О преобразовании вырожденных систем интегральных уравнений типа Вольтерра Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 5, № 4, 2000

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА

М. В. Буллтов Институт динамики систем и теории управления СО РАН

Иркутск, Россия e-mail: [email protected]

A class of systems of Volterra-type integral equations is investigated with the singular matrix at the unknown. A scheme for the construction of a linear differential operator whose application to the input equation yields the system of the second kind is suggested. A similar operator for the systems of integral and differential equations with the singular matrix at the highest derivative is constructed. A new formula for calculating the index of a sheaf of matrices is obtained.

1. Постановка задачи

Рассмотрим систему интегральных уравнений

t

Az(t) + y K(t - т)x(r)dr = f (t), t e [0,1], (1)

0

где A — (n x ^-матрица, причем det A = 0, K(u) — (n x ^-матрица с вещественно-аналитическими коэффициентами, f (t) — достаточно гладкая известная n-мерная вектор-функция, x(t) — непрерывная искомая n-мерная вектор-функция.

Если A = 0, то в силу того, что элементы матрицы K(u) — вещественно-аналитические функции, найдется хотя бы одно значение i такое, что K « (0) = 0. Дифференцируя такую задачу i + 1 раз и полагая K(i)(0) = A, получим уравнение вида (1).

В дальнейшем будем предполагать, что задача (1) имеет хотя бы одно решение. Поясним вышесказанное на примере следующей системы:

t

1 ¡0 *«+/(; d(t - т О х(т ^=( f$). (2)

0

где d — скаляр, t e [0,1]. При любых f, f2 e C1 таких, что f2(0) = 0, f (0) = f2(0) система имеет единственное решение

xi(t) = f2 (t) - d * (fi(t) - f2 (t))/(i - d),

X2(t) = (fi(t) - (fa(t))/(1 - d).

© М. В. Булатов, 2000.

Если же d = 1, то любая пара xi = v(t), x2 = f — v', где v(t) — произвольная функция из C1 такая, что v(0) = fi(0) = 0, является решением системы (2) тогда и только тогда, когда fi(0) = 0, fi(t) = f2(t).

Существует несколько подходов к исследованию вопроса о единственности решения системы (1).

В частности, используя интегральное преобразование Лапласа [1] для системы (1), можно перейти от исходной задачи к системе линейных уравнений в пространстве изображений. Далее можно решить вопрос о существовании и единственности решения полученной системы.

Напомним [1], что изображением функции g(t) по Лапласу называется функция комплексной переменной G(p), p = а + fti, определяемая равенством

оо

G(p) = у g(t)exp(-pt)dt. (3)

о

Действуя преобразованием Лапласа на равенство (2), получим, что в пространстве изображений данный пример (2) будет иметь вид

1 p-1 \ ( Xi(p) \ = ( Fi(t) ■ p-1 dp-2 J V X2(p) ) ^ F2(t)

где Xi(p), X2(p), Fi(p), F2(p) — изображения xi(t), x2(t), fi(t), f2(t) соответственно. Легко заметить,что данная система будет иметь единственное решение для любого p = 0 тогда и только тогда, когда d = 1 .

Отметим, что для преобразования Лапласа необходимо точно вычислять ряд интегралов, что является весьма затруднительной задачей.

Другие преобразования, позволяющие проводить исследования единственности решения задачи (1), предложены в [2]. Эти преобразования предназначены для более широкого класса задач и их непосредственное применение к уравнению (1) нецелесообразно из-за технических сложностей.

В монографии [3] предложен метод редукции исходной задачи (1) к системе интегральных уравнений второго рода. Для осуществления такой редукции необходимо исследовать "/-расширенную систему" размером (/n х (/ + 1)п).

В данной работе предложена совокупность достаточно простых условий единственности решения задачи (1), при выполнении которых предлагается преобразование исходной задачи к системе интегральных уравнений второго рода

t

x(t) + y K(t - r)x(t)dr = f(t), t G [0,1], (4)

о

где K(u) — вещественно-аналитическая (n х п)-матрица, f(t) — непрерывная вектор-функция. Уравнение (4) имеет единственное решение [1].

2. Свойства полуобратных матриц и А-матриц

Определение 1 [4]. Матрица, обозначаемая в дальнейшем как A-, называется полуобратной к матрице A, если она удовлетворяет матричному уравнению

AA-A = A.

Для квадратной и невырожденной матрицы полуобратная матрица совпадает с обратной. Если матрица А — произвольная, то для нее существует полуобратная матрица А-, определяемая, в общем случае, неединственным способом [4].

Одной из полуобратных матриц к матрице А является псевдообратная матрица, обозначаемая в дальнейшем как А+. В отличие от полуобратной матрицы, псевдообратная матрица определена единственным образом. Существует несколько эквивалентных определений псевдообратной матрицы. Приведем некоторые из них.

Определение 2 [5]. Матрица А+ называется псевдообратной к матрице А, если она удовлетворяет уравнениям Пенроуза:

АА+А = А,

А+АА+ = А+, (АА+)Т = АА+, (А+А)т = А+А.

Определение 3 [6]. Псевдообратной матрицей А+ к матрице А называется наилучшее приближенное решение (по методу наименьших квадратов) матричного уравнения

АХ = Е.

В работе [5] описан ряд конструктивных алгоритмов вычисления псевдообратных матриц A+ и приведена обширная библиография по данному вопросу.

Лемма 1 [4]. Система линейных уравнений By = c имеет решение тогда и только тогда, когда выполнено условие

(E - BB-)c = 0.

Лемма 2 [7]. Пусть (n x n)-матрица A имеет ранг r, а неособенная (n x n)-матрица P такова, что PA имеет блочный вид

pA = ( Ai A2 PA = 0 0

где (Ai A2) — (r x и)-матрица и rank (Ai A2) = r. Тогда матрица P(E - AA-)P-i имеет блочный вид

l 0 S

p(e-aa-)p-i=(0 L)

Здесь и всюду в дальнейшем изложении через Es будем обозначать единичную матрицу размерности s.

Определение 4 [8]. A-матрицей степени k называется матрица вида

A(A) = Ак Ao + Ak-iAi + ••• + Afc,

где A0, Ai, ... , Ak — постоянные матрицы одинаковых размеров, А — скаляр, A0 = 0. Определение 5. Матрица A(A) называется регулярной, если det A(A) = 0. Определение 6 [3]. Пучок (n x n)-матриц AA + B имеет простую структуру, если

deg det (AA + B) = rank A.

Лемма 3. Пучок матриц A(E - AA-) + E имеет простую структуру.

Доказательство. Пусть rank A = r, тогда, в силу леммы 2, rank (E — AA ) = n — r и степень многочлена

det(A(E — AA-) + E) = det

Er 0

0 En-r

+ A

0 S 0E

n- r

также равна n — r.

Определение 7. Будем говорить, что A-матрица

к

A(A) = J] Ak-iAi, Ao = 0,

i=0

не обладает этим свойством, а матрица

обладает доминантным свойством (ДС), если

degdet A (A) > k rank A0.

Здесь и всюду в дальнейшем deg(.) означает показатель степени многочлена (.). Например, матрица

A1 10

A2 A

Ad

при d = 1 — обладает.

Приведем без доказательств некоторые свойства A-матриц.

Свойство 1. Если A(A) — регулярная матрица, не обладающая ДС, то существует целое положительное число m такое, что матрица AmA(A) обладает ДС.

Свойство 2. Если матрица A(A) обладает ДС, то и матрица (E + A(E — A0A-))A(A) также обладает ДС.

Образуем цепочку матриц по рекуррентному соотношению

A(i)(A) = (e + A (E — A0i-i)A0i-i)^ A(i-i)(A),

(5)

где

A00) = A0, A(0)(A) = A(A),

а верхний индекс у матриц А означает номер итерации.

В дальнейшем изложении важную роль играет следующий результат. Теорема 1. Пусть матрица А(А) = Е 1о ^k-iAi обладает ДС и гапкА0 = г < п. Тогда у матрицы А(к)(А), определенной по рекуррентной формуле (5), А0к) = 0.

Доказательство. Пусть degdet А(А) = кг + Б > кг. Тогда, в силу леммы 3, справед-

ливо

degdet A(i) (A) = kr + S + n — r > k(r + si),

где r + si = rank A0i).

Продолжая эту цепочку неравенств, получим

degdet A(i)(A) = kr + S + n — r + n — (r + si) + ■ ■ ■ + n — (r + si + s2 + ■ ■ ■ + si-i) >

> k(r + Si + S2 +----+ Si),

(6)

где r + Si + S2 +----+ Si = rank A,

(i)

Вычитая из ¿-го неравенства (г — 1)-е, имеем

«г < (п — (51 + 52 + ■ ■ ■ + 5г_0)/к < (п — г)/к. (7)

Подставляя в правую часть неравенства (6) значения г = к и 5г < (п — г)/к, получим

deg А(к) (Л) >= к(г + 51 + 52 +-----+ вк) > кп. (8)

Так как А(к)(Л) = ^к=0 Лк-гА(к), то из оценки (8) вытекает, что det А[,к) = 0. Теорема доказана.

Приведем еще один вспомогательный результат, который непосредственно вытекает из монографии [6].

Лемма 4. Задача

Вж'(*) + ж(*) = 0, х(0) = 0, * € [0,1],

где В — постоянная (п х п)-матрица, имеет только тривиальное решение.

3. Редукция вырожденных систем

Ниже дано описание редукции ряда интегро-дифференциальных систем с вырожденной матрицей перед старшей производной к системам уравнений, разрешенным относительно старшей производной. Введем обозначения

Ао = А, Аг = К (г_1)(0), г = 1, 2,..., к, (9)

где А и К (и) — те же матрицы, что и в исходном уравнении (1). Образуем цепочку уравнений

г

А(г)х(*) + У Кг(* — т)х(т)^т = /»(*), * € [0,1], (10)

0

где

А(г) = А(г-1) + (Е — А(г-1)А(г_1)_ )Кг-1(0), Кг(и) = Кг_1(и) + (Е — А(г-1)А(г_1)-)Кг_1(и),

/г(*) = /г_1(*) + (Е — А(г_1)А(г_1)_)/;_1(*),

Ао = А, Ко(и) = К (и), /о(*) = / (*).

Теорема 2. Пусть:

1) для уравнения (1) существует к такое, что матрица А(Л) обладает ДС, где Аг вычислены по формуле (9);

2) (Е — А(г)А(г)_)/г(0) = 0, г = 0,1, ..., к;

3) элементы К(* — т), /(*) принадлежат классу Ск. Тогда :

1) система (1) имеет единственное решение из класса С;

2) исходная задача (1) эквивалентна любой из систем (10);

3) у системы (10) при г = к det А(к) = 0.

Доказательство. Полагая в уравнениях (10) £ = 0, получим системы линейных алгебраических уравнений

А\т(0) = /¿(0),

разрешимость которых следует из первого условия теоремы и леммы 1.

Покажем, что решение (г —1)-й системы (10) является решением г-й системы и наоборот. Для этого достаточно заметить, что г-я система (10) является суперпозицией оператора

й

и

^E + [E — A(i i)A(i i) ) —^ и предыдущей, (i — 1)-й системы.

В силу леммы 4 задачи

^E + (E — A(i-i)A(i-i)-) ddt)x(t), x(0) = 0, t G [0,1],

имеют только тривиальные решения, следовательно, решение (i — 1)-й системы (10) является решением и i-й системы.

Докажем теперь, что решение исходной задачи единственно. Заменяя в теореме 1 скаляр A на оператор дифференцирования —, в силу второго условия теоремы получим

dt

det Ak = 0,

следовательно, система (10), при i = k является системой второго рода, которая при непрерывных Kk(t — т), fk(t) имеет единственное непрерывное решение [1]. Непрерывность элементов Kk (t — т), fk (t) следует из третьего условия теоремы. Теорема доказана.

Отметим, что для однородной системы (1) достаточным условием существования только тривиального решения является условие 1 теоремы 2 [9]. Для систем вида

t

A(t)x(t) + У K(t,r)x(r)dr = f (t), t G [0,1] (1a)

0

справедлива теорема.

Теорема 3 [10]. Пусть для задачи (1а) выполнены условия:

1) A(t),K(t,r),f (t) G C2;

2) degdet(AA(t) + K(t,t)) = rankA(t) = r = const;

3) (E — A(0)A-(0))f(0) = 0.

Тогда данная задача имеет единственное непрерывное решение и, действуя на систе-

-d

му (1а) оператором E + (E — A(t)A (t))

. ^ , получим систему интегральных уравнений

V "V

г

А1(£)ж(£)^У К1(£,т)ж(т)йт = /1(£), £ С [0,1],

0

с невырожденной £ С [0,1] матрицей А1(£).

Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений

г

£оЖ(р)С0 + В1Х(р-1)(£) + ■ ■ ■ + Врж(£) + ^ — т)х(т)йт = #(£), (11)

0

ж(Л(0) = а,, 2 = 0,1, ...,р - 1, (12)

где В, — (п х п) — постоянные матрицы, Ь £ [0,1], Д(м) и д(Ь) — достаточно гладкая матрица и вектор-функция соответственно,

Рассмотрим матрицу

гапк Вп = г < п.

В(Л) = ^ Лк^В,

г=0

(13)

где матрицы В^ г = 0,1, ... , р те же, что и в (11), а Вр+, = — 1)(0), 2 = 1, 2, ... , к — р. Подействуем на систему (11) оператором

Р

к =

п

г=1

Е+г(Е — В0к'-,)

В

(к-)-

(14)

где

В

(,) = В (2-1)

п + (Е — вП2-1)вП2-1)-)В,-1)

Впп) = Вп,

2 = 1, к — 1.

В силу определения 1 получим систему

¿Вг(кУр-г)(Ь) + [ — т)х(т)дт = £(Ь), Ь £ [0,1].

i=п

(15)

Теорема 4. Пусть при некотором значении к матрица В (Л), определенная по формуле (13), обладает ДС. Тогда у системы (15) В0к) = 0.

Доказательство данной теоремы аналогично доказательству теоремы 2 и поэтому не приводится.

Определение 8. Минимальное значение к, при котором матрица В (Л), определяемая по формуле (13), обладает ДС, назовем индексом неразрешенности системы (11).

Рассмотрим частный случай системы (11), а именно:

]>]В^(р-^) = д(Ь), Ь £ [0, 1].

(16)

i=0

Если при к таком, что 1 < к < р матрица В(Л) = ^к=п Лк iBi обладает ДС, то, действуя на систему (16) оператором

i=1

д

Рк = П (Е + дЬ (Е — Bnk-i)B(

п Вп

получим систему

¿В(к)х(р-^) = 5к(Ь), Ь £ [0,1]

i=п

с невырожденной матрицей перед старшей производной. Здесь

= ВГ1; + ( Е — ВГ1 ;В,

?(i-1)

В в(i-l)

п

п

(2 + 1)'

В((п) = В,

2 = 0,р, г = 1, к.

к

к

ь

п

к

Приведем значение k для случая, когда B(A) не обладает ДС, но det B(A) = 0. Опуская рассуждения, получим

k = Г (np — s)/(n — r), если np — s кратно n — r, (18)

[ [(np — s)/(n — r)] + 1, в противном случае,

где [•] — целая часть числа, s = degdet B (A), r = rank Bo.

Отметим, что при изучении систем первого порядка вида (16) важную роль играет индекс пучка AB0 + Bi, т.е. минимальное целое неотрицательное число k, при котором справедливо равенство [4]:

rank ((ABo + Bi)-iBo)k+i = rank ((ABo + Bi)-iBo)k.

Формула (18) дает другой, более простой, способ вычисления индекса пучка ABo + Bi, а именно

k = (n — s) /(n — r) n — s кратно n — r,

[ [(n — s)/(n — r)] + 1 в противном случае,

где s = degdet (ABo + Bi), r =rankBo.

В заключение для иллюстрации приведем преобразование системы (2) к системе интегральных уравнений второго рода.

1) Вычисляем индекс неразрешенности системы (2). Матрица

A1

AA + K (0)= 1 0 не обладает ДС, а матрица

A2 A

А А + АК (0) + К (0) д й

при й = 0 обладает (degdet А(А) = 2).

Итак, индекс неразрешенности системы (2) равен 2 , т. е. применяя преобразования (10), для данного примера после двух шагов получим систему второго рода. Здесь в качестве полуобратной матрицы А- взята А+-псевдообратная матрица. 2) Преобразуем систему. Шаг 1.

А =(0 0) ■ Е — АА+ =(0!

Проверяем условие 2 теоремы 2 ( (Е — АА+)/(0) = 0). Получим /2(0) = 0. Таким образом, после первого шага получим систему:

г

1 0 \ ,л , Г ( 0 1 \ , . , _ ( /,(()

(10) x« ^ ( 0 d + d(t — r0 x(r)dr 4 f2(t) + /2(t)

o

f2(0) = 0, t G [0,1].

Шаг 2.

A™=<!0 . E—AA+ ^ ™ —0:5

Проверяем условие 2 теоремы 2 ((Е — АА(1)+)(/1 (0) /2(0) + /2(0))т = 0). С учетом того, что /2(0) = 0, получим /1(0) = /2(0).

Итак, после второго шага получим систему с невырожденной матрицей перед х(Ь):

ь

( 1/2 (1 — д)/М Х(Ь) + / Г 0 1 — д/2 ^ х(т)дт =

у 3/2 (д — 1)/2 ^ х(Ь) + у зд/2 + д(Ь — т) у! Х(Т)дт =

п

= ( /1(Ь) + (/1 (ь) — 0.5(/2'(Ь) + /2(Ь))) N V /2(Ь) + /2(Ь) + 0.5(/2'(Ь) + /2(Ь) — /1 (Ь)) ,/ ,

/2(0) = 0,/1(0) = /2(0), Ь £ [0,1].

Непосредственной проверкой легко убедиться, что решение данной системы и решение системы (2) равны.

Список литературы

[1] Краснов М. Л. Интегральные уравнения. Наука, М., 1975.

[2] Сидоров Л. Н. А-присоединенные множества линейных операторов и их приложения к дифференциальным уравнениям. Методы оптимизации и исследование операций. СЭИ СО АН СССР, Иркутск, 1984, 169-184.

[3] Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. Наука, Новосибирск, 1996.

[4] БояРИНЦЕВ Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Наука, Новосибирск, 1980.

[5] ВААРМАН О. Обобщенные обратные отображения. Валгус, Таллинн, 1988.

[6] ГАНТМАХЕР Ф. Р. Теория матриц. Наука, М., 1966.

[7] Булатов М. В. О преобразовании алгебро-дифференциальных систем. Журн. вы-числ. мат. и мат. физики, 34, №3, 1994, 360-372.

[8] Курош А. Г. Курс высшей алгебры. Наука, М., 1975.

[9] Булатов М. В. О тривиальном решении вырожденных систем интегральных уравнений. Тез. докл. 10 Байкальской школы семинара "Методы оптимизации и их приложения". СЭИ СО РАН, Иркутск, 1995.

[10] Булатов М. В. О вырожденных системах интегральных уравнений типа Вольтерра. Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Тр. Всесоюз. конф. Ч. 2. Владивосток, 1992, 18-22.

Поступила в редакцию 25 февраля 1997 г., в переработанном виде 11 февраля 2000 г.