CC BY
74
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 3 (111), 2015
УДК 519.711.3:681.3:623.45 Дата подачи статьи: 25.05.15
DOI: 10.15827/0236-235X. 111.028-032
О ПРИМЕНЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ ЖИВУЧЕСТИ АСУ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ
Ю.Н. Матвеев, д.т.н., профессор, [email protected];
В.А. Григорьев, д.т.н., профессор, [email protected];
Н.А. Стукалова, доцент, [email protected] (Тверской государственный технический университет, наб. Аф. Никитина, 22, г. Тверь, 1 70026, Россия)
В статье рассмотрены способы повышения уровня безопасности и эффективности работы комплекса уничтожения фосфорорганических отравляющих веществ при нормативном уровне опасности производства путем разработки прикладных математических методов повышения надежности и живучести АСУТП объекта уничтожения химического оружия. Проведена формализация задачи управления. Сформулирована задача оптимального управления как задача максимизации. Задача оперативного управления производственным комплексом ставится в виде задачи линейного программирования. Целевая функция данной задачи - линейная функция, которая определяет максимально возможные массы отравляющих веществ, уничтожаемых за один цикл. Коэффициенты линейной функции - цена продуктов и энергетических потоков. Области допустимых значений режимных параметров технологических операций (уравнения баланса емкости, допустимые отклонения материальных потоков, диапазоны нагрузок) определяют область ограничений для целевой функции. Разработана методика определения интервалов изменения входных переменных линейной модели, которые не приводят к существенному отклонению от найденного оптимума и одновременно обеспечивают устойчивость оптимального решения при изменениях параметров модели, то есть таких интервалов, которые косвенно способствуют повышению живучести технологической системы.
Ключевые слова: объект уничтожения химического оружия, математическая модель, отравляющие химические вещества, линейная функция, технологическая операция, оптимальное управление, область допустимых значений.
Необходимость внедрения АСУ технологическими процессами (ТП) на предприятиях повышенной опасности, к которым относятся объекты уничтожения химического оружия (УХО), обусловлена тем, что причиной более 50 % возникающих аварийных и нештатных ситуаций на таких предприятиях является человеческий фактор. Поэтому любое управление такими ТП, которое может быть автоматизировано, осуществляется АСУТП. Таким образом, разработка прикладных вопросов моделирования поведения сложных систем, а именно АСУТП для экстремальных объектов, остается одной из актуальных научнотехнических задач. Надежность, хотя и является важным свойством систем, представляет собой лишь одну составляющую качества АСУТП. Понятие качества можно определить как совокупность свойств системы, удовлетворяющих требованиям конечного потребителя. Оценка и обеспечение надежности АСУТП являются частью более общей задачи - оценки и обеспечения качества этих систем. Надежность необходимо исследовать во взаимосвязи с другими свойствами системы, входящими в понятие «качество», такими как живучесть, безопасность, эффективность. Свойство систем выполнять некоторые заданные функции по управлению объектом с допустимыми эксплуатационными показателями при воздействии особо существенных внешних факторов, не предусмотренных условиями нормальной эксплуатации, называют живучестью АСУТП [1]. Особенностями
таких внешних факторов является то, что они обычно одновременно прикладываются к ряду элементов объекта и АСУТП. В определении живучести в отличие от определения надежности от АСУТП требуется выполнение не всех, а только некоторых функций. К тому же допускается снижение качества их выполнения до определенного предела. Обычно в свойстве живучести рассматриваются функции, обеспечивающие безопасность персонала, отсутствие неблагоприятных последствий для окружающей среды, предотвращение повреждений технологического оборудования.
В данной статье авторы рассматривают возможные способы повышения уровня безопасности и эффективности работы комплекса уничтожения фосфорорганических отравляющих веществ (зарина, зомана, Vx) при нормативном уровне опасности (риске) производства путем разработки прикладных математических методов повышения надежности и живучести АСУТП объекта УХО.
Структура технологического комплекса УХО (детоксикация и битумирование) является последовательной: отдельные стадии процесса соединены таким образом, что выход каждой предыдущей является входом одной последующей. Предполагается, что известно математическое описание каждой стадии процесса, которое представляется в общем виде как система уравнений:
x(i)=f (0(х(<-1), м(0), (1)
где x(l) - вектор выходных переменных i-й стадии; и(,) - вектор управления на i-й стадии, i=1, 2, ..., N.
28
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 3 (111), 2015
На переменные выхода х(,) и управляющие воздействия и(,) накладываются ограничения, определяющие диапазон изменения переменных и связи между ними. С точки зрения математики, данные ограничения накладывают дополнительные условия, которые записываются в виде равенств и неравенств:
FpP, ..., xw, u(i), ..., u(N)) >, =, < 0,
J= 1, -.., k, (2)
и учитываются при решении задачи оптимизации.
Эффективность каждой стадии процесса может быть оценена некоторой скалярной величиной: r, = r*(x(,\ и()), (3)
которая задается как функция, зависящая от переменных состояния стадии x( ) и управления на ней и(). Учитывая математическое описание стадии (1), можно представить функциональную зависимость (3) как
r, = r ,(х( i-1), u( °), (4)
то есть как функцию состояния входа х( ,-1) на i-й стадии и управления и( ,), которое на ней используется. Оценку эффективности всего процесса можно определить в виде аддитивной функции результатов:
N
Rn =^(2^, M(i)). (5)
2=1
Значение показателя RN - критерия оптимальности - зависит от управляющих воздействий uN на каждой стадии процесса и является набором значений векторов u( ,) на всех стадиях [2, 3]: uN= (u(1), u(2), ..., ul'N)). (6)
Совокупность управлений uN является стратегией управления (стратегией управления многостадийным процессом).
Тогда задача оптимизации процесса уничтожения (детоксикация и битумирование) формулируется как задача отыскания оптимальной стратегии: йхг =Гг?(1) й(2) AN), п)
В статье рассматриваются только установившиеся режимы работы технологических стадий. Задача статической оптимизации управления химико-технологическим комплексом (ХТК) УХО ставится в общем случае следующим образом.
14 5
Определить ^ с2 x2 dj uj ^ min (8)
2=0 j=1
при х2 = J2(x0,x1,u1),u1eU1, (9)
Х4 = /4(Х2, Хз, u2), U, (10)
х9 = /9(х6, х7, u3), u3e U3, (11)
Х11 = /11 (х9, х10, u4), u46 U4, (12)
х11а = /11а(x8, x10, u4а), u4ci^ U4a, (13)
х14 = /x13, u5), u5eU5, (14)
хз - х4 = Д1, хб - хз = Д2, х12 - хп = Д3, (15)
х- < х ■ < х
Л,шт — •/Vi — -^imax?
i =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. (16)
Показатель эффективности управления (8) является самым распространенным экономическим показателем работы производства - себестоимостью. Этот показатель есть линейная функция двух переменных х и u. Коэффициенты с, и dj -удельные цены входящих веществ и энергетических потоков, которые определяют режимы работы технологических стадий. Уравнения (9)-(14) являются моделями технологических операций. Эти модели, вообще говоря, описываются известными функциями входных нагрузок и режимных параметров и, как правило, являются нелинейными функциями переменных. Области допустимых значений режимных параметров Ub U2, U3, U4, U4i, U5 известны изначально и не зависят друг от друга. Уравнения баланса емкостей определяют зависимости материальных потоков различных технологических операций, которые связаны через эти емкости. Заданные значения Д1, Д2 и Д3 определяют допустимые отклонения материальных потоков. Ограничения (16) задают диапазоны нагрузок, обеспечивающие нормальное прохождение технологических операций. Линеаризация задачи
(8)-(16) позволила представить задачу статической оптимизации (задачу оперативного управления) комплекса УХО как задачу линейного программирования (ЛП).
Задача оперативного управления технологическим комплексом УХО (8)-(16) имеет оптимальное решение: Xj =х°, j=1, ..., 14. Однако возникает следующая задача: с точки зрения системного подхода проанализировать и четко установить взаимосвязи между всеми факторами (переменными) конкретной задачи ЛП [4, 5]. Для систем и процессов УХО это особенно актуально, учитывая повышенную опасность таких систем для окружающей среды и людей. Возникает необходимость в определении численных значений интервалов изменения входных переменных линейной модели, которые не приводят к существенному отклонению от найденного оптимума и одновременно обеспечивают устойчивость оптимального решения при изменениях параметров модели, то есть таких интервалов, которые косвенно способствуют повышению живучести как технологической системы, так и АСУТП. Такие исследования получили название - анализ модели задачи ЛП при известном оптимальном решении [6, 7]. В статье предложен метод получения квазиоптимального инвариантного решения задачи ЛП. Идея предлагаемого метода заключается в следующем. Определяются оптимальные решения прямой и двойственной симметричных задач ЛП для ситуации, описываемой линейной моделью.
Пусть прямая задача ЛП имеет вид
W = C X ^ max, (17)
AX < B, (18)
X > 0, (19)
29
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 3 (111), 2015
Тогда двойственная задача ЛП будет иметь вид
F = B Z ^ min, (20)
AT ■ Z > C, (21)
Z > 0, (22)
( z Л Z1
где Z
вектор-столбец двойственных пе-
Решаем задачу симплекс-методом.
Исходная симплекс-таблица
Свободные члены ж. Х2
W 0 -1 -1
y1 24 -3 4
Уз -15 -3 -5
y3 53 2 5
У4 28 7 -5
Произведя две итерации, получим оптимальное решение задачи (24):
Конечная симплекс-таблица
Свободные члены У 4 Уз
W 16 3/45 12/45
У1 23 23/45 -13/45
X2 7 -2/45 7/45
У2 47 1/9 10/9
X1 9 1/9 1/9
V Zm )
ременных zi, i = 1, ..., m.
Теория двойственности для задач ЛП утверждает, что для оптимальных решений прямой и двойственной задач должно выполняться условие дополняющей нежесткости:
Yavx°j -bi
\
V j=
= 0, i =1,.... m,
(23)
yfajz°i - cj 1 = °. j =1, .. ",
z
x
где x0T = |x°, x°,..., x° j - оптимальное решение прямой задачи; Z0T = |z°, z°, ., z°° j - оптимальное решение двойственной задачи.
Из условия (23) следует: если какая-либо двойственная переменная в оптимальном решении zkV0, то остаток ресурса bk°=0. Это означает, что этот ресурс исчерпан, и данное обстоятельство не позволяет больше увеличивать численное значение целевой функции W (16). С практической точки зрения, большой интерес представляет исследование поведения оптимального решения
x0T = |x°, x°,..., x° j при возможных неконтро-
лируемых изменениях компонент вектора B . Некоторые подобные исследования приведены в [7-9].
Для большей иллюстративности и понимания продолжим рассуждения на числовом примере. Пусть какая-то операция описывается задачей ЛП W=x1+x2^max при ограничениях
-3x1+4x2<24, 3х1+5х2>15, 2х1+5х2<53, (24)
7х1-5х2<28, х12>0.
Приводим (24) к стандартному виду:
W=0-(-x1-x2)^max, y1= 24-(-3x1+4x2),
y2= -15-(-3x1-5x2), y3= 53-(2x1+5x2), (25)
y4= 28-(7X1-5X2), X1,2>0, y1,2,3,4>0.
Таким образом: W^ = 16 при x° = 9, x° = 7, y° = 23, y° = 47, уз° = 0, y° = 0.
На рисунке представлена геометрическая интерпретация решения задачи (24).
Из оптимального решения прямой задачи (конечная симплекс-таблица) можно определить оптимальное решение двойственной задачи [8]:
F°n = 16 при Z° = 0, Z° = 0, Z° = ^,
z 0
1
15 .
Теневая цена ресурса b3: Z0
—, а ресурса b4:
Z
Z л
1
15.
Это свидетельствует о том, что ресурс b3 дефицитнее, весомее ресурса b4 в четыре раза и любое отклонение в сторону его уменьшения (по разным случайным и неслучайным причинам) приведет к тому, что полученное оптимальное решение прямой задачи (24) станет не только неоптимальным, но вообще недопустимым, то есть точка Е на рисунке окажется за пределами области допустимых решений (ОДР).
В отличие от подходов, реализованных в работах [6, 7, 10] и направленных на недопущение уменьшения W 0 в задачах ЛП, в настоящей ста-
тье предлагается ради достижения приемлемого уровня безопасности и живучести системы УХО допустить незначительное уменьшение выигрыша
операции ^.
Другими словами, предлагается уменьшить на определенную величину ОДР, получить квазиоптимальное, но устойчивое (интервальное) решение, не прибегая к решению стохастической задачи ЛП, которая не всегда оказывается корректной
30
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 3 (111), 2015
Геометрическая интерпретация решения задачи ЛП A geometric interpretation of a linear programming problem solution
и приводит к получению приемлемого для практики решения.
В задаче (24) уменьшим запас ресурса b3 на одну единицу, то есть положим в модели b3=52, запас ресурса b4 уменьшим на две единицы, то есть положим b4=26.
Это означает, что линии ОДР (см. рис.) DE и AE параллельным переносом сдвинутся внутрь
одр.
Определим точку пересечения линии y3 =0 и
*
y4 =0, решив для этого систему уравнении:
Г 2x + 5х = 52,
| 1 2 (26) |7* -5x2 = 26,
А =
Д*! =
2 5
7 -5 52 5
26 -5
= -10 -35 = -45 Ф 0,
= -260 -130 = -390,
* =ДХ1 = 82
А* =
А -45 /3’
2 52
7 26
-312
-45
= 52 - 364 = -312,
14
= 6—. 15
2
То есть по сравнению с оптимальным решением x0=(9, 7) точка пересечения прямых y3 =y40=0 сдвинулась внутрь ОДР. x*=(82/3; 614/15) .
Уменьшим также W до значения W=14. Это значит, что линия целевой функции будет пересекать ребра ОДР y3*=0 и y4*=0 .
Определим координаты этих точек пересечения, решив две системы линейных уравнений:
'2=> У* = 0 [Xj + x2 = 14 W* = 14
У* = 0
7* - 5x2 = 26
=>
* + x2 = 14 W = 14 Для системы (27): А =
= 52 - 70 = -18,
(27)
(28)
+5
1
52 5
А* = 14 1
А* = 2 52
1 14
= 2 - 5 = -3,
X** = — = 6 > 0,
1 -3
= 28 - 52 = -24, x* =
-24
-3
= 8 > 0.
Точка K пересечения целевой функции W и ограничения y3 =0 имеет координаты x1 =6, x2 =8, то есть K(6; 8).
Для системы (28): А
7
1
-5
1
= 7 + 5 = 12,
А* = А* =
26 -5 14 1
7 26 1 14
= 26 + 70 = 96, = 98 - 26 = 72,
**
*1
*
2
= 96=8, 12
72 = 6. 12
То есть точка Н пересечения W и ограничения y4 =0 имеет координаты Н(8; 6).
Итак, определяются интервалы изменения переменных x1e[6; 8] и x2e[6; 8], где численное значение целевой функция задачи (24) инвариантно изменению переменных x1 и x2 (отрезок КН).
31
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 3 (111), 2015
С практической точки зрения, это обстоятельство позволяет утверждать, что при изменении переменной x1 в интервале [6; 8] и переменной x2 в интервале [6; 8] значение целевой функции W=14 не изменяется. Не важно, какие возмущения на x1 и x2 будут наложены и какой закон распределения они имеют, в указанных интервалах обеспечивается квазиоптимальное инвариантное значение целевой функции задачи ЛП, а значит, и устойчивость процесса управления технологической системой и живучесть АСУТП. Разработанный метод получения квазиоптимального решения задач ЛП был включен в состав алгоритмического обеспечения АСУТП объекта УХО «Щучье», передан в опытную эксплуатацию и позволил повысить живучесть системы, что подтверждается отсутствием аварийных ситуаций на объекте.
Литература
1. Ковалев А.П., Якимшина В.В. О живучести объектов энергетики // Промышленная энергетика. 2006. № 1. С. 20-26.
2. Бутенко Д.В. Автоматизированная система прогно-
зирования на основе цикла смены качественных состояний системы // Программные продукты и системы. 2011. № 3. С. 35-41.
3. Смирнов К.Е. Многомерный анализ данных в системах недоопределенных вычислений // Программные продукты и системы. 2010. № 4. С. 71-74.
4. Стукалова Н.А., Матвеев Ю.Н., Долженко А.Б. Автоматизированная система управления технологическими процессами уничтожения химического оружия // Науковедение. 2014, № 4 (23); URL: http//naukovedenie.m/PDF/54TVN414.pdf (дата обращения: 24.05.2015).
5. Мелихова О.А., Мелихова З.А. Имитационное моделирование сложных технологических процессов // Изв. ЮФУ. 2004. № 3. С. 27-34.
6. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968. 460 с.
7. Вальд А. Последовательный анализ; [пер. с англ.]. М.: Физматлит, 1960. 328 с.
8. Таха Х. Введение в исследование операций: в 2-х кн.; [пер. с англ.]. М.: Мир, 1985. 356 с.
9. Мишта П.В., Бызов П.Г. Применение систем моделирования при разработке АСУТП // Изв. ВолгГТУ. 2010. № 4. С. 65-71.
10. Антонова Г.М., Цвиркун А.Д. Оптимизационноимитационное моделирование для решения проблем оптимизации современных сложных производственных систем // Проблемы управления. 2005. № 5. С. 44-50.
DOI: 10.15827/0236-235X. 111.028-032 Received 26.05.15
ON THE APPLICATION OF LINEAR PROGRAMMING TO ENHANCE THE SURVIVABILITY OF TECHNOLOGICAL PROCESSES AUTOMATED CONTROL SYSTEM Matveev Yu.N., Dr.Sc. (Engineering), Professor, [email protected];
Grigoryev V.A., Dr.Sc. (Engineering), Professor, [email protected];
Stukalova N.A., Associate Professor, [email protected] (Tver State Technical University, Nikitin Quay 22, Tver, 170026, Russian Federation)
Abstract. The article discusses the ways to improve the safety and efficiency of a destruction complex for organophosphorus agents using development of applied mathematical methods for increasing the reliability and survivability of TPACS of a chemical weapon destruction facility when the hazard level is normal. A management problem is formalized. The problem of optimal control is formulated as a maximization problem. The problem of industrial complex operational management is formulated as a linear programming problem. The objective function of this problem is a linear function, which determines the maximum possible mass of toxic substances that is destroyed in one cycle. The coefficients of a linear function are the price of products and energy flows. Tolerance range of regime parameters of technological operations (capacity balance equation, material flows tolerances, load range) define the scope of restrictions for the objective function.
The authors developed a method of determining the intervals of linear model input variables, which do not lead to a significant deviation from the found optimum and at the same time provide stability of the optimal solution when model parameters change; such intervals which indirectly contribute to the survivability of the technological system.
Keywords a chemical weapon destruction object, mathematical model, toxic chemicals, linear function, technological operation, optimal control, tolerance range.
References
1. Kovalev A.P., Yakimshina V.V. On the survivability of power engineering facilities. Promyshlennaya energetika [Industrial Power Engineering]. 2006, no. 1, рр. 20-26 (in Russ.).
2. Butenko D.V. Automated forecasting system based on the cycle of changing qualitative states of the system. Programmnye produkty i sistemy [Software & Systems]. 2011, no. 3, pp. 35-41 (in Russ.).
3. Smirnov K.E. Multidimensional data analysis in underdetermined computing systems. Programmnye produkty i sistemy [Software & Systems]. 2010, no. 4, pp. 71-74 (in Russ.).
4. Stukalova N.A., Matveev Yu.N., Dolzhenko A.B. Automatic control system of technological processes of chemical weapons destruction. Naukovedenie [Science Studies]. 2014, no. 4 (23). Available at: http//naukovedenie.ru/PDF/54TVN414.pdf (accessed May 24, 2015) (in Russ.).
5. Melikhova O.A., Melikhova Z.A. Simulation modeling of complex technological processes. Izv. YuFU. Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering Sciences]. 2004, no. 3, pp. 27-34 (in Russ.).
6. Tsypkin Ya.Z. Adaptatsiya i obuchenie v avtomaticheskikh sistemakh [Adaptation and learning in automatic systems]. Moscow, Nauka Publ., 1968, 460 р.
7. Wald A. Sequential analysis. NY, John Wiley and Sons, Inc., 1947. (Russ. ed.: Moscow, Mir Publ., 1960, 328 p.).
8. Taha H. Operations Research: An Introduction. (Russ. ed.: Moscow, Mir Publ., 1985, 356 p.).
9. Mishta P.V., Byzov P.G. Application of modeling systems in the development of process control systems. Izvestiya Volgogradskogogos. tekhnicheskogo universiteta [The news of Volgograd State Technical Univ.]. 2010, no. 4. pp. 65-71(in Russ.).
10. Antonova G.M., Tsvirkun A.D. Optimization and simulation modeling for solving optimization problems of modern complex production systems. Problemy upravleniya [Control Sciences]. 2005, no. 5, pp. 44-50 (in Russ.).
32
