Антиплоская деформация равномерно кусочно-однородного пространства с периодической системой полубесконечных внутренних трещин Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

УДК 539.3 DOI 10.18522/1026-2237-2020-2-13-20

АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ РАВНОМЕРНО КУСОЧНО-ОДНОРОДНОГО ПРОСТРАНСТВА С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ ВНУТРЕННИХ ТРЕЩИН

© 2020 г. В.Н. Акопян1, АЛ. Григорян1

1Институт механики Национальной академии наук Республики Армения, Ереван, Армения

ANTI-PLANE DEFORMATION UNIFORMLY PIECEWISE HOMOGENEOUS SPACE WITH A PERIODIC SYSTEM OF SEMI-INFINITE INTERNAL CRACKS

V.N. Hakobyan1, A.A. Grigoryan1

1 Institute of Mechanics, National Academy of Sciences of the Republic of Armenia, Yerevan, Armenia

Акопян Ваграм Наслетникович - доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, Институт механики Национальной академии наук Республики Армения, пр. Маршала Баграмяна, 24б, г. Ереван, 0019, Республика Армения, e-mail: [email protected]

Григорян Арам Арутюнович - аспирант, Институт механики Национальной академии наук Республики Армения, пр. Маршала Баграмяна, 24б, г. Ереван, 0019, Республика Армения, e-mail: [email protected]

Vahram N. Hakobyan - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Main Researcher, Institute of Mechanics, National Academy of Sciences of the Republic of Armenia, Marshala Baghramyana Ave., 24B, Yerevan, 0019, Republic of Armenia, e-mail: [email protected]

Aram A. Grigoryan - Postgraduate, Institute of Mechanics, National Academy of Sciences of the Republic of Armenia, Marshala Baghramyana Ave., 24B, Yerevan, 0019, Republic of Armenia, e-mail: [email protected]

Построено решение задачи об антиплоской деформации равномерно кусочно-однородного пространства из двух поочерёдно повторяющихся разнородных слоев. Они имеют равную толщину, состоят из различных материалов. Слои на своих срединных плоскостях расслаблены двумя полубесконечными, периодически расположенными параллельными туннельными трещинами. Выведены определяющие уравнения задачи в виде системы двух сингулярных уравнений первого рода относительно контактных напряжений, действующих в зонах контактов на срединных плоскостях разнородных слоев. Решение системы в общем случае построено методом механических квадратур. В частном случае, когда трещины в разнородных слоях одинаковы, решение задачи сведет к исследованию двух независимых уравнений. Построены их замкнутые решения. Получено сингулярное интегральное уравнение задачи в случае, когда в одном из разнородных слоев трещины отсутствуют. В общем случае проведен численный расчет. Опр е-делены закономерности изменения контактных напряжений и коэффициентов интенсивности напряжений в концевых точках трещин в зависимости от физико-механических и геометрических параметров задачи, каковыми являются отношения модулей сдвига слоев и отношения толщины слоев и длин трещин.

Ключевые слова: периодическая задача, смешанная задача, кусочно-однородное пространство, внутренние трещины.

In this paper, we have constructed a solution for the problem of antiplane deformation of a uniformly piecewise homogeneous space of two alternately repeating heterogeneous layers of equal thickness from different materials, which are relaxed on their median planes by two semi-infinite, periodic parallel tunneling cracks. A system of defining equations of the problem is derived in the form of a system of two singular equations of the first kind, with respect to contact stresses acting in the contact zones on the median planes of heterogeneous layers, the solution of which, in the general case, is constructed by the method of mechanical quadrature. In the particular case when the cracks in the heterogeneous layers are the same, the solution of the problem is reduced to the solution of two independent equations and their closed solutions are constructed. The defining singular integral equation of the problem is also obtained in the case when there are no cracks in one of the heterogeneous layers. In the general case, a numerical calculation was carried out and patterns of changes in contact stresses and intensity factors of destructive stresses at the end points of cracks were determined depending on the physical and mechanical and geometric parameters of the problem, which are the ratios of the shear moduli of the layers and the ratio of the layer thickness and crack lengths.

Keywords: periodic problem, mixed boundary value problem, piecewise homogeneous space, internal cracks.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

Введение

Периодические и двоякопериодические задачи для упругих однородных массивных тел с дефектами типа трещин, абсолютно жёстких или деформируемых включений - одно из развивающихся направлений теории контактных и смешанных задач математической теории упругости. Многие основополагающие результаты по этой проблеме изложены в монографиях [1, 2]. Аналогичные исследования для кусочно-однородных, слоистых тел, весьма актуальные с точки зрения механики слоистых композитов, начали проводиться совсем недавно. Были построены разрывные решения уравнений теории упругости для кусочно-однородного равномерно слоистого пространства с межфазными или внутренними конечными дефектами при антиплоской, плоской и осесимметричной деформациях [3-8]. Отметим также работу [9], которая более тесно связана с исследуемой здесь задачей. В ней построены точные решения аналогичной задачи для кусочно-однородного равномерно слоистого пространства с периодической системой внутренних туннельных конечных трещин и частично оторванных от матрицы абсолютно жёстких конечных включений.

Постановка задачи и вывод определяющих уравнений

Пусть кусочно-однородное пространство, состоящее из двух поочерёдно повторяющихся разнородных слоев равной толщины 2И из различных материалов с модулями сдвига ^ и ^ , содержит периодическую систему туннельных параллельных трещин на срединных плоскостях у = (2п + \)к, п е 2 , по бесконечным полосам =(— да,—а. ,,

у = 1,2, соответственно в первом и во втором разнородном слоях и находится в условиях антиплоской деформации. Будем считать, что пространство деформируется под воздействием одинаковых, противоположно направленных распределённых нагрузок

Гх(х) и т2 (х), действующих на берегах трещин в разнородных слоях и имеющих конечные результирующие Ру, у = 1,2.

Требуется построить решение поставленной задачи, выяснить закономерности изменения важных механических характеристик в зависимости от физико-механических и геометрических параметров разнородных слоев.

Нетрудно заметить, что при такой постановке

задачи у = (2п +1)^, п е 2 , - плоскости антисимметрии. Напряжённое состояние в составных

слоях, находящихся между плоскостями симметрии у = (2к — Х)к и у = (2к + Х)к, будет одинаковым. Следовательно, можно рассмотреть напряжённое состояние только двухкомпонентного слоя (базовой ячейки) между плоскостями антисимметрии у = ±к (рис. 1).

(1)

Рис. 1. Базовая ячейка / Fig. 1. Base cell

Для базовой ячейки поставленную задачу математически можно сформулировать в виде следующей граничной задачи:

W (x, (-+1 h) = 0, х g L ^ j = 1,2,

r^)(x,0)=r^)(x,0), -ю< x <да, W(x,0) = W(x,0), -да< x <да, ТZ)(x,(-j h)=-ri(x), x E Lj.

Здесь W (x, У), j = 1,2, - компоненты смещений точек первого и второго слоев соответственно. Каждая из них в области своего определения удовлетворяет уравнению Лапласа. Связь с компонентами напряжений Т)(x, y) определяется соотно-

шениями тл„\х.

yz

ел/ \ дЖ. (х, у) Ж )(х, у ) = 01 —^^. у2 v, у 1 ду

Для решения поставленной задачи введём в рассмотрение неизвестные контактные напряжения, действующие в срединных плоскостях разнородных слоев:

^(х, (— 1)+1 и)= д} (х), |х| < а], 1 = 1,2. (2)

Решим вспомогательную задачу, заменив первые условия (1) соотношениями (2).

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

Для этого решения уравнений Лапласа представим в виде интегралов Фурье

^(х,у) = — № + Б]^]е^, ] = 1,2.

Удовлетворим условиям вспомогательной граничной задачи. Выразим неизвестные коэффициенты А. (^) и В. , у = 1,2, через трансформанты

Фурье функций X ■ (х), ] = 1,2. Получим

А = В{2Р + е-'Щ/(О ), А2 = В2е2'+ е'02 (* )/(О),

B =

chß — Gshß jr

Ш-

sG {G + 1)sh(2ß) sG {G + 1>h(2ß)

e-ß р/ч Gchß + shß sG (G + l)sh (2ß)Ql ( ) sG (G + l)sh (2ß) q (x), x g Z

где Q, (x) =

B2 =

Q2 (s), Q2 (s),

\-xix), x G Z

G

—да да

Tt 2h

l*th (sh)eistds =-7^—,—чт

i V ^ hsh(nt /(2h))

—да да

J

„ist _•

e 7 tu , Tt

—7-г ds = — th — ,

sh(2hs) 2h 4h

определим производные от смещений точек лицевых плоскостей базового слоя. Получим

Щ(х, и) =

lè JG +„f t& ^ ж d

G (G +1)1 2h Ja sh(^(s - x))

s +

+

¿i1-^ * (s » -1 (x », (3)

W(x,-h) =

1 j 1 ar Gch(^(s — x))—G ^ J sh(^(s — x)) 1

G (G +1) j 2h

5 *«* — /2(x)j.

л —a1 да ri ,

M-± f fG+

2h JJ sh(ß(s — x))

_ 1 7 G + ch(^(s — x))

2h —i sh(V(s — x))

^ — i1 да

ЗДесь /1(x)=^ JJ

— i2 да

JJ cT/(Y— Я)Л— 1 ^(s )ds ,

■ (s )ds —

1 a2 да ch(ß(s — x)) — 1

—да J

(x) = X? f Gch(A(s — x))—G

/2 (x) = 4 JJ

2h —даJ sh(^(s—x))

■r1(s)ds —

ô, (s) = — j ô, , P = sh; G = G.

Используя полученные выражения для коэффициентов A ■ и B,, j = 1,2, и значения известных

j

интегралов [10, 11]

да

j cth (sh)eis'ds = — cth J /7

Г211 + — х)) ^^ ,

2И -ЮI зИ(М(з - х)) 24 ^ '

/л = ж /(2^), — ю< х <го. При помощи (3) удовлетворим первым двум соотношениям (1). Для определения контактных напряжений ^. (х), ] = 1,2, придём к следующей

системе определяющих сингулярных интегральных уравнений:

' 1 да о+си (/—х))

2h —i sh — x ))

(s )ds —

(4)

1 0* ch (ß(s — x)) — 1 2h —J sh(^(s — x))

*(s)ds = / (x), Ixl < ij

1 О1 Gch (ß(s — x))—G 2h —Ja Sh — x))

* (s )ds —

1 + Gch (ß(s — x)) 2h —J sh (^(s — x))

(s )ds = 1 (xIxl < a2 .

Система (4) по своей структуре точно совпадает с определяющей системой уравнений для определения дислокаций точек берегов конечной трещины [9]. Систему (4) нужно рассматривать вместе с условиями равновесия

а1 — а1 ю

2 2 да

J (s )ds = J JT2 (s )ds =P2 •

(5)

Таким образом, решение поставленной задачи свелось к решению определяющей системы (4) при условиях (5).

Приведём также определяющее уравнение задачи в случае, когда трещины в слоях, изготовленных из второго материала, отсутствуют. Для этого заметим,

ß

e

да

да

да a

а

—да a

а

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

что первое условие граничной задачи (1) при у = 2 имеет место при — да < х < да, а последнее условие вовсе отпадает. Вследствие этого для коэффициентов Л ■ (у) и В. (у), 1 = 1,2, получаются выражения:

—2Р+ ер\ (Оекр — ьк^ (у )

A = B^ + e ßQ1{s)/{sG1 ), A2 = B2e

B = —

1 sG1\G + l)[ch (2^) + G* ]'

в _ e-'Щ

2 sG1 (G + фИ(2^) + G* ], G* =(G -1)/(1 + G).

Используя значение интеграла

sh(cx)sin(bx) 7 n , bt . 1 bn ririi —\—<r—-—-ax = — ch — / sh— [10], для произ-ch (cx)+ cos t c c c

водной от смещений точек лицевой поверхности первого из базовых слоев получим соотношение

W '(x, h)= (6)

i

111 f1 ch (ßo (s - x )) n I Oh i

где

G ! 2h sh(u(s — x))

-I —"l J

&(x )= è-fj

q(s )ds — ^1(х H,

7 -Ch(//0/(s — x)))^)ds,

2h sh(ju(s — x)) lV ^ '

tn

Иъ = ——; ^ = агееоэ Ц,. 2ж

При помощи (6) удовлетворим первому из условий граничной задачи (1) при у = 1. Придём к сингулярному интегральному уравнению

_L "гch (u (s—х))

2h —Jf sh(u(s — x))

q1(s)ds = & (x )

(7)

— f < x < f,

1 J q (s )ds Ah f

4h - sh(u(s — x)/2)

= Ä(x), — f1

f < x < f

zx (s )ds

^ — да

где на этот раз &(х) = - ^ — х)/2).

Отметим, что то же самое уравнение можно получить и из системы (4), приняв G = 1, а = а, д (х) = д2 (х), ^(х) = ^(х) и заменив к на 2к.

Равномерно кусочно-однородное пространство с периодической системой одинаковых параллельных внутренних трещин

Сначала обсудим частный случай поставленной задачи, когда трещины в разнородных слоях имеют

одинаковые размеры, т.е. когда а = а = а . В этом частном случае, как и в [10], введём новые искомые функции по формулам

щ(х) = д1(х)—д2 (х) ; (х) = СдДх)+ д2 (х). (8) Систему определяющих уравнений (4) перепишем в виде двух независимых сингулярных интегральных уравнений

1 а

— -cthu(s — x)^1 (s)ds = F (x) ,

x < f.

-f

2h fa shu(s — x)

^2 (s

(s)

ds = F (x), |x| < f,

(9)

где

F1(x) =

_f1(x) + f2 (x) F (x)= Gf1(x)— f2 (x)

G +1

G +1

Условия (5) при этом принимают вид

а а

]>!(у)& = Т, (^ = Т2 , (10)

— а —а

Т=Р—Р2,Т2=ОР?+р2.

Общие решения уравнений (9), соответственно, записываются следующим образом [10]:

P1(x) = —

1

2a* (x)

I f^îisMdL—Леей

h f shu(s — x)

(11)

q>2 (x)= —

1 f a* (^)eu(s—x)F2 (s )ds 2a* (x) ! h J shu(s — x)

—V^l-,

a (x)=*Jch(2Ufj—Ch(2Ux),

x < f,

которое нужно рассматривать при первoм условии из (5).

Заметим, что в случае однородной плоскости О = 0. Следовательно, = ж/2. Тогда уравнение (7) примет вид

где С и С - постоянные, подлежащие определе-

нию.

Удовлетворив условиям (10) для этих постоянных, получим выражения

C = TJh; C2 =(2AT2 +1,)/12,

_1 j1 ^ j1 (ln £/2ц)с!£

L =

2 Л ж

F| ж' k1 I, airl) = ^{l— f1 )(b1 —'/),

Vb1 12

k ^д/1 — f / b , f = e 2uf,

b = e2uf.

Далее, используя формулы (8), (11), для контактных напряжений получим соотношения

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

*1(x) =

I a 1 j

0

■fe)F(s )

s )+e

U(s—x)

2(G +1)0 (x)[ h

— л/2 (C^ + C2 )},

*2 (x) =

1 r 1 a GF1(s)

hu(s — x)

F

(12)

+ e

u(s—x)

F (s

2(G +1)0* (x)l h

+ 42 (oce^—C )}•

sh/u(s — x)

ist

Рассмотрим частный случай нагружения трещин, когда х(х) = х(х). Учитывая, что в этом слу-/1(х) = —/2(х) = (0 + 1)/(х), из (12) для контакт-

чае

= (x) = '

■1(s )ds

1 (x)=2h—да Jsh(u(s—x )) '

кЦ)(± a) = 42r lim J\x + a* (x)

x—a + О * ' '

x ) =

4h

x—±a + О a

yj2sh (2ua ) (G + 1)j h

1J

h J

+1

GCe±ua + C )},

0* fe)Fi(*) + eu(s * a )F2 (s)]ds

shu (s + a)

42 (gc1(

a ) = 42ж lim J\x + a\q2 (x) =

4h

x—±a +О

a

,¡2 sh (2ua) (G +1)1 h

1 j » ^ 'f (s)—gf(s)

ds

shu(s + a)

1J

G +1

s — x

+ K11(s — x)

q1 (s)ds

(13)

j -2

-— J K12 (s — x) q2 (s)ds = / (x), — a < x < a, n J

—a2

a1

J K 21 (s — x)q1(s) ds —

a2

1 J

TT J

G +1

s — x

+ K 22 (s — x)

(s)ds = /2(x), — 02 < x < 02,

ных напряжений и коэффициентов интенсивности разрушающих напряжений получим формулы

01(х) =

_{1 г —х}/ (.У>А- — ^ |,

2^*(х) | И ^ — х) |

где К, 1(х) = /(0±СИ/х) — 0 +1 ,

5И/х х

К 2 (х)=/(сИ/х —1), К21 (х )= /0(сИ/х —1), 5И/ х 5И/ х

^ (.„)_ /(1 + 0сИ/х) 0 +1 .

5И/х х

Нетрудно проверить, что ядра Ку (х), ¡, ] = 1,2, -регулярные функции. При помощи замены переменных 5 = х = а2] в первом из уравнений (13) и 5 = ах = а2]] - во втором получим систему (13) на интервале (—1,1). Введя новые безразмерные искомые функции по формулам (у (]) = аДу (а])/ Р., у = 1,2, придём к следующей системе уравнений:

+ 42 (оСе±/а — С )}.

Отсюда видно, что в рассматриваемом случае контактные напряжения не зависят от упругих характеристик разнородных слоев.

Решение определяющей системы методом механических квадратур

Построим решение определяющей системы уравнений (4) при условиях (5) в общем случае.

Отметим, что если а и а произвольны, определяющую систему уравнений (4) можно решать разными методами. В частности, можно воспользоваться методом ортогональных многочленов Чебышева или методом механических квадратур. Построим решение системы (4) методом механических квадратур. Для этого её представим в виде

■1J

n \

У fe)dfe—

fe — n 1 1

1J K^fe^ (fefedfe = F * (n),

TT "

n J,

(14)

K2*2(fe,n)

Ф2

(fefedfe —

fe — n

1 1

-j K2* 1 fe, пУа fe)dfe = F* (n),

■77"

n< 1 •

В (14) K* (fe,n) =

a

, K , 1 (a (fe — n))

(a

G + 1

K*2(fe,n) = Sf2 1Л K2(a2fe — an)

P (G +1 ) .. (fe n)= P1a2K2 1(afe — a2n)

2 1n P (G + 1 ) '

K2*2(fe,n)= a2K22(°2(fe —n)) , G + 1

F- (n)= a/ (an) F- (n) = — a2/2 (a2n)

1 n p(G + 2KU

P2(G +1 )

1

a

a

a

a

1

+

<

a

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

При этом условия (5) записываются следующим образом:

1

= 1, j = 1,2.

(15)

Несложно проверить, что искомые функции в концевых точках интегрирования ± 1 имеют корневые особенности и их можно представить в виде

/ ч р* (х) ( , 1 = 1,2, (16)

j 1, 2 Г

Результаты численных расчётов даны в табл. 1, 2 и на рис. 2. В табл. 1 приведены значения безразмерного коэффициента интенсивности K(j •*(+ a.),

j = 1,2, в зависимости от параметра l, когда второй из слоев в два раза жёстче, чем первый, т.е. когда G = 2.

Таблица 1

Коэффициент интенсивности в зависимости от l / Intensity factor depending on l

где p* (7), j = 1,2, - непрерывные функции на

отрезке [-1,1].

Подставляя представление (16) в (14), (15) и используя соотношения, приведённые в работе [12], по стандартной процедуре придём к системе из 2n алгебраических уравнений относительно значений

p* ), j = 1,2, i=(1,n) . Далее при помощи интерполяционного многочлена Лагранжа находятся функции Pj(x) , j = 1,2, с помощью которых

определяются все важные механические характеристики, описывающие напряжённо-деформированное состояние в двухкомпонентном слое.

Приведём формулы, при помощи которых вычисляются безразмерные коэффициенты интенсивности разрушающих напряжений в концевых точках трещин X = ■, j = 1,2. Они имеют вид

Kj± aj )=

= 42ж lim J1 + п р{п) = у[жр*(± 1), j = 1,2.

j j

Численные расчеты

Численно-аналитическим методом механических квадратур [12] проведён расчёт. Выявлены закономерности изменения контактных напряжений, действующих на стыке разнородных слоев, и безразмерных коэффициентов интенсивности разрушающих напряжений Kjj (± a) и K(^(± a2) в зависимости от изменения параметра l = h / а и отношений модулей сдвига разнородных слоев G в случае, когда a /a2 = 0,5, р = P2. При этом считается, что пространство деформируется под воздействием симметрично расположенных относительно оси Oy сосредоточенных нагрузок р /2 , т.е. принято (a 7)/ р = - 77)+ ö[t] + 77. )], 7 = 2,72 = 3, j = 1,2.

l 0,5 1 2 5 100 1000

4)(± «1 ) 0,49419 0,58944 0,63441 0,64813 0,65145 0,65146

K2A± «2 ) 0,5003 0,62467 0,72862 0,75572 0,75693 0,75693

Из табл. 1 видно, что при увеличении параметра I, что можно трактовать как увеличение высоты слоев И при постоянном а, коэффициенты интенсивности а ) и К^ а ) возрастают, стремясь к определённому пределу, соответствующему случаю однородного пространства с двумя симметричными полубесконечными трещинами, занимающими соответственно интервалы

= (— да,—а)^ (а,да), 1=1,2.

На рис. 2 приведены графики контактных

напряжений в зависимости от параметра I.

Щ

-1.0

1.0

a / a 92

-1.0

1.0

б / b

Рис. 2. Контактные напряжения в зависимости от l / Fig. 2. Contact stresses depending on l

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

При увеличении l и постоянном a контактные напряжения на срединных плоскостях как первого, так и второго слоев в средних частях зон контактов уменьшаются, а у концов трещин - увеличиваются.

В табл. 2 и на рис. 3 приведены значения безразмерных коэффициентов интенсивности

К()(± a) и K^(± а2), а также графики касательных контактных напряжений в зависимости от параметра G при l = 0,5.

Таблица 2

Коэффициент интенсивности в зависимости от G / Intensity coefficient depending on G

G 0,1 0,5 1 5 10

4>(± "i ) 0,63074 0,56255 0,52576 0,46644 0,45483

K2(± "2 ) 0,37948 0,4213 0,45891 0,5439 0,56417

Щ

|\ 0.8 \ G=1 06 ^0.4 G=5 ¡

0.2 G=0.1 G=0.5

-0.5

0.0

a / a

0.5

1.2

G=1 1.0

92

-1.0

-0.5

0.0

б I b

0.5

1.0

Рис. 3. Контактные напряжения в зависимости от G / Fig. 3. Contact stresses depending on G

При увеличении G (что можно трактовать как увеличение G2 при постоянном G) коэффициенты интенсивности разрушающих напряжений в

слоях из первого материала убывают, из второго -возрастают. Контактные напряжения при этом во всех слоях в средней части контактной зоны возрастают, а в концевых точках контактных зон -уменьшаются.

Заключение

Получены определяющие уравнения антиплоской задачи теории упругости для равномерно кусочно-однородного пространства с двумя параллельными внутренними туннельными трещинами. В случае, когда в разнородных слоях имеются одинаковые центральные туннельные трещины, даётся точное решение задачи. В общем случае решение поставленной задачи построено методом механических квадратур. Получены простые формулы для определения коэффициентов интенсивности в концевых точках трещин. При помощи численных расчетов изучено поведение контактных напряжений и коэффициентов интенсивности напряжений в концевых точках трещин в зависимости от соотношений модулей сдвига и высоты разнородных слоев.

Литература

1. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976. 443 с.

2. Бардзокас Д.И., Фильштинский Л.А., Фильш-тинский М.Л. Актуальные проблемы связанных физических полей в деформируемых телах. Москва; Ижевск, 2010. Т. 1. 864 с.

3. Мкртчян М.С., Мхитарян С.М. К задаче о напряжённом состояний составного упругого бесконечного тела с периодической системой коллинеар-ных трещин при продольном сдвиге // Докл. АН Арм ССР. 1993. Т. 94, № 2. С. 104-110.

4. Акопян В.Н., Даштоян Л.Л. Разрывные решения двоякопериодической задачи для кусочно-однородной плоскости с межфазными дефектами // Механика композитных материалов. 2017. Т. 53, № 5, С. 863-879.

5. Hakobyan V.N., Dashtoyan L.L. The stress state of a piecewise uniform layered space with doubly periodic internal cracks // J. of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 991(1). Р. 012031.

6. Акопян В.Н., Амирджанян А.А. Напряжённое состояние кусочно-однородной равномерно слоистой плоскости с системой периодических параллельных внутренних включений // Изв. НАН РА. Механика. 2018. Т. 71, № 2. С. 3-17. DOI: 10.33018/71.2.1.

7. Акопян В.Н., Акопян Л.В., Даштоян Л.Л. Разрывные решения осесимметричной теории упругости для кусочно-однородного равномерно слоистого пространства с периодическими межфазными дискооб-

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2

разными дефектами // Механика композитных материалов. 2019. Т. 55, № 1. С. 2-24. DOI: 10.1007/s11029-019-09788-y.

8. Hakobyan V.N., Amirjanyan H.A., Kazakov K.Ye. Axisymmetric stressed state of uniformly layered space with periodic systems of internal disc-shaped cracks and inclusions // Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Natural Sciences. 2020. № 2 (89). Р. 2540. DOI: 10.18698/1812-3368-2020-2-25-40.

9. Hakobyan V.N., Hakobyan L.V. The stress state of uniformly piecewise heterogeneous spaces with a periodic system of parallel internal cracks // J. of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 991. Р. 012032.

10. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 738 с.

11. Брычков А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 287 с.

12. Sahakyan A.V., Amirjanyan H.A. Method of mechanical quadratures for solving singular integral equations of various types // J. of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 991. Р. 012070. DOI: 10.1088/17426596/991/1/012070.

References

1. Panasyuk V.V., Savruk M.P., Datsyshin A.P. (1976). Stress distribution near cracks in plates and shells. Kiev, Naukova dumka Publ., 443 p. (in Russian).

2. Bardzokas D.I., Filshtinsky L.A., Filshtinsky M.L. (2010). Actual problems of connected physical fields in deformable bodies. Moscow, Izhevsk, vol. 1, 864 p. (in Russian).

3. Mkrtchyan M.S., Mkhitaryan S.M. (1993). On the problem of the stress state of a composite elastic infinite body with a periodic system of collinear cracks in a longitudinal shift. Dokl. AN ArmSSR, vol. 94, no. 2, pp. 104110. (in Russian).

4. Akopyan V.N., Dashtoyan L.L. (2017). Discontinuous solutions of a two-period problem for a piecewise homogeneous plane with interfacial defects. Mechanics of Composite Materials, vol. 53, no. 5, pp. 863-879. (in Russian).

5. Hakobyan V.N., Dashtoyan L.L. (2018). The stress state of a piecewise homogeneous layered space with two-period internal cracks. J. of Physics: Conference Series, vol. 991(1), p. 012031.

6. Akopyan V.N., Amirjanyan A.A. (2018). The stress state of a piecewise homogeneous uniformly layered plane with a system of periodic parallel internal inclusions. Izv. NAS RA. Mechanics, vol. 71, no. 2, pp. 3-17. DOI: 10.33018/71.2.1. (in Russian).

7. Akopyan V.N., Akopyan L.V., Dashtoyan L.L.

(2019). Discontinuous solutions of the axisymmetric theory of elasticity for a piecewise homogeneous uniformly layered space with periodic interfacial disc-shaped defects. Mechanics of Composite Materials, vol. 55, no. 1, pp. 2-24. DOI: 10.1007/s11029-019-09788-y. (in Russian).

8. Hakobyan V.N., Amirjanyan H.A., Kazakov K.Ye.

(2020). Axisymmetric stress state of a uniformly layered space with periodic systems of internal disc-shaped cracks and inclusions. Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Natural Sciences, no. 2 (89), pp. 25-40. DOI: 10.18698/1812-3368-2020-2-25-40.

9. Hakobyan V.N., Akopyan L.V. (2018). The stress state of uniformly piecewise inhomogeneous spaces with a periodic system of parallel internal cracks. J. of Physics: Conference Series, vol. 991, p. 012032.

10. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. (1981). Integrals and series. Moscow, Nauka Publ., 738 p. (in Russian).

11. Brychkov A., Prudnikov A.P. (1977). Integral transformations of generalized functions. Moscow, Nauka Publ., 287 p. (in Russian).

12. Sahakyan A.V., Amirjanyan H.A. (2018). Method of mechanical quadratures for solving singular integral equations of various types. J. of Physics: Conference Series, vol. 991, p. 012070. DOI: 10.1088/1742-6596/991/1/012070.

Поступила в редакцию /Received

23 марта 2020 г. /March 23, 2020