О приближении функций двух переменных многогранными функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №10_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

С.Н.Мехмонзода

О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ МНОГОГРАННЫМИ

ФУНКЦИЯМИ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 22.06.2015 г.)

В работе для некоторых функциональных классов найдена точная оценка погрешности приближения функций двух переменных многогранными интерполяционными функциями в равномерной метрике.

Ключевые слова: многогранная функция - модуль непрерывности - выпуклая функция - решетка узлов.

1. Пусть О = {(х, у) : 0 < х, у < 1} и функция / е С (О) . При помощи системы равноотстоящих точек Мш \=М{хк,у1), где хк=к/т , к = 0,т. уг. = Ц //,/ = 0,п, т,п е N, квадрат О разобьём на частичные прямоугольники О с вершинами в точках Мк г,Мк^ 15Мш г,Мк+1м

(к = 0, т — 1; г = 0, п — 1).

Определение [1]. Многогранной функцией, вписанной в /(х, у) в узлах Мы , называется такая функция и(/; х, у), для которой:

а) К,п(/; хк, Уг) = /(хк, Уг) (к = 0т;г = 0,п);

б) каждый прямоугольник О можно разбить на два треугольника с вершинами в узлах, на которых функция и(/; х, у) линейна по каждому из переменных х и у .

Очевидно, что для любой непрерывной функции / (х, у) многогранная функция ^ и(/; х, у) непрерывна и определяется при фиксированных узлах, вообще говоря, неоднозначно. Для краткости точки квадрата О будем иногда обозначать через М :=М(х, у), а узлы решетки разбиения О на частичные прямоугольники О - через точки Мш :=М(хк, у ) .

Будем рассматривать класс И® (О) функций /(х, у) , заданных и непрерывных на квадрате О, и таких, что

\/(М')—/(М')| <а[Рр(М ',М')],

где

Адрес для корреспонденции: Мехмонзода Сабзина Навбухор. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: sabzina_91@mail.ru

(M ',M ") = p| x '-x "Ip +| y '-y '|p ,1 < p < œ,

pp (M M ) = m x - x

l - расстояние между двумя произвольным точками M = M(x , y ),

M = M(x , y ) , принадлежащими Q, а co(t) - заданный и определённый для 0 < t < p2 модуль непрерывности, то есть непрерывная неубывающая функция в нуле равная нулю.

В данной статье рассматривается экстремальная задача отыскания точной верхней грани погрешности приближения функций класса H® (Q) многогранными функциями п ( f ; x, y) с C(Q) . Иными словами, требуется найти величину

£тЛн;ткЛЛ) = supfl/~кЛЛ\с(в) ■ / е h'(Q)}. (i)

Пусть

0 = x0 < xi < ...< xm= 1, 0 = уо < yi < ...< yn= 1

- произвольные решётки узлов M разбиения квадрата Q на частичные прямоугольники Q . Вписанную в функцию f (x, y) в узлах MH решетки Qu многогранную функцию обозначим через

^и,и(/; х, у) . Положив Ик = хк+1 -хк (к = 0, т -1), Г)1 = уг+1 - у1 ( = 0, п -1) , переменные х и у

внутри О можно выразить равенствами х = х^ + гНк, у = у + , [0,1]. Имеет место следующая

Лемма. Для произвольной функции /(х, у) е Н®(0) (1 < р <ю) при условии выпуклости сэ(5) справедливо неравенство

I /(х у) - ^ „п(/; х у) 1<

< Ю // |гр (1 - г) + г (1 - г )р ]К + [гр (1 - Г) + г(1 - г)р ]^р ], (2)

где 0 < г, г < 1.

Доказательство. Пусть (х, у) еО (к = 0,т -1, / = 0, п -1) . Разобьем прямоугольник Оы на четыре прямоугольника

О™ := {хк < х < хк+1, у + г / п < у < уг+1 }, 0 < г < 1;

:= {хк < х < хк+1, у < у < у + г / п}, 0 < г < 1; О? := {хк < х < хк+1,уг <у < уг+1-г/п}, 0 < г < 1; Ок4 := {хк < х < хк+1, уг+1 - г / п < у < уг+1}, 0 <г < 1. Тогда многогранная функция «(/; х, у) на прямоугольнике есть непрерывная функция, которая задается одним из двух следующих выражений:

^ и,и( /;х у) =

[ (1 - т)/(хк, уг) + (г - X)/(хк, ум) + X/(хк+1, ум), (х, у) е О?, [(1 - X)/(хк, у,) + (X - т)/(Хк+1, у,) + т/(Хк+1, у,.+1), (X, у) е .

^т,п(У;x, у) =

(1 - X - т)/(Хк, у, ) + т/(Хк, у,+1) + X/(Хк+1, у, ), (х, у) е О™, К1 - X)/(Хк, У.+) + ^ + т)/(Хк+1, уг+1) - т/(Хк+1, у,), (x, у) е ^

(3)

(4) к ,

(4)

где 0 < X, т< 1.

Докажем сначала справедливость неравенства (2), когда «(/; Х, У) определена соотношением (3). Пусть (Х, у) е . Тогда для произвольной функции /(Х,у) е Н®(О) при условии выпуклости ю^) и функции (X > 0, 1 < р <ю) имеем:

I/ (x, у) - т,п(/;x, у) 1=

=| (1-т + т + X - X)/(х, у) - (1 - т)/(Хк, у,) - (т - X)/(хк, у,+1) - X/ (хк+1, уг+1) |<

< (1 -т) I /(х, у) - /(Хк, у,) I +(т-x) I /(х, у) - /(Хк, у,+1) | +xI /(х, у) - /(хк+1, у,+1) |<

< (1 - т)о [ фХ-Х^У-У^ ] + (т -X )® [ рХ - Хк\р + | У - у,.+1 |р ] +

+Xо [ рХ - Хк + ^ |р + | У - ум \р ] = (1 - т)о [ р(хкк )р + (щ )р ] +

+(т - X)® [ рк)р + ((1 -тЩ)р ] + x® [ р((1 - ^^^)р + ((1 -тЩ)р

<®({(1 -т)[(<йк )р + (тщ)р ] + (т-X )[(<йк ) р + ((1-тЩ) р ]} + +/[((1 - X )кк)р + ((1 -тЩ)р ]}17 р ) = = о[[[(1 -X)Xp + X(1 -X)р]ИРк + [(1 -т)тр + т(1 -т)р]Щ ], (5)

где 0 < X, т < 1.

Если же ( х, у) е О(2), то, проведя такие же рассуждения, имеем:

1 / (x, у) - ^ тп(/; х у) |=

=| (1 - X + X + т - т)/(х, У) - (1 - X)/(хк, ум) - (X - т)/(Хк+1, ум) - т/ (Хк+1, У,) |<

< (1-X) | /(х, у) - /(Хк, У,+1) | +(X-т) | /(х, у) - /(Хк+1, У,+1) | +т | /(х, у) - /(Хк+1, У,) |<

<

<

(1 _ t)J px _ ^^ Ip +| y _ y+11p | +

(t_т)([ p|x _ x,+11p +| y _ yi+i Ip | +

+T(

px_x,+i |p +Iy_УЛ" | = (1 _t(fp(thk)p + ((1 -ф,)p | +

+(t _ т)( [p((1 _ t)p + ((1 _T)rç)p | + тэ fp((1 _ t)p + (T^)

<

< ( [[[(1 _ t)tp +1(1 _ t)p Wk + [(1 _ T) T p + T(1 _ T)p W

(6)

где 0 < t, t < 1.

Аналогичным образом неравенство (2) доказывается и в случае, когда многогранная функция п( f 'x, y) задается соотношением (4), чем и завершаем доказательство леммы. Справедлива следующая

Теорема. Для произвольного выпуклого модуля непрерывности ait) при любых справедливы равенства

£т,п (H( (Q), LJJ)) = ( Л

\

1 < p < œ.

Доказательство. Положим = k/m, k = 0,m, y = i /n, i = 0,n . Тогда

йд. = — х^ = 1 / да, к = 0, да — 1, ^ = _уг.+1 — _уг. = 1 / и, к = 0, и — 1. Теперь на основании доказанной леммы и того факта, что при любом и е [0,1] и любом р е [1,ю) справедливо равенство

тах{ир(1 — и) + и(1 — и)р : 0 < и < 1} = -1,

из неравенства (2) для произвольной f G H((Q) получаем:

If ( x, У) _ L mn(f )I<( p m +

î ]p

= (

11 1

1 Php +wp =( -+—

2V k г , 2\ mp np

(7)

Из неравенства (7) следует оценка сверху на всем классе H( (Q) :

(H( (Q), Lmn(f)) <( + "1

2 \mF nF

\ y

Построим экстремальную функцию / (л, у) е Н00 (О), которая реализует знак равенства в

неравенстве (8). С этой целью разобьем частичный прямоугольник О, (к = 0, т — 1, / = 0, п — 1) на следующие четыре прямоугольника:

^ :={. * л * лк -±,у *у *у - ^}, ^ I 11 I

:= | Лк ^ л ^ Хк + ~, У +— ^ У ^ У-1 I I 2т 2п 1

^ I 1 1 I

:= 1 лк +— ^ л ^ У +— ^У ^У+11 I 2т 2т I

:= .+ ^к£ л £ ...,у£ у £ £

и положим

/о( л, У) = 1

0

0

0

0

^(х-ХкУНу^уУ), если( л, у)е ;

^(х-.УНУ^-^У)7 ], если( л, у) е ;

4(лк1-хУНу—уУ^ если( л, у) е

^^), если( л, у) е .

Элементарно проверяется, что /о(.у) е Н0(° и &т п(/о\ ло, у) = 0 и

||/о(л у)—& т,п(/о;л у

с (О)

с (О)

= 0

11-Г-Т

2Ц тр пр

В заключение отметим, что утверждение теоремы при р = 2 ранее доказано в [2]. Случаи одновременного приближения функций и их производных подобными функциями для различных классов функций рассмотрены в работах [3,4].

Поступило 24.06.2015 г.

о

ЛИТЕРАТУРА

1. Мартынюк В.Т., Сторчай В.Ф. Приближение многогранными функциями в хаусдорфовой метрике. - Укр.матем.журнал, 1973, вып.1, т.25.

2. Сторчай В.Ф. Приближение непрерывных функций двух переменных многогранными функциями и сплайн-функциями в равномерной метрике. Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям.- Днепропетровск: Днепропетровск. ун-т, 1975, с.82-89.

3. Шабозов М.Ш. Точные оценки одновременного приближения фукнций двух переменных и их производных билинейными сплайнами. - Матем.заметки, 1996, т.59, вып.1, с.142-159.

4. Шабозов М.Ш. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами. - Укр.матем.журнал, 1994, т.46, 1, с.1554-1560.

С.Н.Мехдоонзода

НАЗДИККУНИИ ФУНКСИЯ^ОИ ДУТАГЙИРЁБАНДА БА ВОСИТАИ

ФУНКСИЯ^ОИ БИСЁРРУЯ

Донишго^и милии Тоцикистон

Дар макола барои баъзе синфх,ои функсионалй бах,одих,ии хатогии аники наздиккунии функсиях,ои дутагийрёбанда ба воситаи функсиях,ои интерполятсионии бисёрруя дар метрикаи функсиях,ои бефосила ёфта шудааст.

Калима^ои калиди: функсияи бисёрруя - модули бефосилаги - функсияи барцаста - пащараи гиреууо.

S.N.Mehmonzoda

ON APPROXIMATION OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES BY

POLYHEDRAL FUNCTIONS

Tajik National University In this paper for the some functional classes, the exact estimate error approximation of the functions of two variables by polyhedral functions was found.

Key words: polyhedral functions - module of continuity - convex function - lattice of nodes.