О приближении функций ограниченной р-вариации полиномами по системам Хаара-Виленкина Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Пич А. Операторные идеалы. М.: Мир, 1982.

5. Терехин П. А. Неравенства для компонентов суммируемых функций и их представления по элементам систем сжатий и сдвигов // Изв. вузов. Сер. мат. 1999. Т.8.

6. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Наука, 1980.

7. Терехин П. А. Базисы Рисса, порожденные сжатиями и сдвигами функции на отрезке // Мат. заметки. 2002. Т.72, N 4.

8. Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленое Е. И. р-адический анализ и математическая физика. М.: Физматлит, 1994.

9. Данфорд #., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

10. Чантурия 3. А. О базисах пространства непрерывных функций // Мат. сб. 1972. Т.88, N 4.

И. Сабурова Т. Н. О базисах в С(0; 1] типа Фабера-Шаудера // Тр. 3-й Сарат. зимней школы. Саратов, 1988. Ч.З.

УДК 517.51

С.С. ВОЛОСИВЕЦ, О.С. СКОРЫНСКАЯ

О приближении функций ограниченной р-вариации полиномами по системам Хаара-Виленкина 1

Пусть {рп}~=1 — последовательность натуральных чисел такая, что 2 < р„ ^ N. Положим по определению тк'= р^.. ,рк при к 6 N, то = 1. Если А — множество чисел вида 0 ^ I ^ т/с, к ^ 0, то любое число t 6 [0,1] \ А однозначно представимо в виде

где 0 < jk(t) < рк, jk(t) е Ъ. Каждое целое число n ^ 2 однозначно представимо в виде п = тк + г(рш - 1) + s, где к € Z+, 0 < г < тпк, 1 < s < рк+1, r,s е Z. Пусть ip\(t) — 1 на [0,1], а при п > 2 положим

\ Рк+l )

'Работа первого автора выполнена при поддержке гранта Президента. РФ программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-1295.2003.1.

ПРИ * е (тЦ> míf \ ^ 11 ^"W = О вне Íí> ^rl- ^ точках из А, если они лежат в (0,1), значение полагаем равным полусумме пределов слева и справа по (0,1) \ А, если же они граничные, то определяем значение в них по непрерывности. Это определение принадлежит Н.Я.Виленкину [1,с.476] и является обобщением широко известной системы Хаара [1, с.57], получающейся при рп = 2. Там же, в [1), показана полнота этой системы и ее замкнутость в пространстве непрерывных функций С[0,1]. В работе В.И.Голубова и А.И.Рубинштейна [2] были получены оценки наилучших приближений и уклонений сумм Фурье по этим системам в пространствах С[0,1] и Lp[0,1], р ^ 1, а также изучались вопросы сходимости рядов из коэффициентов Фурье при условии принадлежности функций различным классам. Аналогичные вопросы изучаются в данной работе в метрике пространства функций ограниченной р-вариации. Дадим необходимые определения.

Для разбиения f = {а = Хо < x¡ < ■ ■ ■ < х„ = 6} отрезка [а, 6] определим р-вариационную сумму (р 1) функции }(х) по разбиению £ формулой

*?(/)« 1/(*<)-/(*.-.)!')' •

Модулем непрерывности (/, S) порядка 1 — J функции /(х) называется величина [3]

Wi_i(/,<5) = sup «!(/), " Iii«'

гДе líl = Я?ах(х< - Xi-O-

Будем писать, что / £ К[а,6], р > 1, если V„(/, [а,6]) := w1_i(f,b - а) < оо и

р

что / £ Ср[а,Ь], р > 1, если lim uil_i(f, 5) = 0. Пространства Vp[a,b] и Ср[а,Ь\ при указанных выше значениях р являются банаховыми относительно нормы

||/11р = тах(ш1_1(/,Ь — a), sup |/(х)|).

' *б[а,б)

Пространство Lp[0,1], 1 < р < оо, как обычно, состоит из измеримых на [0,1] функций, для которых 11/Ц^ = \f(t)\pdt)f < оо.

Пусть Тп = : ак е С}. Тогда по определению (1 ^ р < оо) En(f)p =

= inf{||/ - Up : in e Tn}, En{f)cr = inf{||/ - tn\\r.p : ¿n € T„}. Наконец, u(f,S)tr = = sup (fo~h \f {x+h) - f {x)\pdx)i. Далее, везде, где не оговорено противное, считаем

1 < р < оо. Ввиду комплекснозначности функций фп можно считать такими же и функции /. Приведем необходимые вспомогательные результаты

Лемма 1(4]. Пусть / £ Vp[a,f>] и £ — {х<}?=о — такое разбиение [а,Ь], что f(xi) = 0 при 1 ^ i ^ п — 1. Тогда

iW/.MiKí'-Jw.-iUlfl)-

v

Доказательство следующей леммы, принадлежащей А.П.Терехину, можно найти в [5].

Лемма 2. Пусть / 6 Ур[0,1], 0 < & < ¿. Тогда

(/>«<5) < «1_гш1_1(/,(5).

v р

Лемма 3[1,с.478]. Пусть Д[п) = , 0 < г ^ т„ - 1. Функция /(I), по-стоянпая на каждом Дг"' при фиксированном п, равная во внутренних точках из А полусумме пределов слева и справа, а в граничных точках непрерывная, представляется в виде

тп

к=1

Лемма 4[2]. Пусть 5п(/,4) = £ где о*(/) = /„' /(О^ЩЛ. Тогда

*=1

Зт„(1А) — тп / {(х)<1х для всех 4 6

У Д<">

Лемма 5. Пусть 4„ € Т„, 1 $ р < оо. Тогда

Доказательство

Пусть т4 < гг ^ т)с+1. Тогда по определению полином постоянен на Д^' и р-вариация Ур(/, [0,1]) равна сумме в которую входит не более тк слагаемых вида |аГ( - аг.+1р, где г, < г1+1, 1 ^ г < т < тк, и аг — значение ¿„ на Дг*'. Здесь используется то, что в силу неравенства + 2г|р ^ (¡г^ + 1^ 2р_1(1г1|Р + !ггР) мы имеем

а + Ь г , а + Ь ^ 22""1 ^ с — а р в. — а р с — Ь р ё-Ь Р\

2 + 2 г1__:_ + + +

а 2 2 2 2 2 )

= \с - а\р + И - а|р + |с - Ь|" + \<1 - ЬР,

откуда либо + ^ |с - ар + \Л - ар, либо \с - + \<1 - <

^ |с — йр +— 6р. Из этих неравенств получается, что рассматривать значения ¿„ на концах при вычислении р-вариации не имеет смысла. Таким образом, получаем

т ггц —1

^(«п,[0Д]) < Е2Р_1(|ап1р + к+,!р) < 2" £ К1" =

•=1 г=О

= 2рт* У] \аг\"т? = 2'т, / |*„(*)Г«Ь < 2>п||«п||£ .

г-О -/о '

Аналогичная оценка для зирхб[01] |4„(х)| есть частный случай неравенства типа С.М. Никольского, установленного в |6]. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть / е Ср[0,1]. Тогда

р п

||/(х) - 5„(/,х)||р < С2(р,ЛГ)Ш1_.(/, 1).

р п

Доказательство

Ясно, что первое неравенство следует из второго и только константы в этих неравенствах могут отличаться, как в [7]. Пусть тк < п ^ тк+1. Тогда на Л^' с номерами г = 0,1,..., п — тк - 1 сумма Фурье .?„(/, х) принимает такие же значения, как и (последующие слагаемые обращаются в ноль на этих д!*'). Соот-

ветственно на следующих интервалах Дгк\ г — п — тк,... ,тк - 1, верно равенство 5л(/,х) = 5ТОк(/,х). Пользуясь леммой 4, получаем, что 5„(/,х) = тк+{ /л(ш) ¡(у)йу при х 6 Дг*+1\ 0 < г ^ (п - тк)рк+1 — 1, и соответственно 5„(/, х) = т* /(у)<1у

при х 6 п - тк < з < т* - 1.

Поскольку Ср[0,1] С С[0,1], по теореме о среднем получаем

тк / /(у)<*3/ = /(х*), Х( ■ J^[h)

г г + 1 т*' т*

(1)

и аналогичная формула верна при замене к на к + 1. Выпишем все такие точки х*, соответствующие идущим подряд участкам постоянства 5„(/, х). Иногда разным участкам постоянства может соответствовать одна и та же точка, но в любом случае расстояние между соседними точками не превосходит Берем разбиение, состоящее из нуля, единицы и всех таких точек. По лемме 1

УР(/(х) - Зп(/, х), [0,1]) «С 41-Ц_, (7(х) - 5„(/,х), —) $

' Ч тк /

£ 41_Р I ш-

Р V гпк/ р V тк))

Ясно, что отрезок длины не большей чем может пересечься не более чем с 2N + 1

интервалами вида Д'/' или Д,-*+1' общей длины не более чем — + — + — = —. ^ з . т* т* т»

Таким образом, а ^5п(/, х), ш^х Пользуясь леммой 2, заключаем,

что

Ш*)-Шх)Д0Д]К 4^(24+44)^, (/,-1) ^

р \ тк;

< 2(16ЛГ)1-^1_1 (/, -2-Л ^ С»(р, (/, , » V ' V п)

где Сг(р,Щ — 2(16ЛГ)1"'. Теорема доказана.

Замечание 1. Поскольку формула леммы 4 вне множества А верна для частич-«ых сумм Фурье с номером тп по так называемой мультипликативной системе, построенной по последовательности [1,С-469~4701, то первое неравенство

теоремы I верно и для наилучших приближений по такой системе. Это же замечание относится к теоремам 2~4-

Теорема 2. Пусть / £ Ср{0,1] и п 6 Тогда

ЕтЛЛр ^ ||5т„(/,х) - Дх)||р < 2Ят„(/)р.

Доказательство

Покажем сначала, что

1|5т„(/,х)||Р^||/(х)||р. (2)

Согласно доказательству леммы 5 при вычислении нормы Sm„ (/, х) в Vv[0,1] во внимание следует принимать только значения на Д^"', которые равны некоторым /(х¡) по формуле (1). Таким образом, Vp(5m„(/,x), [0,1]) равна некоторой р-вариационной сумме для /. Аналогично обстоит дело с равномерной нормой /: она равна |/(хо)|, хо £ [0,1]. Таким образом, (2) доказано.

Левое неравенство теоремы очевидно. Для доказательства правого — возьмем Рп 6 rm„ такой, что Emn(f)p = \\f - Рп||р- Тогда в силу (2) имеем

11/(х) - SmAf,x)||р ||/(х) - Pn(*)||p+ ||Sm„(P„,x) - 5т„(/,х)||р = = ЕтЛЛр + 1|5т„(/ - -Рп,х)||р § 2£т„(/)р.

Теорема доказана.

Замечание 2. Теорема 2 является аналогом теоремы П.Л.Ульянова [8], в которой аналогичная оценка установлена для пространств Lp{0,1] и системы Хаара.

Получим теперь теорему, обратную к теореме 1.

Теорема 3. Пусть f е Ср[(), 1]. Тогда

(/,£) <C3(p,N)En(f)p.

Доказательство

Снова рассмотрим Smn(f,x), обозначив ее для краткости через Ап. Имеем

(/, — ) «5 (f - An, — ) + [An, — ) « » V %/ -y %/ 'V mn/

^ II/- ^nllp + Wi-1 \An, —- ) ■ » \ mnJ

Рассмотрим разбиение f = {x,-}™0 отрезка [0,1]. Пусть точка x¡ этого разбиения принадлежит , a ai — значение Ап на Д<п). Если диаметр разбиения Ç не больше то Xi+i может принадлежать Д'"' или равняться при этом значение |/(xi+1) - /(xj)| равно соответственно 0, |ai+i - а(| или p+g"""11. Если же х, = —, то возможны значения р+'~°'-' | и р~°'-' | Отсюда легко видеть, что

«M^'i)* (ï I*"-*!')' (3)

(|—2"'~' р ^ 2-1(|a(+i — ai\f 4- |ai — !|р) и другие слагаемые, содержащие ai, к такому выражению уже не добавятся). Ясно, что на разбиении, включающем в себя все середины Д'п\ 0 и 1, в неравенстве (3) достигается равенство. С другой стороны, функция / - Ап имеет разрывы в тех же точках, что и АП1 и величины скачков этих функций в одной точке совпадают по модулю. Беря z¡ < ^ < и, < zi+l,

1 ^ i ^ тп„ - 1 такие, что |(/ - yt„)(u¡) - (/ - An)(zi)|p > |<х( - f - получаем, рассматривая разбиение {0 < < < ¿2 < ... < um„-1 < l}i

m„-1

II/ - KWÎ > v;(/ - A„, [0,1]) > £ I°<+1 - 0,1» - e

1=0

или, ввиду произвольности e,

откуда (V^iif, < 2|i/(x) - 5m„(/,x)\\p. Теперь при n 6 (mk,mk+1] в силу леммы

2 и теоремы 2 получаем

w,_i f/,-) (/.—) (/,—') «

' V nj р \ тПк+\ J ' V mk+lJ

¿:-2Nl-ïEmk„(f)p<2Nl-ïEn(fV

Теорема доказана.

Замечание 2. Если отождествить C^fO, 1] с С[0,1], то при р = оо теоремы 1 и 3 были доказаны Б.И.Голубовым и А.И Рубинштейном [2].

Следствие 1. Если f € Ср[0,1] и En(f)p = о(п» "') при п —>■ оо, то функция /(х) постоянна.

у/ - д„цР ^ Г £

V (=0

Доказательство Из леммы 3 стандартным образом получается неравенство

(/,»?)< (у)'

где 0 < d < г; ^ 1, откуда, устремляя d к нулю и учитывая, что по теореме 3 W[_i(/,d) = о(<51_р) при d —> 0, находим, что w,_i(f,T]) = 0. Последнее означает, что

р Р

/(х) постоянна.

00 i-i

Теорема 4. Пусть }(х) 6 Z/p[0,1] ti сходится ряд 52 1» En{f)ir. Тогда /(х) эх-

4=1

бивалентна, (f{x) — /о(х) почти всюду на [0,1]) некоторой функции /о(х) 6 Vp[0,1]. Если же Е'п - монотонно убывающая к нулю последовательность, такая, что

00 1-1

52 п' Е'п = оо, то существует g € Lp[0,1], такая, что En(g)ip — 0{Е'п), по д(х)

п-1

не эквивалентна ни одной функции класса 1].

Доказательство

°° i-i

Пусть ряд 52 п" Бп(Льр сходится. Докажем, что = Smt(/, х) сходятся в

П = 1

Vp[0,1]. Согласно лемме 5 имеем для всех г € Z+

||Ai+1 - Ai II, s: С12^||АШ - AilU, ^

« Ci2*? (||Ai+l - /||tp + ||/ - Ai||tr) « C22^Emi+1(f)Lp.

Здесь использован аналог теоремы 2: Emn[})Lp < ||5m„(/,x) - /(x)||Lp ^ 2Sm„(/)ip, который доказывается аналогично соответствующей теореме из |8]. Ввиду монотон-

ОО ОО ^

ности En(f)it ряд 52 2 ' Emi+1(f)Lp сходится одновременно с рядом 52 п' En(f)Lp.

i=l n=l

Таким образом, при k > I

к-1 *-1 ||Ль - Ai\\p ^ Е 11^+1 - 411, <

и последнее выражение стремится к нулю при к, I —► оо. Это значит, что последовательность {5mt(/,x)}^1 фундаментальна в Vp[0,1] и сходится к некоторой /о € Vp[0,1]. Из сходимости в Vp[0,1] следует равномерная сходимость и тем более сходимость в Лр[0,1|. Но Smk (/, х) сходятся в Lp[0,1] к /(х) (теорема 3 из (2J). Поэтому /(х) = /о(х) почти всюду.

Что касается второй части теоремы, то воспользуемся результатом теоремы 2

°° 1 1

ИЗ |9], согласно которому из расходимости ряда 52 ПР Е'п следует существование

П=1

оо

функции g(t) = £ со свойством En{g)Lp, для которой ]Г |М„(0)| = +оо.

ч=1 П=1

При этом по построению коэффициенты 6„ либо равны нулю, либо положительны,

N

и то же верно для i/>n(0), откуда легко следует, что нормы || bnipn(t)Ц^ не огра-

П=1

ничены. Согласно формулам для S„(f,x), полученным при доказательстве теоремы

оо

1, отсюда следует, что Ьпфп№ не может быть рядом Фурье по системе {V'nlííLi от

П=1

функции из Lx. Но функции из Vp[0,1] ограничены, что доказывает вторую часть теоремы.

Замечание 4. Для системы Хаара результаты данной работы были получены ранее одним из авторов [7].

Библиографический список

1. Качмаж С., Штейтауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958.

2. Голубое Б.И., Рубинштейн А.И. Об одном классе систем сходимости // Мат. сб. 1966. Т.71, N1.

3. Терехин А.П. Приближение функций ограниченной р-вариации // Изв. вузов. Сер. мат. 1965. N2.

4. Love E.R. A generalization of absolute continuity // Journal London Math. Soc. 1951. V.26, N1.

5. Volosivets S.S. Convergence of series of Fourier coefficients of p-absolutely continuous functions // Analysis mathematica. 2000. T.26, N1.

6. Тиман М.Ф., Тухлиев К. Свойства некоторых ортонормированных систем // Изв. вузов. Сер. мат. 1983. N9.

7. Волосивец С. С. Приближение функций ограниченной р-вариации полиномами по системам Хаара и Уолша // Мат. заметки. 1993. Т.53, вып.6.

8. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара // Мат. сб. 1964. Т.63, N3.

9. Акишее Г.А., Махашев С.Т. Об абсолютной сходимости рядов Фурье по обобщенной системе Хаара // Изв. вузов. Сер. мат. 2000. N3.