за выполнение факультативных ограничений задачи 1.2 и «штрафует» их нарушение так, что
tf(x) > 0 Vx € Rn, tf(x) = 0 ^ x € N. (2.1)
Внутренняя (барьерная) функция штрафа B : intM ^ R будет отвечать за выполнение директивных ограничений. Для ее описания ограничимся наложением стандартных требований вида
B(x) > 0 Vx € intM, (2.2)
(xk € intM, xk ^ x € dM) ( lim B(xk) = +to> ) ; (2.3)
мы также будем требовать выпуклости функции B (x). Конструктивные примеры можно найти в [13] и др.
inf L(X У) — (u, У)
x€M
(1.9)
Определим далее вспомогательную функцию Фе : intM ^ R, комбинирующую обе приведенные выше конструкции. А именно, пусть
Фе(ж) = Я(ж) + £lfo(x) + £2B(x),
где 6i, £2 — малые положительные параметры, 62/ei ^ 0.
Предлагаемый метод оптимальной коррекции основан на связи решений задач безусловной минимизации вида
Фе(ж) ^ inf (2.4)
же intM
с исходными постановками 1.1, 1.2 при различных наборах е. Фактически Фе(ж) есть линейная свертка трех критериев отбора вектора ж, ранжированных по степени важности. Применяемое различие в масштабе весовых параметров свертки отражает наше стремление в первую очередь минимизировать функцию Я(ж), отвечающую за отклонение ж от множества N. Затем на множестве минимума внешней штрафной функции минимизируется ^(ж) — целевая функция исходной задачи. Наконец, функция В(ж), реализующая барьер для директивных ограничений, играет двоякую роль: она определяет множество допустимых точек в задаче минимизации внешней функции штрафа и в то же время нацеливает процесс на обобщенный аналитический центр оптимального множества результирующей задачи (в случае, когда такое множество имеет непустую относительную внутренность).
Перед тем, как перейти к теоремам сходимости, проведем вспомогательное построение. Зафиксируем u0 € intQ^ =intdomvj и рассмотрим точки
u7 = YUo + (1 - Y)u, Y € (0, 1).
Очевидно, что точки u7 — промежуточные точки отрезка, соединяющего Uo с искомым U. При этом u7 € intQ и u7 ^ U при y ^ +0. Кроме
того, в силу 1.4—1.8, при y ^ +0 имеем сходимость v(u7) ^clv(u) > —то.
Введем обозначение
r(Y, 5) = inf { В(ж) | f (ж) < v(uY) + 5, ж € X(uY) = M П N(uY) }, (2.5)
где 5 > 0 — числовой параметр. Величина r(Y, 5) является технической и характеризует скорость роста барьерной функции B(-) в окрестности решения аппроксимационной задачи 1.2 при u = u7 ^ U. Соответственно, для любых y € (0,1), 5 > 0 можно определить точки w(y, 5) такие, что
w(y, 5) € X(uY)= intM П N(uY), (2.6)
f (w(y, 5)) < v(uY) + 5 = clv(uY) + 5, (2.7)
B(w(y,5)) < 1 + r(Y,5). (2.8)
Перейдем к обоснованию метода.
3. Общие теоремы сходимости
Первым следствием исходных предположений (главным образом выпуклости и коэрцитивности функции H (u)) является
Утверждение 1. При предположениях 1.4-1.8 и 2.1-2.3 при всех £1,2 > 0 имеем
inf Фе(ж) > —то.
^eintM
Доказательство. В самом деле, при всех ж € intM верно Фе(ж) = Я(ж) + e1f(ж) + е2В(ж) > H(u) + e1v(u) > inf[H(z) + e1v(z)];
здесь u = [д1(ж),... ,дДж)] + и inf справа конечен, т. к. h(z) = H(z) + £1v(z) — также коэрцитивная функция. □
Зафиксируем некоторый вектор u € Rs такой, что все u < u. В силу утверждения 1 можно определить векторы ж(е,^, u) € M П N(u) такие, что
Фе(ж(е, v, u)) < inf Фе(ж) + v;
^eintM nX(u)
здесь v > 0, е1)2 > 0, при этом векторы
u(e,v,u) = [д1(ж(е, v,u)),... ,^(ж(е, v, u))]+ ограничены в совокупности.
Утверждение 2. При предположениях 1.4-1.8, 2.1-2.3 и фиксированном u > u имеем
Я(ж(е, v, u)) = H(u(e, v, u)) ^ H(u)
при £1,2 ^ +0, v ^ +0.
Доказательство. В самом деле,
H(u) = inf H(u) < H(u(e, v, u)) = Я(ж(е, v, u)) =
«еП
= Ф£(ж(е, v, u)) — £1 f (ж(е, v, u)) — £1B(ж(е, v, u)) <
< inf Фе(ж) + v — £1v(u(e, v, u)) < Фе(ж) + v — £1v(u(e, v, u))
^eintM nx («)
для любого ж € intM П X (u).
Переходя выше к пределу по £1,2 ^ +0, V ^ +0, получаем
H(u) < lim inf H(u(e, v, u)) < lim sup H(u(e,v, u)) < Й(х)
v—+0, v—+0,
£1,2 —+0 £1,2—>+0
для любого x € intM П X(u). Следовательно,
H(u) < lim H(u(e,v, u)) < inf Я(х) = H(u),
V—+0, x
£1,2 —+0
что и требовалось. □
Следствие 1. При любом фиксированном u > u и условиях 1.4-1.8,
2.1-2.3 имеем сходимость: u(e,v, u) ^ u при е1,2 ^ +0, v ^ +0.
Следствие 2. Пусть векторы x(e,v) € M удовлетворяют неравенствам
Ф£(х(е, v)) < inf Ф£(х) + V, xeintM
где £1,2 > 0, V > 0, и u(e, v) = [g1(x(e, v)),..., gs(x(e, v))]+. Тогда при условиях 1.4-1.8, 2.1-2.3 имеем сходимость: u(e, v) ^ u при е1,2 ^ +0, v ^ +0.
Рассмотрим теперь условия, при которых обеспечивается сходимость значений f (x(e,v)).
Утверждение 3. Пусть выполнены условия 1.4-1.8, 2.1-2.3 и последовательности £1 ^ +0, v ^ +0, причем ve-1 ^ 0. Тогда, в дополнение к следствию 2, существует такая числовая функция h(e1) > 0, что при условии e2 < efh(e1) имеем
lim f ((x(e,v)) = clv(u).
v—+0,
£1,2—+0
Доказательство. По определению
ф£^(е, v)) < inf ф£(x) + v < Ф^ш(7, 5)) + v,
xeintM
каковы бы ни были 7 € (0,1), 5 > 0 и w(y, 5) из соотношений 2.6, 2.8. Соответственно имеем неравенство
e 1 f (x(e, v)) < ff(^(7, 5)) + £1f M7, 5)) + £2B(^(y, 5)) -Hf(x(e,v))-
= ф£(ш(7,5))
-£2B(x(e, v)) + v < H(u7) - H(u) + £1(clv(u7) + 5) + £2(1 + r(Y, 5)) + v,
что дает нам верхнюю оценку значений целевой функции
f (ж(-, v)) < —)——^ + clv(u7) + 5 + — (1 + r(Y, 5)) + —. (3.1)
-1 -1 -1
Кроме этого, имеем очевидную нижнюю оценку
cl v(u(-,v)) < f (ж(б, v)). (3.2)
Построим по последовательности -1 ^ 0 (фиксированной в начальных условиях) последовательность y = y(-1) ^ +0, которая бы сходилась к своему пределу настолько быстро, чтобы гарантировать условие
- (u7) - Я(u) ^ 0 £1
Положим также 5 = -1 и обозначим
h(£1) = 1/(1 + r(Y (£1),£1)).
Это и есть искомая функция из нашего утверждения. В самом деле, подставляя y = Y(-0 и 5 = -1 в 3.1, с учетом неравенств -2 < е 1 h(e 1) и
3.2 имеем
cl v(U(-, v)) < f (ж(е, v)) < ( 7(£1^)---— + clv(u7(£l)) + 261 + —.
£1 £1
Переходя здесь к пределу по -1 ^ +0, v ^ +0 и учитывая следствие 2, получаем
lim f ((x(e,v)) = clv(u),
v—+0,
£1,2——+0
что и требовалось. □
Замечание 3. Функция h(-1) служит для согласования скорости сходимости к нулю последовательностей -1 ^ +0 и -2 ^ +0. При этом -2, вообще говоря, получается бесконечно малой большего порядка в сравнении с -1. Однако конкретный вид функции h(-1) зависит от используемых конструкций штрафных функций — (u), В(ж) и от функций, определяющих исходную задачу.
4. Случай задачи линейного программирования
В качестве частной, но важной для приложений постановки рассмотрим задачу линейного программирования
min |(c, ж) : Аж = b, ж > 0}; (4.1)
здесь числовая матрица А = (а^)тхп и векторы с и Ь соответствующей размерности заданы, х — вектор неизвестных.
Будем предполагать, что ограничения задачи 4.1 противоречивы, но совместны ограничения двойственной к ней задачи
тах |(Ь, ад) : АТw < с }. (4.2)
Вследствие этого задача 4.1 с откорректированными правыми частями ограничений
тт{(с,х) : Ах = Ь — и, х > 0} (=: и(и))
будет разрешимой всякий раз, когда система ее ограничений оказывается совместной (здесь и = (и1,..., ит) — вектор параметров коррекции).
На самом деле мы сузим класс рассматриваемых задач, потребовав наличия у двойственной задачи 4.2 точки Слейтера, т. е. выполнения условия
€ Мт : А^о < с. (4.3)
Определим обобщенное решение задачи 4.1. Для этого обозначим
М(и) = {х : Ах = Ь — и, х > 0 }
и зафиксируем оптимальный вектор коррекции
и = ащшт{||и|| : М(и) = 0}.
В качестве обобщенного решения исходной задачи будем рассматривать обычное решение откорректированной задачи
и(и) = тт {(с, х) : Ах = Ь — и, х > 0}. (4.4)
В силу предположения 4.3 последняя не только разрешима, но и имеет
ограниченное оптимальное множество.
Для поиска вектора и и отвечающего ему решения скорректированной задачи 4.4 применим основные идеи разделов 1, 2, но на базе
логарифмических барьерных функций. А именно, введем аффинное многообразие Е = {(х,и) : Ах + и = Ь } С Мп+т и комбинированную штрафную функцию вида
п 1
Ф^1)(х, и) = (с, х) — 61 у; 1пх* +-1 |и||2, е = (е1, е2) > 0.
*=1 262
Обозначим через (хе,ие) точку минимума функции Н,1^(х,и) относительно многообразия Е.2 Следуя [15], стандартные условия оптимальности для пары (хе,ие) можно записать в виде системы нелинейных
2 В иной интерпретации та же самая точка Хе есть единственная точка минимума функции
П
Ф^2)(х) = (е,х) — б! 1пX; + -1-\\Ах — Ь\\2
2б2
г=!
относительно К++ = {х € К" : х > 0}, причем йе = Ь — Ахе.
здесь “*” — произведение векторов по Адамару, е = (1,..., 1), 9 = (91,..., 9п) — вектор вспомогательных переменных, е = (е1,е2) > 0 — параметр. Оба вектора х и 9 положительны.
Опишем свойства системы 4.5. Из общей теории логарифмических барьеров [13, 7, 15] в применении к ней вытекает
Утверждение 4. Пусть оптимальное множество задачи 4.4 ограничено. Тогда система 4.5 имеет единственное решение, каковы бы ни были е1 > 0, е2 > 0.
Утверждение 5. Пусть система 4.5 разрешима и выполнено предположение 4.3. Тогда множество компонент и ее решений ограничено в совокупности при всех достаточно малых 0 < е1;2 < е.
Доказательство. Подставляя и = Ь — Ах во второе уравнение системы 4.5, получаем
Умножим обе части этого равенства на х и перегруппируем слагаемые:
11Аж112 < пєіє2 + (Ь, Аж) - є2(Ат-шо,ж) < пєіє2 + (||Ь|| + е2||-шо||)||Аж|| <
Утверждение 6. Для решений системы 4.5 верно неравенство
Доказательство. В самом деле, в силу первого уравнения системы 4.5 вектор хе , является допустимым для откорректированной задачи
уравнений
/ Аж + и — Ь \
Н (ж, и, е) = Ат и + д — е2 с = 0;
\ д * ж — еіЄ2в )
(4.5)
Ат (Ь — Аж) + д = е2с.
11 Аж 112 = пе1е2 + (Ь, Аж) — е2(с,ж).
Поскольку ж > 0, то в силу 4.3 имеем
< Кі + К2||Аж||, Кі,2 > 0.
Отсюда
Тем самым имеем искомое ||и|| < ||Ь|| + Ко.
□
и(ие) < (с,же) < и(ие) + пеі.
тіп {(с, ж) : Аж = Ь — ие, ж > 0} = и(ие),
а в силу второго уравнения вектор и> = й£/е2 оказывается допустимым для задачи, двойственной к ней. Отсюда, по слабой теореме двойственности,
— (Ь — й£,й£) < и(й£) < (с, Ж£). (4.6)
е2
Но в силу тех же самых соотношений 4.5 имеем равенства
1 / лТ N 1
— (Л ue+qe,xe) = — £2 £2
т. е., с учетом 4.6
(с, же) = — (Л -ие+(?е,же) = — (Лже, «е)+(ее, же) =— (b—«е, ue)+neiе2
£2
1
(с, Ж£) < и(и£) + П61.
Утверждение доказано. □
Следствие 3. Пусть система 4.5 разрешима и выполнено предположение 4.3. Тогда множество компонент Ж£ также ограничено при всех достаточно малых 0 < е1)2 < е.
Вытекает из предыдущего в силу свойств функции оптимума задачи линейного программирования и условия ограниченности оптимального множества задачи 4.4, что, как известно, влечет ограниченность и всех множеств вида
2(и1,..., ит, ^) = {ж : (с, ж) < ^, /¿(ж) < и (г = 1,..., т), ж > 0}.
Перейдем к основному результату раздела.
Утверждение 7. Пусть система 4.5 разрешима при всех достаточно малых 0 < е 1,2 < е и выполнено предположение 4.3. Тогда
Ь — ЛЖ£ = и£ ^ и, (с, Ж£) ^ и(й),
при е = (е1, е2) ^ +0.
Доказательство. Достаточно установить первое свойство (второе следует из непрерывности функции оптимума и утверждения 6). По определению
П
||ЛЖе - b||2 + 2б2 (с, Же) - 2£i£2 ^2 ln же = 2е2$е2)(Же) <
i=1
n
< 2е2Фе2) (ж) = ||Лж — b||2 + 2е2(с, ж) — 2е1е2 ^ ln ж»
i=1
при всех ж € R++ и всех 0 < е1>2 < е. Переходя здесь к пределу по £ = (£i, £2) ^ +0 и вспоминая, что компоненты же ограничены и b—Лже = йе, получаем неравенство
lim ||йе||2 < ||Лж — b||2.
е^+0
Поскольку ж > 0 произвольно, то также
lim ||ие||2 < min 11Лж — b||2 = ||u||2.
е^+0 ж>0
Остается учесть что, все ие € П = (и : M(и) = 0} и минимальный по норме элемент множества П единственен. □
Таким образом задача оптимальной коррекции несобственной задачи линейного программирования по правым частям ее ограничений может быть асимптотически сведена к комбинированному применению внешних и внутренних штрафных функций или, что то же самое, к построению трех векторных траекторий ж(£), и(£), е(£) аргумента £ ^ +0, неявно задаваемых нелинейными уравнениями 4.5. При этом можно опираться на общую методологию монографии [15] (методы центрального пути).
Список литературы
1. Гольштейн Е. Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения / Е. Г. Гольштейн. - М. : Наука, 1971. - 352 с.
2. Еремин И. И. Двойственность для несобственных задач линейного и выпуклого программирования / И. И. Еремин // Докл. АН СССР. - 1981. - Т. 256, № 2. - С. 272-276.
3. Еремин И.И. Несобственные задачи линейного и выпуклого программирования / И. И. Еремин, Вл. Д. Мазуров, Н. Н. Астафьев. - М. : Наука, 1983. -336 с.
4. Еремин И. И. Противоречивые модели оптимального планирования / И. И. Еремин. - М. : Наука, 1988. - 160 с.
5. Исследования по несобственным задачам оптимизации : сб. ст. - Свердловск : УрО АН СССР, 1988. - 78 с.
6. Нерегулярная двойственность в математическом программировании : сб. ст. -Свердловск : УрО АН СССР, 1990. - 78 с.
7. Нестеров Ю. Е. Эффективные методы в нелинейном программировании / Ю. Е. Нестеров. - М. : Радио и связь, 1989. - 304 с.
8. Параметрическая оптимизация и методы аппроксимации несобственных задач математического программирования : сб. ст. - Свердловск : УНЦ АН СССР, 1985. - 136 с.
9. Попов Л. Д. Применение модифицированного ргох-метода для оптимальной коррекции несобственных задач выпуклого программирования / Л. Д. Попов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - Екатеринбург, 1995. - Т. 3, № 2. - С. 261-266.
10. Попов Л.Д. Симметрические системы и фейеровские процессы для несобственных задач линейного программирования / Л. Д. Попов // Методы оптимизации и их приложения : тр. XIII междунар. Байкальской шк.-семинара / ИСЭМ СО РАН. - Иркутск, 2005. - Т. 1. - С. 141-146.
11. Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ / Р. Т. Рокафеллар. - М. : Мир, 1973. -472 с.
12. Скарин В. Д. О методе барьерных функций и алгоритмах коррекции несобственных задач выпуклого программирования / В. Д. Скарин // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - Екатеринбург : ИММ УрО РАН, 2008. -T. 14, № 2. - C. 115-128.
13. Фиакко А. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации / А. Фиакко, Г. Мак-Кормик. - М. : Мир, - 1972. -240 с.
14. Eremin I.I. Theory of linear optimization / I. I. Eremin. Ser. Inverse and Ill-Posed Problems. - Utrecht : VSP, 2002. - 336 p.
15. Roos C. Theory and algorithms for linear optimization / C. Roos, T. Terlaky, J.-Ph. Vial. - Chichester : John Wiley & Sons Ltd, 1997. - 484 p.
L. D. Popov
Search of generalized solutions to improper linear and convex programming problems using barrier functions
Abstract. We propose to seek generalized solutions to improper linear and convex mathematical programs of 1-th kind by means a special combination of both inner and external penalty functions. The algorithm schemas and convergence theorems are presented.
Keywords: improper mathematical programming problems, optimal correction methods, penalty functions, central path.
Попов Леонид Денисович, доктор физико-математических наук, в.н.с., Институт математики и механики УрО РАН, 620219, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16 тел.: (343)753423 (popld@imm.uran.ru)
Popov Leonid, Institute of mathematics and mechanics of UB RAS, 16,
S.Kovalevskaja St., Yekaterinburg, 620219 professor, Phone: (343)753423 (popld@imm.uran.ru)
Правила оформления статей, представляемых в журнал «Известия Иркутского государственного университета».
Серия «Математика»
1. Рукопись статьи (далее — статья) представляется в редакцию журнала (на русском или английском языке) в электронной форме по адресу izvestia_math@isu.ru и распечатанной в 2-х экземплярах с подписью автора по адресу: Иркутск, 664003, б. Гагарина, 20, Институт математики, экономики и информатики, журнал «Известия Иркутского государственного университета». Серия «Математика».
2. К статье необходимо приложить анкету авторов, в которой указываются для автора или каждого из авторов: фамилия, полные имя и отчество, место работы, ученая степень и звание, электронный адрес и номера телефонов - служебный, домашний, сотовый. В анкете должен быть приведен список литературы на английском языке в алфавитном порядке. Кроме того, нужно приложить экспертное заключение (2 экз.) о возможности опубликования статьи в открытой печати и авторский договор (следует выбрать форму договора для одного автора или для коллектива авторов на странице сайта www.isu.ru/izvestia/regulations. html).
3. Представляемая в журнал статья должна быть законченным научным исследованием и содержать новые научные результаты.
4. Не допускается направление в редакцию статей, уже публиковавшихся или посланных на публикацию в другие журналы.
5. Автор принимает на себя обязательства в том, что текст статьи является окончательным вариантом, содержит достоверные сведения, касающиеся результатов исследования и не требует доработок.
6. Рецензирование статей осуществляется редколлегией серии с привлечением ведущих специалистов в соответствующей области знаний. Решение об опубликовании принимается редколлегией журнала на основании рецензий.
7. Редакция предоставляет рецензии по письменным запросам авторов без подписи и указания фамилии, должности, места работы рецензента.
8. В случае отклонения статьи, редакция направляет автору мотивированный отказ в публикации. Не принятые к опубликованию рукописи не возвращаются.
9. Автор полностью несет ответственность за содержание и стиль работы, качество перевода аннотации.
10. Статьи аспирантов публикуются бесплатно при наличии официального письма, подтверждающего факт обучения в аспирантуре.
11. Объем статьи не должен превышать 15 страниц.
12. Статья готовится в ЖТЕХ2^, класс документа isuimei.cls с подключением isu.sty. Файлы со стилями размещены на электронной стра-
нице журнала «Известия Иркутского государственного университета» «Правила для авторов, серия «Математика» (www.isu.ru/izvestia /regulationmath.html) сайта Иркутского государственного университета. Образец оформления статьи - файл test1.tex, размещен там же.
13. В каждой научной статье журнала должны быть указаны следующие данные:
- фамилия, имя, отчество авторов (полностью);
- место работы каждого автора (если таковое имеется) в именительном падеже. Если все авторы статьи работают или учатся в одном учреждении, можно не указывать место работы каждого автора отдельно;
- контактная информация (почтовый адрес, e-mail) при ее наличии;
- название статьи;
- аннотация (не более 500 знаков, формулы и ссылки на литературу в ней не допускаются);
- ключевые слова (не более 5 слов или словосочетаний). Каждое ключевое слово или словосочетание отделяется от другого точкой с запятой;
- код УДК.
Все данные должны приводиться на русском и английском языках (образец оформления в файле test1.tex).
14. В конце рукописи помещается список литературы или библиографические ссылки. В списке и библиографических ссылках приводятся только источники, на которые автор ссылается в тексте.
Список литературы оформляется в соответствии с ГОСТ 7.1-2003 «Библиографическая запись. Библиографическое описание. Общие требования и правила составления», составляется в алфавитном порядке, все указанные источники нумеруются. Ссылки на цитируемые источники в тексте статьи приводятся в виде цифр, соответствующих номеру работы в списке литературы, заключенных в квадратные скобки.
Библиографические ссылки оформляются в соответствии с ГОСТ 7.0.5-2008 «Библиографическая ссылка. Общие требования и правила составления», располагаются в порядке их цитирования в тексте и также нумеруются. В тексте библиографические ссылки оформляются соответствующими цифрами, заключенными в квадратные скобки.
Для списка литературы и библиографических ссылок также применяются: ГОСТ 7.80-2001 «Библиографическая запись. Библиографическое описание электронных ресурсов. Общие требования и правила составления», ГОСТ 7.12-93 «Библиографическая запись. Сокращение слов на русском языке. Общие требования и правила», ГОСТ 7.112004 «Библиографическая запись. Сокращение слов и словосочетаний на иностранных европейских языках».
15. Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы в формате eps, jpg с разрешением 300 dpi.
16. Подача статьи в редакцию журнала «Известия Иркутского государственного университета». Серия «Математика» означает согласие авторов с изложенными правилами и согласие на размещение полной версии статьи в сети Интернет на официальном сайте (www.elibrary.ru) Научной электронной библиотеки и в разделе сайта Иркутского государственного университета (www.isu.ru) «Известия Иркутского государственного университета» (www.isu.ru/izvestia/index.html) в свободном доступе, а также с использованием личных данных в открытой печати.
17. Редакция оставляет за собой право не принимать работы, оформленные с отступлениями от настоящих правил.
Электронная версия правил для авторов, порядка рецензирования рукописей статей, бланки анкеты авторов, экспертного заключения о возможности опубликования статьи в открытой печати (для сотрудников ИГУ) и авторского договора, а также пример оформленной в соответствии с требованиями серии статьи и все файлы стилей и примеров (архив RAR) размещены в разделе сайта Иркутского государственного университета (www.isu.ru) «Известия Иркутского государственного университета» (www.isu.ru/izvestia/index.html).
ЛИСТ ОПЕЧАТОК
ТОМ 4, № 1, 2011
страница строка напечатано должно быть
31 сноска Полученные результаты поддержаны проектом № 2.1.1/6194 программы Развитие научного потенциала ВШ Минобразования РФ, РПЦ Научные и научнопедагогические кадры инновационной России ГК П1112 и составляют часть проекта 11-01-00074 РФФИ Полученные результаты поддержаны ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» Госконтракт № П1122 и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» N0.2.1.1/11180 Минобразования РФ
