О применении метода гиперсингулярных интегральных уравнений к решению задач для упругой плоскости с коллинеарной системой трещин Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

УДК 539.3 DOI 10.18522/1026-2237-2020-2-72-83

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ С КОЛЛИНЕАРНОЙ СИСТЕМОЙ ТРЕЩИН

© 2020 г. С.М. Мхитарян1'2

1Институт механики Национальной академии наук Республики Армения, Ереван, Армения, 2Национальный университет архитектуры и строительства Армении, Ереван, Армения

ON THE APPLICATION OF THE METHOD OF HYPERSINGULAR INTEGRAL EQUATIONS TO SOLVING PROBLEMS FOR AN ELASTIC PLANE WITH A COLLINEAR SYSTEM OF CRACKS

S.M. Mkhitaryan1'2

institute of Mechanics, National Academy of Sciences of the Republic of Armenia, Yerevan, Armenia, 2National University of Architecture and Construction of Armenia, Yerevan, Armenia

Мхитарян Сурен Манукович - доктор физико-математических наук, член-корреспондент НАН Армении, профессор, заведующий отделом механики упругих и вязкоупругих тел, Институт механики Национальной академии наук Республики Армения, пр. Маршала Баг-рамяна, 24б, г. Ереван, 0019, Республика Армения; заведующий кафедрой высшей математики, Национальный университет архитектуры и строительства Армении, ул. Теряна, 105, г. Ереван, 0009, Республика Армения, e-mail: smkhitaryan39@rambler. ru

Suren M. Mkhitaryan - Doctor of Physics and Mathematics, Corresponding Member, National Academy of Sciences of Armenia, Professor, Head of the Department of Mechanics of Elastic and Viscoelastic Bodies, Institute of Mechanics, National Academy of Sciences of the Republic of Armenia, Marshal Bagramyan Ave., 24b, Yerevan, 0019, Republic of Armenia; Head of the Department of Higher Mathematics, National University of Architecture and Construction of Armenia, Teryan St., 105, Yerevan, 0009, Republic of Armenia, e-mail: smkhitaryan39@rambler. ru

Методом гиперсингулярных интегральных уравнений строится точное, в квадратурах решение классических задач механики упругой плоскости с коллинеарной системой трещин. При этом упругая плоскость находится в состоянии антиплоской или плоской деформации, а берега трещины в случае антиплоской деформации нагружены касательными силами симметрически, а в случае плоской деформации - нормальными силами опять-таки симметрически. Формулируются эквивалентные этим задачам смешанные граничные задачи для упругой полуплоскости. При плоской деформации обсуждается также смешанная граничная задача для упругой полуплоскости, когда ее граница усилена двумя одинаковыми и симметрически расположенными полубесконечными стрингерами, а между ними находится система из произвольного конечного числа стрингеров. Считается, что стрингеры абсолютно жестки на растяжение-сжатие и абсолютно гибки на изгиб. Более подробно рассматривается частный случай двух одинаковых симметрично расположенных трещин. В этом случае точное решение задачи строится также методом ортогональных многочленов Чебышева.

Ключевые слова: упругая плоскость, коллинеарная система трещин, смешанная граничная задача, напряжения, перемещения, гиперсингулярное интегральное уравнение.

In the present paper, using the method of hypersingular integral equations, based on the formulas of the inversion of the corresponding singular integral equations, the exact quadrature solution of the classical problems of the mechanics of an elastic plane with a collinear system of cracks is constructed. The elastic plane is in a state of antiplane deformation or plane deformation; in case of antiplane deformation, crack edges are symmetrically loaded by tangential forces, while in case of plane deformation, they are again loaded symmetrically but by normal forces. Mixed boundary-value problems for an elastic half-plane equivalent to these problems are formulated. Under plane deformation, the mixed boundary-value problem for an elastic half-plane is discussed as well when the plane boundary is reinforced by two similar and symmetrically located semiinfinite stringers between which a system of an arbitrarily final number of stringers is situated. It is considered that the stringers are absolutely rigid for expansion and compression and absolutely flexible for bending. A particular case of two

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

similar symmetrically located cracks is considered more in detail. In this case, the exact solution to the problem is also constructed by the method of Chebyshev orthogonal polynomials.

Keywords: elastic plane, collinear system of cracks, mixed boundary-value problem, stresses, displacements, hypersingular integral equation.

Введение

Вслед за теорией сингулярных интегральных уравнений (СИУ) и связанных с ней методов краевых задач аналитических функций в последние десятилетия интенсивно развиваются исследования по теории гиперсингулярных интегральных уравнений (ГСИУ) и методам вычисления гиперсингулярных интегралов в смысле Адамара. ГСИУ находят многочисленные приложения в задачах механики разрушения, геомеханики, гидромеханики, акустики, в теории теплопроводности тел, теории потенциала, в разнообразных областях математической физики и прикладной математики [1—5]. ГСИУ в идейном и методологическом аспектах тесно связаны с СИУ и теорией краевых задач аналитических функций, которые широко используются в исследованиях по контактным и смешанным задачам теории упругости и механики разрушения [6-11].

Из часто встречающихся в приложениях ГСИУ наиболее глубоко как в теоретическом, так и в вычислительном плане разработана теория классического ГСИУ с ядром — X) 2 на одном интервале, допускающего точное решение [12, 13]. Это же ГСИУ на двух симметрических интервалах рассмотрено в [14], где решение представлено сложным двухкратным интегралом с внутренним сингулярным интегралом от ядра Коши. Класс точно решаемых ГСИУ расширен в [15], где рассмотрены гиперсингулярные ядра, представляющие аналоги ядра Гильберта и родственные с ним.

В настоящей статье, следуя методике работы [15], на основании формулы обращения классического СИУ с ядром Коши построено в квадратурах

точное решение ГСИУ с ядром (^ — х) 2 на нескольких интервалах. К нему сводятся простейшие задачи о напряженном состоянии линейно -упругой изотропной плоскости с коллинеарной системой трещин. Предполагается, что упругая плоскость находится в состоянии антиплоской или плоской деформации. Берега трещин нагружены симметрически, соответственно, касательными или нормальными силами. Излагается вывод этого определяющего ГСИУ. Одновременно формулируются эквивалентные задачам о трещинах смешанные граничные задачи для упругой полуплоскости. Входящие в решение ГСИУ интегралы вы-

числяются по квадратурным формулам Гаусса по чебышевским узлам. Более подробно рассматривается частный случай двух симметрично расположенных трещин (интервалов). В этом случае решение ГСИУ разбивается на симметрическую и кососимметрическую части. Они выражаются аналитическими формулами довольно простой структуры. Одновременно методом ортогональных многочленов Чебышева получены точные решения разбираемого ГСИУ для его симметрической и кососимметрической частей. В данном частном случае полученные здесь результаты по сравнению с результатами работы [14] выгодно отличаются своей простотой и компактностью.

Постановка задач и вывод

определяющих уравнений

Рассмотрим следующие простейшие задачи механики трещин. Пусть отнесенное к правой прямоугольной системе координат Охуг линейно-упругое изотропное пространство с модулем сдвига О в плоскости у = 0 содержит систему О из произвольного конечного числа сквозных (туннельных) бесконечно-ленточных трещин (дк:

Q = (J

=

k=1

= {У = 0, ak < х < bk, -

-œ <z <œj

Пусть далее берега трещин нагружены касательными силами симметрически, т.е. на верхних (+) и нижних (-) берегах трещин действуют одинаковые по величине, но противоположные по направлению касательные силы интенсивности г(х), не зависящие от координаты z:

Ty\y=±0 =Т{Х\ х eQ , где zyz -

компонента каса-

уцу=±0 " V/' " '---' 'у2

тельных напряжений.

Считается, что под действием таких сил упругое пространство находится в состоянии антиплоской деформации (продольного сдвига) в направлении оси Ог с базовой плоскостью Оху. Тогда единственной отличной от нуля компонентой упругих перемещений будет компонента в направлении оси Ог: = ы2 (х, у), которая в каждой из полуплоскостей у > 0 и у < 0 является гармонической функцией.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

Ввиду симметрии относительно оси Ох задача о трещинах математически эквивалентна смешанной граничной задаче теории упругости для нижней полуплоскости у < 0:

8 V 82и

Au, + = 0, - œ < х < œ; - œ < y < 0,

n

= r(4 х g L : L = U [ak,bk ]

yz

y=-0

= G-

y=-0

Приступив к определению функции /(х), обратимся к представлению в виде интеграла Пуассона для нижней полуплоскости у < 0 [16, с. 224, ф-ла (5)]

у р и(5 ^

8х 8у 8и1\

8У к=х

= 0, х е Ь , Ь = , (1)

^ 0 пРи Х' + У2 ^ Ю

Очевидно, что (1) представляет собой смешанную граничную задачу теории двухмерных гармонических функций.

Отметим, что мы опять придем к граничной задаче (1), если рассмотрим задачу о системе трещин Ь на горизонтальной оси Ох в кусочно-однородной плоскости Оху, считая, что верхняя полуплоскость у > 0 абсолютно жесткая и касательными силами нагружены только нижние берега трещин.

В граничной задаче (1) требуется определить перемещения на системе отрезков Ь , т.е. функцию

f (х) = и2 (х, у) у=_о, х е Ь.

Предполагается, что f (х) непрерывна на Ь и

обладает производной, удовлетворяющей на Ь условию Гёльдера с некоторым показателем а,

0 < а < 1, т.е. f (х) е С1'" (ь). Вследствие непрерывности эта функция должна удовлетворять условиям

f к ) = Ж ) = 0, к = \Гп. (2)

Раскрытие трещин и плотности дислокаций на берегах определяются, соответственно, формулами Д( х) = _2 f (х), А ' (х) = _2 f' (х), х е Ь.

Коэффициенты интенсивности напряжений и разрушающие напряжения вне системы трещин Ь на оси Ох находятся по формулам из [10].

Отметим, что смешанную граничную задачу (1) можно интерпретировать также следующим образом: каков должен быть режим перемещений f (х)

при антиплоской деформации на системе Ь неза-щемленных отрезков границы нижней упругой полуплоскости у < 0, чтобы на них могли действовать наперед заданные касательные силы интенсивности г(х ).

uz (х.

(х, y )=-y ir^

- х)

- œ < х < œ, y < 0,

ж JJ s -х)2 + y2

(3)

где

и(х) =

-¡f (х), хg L,

" 0, х g L '.

Исходя из (3), по закону Гука вычислим касательные напряжения Tyz :

тт = G—2 yz cy

_ G r (s - х)2 -

■y

ж L [(s - х)2 + y2

f (s Vs

(4)

_ ю < х < ю, у < 0. Отсюда предельным переходом у ^ _0 получим

I О г f

Му=_0 =--|Т-у , _Ю< х <Ю ,

Ж Ь _ х)

где интеграл на Ь при 5 = х , х е (ак, Ьк) понимается в смысле Адамара:

щ =

Ьк f (х + е)+f (х _е)

= lim

г^+0

i fiSf +i

(s - х)2 х+Д* - х)2 Ь

к = 1, n, или в эквивалентной форме

Hf =

= lim

Ы-+0

х-ь i

ak

f(s)ds | ) f(s)ds 2f(х)

(s - х)2 х^С* - х)

ь

k = 1, n.

При помощи (4) реализуем первое граничное условие задачи (1). В результате придем к следующему определяющему ГСИУ поставленной задачи:

1 = _гй , хеЬ. (5)

■ з I ^

Ж Ь (* _ х)2 О

Его решение должно удовлетворять условиям (2).

После определения функции f (х) найдём касательные напряжения вне системы трещин Ь на оси Ох по уравнению (4) при х е Ь'.

Отметим, что уравнением (5) в соответственных перемещениях и напряжениях описываются с точностью до упругой постоянной аналогичные задачи

2

a

k

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

о напряженном состоянии упругой плоскости с коллинеарной системой трещин нормального отрыва или поперечного сдвига в условиях плоской деформации.

Рассмотрим еще одну смешанную граничную задачу для упругой полуплоскости при плоской деформации, сводящуюся к решению ГСИУ (5). Пусть отнесенная к прямоугольной системе координат 0xy нижняя упругая полуплоскость у < 0

обладает модулем Юнга E, коэффициентом Пуассона V и находится в условиях плоской деформации.

Пусть далее эта полуплоскость на своей границе у = 0 по двум полубесконечным отрезкам

[— го,—а] и [а, да] и по системе отрезков

n

L=Jk, bk ],

u(x, y )

y =-0 =^y (X

(х, y )

,= 0,

y=-0

х g [-œ, -a

Tyx(X y) y=-0 =т(х), х g h

(x, y )

y=-0" y=-0

] J [a, œ]J L,

(6)

= 0, x g l,

^x ^yx ^ 0 ПРИ x + y •

n+1

Здесь l = J[ck,dk],

С = -a,

ck+i = bk

k=1

Для вывода определяющего ГСИУ задачи (6) воспользуемся известным решением первой граничной задачи для нижней упругой полуплоскости [6, с. 406-408].

du(x,-0) œ T (s)ds

з[.

s-x

dx

T (x )=^yx(x, y )| y=-0 =■

u(x,-0) = u(x, y )

y=-0

-œ<x<œ, 3 =

r(x), x g l,

r0(x), x g R/l, [f(x), x g l,

1 0, x g R/l.

2(1 -v2 ),

7 E

(7)

= и [а

к=1

—а < а < К < ••• < а < К < ••• < К < а,

заключенной в отрезке [— а, а], усилена абсолютно жесткими на растяжение-сжатие и абсолютно гибкими на изгиб стрингерами, а на остальной части

отрезка [ а, а] действуют наперед заданные касательные силы интенсивности г(х). В рамках известной модели Мелана [17] описанную задачу можно сформулировать в виде следующей смешанной граничной задачи для нижней упругой полуплоскости:

По формуле обращения Гильберта из (7) получим следующее ключевое уравнение задачи:

ж2З'

T (x)=--к J<

-œ<x<œ.

s - x

(8)

Это уравнение рассмотрим на системе отрезков I и реализуем второе граничное условие задачи (6). Получим следующее СИУ:

1 f ГШ = -73ф),

Ж* S - x

x

g l, f(ck ) = f(dk ) = 0, k = 1, n +1,

= -73 r(x), x g l,

которое после интегрирования по частям дает определяющее ГСИУ обсуждаемой задачи:

1г IУк

ж\ — х)2

Ж) = Ж) = 0, к = 1Й+1. (9)

ГСИУ (9) с точностью до упругой постоянной совпадает с ГСИУ (5).

Если же ключевое уравнение (8) рассматривать вне системы I, то получим касательные напряжения под стрингерами:

Г. (х)=--^ | , X Е И/,.

Ж ьт

s - x

^ = а, к = 1, п, = а - система отрезков в [— а,а], свободная от стрингеров; Ы,&х,&у,Гух -

горизонтальные перемещения точек полуплоскости и компоненты напряжений.

Требуется определить перемещения граничных точек упругой полуплоскости на системе отрезков

I на оси Ох, т.е. функцию I(х) = и(х, у) у=—0 ,

X Е /, I(Ск) = I(йк) = 0, к = 1пт1, I(х)е с1'2(I).

Ниже займемся решением ГСИУ (5) при условиях (2). После введения безразмерных величин

£ = х/а, п = Vа, (£) = I(а£)/а, g(^) = т(a^)/О придем к следующему ГСИУ:

1 г ((пУп

Ж

(р(ар)= 0, (p(ßp)= 0, p = 1,n,

L =

J (ap ß ap = ap/a > ßp = bp/a.

p=1

<

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

Здесь а - характерный параметр длины, например а = |а|, если а ^ 0.

Решение ГСИУ (10)

При помощи интегрирования по частям уравнение (10) можно привести к виду

!j^=-gj, ^gL0.

жL л-ь

(11)

Решение СИУ (11) представляется формулой [7, с. 50, ф-лы 244-246].

4Й=

_ (- 1)n+p = Ш

- S (- Г ÎVn^ Pjg)

m=1

ap <J<ßp, p =1,n,

Pn-1(^) = C0 + cj + ... + C^j1 ,

n

Пп (^)=n^-am| J-ßm| ,

где с ■, 7 = 0, п _ 1, - пока неизвестные коэффициенты многочлена (£).

В (12) £ заменим на Т и по Т произведем интегрирование от а^ до £, а < £ < Рр, Р = 1, п. Получим

((£)= (13)

_(_ 1)

n+p+1

ж

n г m

S (- 1)n - m i^np (ЬлХ/ПЛ) g №n

m=1 n

n-1 J zjdz л/Пn Л)

n—1 J

+ SCj J-

j=0 a

, ap , p =1,n

dz

Кпр(£,1)= | , , Т-т.

п п (т)(т_л)

Очевидно, что ((а ) = 0 , р = 1,п . Полагая в (13) £ = Рр и принимая во внимание условие ((р )= 0, для определения постоянных с^ полу-

S j = Ap), p=1 n C

j=1

=1,n C = C-l,

Ln) = J

p w-1

_rj-1dz. (z)

, j =1, n

(14)

A;)=S (- 1)n-m+1 J KnP (ßP ,лХ/п;(Л) g (л)л,

m=1 «m

ßp d

Разрешимость СЛАУ (14) может быть показана (12) аналогично тому, как это было сделано в [6, 7].

Так как входящие в (13) и (14) интегралы

Кпр(£,^) и А(п) аналитически не вычисляются,

для их вычисления воспользуемся известными [18] квадратурными формулами типа Гаусса по чебы-шевским узлам, которые после перевода на интервал (а, Р) будут иметь следующий вид:

ß J

f (z)dz

= жMyf ß-at +ß + a

V(z- a)(ß- z) MS ^ 2 9 2 t = cos((2q -1)ж/ 2M ), q = 1, M,

JV(r-aXß-r) h(z)d'

z =

ß-аЛ ж

2 I M +

IS

1 m=1

• 2 f жт sin I-|X

M +1

(15)

Jß-a ß + a x h| —-z + -

+

2 m 2 f тип Л

z = cos I

m = 1, M .

М +1

Здесь М - любое натуральное число; ^ и Тт -чебышевские узлы, т.е. корни многочленов Чебы-шева первого рода ТМ () и второго рода им (т) соответственно. Полагая

ТЩТ) = ТПрЩт_а/, )(Рр _т) ,

п

Ппр)(т)= ПТ_«т|т_Рт| ,

m=1,m^ p

-р/ ~ •> ~------г—----------------------- ;

чим следующую систему линейных алгебраических при помощи формул (15) получим уравнений (СЛАУ):

a

1

m

a

a

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2 M 1 1

K (ß r(p))=—У

^npXHmi '"m ) дгУ

M

t( p W p >

q

ßp -ap

(p ) ßp-ap ßp +ap

q 2 q r(p ) = ßp -a

2

2

pr ßp + ap 1 m +

(16)

A(n ) = Ap =

7

A n

1 У (-1)

1 m=1

n-m+1 ,

2

ßm -am

\2

M

m+1 tr ^ 2 . ,=.

n

T(m

• 21 —7 sin21 ^

,M +1

nnm)(r)= Пк-a.lk-ß^,

r=1,r Ф m

7

Knp(^)=—T

1

Далее рассмотрим важный частный случай, когда L = [— a,—b\^\b,a]. Пусть a = |aj . В этом случае будем иметь

а1 = —1, Д = —k; а2 = k, f32 = 1, k = b/a,

Lo =(— 1,—k)U (k,l), П2 (?) = ( — ? № — k2 Л k <?< 1.

В разбираемом частном случае элементы матрицы СЛАУ (14) вычисляются аналитически.

Введём для сокращения дальнейших построений функции = V(1 — rf )р2 — k2 ),

Го(& = = V(1 — ?fe2 — k2). Тогда

- k

Lï = f-

rdr

1

-f

rdr

—1Г0 (г) к Гс(0 Далее, воспользовавшись выражением известного интеграла из [19, с. 260, ф-ла 3.153.10], найдём

= К (к') = К', к' = ^¡\-кI, где К (к') - полный эллиптический интеграл первого рода модуля к'. Обращаясь к , запишем

L(2 ) = L1 О -

г rdr _ г J1/0(^) f Уа(г)

г udr

Приняв во внимание формулы (15) и (16), представим (14) в виде

Г4(2С + т{2С = л{2) 1411 С1 ^ ¿12 С2 = л1 ,

| И2)С + И2)С = Л(2) 1421С1 ^ 422С2 = Л2 ,

где Л(2) = 1

= | [К21(— к п (— п) — К21(— к, п)Е (п)] X

1 - k

7

х*Лл\ 2 ; m +1 У Ы- k (-Г )-K,1(- k ,rf)g (r<1')]>

7=1 X

sin2[ M7+I № + r?M' + k)

ri" =

+

1 - k

1 + k

Г -

a22) =

1 - k

2

7

2 ; m+1

y [a,-r? ))g (-r")-K22(1,r' >)g r ))]> 7

7=1

.21

x sin

^ M + 1-k

TJV(1 + ri!))W2) + k ).

1 + k

—r +— 2 7 2

K21 (- *.,) = -f ^

k

M

У

7

M

У0 (r)(r + Л) 1 1

q=1

V(1+tqi})(k+tf) -q

<щ t «

tq4+v

1

K22(1,?) = f

dr

7

M

M (1+tq2l)(tq2,+k ) (q '-л) '

/0(г)(г-л) 1

t <1) =

q

1 - k

2 -

1 + k

2

t (2) = 'q

1 - k

1 + k

2 ''q +■ 2

Решение ГСИУ (10) в случае двух симметрически Этот элементарный интеграл берется подста- расположенных интервалов 40 = (— 1,—к)и (к,1)

новкой 5 =Г . В результате =—Ж/В построим в других аналитических формах более остальных двух случаях простой структуры. С этой целью решение уравне-

¿(2) = А2) = К' 4-2) = —4,2) =ж/ 2 ния (10) разобьём на симметрическую и кососим-

21 ? 22 М2 / т"> ^

метрическую части. В случае симметрической ча-

k

2

X

2

2

X

X

k

k

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

Для J£,л, к)

сти g(_£)= g(£) и, следовательно, (_£) = (£), ((_£) = _((£), £е[_1,_к]у[к,1], причем

((± к) = ((±1) = 0. В этом случае формула обращения (12) для соответствующего СИУ (11) преобразуется к виду

г(£)= 1 г + _Со

771/ (РЛ J

имеем

J J, л; k )=-^-л -1

л/ï-J

п1ж ,^(л), k'l-

-П

ç

жк0(£) k k<£<1.

2 е2 л -£

Гс(£)

, (17)

arcsin

k '

Л > - ,а(л), k'

(21)

к <£< 1, ,

где П(р, n, к ) - неполный эллиптический интеграл

Для определения постоянной С0 воспользуемся третьего рода [19, с. 919], откуда

£ а

| ( (£^£ = 0, которое после простых 3 (£,±1; к) = 3 (£,1; к ) =

условием J ç

k

преобразований даёт 1

,(u)

с

2жК '

7JI0(k,z)J1 -z' g0(z)dz

g0 (z)= g УCt + d ) 1

I0 (k ,z)= J

(18)

dt

dt

I J, k )= К ' - F k <£< 1.

arcsin

V-J k'

k

I I

(20)

[k 2П(щ,1, k )+ k2 F Щ, k' )],

(22)

f

щ = arcsin

f£

2 - k'-

V

k'£

= arcsin

Ш/£),

1л/СТ7^л/Г_Т2 (г _ т) '

1 _ к2 , 1+к2

с =-, d =-.

2 2

Далее в (17) £ заменим на и и по и произведем интегрирование от и до £ , к < £ < 1. Получим

2 1

((£) = -13(£,); к) g(л)л7o(л)dл+ СоI(£,к), Ж к

к <£< 1, (19)

£ £ I(£,к)=|-^, 3{£,П, к)=( /V 2).

к Уо(и) к Уо(и)\п _и)

Вычислим интегралы I(£, к) и 3(£,), к) из (19). Имеем

I (£, к ) =

-Г Л _х{Р

к<£<1.

Так как ((1) = 0, то из этих формул вытекает, что постоянная С0, кроме формулы (18), может

быть выражена также формулой 1

со = ,2 , \/3(1,Пк)g{l)nYo(Л)dl, I (1, к ) = К,

2~т пГЖ,©()) к1,

J (1,л, k ) =

л2 -1

k

2 ' ж

k2nl 1,1, k 1+k'2К'

, л = 1.

„V(1 - t2 )(1 - k'2t2 ) J0 V(1 -12 )(1 - k'2t2 )

= F (p, k'),

где F(p, k') - неполный эллиптический интеграл первого рода [19, с. 918]. В результате

f ( ^

Таким образом, симметрическая часть решения ГСИУ (10) в обсуждаемом частном случае выражается формулами (19)-(22).

Симметрическую часть решения указанного ГСИУ построим также методом многочленов Че-бышева. С этой целью воспользуемся спектральным соотношением [20, 21]

1 1 £+) Тп (т)dn

ж ■

1 i'nj

k \£-л У0(л) n = 0,1,2,..., k <£< 1,

X = cos 3,

£ к

= МЛ (X ),

(23)

3 = ж J

" J

du

К' J V(u2 -1)(1 - k2u2 )

Y = cos ç,

, k < £, л < 1,

<

1

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

V k

7 f

du

K f V(u2 -1)(1 - k2u2 ) '

n = 1,2,...

Коэффициенты у определим при помощи

условий ортогональности многочленов Чебышева второго рода с видоизмененным аргументом:

Vn =

K ' ( 7 nK

-th I

7 n

K'

K, n = 0.

1

f^m-1(X )Un-1 (X )

л/1 - X2 dÇ Ytâ)

K '

—, m = n, 2

0 , m Ф n,

которые дают

Здесь 1п (.л ) - многочлены Чебышева первого рода аргумента X; 3 при помощи подстановки и = 1/ / в интеграле будет выражаться неполным эллиптическим интегралом первого рода [19, с. 260, ф-ла 10]:

( ( 1,2 ^

Уп = — cth(7nKjK')gn, n = 1,2,...

1

gn =f g(ÇU-1(X)dç •

(28)

■W-k2

Çk

, k' = V 1 - k2 .

5 = — F arcsin —-— , к'

K'

V V " У y

Условия ортогональности многочленов Чебы-

шева Tn (X ):

(K', да = n = 0,

Далее обе части (27) проинтегрируем от к до £, предварительно заменив £ на П . Получим

Ç

dл

((Ç)=y0 fvcri +

k /0(л) n=1

œ Ç

У Уп f

Tn (Y)dn

(29)

1 Tm (X T (X

(24)

К'/2, т = п * 0, 0, т * п.

Обе части спектрального соотношения (23) продифференцируем по £• После элементарных преобразований получим

2п Тп (т_

к Г0(п)

Положим £ = 1 и воспользуемся формулой (24). В результате находим, что у0 = 0^ Для вычисления второго интеграла из (29) перейдем к переменной ( . Согласно третьей формуле из (23)

—П = — Следовательно,

У0(п) Ж

è 1

7 k л -Ç У0(л)

(25)

Tn (Y Ул_ K '

— f cos(n()d( ■ 7 Î

- th

7nK W1 - X2Un_ (X )

n = 1,2,...

К') *,(£)

0, п = 0 к <£< 1 С другой стороны, СИУ (11), когда 4 = [— 1,— к]и (к,1), в симметрическом случае преобразуется к виду

1 г2п((пУп

ж ■

Ç

f У0(л)

K' ■ ( п\ K' sin(n3) .

= — sin(n3) =--1—- sin3:

7m sin3

тп

К' I-

= К^/1 — X2ип—1(х), п = ¡Д^ тп

В результате

((£) = КлЯ—Х2 У ^иАX),

Ж п=1 п

где коэффициенты уп даются формулами (28). Перейдем к кососимметрической части решения ГСИУ (10) при 4 =[— 1,—к и (к,1). В этом случае g{—£) = —g £), ((—£)=—((£) и ((—£) = ((£), £е т0. Формула обращения (12) с неизвестными коэффициентами уп. Этот ряд для соответствующего СИУ (11) преобразуется к подставим в (26). Воспользовавшись соотношением виду

= -g(ç), k <Ç< 1.

2 ,2 ~..... (26)

к п —£

Решение СИУ (26) представим в форме бесконечного ряда

1 го

((£) =— У упТп(X) , к <£< 1, (27)

/0(£) п=0

(25), получим

„/l _ œ

^-X- Y.VnynU-(X) = g (ç) , k <Ç< 1 •

У0(£) n=1

2Ç 1 У0(л)g(л)л , QÇ

((Ç) = 2^rf 2 «2

7K0(Ç)k Л -Ç k<Ç<1.

yc(Ç)

<

к

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

1

В этой формуле £ заменим на и и по и произведем интегрирование от к до £, к <£< 1. В результате получим

2 Г

ç(£) = - J ln

ж{

1 у(£,л) + Кл,£) И£,л) -Кл,£)|

g {ri)dri +

ç£) = - J j£ л; k Клк Шл + СЛ(£, k ),

ж{

+C

ж

—+ arcsin 2

r 2£2 - k2 - Л

V 1 -k2 I

, k<£<1.

I

£

,(£, k )=/■

udu

k Ï0(u)

£

(30)

Jl(£,r; k ) = J-

udu

к 7о(и)()2 _ и2)

Для вычисления интеграла I (£, к) положим в

нем и2 = I. После элементарных выкладок находим

I (£, k ) = 1 arcsin

^2£2 - k2 -1Л ж

1 - k2

+ -

4

(31)

к<£<1.

В случае интеграла J1 (£,^; n) воспользуемся,

= 41 — к,2t2 . Тогда dt

Очевидно, что ((к)= 0. С другой стороны, удовлетворив условию ((1) = 0, обнаружим, что С = 0. В итоге симметрическая часть решения ГСИУ (10) для двух симметрических отрезков выражается формулой

((£) = 1 |1п ,У(£п) + у(),£) g())d),

ж к \г(£,)) _у(п,£)| к <£< 1.

Кососимметрическую часть решения ГСИУ (10) построим также методом ортогональных многочленов Чебышева. С этой целью обратимся к известному соотношению

как и выше, подстановкой u 1

к )=

I fln—L- Tn (s d -

77" J

1 1

Jl(£,r;k) = —j J

k2 (t2 - A2)

ж\ \х - s -1

и в нем положим

;2 7,2

1 Tn(х), n = 1,2,..., n

ln2, n = 0, -1 < х < 1,

Л2 = bf, /(£)=-^л/1—£.

Далее применяем третью подстановку Эйлера

л/Г—t2 = v(1 +1 t = 1—4 ,v = • 11—7

2£ - k2 -1 2л2 - k2 -1

х =-:-, S =---,

1 - k2 1 - k2

k <£, л< 1, £ =4сх + d, л = 4es + d

1 - k2 1 + k2 -1 < х, s < 1, с =-, d =-.

(33)

1 + v гарны

приводят исходный интеграл к виду

1 +1

2

2

В результате простых преобразований указан-Последующие элементарные преобразования ное спектральное соотношение преобразуется в

следующее:

1 1

4(£л; k )=-

2

1+z(£)

k'2 (1 - A2 ) J (v2 - B2 )(v2 - B'2 ),

(1 + v2 )dV

2 d2 V 2

ж Jlnb^ T

^2л-k2 -1Л л/л

в2 = Т_А, В' = I, А = 1_). 1 + А В к'2

Вычисляя элементарные интегралы от рациональной функции в правой части, после несложных выкладок окончательно находим

= IT„

\£2 -л

f 2£2 - k2 -

V 1 -k2 I

Ï0(u)

1 - k2

(34)

K =

(32)

2n

1ln21 -

2 V с

n = 1,2,...,

2

n = 0, k <£< 1.

3(£,);к)= 1 1п у(£)+У(п,£).

1 ' ' 2Уо()) \г(£,п) _У(),£)\ При этом условия ортогональности многочле-

Приняв во внимание (31) и (32), формулу (30) нов Чебышева первого рода с видоизмененным ар-

можно представить в виде

гументом имеют вид

2

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

2Ç2 - k2 -1W 2Ç2 - k2 -1 ) ÇdÇ

1 - k2

1 - k2

y>(Ç)

f

Ж—1 (5 — х V1 —

Если в его левой части произвести интегрирование по частям, то получим следующее соотноше-

ние:

, f ^-М^=-nUn-1 (x ),

^ J (s - x)

7

n = 1,2,...; -1 <x < 1.

(35)

нии получим нужное нам следующее соотношение:

f2\ - к2 -1 ^

-2- Wo\)

V 1 к y

^ f

7

! Un-!

k

n2 Un

1 - k -(л2-« )

^2Ç2 - k2 -1 ^ 1 - k2

-dл =

(36)

, n = 1,2,..., k <Ç< 1.

Условия ортогональности входящих в (36) многочленов Чебышева второго рода с видоизмененным аргументом имеют вид

1 ^2Ç2 - k2 - О v 1 -k2 ;

f Um-1

Un-1

^ 2Ç2 - k2 -1 ^ v 1 -k 2 ;

X 2Çy0(Ç) dÇ =

—

2

,2

m = n, 1 - k 2 ' c =.(37)

0, да Ф n,

2

Далее ГСИУ (10), когда L0 = [- 1,-k]|J (k,l), в

'0

кососимметрическом случае приведем к виду

7

—, m = n = 0, 2

7С

— , m = n Ф 0, 4

0, m Ф n.

Обе части спектрального соотношения (34) продифференцируем по £ , а затем по (33) перейдем к переменным х, В результате получим известное соотношение [19, с. 847, ф-ла 7.344.1]

11 1 = и.М п = и- —1 < х < 1.

7

,k<Ç<1.

(38)

112п(р(пУ1п = _ g(i}

! \ -е )2 = 2е

Его решение представим посредством беско-

нечного ряда

œ

((ç) = y0(ç)y xnUn_,

n=1

^2Ç2 - k2 -1 ^ v 1 -k2 ;

(39)

к<£<1, с неизвестными коэффициентами х .

Подставляя (39) в (38), меняя порядок интегрирования и суммирования и используя соотношение (36), получим

-y nx„U„ ,

^^ n n-1

^2Ç2 - k2 -1 ^ v 1 -k2 ;

gç)

2Ç

, k<Ç< 1.

Отсюда по условиям ортогональности (37) находим

„ 2gn

Интеграл в (35) при s = x понимается в смысле Адамара. Это соотношение, которое может быть интерпретировано как своеобразное спектральное

выражение для ядра 1/|^(s — x)2 ], приведено в [5]. Теперь в (35) по формулам (33) обратно перейдём к переменным rf. После очевидных преобразова-

ние

Л=f g «ц ;

n = 1,2,...

Yo(Ç) dÇ,

Последний интеграл можно вычислить по второй квадратурной формуле (15).

Заключение

К решению ГСИУ на нескольких интервалах с классическим гиперсингулярным ядром Коши здесь применены методы СИУ с обычным ядром Коши. К этому ГСИУ, как в работах [18-20], можно применить и методы краевых задач теории аналитических функций. Однако в обоих случаях возникают значительные трудности при аналитическом вычислении нужных сингулярных и обычных интегралов. В плане преодоления этих трудностей эффективнее представляется метод квадратурных формул типа Гаусса, с вычислительной - метод ортогональных многочленов. Оба метода частично использованы в настоящей работе. При помощи квадратурных формул можно провести численный анализ аналитических формул, полученных здесь методами ГСИУ и ортогональных многочленов Чебышева. Изложенные результаты могут быть использованы в смежных исследованиях.

k

■

n=1

X

<

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

Литература

1. Hadamard J. Lectures of Cauchys Problem in Linear Partial Differential Equations. N.Y.: Dover Publications, 1952. 322 р.

2. Lifanov I., Poltavskii L., Vainikko M., Polyanin A. Hypersingular Integral Equations and Their Applications. Boca Raton; London, 2004.

3. Ang W.T. Hypersingular Integral Equations in Fracture Analysis. Cambridge: Woodhead Publishing, 2013. 212 р.

4. Kaya A.C., Erdogan F. On the solution of integral equations with strongly singular kernels // Quart. Appl. Math. 1987. Vol. 45 (1). P. 105-122.

5. Chan Y.-Sh., Fannjiang A.C., Paulino G.H. Integral equations with hypersingular kernels - theory and applications to fracture mechanics // International J. of Engineering Science. 2003. Vol. 41. P. 683-720.

6. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

7. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. М.;Л.: 1949. 270 с.

8. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980. 304 с.

9. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.

10. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

11. Механика контактных взаимодействий / под ред. И.И. Воровича и В.М. Александрова. М.: Физматлит, 2001. 670 с.

12. SchleifM. Singuläre Integraloperatoren in HilbertRäume mit Gewichtsfunktion // Mathematische Nachrichten. 1969. Vol. 42 (1-3). S. 145-155.

13. Martin P.A. Exact solution of a simple hypersingular integral equation // J. of Integral Equations and Application. 1992. Vol. 4 (2). P. 197-204.

14. Dutta B., Banerjea S. Solution of a hypersingular integral equation in two disjoint intervals // Appl. Math. Lett. 2009. Vol. 22 (8). P. 1281-1285.

15.Mkhitaryan S.M., Mkrtchyan M.S., Kanetsyan E.G. Hypersingular Integral Equations Arising in the Boundary Value Problems of the Elasticity Theory // The Quarterly J. of Mechanics and Applied Mathematics. 2020. Vol. 73, iss. 1. P. 51-75.

16. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1976. 716 с.

17. Melan E. Ein Beitrag zur Theorie geschweißter Verbindungen // Ingr. Arch. 1932. Bd. 3, № 2. S. 123129.

18. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976. 443 с.

19. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ФМ, 1963. 1100 с.

20. Мхитарян С.М. О собственных функциях интегрального оператора, порожденного логарифмическим ядром на двух интервалах, и их приложении к контактным задачам // Изв. АН АрмССР. Механика, 1982. Т. 35, № 6. С. 3-18.

21. Александров В.М., Коваленко Е.В., Мхитарян С.М. Об одном методе получения спектральных соотношений для интегральных операторов смешанных задач механики сплошных сред // ПММ. 1982. Т. 46, вып. 6. С. 1028-1036.

References

1. Hadamard J. (1952). Lectures of Cauchyss problem in linear partial differential equations. New York, Dover Publ., 322 р.

2. Lifanov I., Poltavskii L., Vainikko M., Polyanin A. (2004). Hypersingular integral equations and their applications. Boca Raton, London.

3. Ang W.T. (2013). Hypersingular integral equations in fracture analysis. Cambridge, Woodhead Publ., 212 р.

4. Kaya A.C., Erdogan F. (1987). On the solution of integral equations with strongly singular kernels. Quart. Appl. Math., vol. 45 (1), pp. 105-122.

5. Chan Y.-Sh., Fannjiang A.C., Paulino Gl.H. (2003). Integral equations with hypersingular kernels -theory and applications to fracture mechanics. International J. of Engineering Science, vol. 41, pp. 683-720.

6. Muskhelishvili N. I. (1966). Some main problems of the mathematical theory of elasticity. Moscow, Nauka Publ., 708 p. (in Russian).

7. Shtaerman I.Ya. (1949). Contact problem of elasticity theory. Moscow, Leningrad, 270 p. (in Russian).

8. Galin L.A. (1980). Contact problems of the theory of elasticity and viscoelasticity. Moscow, Nauka Publ., 304 p. (in Russian).

9. Vorovich I.I., Alexandrov V.M., Babeshko V.A. (1974). Non-classical mixed problems of elasticity theory. Moscow, Nauka Publ., 456 p. (in Russian).

10. Cherepanov G.P. (1974). Mechanics of brittle destruction. Moscow, Nauka Publ., 640 p. (in Russian).

11. Mechanics of contact interactions. (2001). I.I. Vorovich, V.M. Alexandrov (Eds.). Moscow, Fizmatlit Publ., 670 p. (in Russian).

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

12. Schleif M. (1969). Singuläre Integraloperatoren in Hilbert-Räume mit Gewichtsfunktion. Mathematische Nachrichten, vol. 42 (1-3), S. 145-155.

13. Martin P.A. (1992). Exact solution of a simple hypersingular integral equation. J. of Integral Equations and Application, vol. 4 (2), pp. 197-204.

14. Dutta B., Banerjea S. (2009). Solution of a hypersingular integral equation in two disjoint intervals. Appl. Math. Lett., vol. 22 (8), pp. 1281-1285.

15. Mkhitaryan S.M., Mkrtchyan M.S., Kanetsyan E.G. (2020). Hypersingular Integral Equations Arising in the Boundary Value Problems of the Elasticity Theory. The Quarterly J. of Mechanics and Applied Mathematics, vol. 73, iss. 1, pp. 51-75.

16. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. (1976). Methods of the theory of functions of a complex variable. Moscow, Nauka Publ., 716 p. (in Russian).

17. Melan E. (1932). Ein Beitrag zur Theorie geschweißter Verbindungen. Ingr. Arch., bd. 3, no. 2, pp. 123-129.

18. Panasyuk V.V., Savruk M.P., Datsyshin A.P. (1976). Stress distribution near cracks in plates and shells. Kiev, Naukova Dumka Publ., 443 p. (in Russian).

19. Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. (1963). Tables of integrals, sums, series and products. Moscow, FM Publ., 1100 p. (in Russian).

20. Mkhitaryan S.M. (1982). On eigenfunctions of an integral operator generated by a logarithmic kernel on two intervals and their application to contact problems. Izv. ANArmSSR. Mekhanika, vol. 35, no. 6, pp. 3-18. (in Russian).

21. Aleksandrov V.M., Kovalenko E.V., Mkhitaryan S.M. (1982). On a method for obtaining spectral relations for integral operators of mixed problems in continuum mechanics. PMM, vol. 46, no. 6, pp. 1028-1036. (in Russian).

Поступила в редакцию /Received_19 марта 2020 г. /March 19, 2020