CC BY
38
Выражения для коэффициентов корреляции для больших значений волнового параметра получаем, подставляя (15) и (22) в (27) и (28)
(29)
На основании (17), (18), (23), (24), (27) и (28) получаем выражения для коэффициентов корреляции при средних значениях волнового параметра:
l2/a
D2 + 1
, I + — COD' + 1 I D
D2 + 1
D2 + 1
(30)
l2la-
D2 + 1
D2 + 1
1+
D2 + 1
(31)
Аналогично, используя (20), (21), (25), (26), (27) и (28), получим выражения для коэффициентов корреляции при малых значениях волнового параметра:
(32)
Ra
- n'2 1
1" 2—2 +--------j
a2 2 a
(33)
Из анализа выражений (29) - (33) можно сделать следующие выводы:
1. Коэффициент корреляции флуктуаций уровня и фазы при больших (О >> 1) и малых (О << 1) значениях волнового параметра на любой плоскости X = Ь, параллельной неоднородному слою, сохраняет свой вид, что позволяет делать выводы о строении и свойствах неоднородной среды по виду коэффициентов корреляции, полученных на удаленной от неоднородного слоя плоскости.
2. Так как все выражения для коэффициентов корреляции флуктуаций уровня и фазы содержат экспоненциальные множители, то модно сказать, что корреляция флуктуаций уровня и фазы существует практически лишь на расстоянии I порядка масштаба неоднородностей среды а.
В заключении считаю своим долгом выразить благодарность Л.А. Чернову за постоянное внимание к работе и ценные советы.
a
e
2
2
D
1
D
e
a
a
R
A
1
D
D
1
D
D2+1
e
+
2
a
a
r
s
1
2
2
a
Список литературы
1. Обухов А.М. Известия АН СССР, серия геофизика, 1953, № 2.
2. Чернов Л.А. Акустический журнал, 1955, 1,1, С. 89-95.
3. Чернов Л.А. Акустический журнал, 1956,2,2, С. 211-216.
4. Hewish. A. The diffraction of galactic radio waves as a method of investigating the irregustructure of the ionosphere. Proc. Roy. Soc. A., 214, p. 494, 1952.
УДК 531/534 ББК В 253.327
В.М. Радыгин
О применении метода конформных отображений к решению некоторых задач фильтрации в неоднородных грунтах1
В настоящей работе даны решения конкретных задач фильтрации в неоднородных грунтах при помощи метода конформных отображений.
Ключевые слова: метод конформных отображений, фильтрация в неоднородных грунтах.
1 Опубликовано ранее в журнале «Ученые записки ЧГПИ». Вып. 16. - Чита, 1968.
V.M. Radygin
Conformal Mapping Method Application to Some Filtering Problems Solution in Non-Homogeneous Soil
The article presents solutions of some concrete filtering problems in non-homogeneous soil. The problems are solved by means of conformal mapping method.
Key words: conformal mapping method, filtration in non-homogeneous soil.
Рассмотрим задачу определения функции давления в грунте с изотермическим законом изменения проницаемости вида
К( 4, п) = [у( 4, п)]2, (2.1)
(где ду(4, п) = О, ^ - двумерный оператор Лапласа) при работе совершенной эксплуатационной (нагнетательной) скважины.
Задание закона изменения проницаемости грунта в виде (2.1) определяет изотермическую сетку линий равной проницаемости: у( 4, п) = С1 и ортогональных к ним «линий изменения» проницаемости у( 4, п) = С2 в плоскости 2 = 4 + ¡п. В рассматриваемом случае проницаемость меняется вдоль линий последнего семейства по квадратичному закону.
Линию, вдоль которой К1(4, п) = О, назовем линией нулевой проницаемости, — перетекание жидкости через нее физически исключено. В реальных условиях указанная линия соответствует тектоническому нарушению — сбросу. Предположим, что рассматриваемый грунт содержит сброс в форме полупрямой.
В качестве исходного течения возьмем фильтрацию к скважине, расположенной в точке W0 = х0 + ¡у0 полуплоскости 1т ю > 0.
Проницаемость считается известной функцией вида
К = у2 (2.2)
Функция давления для этого случая определена [1] в виде
P ■■
VQ щ (х - Ха)2 + (У - Уа)2 j
4nyyc
(X - Ха) + (У + Уа)
(2.3)
где О — дебит скважины, ц — абсолютный коэффициент вязкости.
Воспользуемся конформным преобразованием полуплоскости 1т® -0 в плоскость С, разрезанную по мнимой оси от 0 до - да, вида с = -/ю2. (2.4)
Указанное преобразование означает также переход от грунта, закон изменения проницаемости которого есть функция вида (2.2), к другому грунту с изотермическим законом изменения проницаемости (2.1).
Найдем связь переменных х, у с новыми переменными п. Имеем из (2.4)
4 = 2ху
2 2 (2.5)
п = у2 - х2,
откуда, после некоторых преобразований, получим выражения, связывающие переменные х, у с переменными %, п
X =±
-п + 4 п2 + 42
2
(2.6)
(2.7)
Ln
В выражении (2.7) знак минус перед радикалом опущен, так как по условию имеем, что У - 0 для любых ^ и п.
В этом случае, изотермический закон изменения проницаемости грунта в функции от декартовых ортогональных координат |, п на основании (2.1) и (2.7), будет иметь вид
К1( 4, п) = [(4 ,п)]2 = п ^ 2 4 (2.8)
Из (2.8) следует, что отрицательная полуось является линией, вдоль которой К1(4, п) = О . В реальных условиях эта линия соответствует тектоническому нарушению - сбросу.
Поскольку характер особенностей сохраняется при конформном преобразовании, точке с координатами Х0, У0 (центру скважины) в
полуплоскости 1т т - 0 соответствует точка с координатами |0, по (центр скважины) плоскости %.
Для нахождения функции Р1, описывающей распределение давления вокруг скважины в плоскости £, нужно в выражение (2.3) подставить вместо х и у, соответственно, (2.6) и (2.7), в результате, чего, будет иметь
цО (2.9)
р,( 4 >п) =--------------------------. х
(п0 + 7 п0 + 4 2 )(п +4 п2 + 4 2)
^П2 + 42 (-Л п + 42)( 'Ъ + т/'Ъ + 40) -^( П ''['] + -2)(,Ь + т/^ + 4о) +<!п2 + 42
а/П + 42 (-Ч +^ПГ+Ё?)( П + А/ПО+4!) + ■!(-Ч+^П^)(По + ТІП + 40) +ТІП + 4о
Причем, перед радикалами, содержащими знаки плюс и минус, берется знак (+), если 4 > 0, и знак (-), если 4 < 0.
3. Принимая за исходное то же течение, что в пункте 2, рассмотрим задачу определения функции давления в грунте с изотермическим законом изменения проницаемости (2.1), содержащем сброс в форме гиперболы, при работе эксплуатационной (нагнетательной) скважины. Функция [2]
(3.1)
г * J 2® h ю Z = c* ch — arch—=. і,
{ — ij2 J
где c = S2 + b2, 0 = arc cos— a > а при а < 0 < —
c 2’
осуществляет конформное отображение полуплоскости Im® -0 на внутренность правой
ветви гиперболы и, при — < 0 < п, — на внешность этой гиперболы.
При этом от грунта с проницаемостью, меняющейся по закону (2.2), переходим к грунту с изотермическим законом изменения проницаемости (2.1).
У
Для установления связи переменных х, у с новыми переменными 4, п запишем (3.1) в виде
ю = ¡у[2сп— агсИ^-{20 с
откуда, отделяя действительную и мнимую части, получим
х = -л/25^-20 агсЬ ^42 + п2 + с2 + ■§{42 + п2 + с2)2 - 4с242 ^ х
sinf arccos 1 J42 + n2 + c2 + -J(42 + n2 + c2)2 - 4c242
^ 20 ‘J2C
(3.2)
+ n2 + c2 + + n2 + c2)2 - 4c242 I x
У = V2s/-— ach-^ J42 + -2 + '2 + -1'*2 ■ -2 ■ -2'2 ^2 { 20 42C V
со^2;^ассов-^^^42 + п2 + с2 + т[(42 + п2 + с2)2 - 4с242
(3.3)
Тогда изотермический закон изменения проницаемости грунта в функции от декартовых ортогональных координат п плоскости
С, согласно (2.1) и (3.3), Определяется в виде
К,( 4,п) = [(4,п)]2 = 2з^ агс^=^1/^2+Ч2ГС2^/(4!Т^2ТС!7^4С!42
со£2|^-^0 агссоз-^^42 + п2 + с2 ■ ^(4 + п2 + с2)2 - 4с242
(3.4)
При конформном отображении, осуществляемом функцией (3.1), центру скважины в полуплоскости 1т т — 0 соответствует точка 4 = 40, т. е. центр скважины в плоскости ^ Точка вещественной оси х переходят в точки правой гиперболы, определяемой уравнением
И П
а2 Ь2
-2_ . = 1, вдоль которой K1(4, П) = O. В ре-
альных условиях данная гипербола соответствует тектоническому нарушению сброса.
Причем, если в выражении (3.1) величина 0
п
меняется в пределах 0 < 0 < —, то скважина
будет расположена во внутренности гиперболического сброса, если же п < 0 < п , то сква-
2
жина лежит во внешности этого сброса.
Для нахождения функции Р1, описывающей распределение давления вокруг скважины, нужно в выражение (2.3) подставить вместо х и у, соответственно (3.2) и (3.3), учитывая при этом пределы изменения величины 0 .
4. Рассмотрим задачу определения функции давления в пласте, с законом изменения проницаемости (2.1), ограниченном круговым сбросом. В пласте действуют две равнодебит-ные скважины: эксплуатационная и нагнетательная.
За исходное течение возьмем приток к бесконечной цепочке равнодебитных скважин, каждая из которых лежит внутри одной из по-
лос, параллельных оси ординат и имеющих одинаковую ширину, равную 2ж . Плоскостью фильтрации является горизонтальная плоскость ХОу. Проницаемость грунта изменяется по закону (2.2).
Пусть скважины расположены вдоль прямой, параллельной оси Х, на расстоянии 2ж друг от друга.
Поскольку рассматриваемый грунт имеет линию нулевой проницаемости, то перетекание жидкости через нее физически исключено. Для того, чтобы удовлетворить этому условию, воспользуемся так называемым методом отображений [3], т. е. на равных от линии нулевой проницаемости расстояниях поместим скважины такого же рода и интенсивности, что и исходные.
Таким образом, бесконечной цепочке скважин, расположенных вдоль прямой
у = у0 = сопшії, будет соответствовать симметричная цепочка таких же скважин, расположенных вдоль прямой у = -у0.
Согласно (2.3) и принципу суперпозиции, функция давления в рассматриваемом случае
имеет вид
rnQ 4—УУа n
jLn
(x - xn)2 + (У - Уа)2
(4.1)
(х - хп)2 - (у - у0)2 где О - дебит скважины; (хп, уп) - координат центра скважины: хп = х0 + 2П,(п = ±1,±2,...) Учитывая, что [4]:
2-п[(х- [ - 2пк)2 + (у- у„)2] = -пП \х- [ - 2пк)2 + (у- у„)2] =
= -п[сЦу- у0) - соэ(х- х0)\
2-п\х - х0 - 2пп)2 + (у + у0)2]= -п[сЬ(у + у0) - соз(х - х0)\
П=-м
выражение (4.1) можно будет записать следующим образом
P =
4—УУа
Ln
ЩУ - Уа) - cos(x - Ха)
(4.2)
_ch(y + yo) - cos(x - x0)_ Рассмотрим теперь функцию вида
Z = ew (4.3)
Известно, что функция (4.3) осуществляет конформное отображение плоскости ю на бесконечнолистную риманову поверхность Z . При этом полоса 0 < x < 2п плоскости отображается на один лист римановой поверхности с разрезом вдоль положительной оси Z.
Переходя к полярн^гм координатам г, 9 на плоскости Z, найдем связь переменн^гх X и У с новыми переменными r и 9 . Из (4.3) имеем
x = 0;
у ■ L»i (4-4)
Согласно соотношениям (4.4) отрезок у = 0, 0 < х < 2ж отобразится в единичную окружность (г = 1). При этом полуполоса 0 <х <2ж, 0 < у < отобразится во внутренность круга единичного радиуса, а полуполоса 0 < х < 2%, - т< у < 0 во внешность этого круга.
Реализация взаимно-однозначного отображения полной плоскости ю на риманову поверхность, означает переход от грунта, проницаемость которого меняется по закону (2.2), к грунту с изотермическим законом изменения
проницаемости
1
Кі(4,п) = [у(4,п)]2= -^^77 , (4.5)
где 4, П декартовы ортогональные координаты в плоскости ю. Для данного грунта окружность единичного радиуса является линией нулевой проницаемости, соответствующей в реальных условиях тектоническому нарушению — сбросу. Таким образом, грунт распадается на два изолированных пласта, один из которых ограничен круговым сбросом единичного радиуса, другой содержит круговое непроницаемое включение такого же радиуса.
Рассмотрим вопрос о построении фильтрационного течения на бесконечнолистной ри-мановой поверхности.
Поскольку течение в плоскости ю представляет собой течение, обусловленное наличием бесконечной цепочки скважин (точечных источников или стоков) то соответствующее течение на римановой поверхности вызвано бесконечным числом особенностей такого же рода, что и исходные, каждая из которых лежит на одном из листов римановой поверхности, внутри круга единичного радиуса, и стоком (источником), расположенным в центре круга. Таким образом, течения на всех листах римановой поверхности однотипны, т. е. разрезы на них не оказывают никакого влияния на рассматриваемые течения. Поэтому, для исследования течения на бесконечнолистной римановой поверхности достаточно изучить течение на любом из ее листов.
Итак, пусть плоскость фильтрации есть один из листов римановой поверхности. В области фильтрации, представляющей собой внутренность круга единичного радиуса, течение вызвано равнодебитными источником и стоком, причем один из них находится в начале координат.
Физически это означает течение, обусловленное действием скважины-колодца, расположенной в центре ограниченного круговым сбросом пласта, и скважины, находящейся на
некотором расстоянии от колодца. При этом одна из указанных скважин - нагнетательная, другая - эксплуатационная.
Если, например, некоторый колодец-скважина наполнен жидкостью, входящей в него каким-либо образом, то для того, чтобы откачать жидкость из колодца можно пробурить эксплуатационную скважину на некотором расстоянии от него.
Для определения функции давления в этом пласте воспользуемся соотношениями (4.2) и
(4.4). В результате чего будем иметь
іп
-пу
с^г)- соз(е - 00 )
(4.6)
при условий, что г > 1.
5. Для определения функции давления в пласте с законом изменения проницаемости
(2.1) при наличии кругового непроницаемого включения воспользуемся результатами пункта 4 с той лишь разницей, что исходная бесконечная цепочка скважин расположена в полуплоскости 1т ю - 0.
В силу этого, соответствующее течение на бесконечнолистной римановой поверхности функции £ = е'ю представляет собой течение, вызванное бесконечным числом особенностей такого же вида, что и исходные, каждая из которых лежит на одном из листов римановой поверхности во внешности круга единичного радиуса.
Для изучения течения на римановой поверхности этом случае достаточно изучить течение на одном из его листов. Рассмотрим на таком листе область фильтрации, расположенную во внешности круга единичного радиусе. Течение, которое имеет место в указанной области, обусловлено наличием источника (стока), обтекающего окружность единичного радиуса. Данное течение интерпретируется как фильтрация к скважине в грунте с изотермическим законом изменения проницаемости (4.5) при наличии кругового непроницаемого включения.
Функция давления, в этом случае, определяете по формуле (4.6) при условии, что г > 1.
6. Аналогично изложенным, решается задача определения функции давления в грунте, проницаемость которого меняется по изотермическому закону (2.1), содержащем параболический сброс или непроницаемое включение в форме эллипса или овала.
7. Используя полученные результаты и формулы перехода [5], можно определять
Р
функции давления в грунтах с изотермическим законом изменения проницаемости
К1(4,п) = [у(4,п)]2П, (п = 0,1,2,..)
содержащих сбросы или непроницаемые включения, рассмотренной выше формы.
Список литературы
1. Гладышев Ю. А. О построении основных течений в слое, толщина которого изменяется по степенному закону //Ученые записки МОПИ, т. 142, труды кафедры теоретической физики, вып. 5, 1964.
2. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного: учеб.пособие. - М.: Наука, 1965.
3. Пыхачев Г. В. Подземная гидравлика. Гостопехиздат. 1961.
4. Кристеа Н. Подземная гидравлика. Гостоптехиздат, 1961.
5. Гладышев Ю. А, Построение потенциальных стационарных течений идеальной жидкости в искривленном слое переменной толщины методом перехода. Ученые записки'МОПИ, т. 142, труды кафедры теоретической физики, вып. 5, 1964
УДК 53 ББК В 3
Ф.А. Уваров
Измерение радиального распределения возбужденных атомов в положительном столбе ртутного разряда с помощью метода «крюков» Рождественского1
В статье приводятся результаты экспериментальных исследований, касающихся измерения радиального распределения возбужденных атомов в положительном столбе ртутного разряда с помощью метода «крюков» Рождественского. Работа была выполнена на кафедре Московского энергетического института под руководством профессора В. А. Фабриканта.
Ключевые слова: радиальное распределение возбужденных атомов, метод «крюков» Рождественского
F.A. Uvarov
Measurement of Excited Atoms Radial Distribution in Positive Mercurous Glow by Means of Rozhdestvensky's "Hook" Method
The article conveys the results of investigations devoted to measurement of excited atoms radial distribution in positive mercurous glow by means of Rozhdestvensky's "hook" method. Professor V.A. Fabrikant from Moscow Power Engineering Institute supervised this research.
Kew words: excited atoms radial distribution, Rozhdestvensky's "hook" method.
1 Опубликовано ранее в журнале «Ученые записки ЧГПИ» / Вопросы физики и математики. - Вып. 16. - Чита, 1968
Выбор наиболее рационального режима газового разряда для использования его оптических свойств в каждом отдельно взятом практическом случае в настоящее время еще не может быть достаточно уверенно обоснован теоретически. Это связано как с недостаточностью сведений об эффективных сечениях атомов, так и с трудностями учета вторичных процессов, сопровождающих прямое возбуждение и дезактивацию атомов.
Полная теория разряда, учитывающая роль вторичных процессов, еще не разработана, а имеющиеся отдельные теоретические выводы во многих случаях нуждаются в экспериментальной проверке.
Между тем, сведения о роли вторичных процессов совершенно необходимы для создания общей теории плазмы.
Отсюда следует необходимость проведения экспериментальных исследований с целью проверки теоретических выводов и выяснения влияния вторичных процессов на оптические свойства плазмы.
Первоначальная диффузионная теория, разработанная Фабрикантом [1], дает решение вопроса о возбуждении атомов и об их распределении по сечению разряда только для случаев слабого и сильного тушения и при условии, что переходами между возбужденными состояниями можно пренебречь. Причем диффузия фотонов учитывается приближенно введением эффективной длины свободного пробега фотонов по Земанскому и Кенти.
Строгая теория диффузии резонансного излучения, разработанная Биберманом [2] и несколько позднее Холстейном [3], пока не может дать конечных результатов в аналитической форме.
