CC BY
224
УДК 514.84+517.9
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
UDC 514.84+517.9
REPRESENTATION OF THE SOLUTIONS OF THE NAVIER-STOKES IN GENERAL RELATIVITY
Трунев Александр Петрович к.ф.-м.н., Ph.D.
Директор, A&E Trounev IT Consulting, Торонто, Канада
В работе исследованы решения уравнений Навье-Стокса, связанные с решениями уравнений Эйнштейна для пустого пространства. Указаны метрики, в которых уравнения Навье-Стокса интегрируются точно. Показано, что решениям уравнений Навье-Стокса общего вида соответствуют метрики, описывающие в общей теории относительности пространства с кривизной отличной от нуля.
Ключевые слова: УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
Alexander Trnnev Cand.Phys.-Math.Sci., Ph.D.
Director, A&E Trounev IT Consulting, Toronto, Canada
In this paper, we investigated solutions of the Navier-Stokes equations associated with the solutions of Einstein's equations for empty space. There exists a metric in which the Navier-Stokes equations are integrated exactly. We demonstrate that the solution of the Navier-Stokes equations of general form consistent metrics describing in general relativity space with nonzero curvature.
Keywords: NAVIER-STOKES, GENERAL RELATIVITY.
Введение
Вопрос о единственности и гладкости уравнений Навье-Стокса был сформулирован в виде шестой проблемы тысячелетия [1-2]. Для этой проблемы имеются, как математические доказательства существования сильного решения [3], так и доказательства потери единственности решений при взрывной неустойчивости за конечное время [4].
Как известно, уравнения Навье-Стокса являются математической моделью движения вязкой несжимаемой жидкости, поэтому для физических приложений представляют интерес не любые решения, а только те, которые описывают реальные течения. Но в природе жидкость движется при любых условиях, независимо от свойств единственности или гладкости поля скорости. Достаточно будет указать на явления турбулентности, кавитации, дробления, обтекание инородных тел и ударные волны, В каждом случае для
описания движения необходима своя модель, которая может значительно отличаться от модели Навье-Стокса [5-6].
С другой стороны, даже если поле скорости является единственным и гладким, то это еще не гарантирует, что такое движение непременно реализуется в природе. Возникает вопрос, можно ли математически разделить все решения на такие, которые имеют физический смысл и такие, которые заведомо не имеют такового смысла? В настоящей работе мы используем принцип относительности Эйнштейна [7], а также способ представления движения в общей теории относительности [8-30] для ответа на этот вопрос. В результате построены решения общего вида уравнений поля в вакууме в общей теории относительности Эйнштейна, описывающие классическое движение частиц в сплошной среде типа вязкой несжимаемой жидкости.
Принцип эквивалентности и уравнения гидродинамики в общей теории относительности
Уравнения Эйнштейна имеют вид [8-11]:
1
яМу — 2 §МуЯ _ 8мпА + Тп (1)
Я _ Щк, я _ ^кя1к,
яа _ /зз___/Зу_ + рт ра — рт ра
33 дх7 дх3 33 т 37 3 (2)
_ 1 гг 1* + ^£чк ^£]к
, ■ + .
Эх дх] Эх*
КМу, ёту ТМу - тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; Л, С,с - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная
постоянная и скорость света соответственно; - тензор Римана, -
символы Кристоффеля второго рода.
Ранее было установлено, что уравнение Эйнштейна связано с уравнениями Максвелла, Навье-Стокса, Янга-Миллса и Шредингера [13-28]. Указанные связи не являются случайными, так как уравнение Эйнштейна (1) отражает наиболее фундаментальные свойства движения и материи. В частности, принцип эквивалентности, положенный в основу общей теории относительности, гласит, что «инерция и тяжесть тождественны; отсюда и из результатов специальной теории относительности неизбежно следует, что
симметричный «фундаментальный тензор» (<§*) определяет метрические свойства пространства, движение тел по инерции в нем, а также и действие гравитации» [7].
Однако принцип эквивалентности, видимо, имеет и более широкое применение, например, в квантовой механике [16-20]. Фактически этот принцип означает, что любое ускорение, обусловленное внешними силами, эквивалентно некоторому изменению метрики. Действительно, в общем случае уравнения движения материальной точки в гравитационном поле можно представить в форме [7-11]
й2хи и йхп йх1
~^+т1 -йТй-= 0 (3)
Рассмотрим метрику, связанную с движением материальной точки с заданной скоростью и _ и(г), имеем
й*2 _ йг2 — (йх — игйг)2 — (йу — и2йг)2 — (йг — и3йг)2 (4)
Вычисляя отличные от нуля коэффициенты аффинной связности в метрике (4), получим
йи „3 йип -,-^4 йи^.
Г2 _-----1 Г3 _------- Г4 _------3 ^
11 йг ’ 11 йг ’ 11 йг (5)
Уравнения (3) удовлетворяется тождественно, если мы положим
7 1 й2 X йи
а* _ йг, —- _— (6)
йг2 йг
Следовательно, метрика (4) описывает классическое движение с ускорением. Уравнение (1) для пустого пространства и при равной нулю
космологической константе также удовлетворяется, поскольку Щ1к _ 0 в метрике (4). Следовательно, движение с ускорением не изменяет кривизну пространства, если ускорение является только функцией времени.
Однако если мы предположим, что существует поле скорости,
зависящее, например, от одной координаты, и _ и(г, г), то придем к очень
сложной теории, с отличной от нуля скалярной кривизной
2 и3
(7)
я _— 1Г ^ Л2 — I (^ Л2 — 4 2I дг I 2 I дг
ди3 Л2 д2 и3 д2 и3
----I + и3 —-—I-----------
дг I дг дгдг
Таким образом, в общей теории относительности для поддержания градиента скорости необходимо определенное распределение материи, что в общем случае не может быть выполнено. Поэтому теория релятивистской гидродинамики [11, 29-31] построена на преобразовании тензора энергии импульса, а не на преобразовании поля скорости.
Рассмотрим уравнения гидродинамики в общей теории относительности. Предполагая, что уравнения гидродинамики справедливы локально, можно записать эти уравнения в произвольных координатах. В случае вязкой жидкости имеем [29-30]:
(е + Р)Вии _ VйР — АипУаПт + ПиВип
Ве_—(е + Р)Уии и+ 2 Рип1уиии) (8>
Здесь обозначено ии _ (и1, и2, и3, и4) - локальная скорость жидкости; е Р -плотность энергии и давление соответственно; тензор вязких напряжений имеет вид
Рип _^(уиип)
йиип _диип+Гпииа
В _ иийи, Vй _ Ьии й п (9)
Ьип _ £ип — ииип
2
(4А ) _ АиВп + А В и —~^ип ЛаВа
3
Предполагается, что известно уравнение состояния, связывающее плотность энергии и давление. В случае идеальной жидкости первое уравнение (8) приводится к стандартному виду [10]
£ип дР+~Ь (Р + р)и иип + Ги( Р + Р)и ии1 _ 0 (10)
При таком подходе предполагается, что уравнения гидродинамики описывают динамику частицы жидкости независимо от того, что диктуется уравнением (3). Этот странный результат исторически связан с тем, что в уравнении (1) тензор энергии импульса материи может быть задан независимо от метрики [7-11, 29-31]. Однако в последнее время появились исследования [21-28] и другие, в которых уравнение Навье-Стокса выводится прямо из уравнений (1) в многомерном пространстве с метрикой вида [23]
й*2 _ —гйг2 + 2йгйг + йх1йх1 — 2(1 — г/гс)и1йх1йг — (2/гс)и1йх1йг
+ (1 — г /гс)[(и2 + 2Р)йг2 + (uiUj / гс )йхгйх] ] + (и2 + 2Р)йгйг /гс (11)
— (г 2 — гс)д 2и1йх1йг / гс +...
Уравнения Навье-Стокса следуют из уравнения (1) для пустого пространства с метрикой (11) путем решения методом последовательного приближения. В первом приближении выполняется уравнение неразрывности, во втором приближении выполняется система уравнений уравнения Навье-Стокса в форме
Л VP 2
— _----------vvV u, V- u _ 0
йг р0
Здесь кинематическая вязкость определяется как в п _ Л/ р0. Отметим, что описание полей ускорения, обусловленных соответствующими гравитационными потенциалами, в рамках общей теории относительности является вполне логичным и обоснованным. Однако принцип эквивалентности получил различное толкование у различных авторов.
Так, например, в [8] утверждается, что при переходе во вращающуюся систему отсчета возникают стационарные гравитационные поля. С другой стороны, в [9] приведены доказательства того, что полей ускорения не существует, что эти поля являются фиктивными. Поэтому во вращающейся системе координат возникают не гравитационные поля, а фиктивные «поля тяготения». Однако в монографии [12] было показано, что любое силовое поле может привести к искривлению пространства-времени.
Вайнберг [10] различает инерционные и гравитационные силы, поэтому его формулировка принципа эквивалентности сводится к утверждению, что
е а ~
«локально-инерциальные координаты $х , которые мы вводим в данной точке х, могут быть выбраны так, что первые производные метрического тензора в точке х исчезают».
Мы придерживаемся исходной формулировки принципа эквивалентности [7], из которого следует, что любое ускорение эквивалентно изменению метрики и, следовательно, может быть описано метрическим тензором и уравнениями (1)-(3).
Г равитационные поля в гидродинамические течения
Наша задача заключается в том, чтобы найти такие метрики, которые описывают движение параболическими уравнениями, похожими на
уравнения Навье-Стокса (12). То, что такие метрики существуют, доказано в работах [17-28] и других.
Однако метрики типа (11), в которых уравнения Навье-Стокса (12) выводятся из уравнения (1) для пустого пространства приводят к увеличению размерности самого пространства. Кроме того, теория гравитации в пространствах с метрикой типа (11) намного сложнее, чем теория уравнений Навье-Стокса. Поэтому есть основания для поиска более простых метрик, в которых уравнения поля сводятся к параболическим уравнениям. Рассмотрим метрику вида
й*2 _у(г, х)йг2 — р(у)йх2 — йу2 — 2 (13)
Уравнения поля для пустого пространства нулевой кривизны в метрике (13) сводятся к одному уравнению второго порядка
— РУг +Ухх + РР — 2 ^ Р У У 2 — Р2ГРуГу2 _ 0 (14)
Отметим, что уравнение (14) изменяет свой тип в зависимости от знака /
производной р :
в области р < 0 уравнение (14) имеет эллиптический тип;
в области р > 0 уравнение (14) имеет гиперболический тип;
в области р _ 0 уравнение (14) имеет параболический тип.
Вычисляя коэффициенты аффинной связности в метрике (13) в четырехмерном пространстве-времени находим уравнения движения
У _! Ух хм р'¥г
Г1 _ у г Г1 _ У х г1 _
11 2у ’ 21 2у ’ 22 2у '
Г2 _У Г2 _ р'У Г2 _ р'Ух
111 , , 121 0 , 1 22 0 2р 2р 2р
й 2г +_¥1 Г йг Л2 + р'у г Г йх |2 + ух йг йх _ 0
й*
2
2уу й* ) 2у ^ й*
у й* й*
й2 х + ух Г йг Л2 + р'у х Г йх Л2 + р'у1 йг йх _ 0 (15)
й*2 2 р ^ й*) 2 р ^ й* ) р й* й*
Первое уравнение (15) описывает хорошо известный эффект изменения скорости хода часов в гравитационном поле и при наличии скорости движения [8-10]. Используя первое уравнение (15) можно перейти во втором уравнении (15) к зависимости от времени по формулам
йх _ йг йх й2 х й* й* йг’ й.*2
йг | Г йх й*) I йг
2у 2у \ йг
У* + р'У г Г йх У , Ух йх
у йг
+ 1 —
й* ) йг 2
(16)
После чего оно приводится к виду
й2 х + ух + р'у х Г йх Л + р'у йх Г йх йг2 2 р 2 р I йг) р йг I йг
ух йх +—— 2у 2у ^ йг) у йг
у1 + р'у t Г йх
_ 0
(17)
2 р 2 р ^ йг) р йг
Рассмотрим метрику вида
й*2 _ exp[Л(г, 2)]йг2 — exp[/(х,у)]йх2 — exp[ё(/)]йу2 — exp[p(k)]йz2 (18)
Уравнения поля для пустого пространства в метрике (18) сводятся к двум уравнениям второго порядка
ек[2^ — (р'—1)йг2] — ер[2ркг, + (2р”+р'2—р’)Лг2] _ 0
е/[2/у — (£'—1)//] + е£ [2+ (2£”+Я'2 — г')//] _ 0 (19)
Отметим, что уравнения (18) могут быть решены независимо. Каждое
/ ,
из них изменяет свой тип при изменении знаков производных р , £ соответственно. Полагая в уравнениях (19), что р' _ ° £' _ 0, находим
ек (2Иа + к] ) — ер 2р"к2 _ 0 е(2/у + /2) + е£2£’’/; _0
Г лавная причина, по которой мы исследуем эти уравнения, заключается в том, что гравитационные поля соответствующие метрикам (13) и (18)
(20)
описывают те самые «фиктивные» силы инерции, которые приносят столько трудноразрешимых проблем в теории уравнений Навье-Стокса [1-4].
Вычисляя коэффициенты аффинной связности в метрике (18) находим
Г1 =1 к Г1 =1 к Г1 =1 ер-к рк
А11 2 41 2 ^ 44 2 Г пг
Г2 =1 / Г2 =1 / Г2 =-1 ея-/я' /
22 32 у> А 33 2 & ¿х’
Г,32 =-| е/-Я/„ , Гз32 = 1 я'/х , Гз3з = 1 я'/,
Г,4, = 2ек-Ркг, Г44, = 2р'к,, Г44 = 1рк:
(21)
Используя коэффициенты (21), запишем уравнения движения частиц в метрике (18)
Л2£ к, Г Л Л2 р'к( р к(Л2Л2 , Л Л2
+ —| — I +—— е к | — I + к-= 0
Лъ 2 ^ Лъ) 2 ^ Лъ) Лъ Лъ
Л22 к7 к-р(ЛЛ2 р'к7 (Л2Л2 ,, Л Л2
—- + ^ек рI — I + ^^| — I + р'к£--------------------------= 0
Лъ 2 ^ Лъ) 2 р ^ Лъ) Лъ Лъ
й 2 х +А. I Лх)2 - я Ух ея-/1ЛЛ2 + / ЛуЛх = 0
Лъ2 2 ^ Л1) 2 ^ Лъ) у Лъ Лъ
Л2у - ¿?_е/-я (Л*)2 + яя/у (ЛА2 + я'/ = 0
(22)
-¿у.е/-я| ЛХ I + я -1 у( ЛУ I + я / ЛУЛ* = 0 Лъ2 2 ^ Лъ) 2 ^ Лъ) х Лъ Лъ
Здесь первые два уравнение описывают движение в плоскости
переменных (£, 2), а два другие - в плоскости (х,у). Такое разделение движения является весьма существенным упрощением задачи, связанной с исследованием движения частиц в пограничном слое.
Уравнения Навье-Стокса и проблема турбулентной диффузии Рассмотрим систему уравнений, описывающую неизотермическое атмосферное течение с учетом сил плавучести и переноса инертной примеси, имеем [6, 32]
^=0 (23)
Эu
э7
+ (u. V)u +--= пУ 2u + — (р-р0)
Ро ро
ф + (и^У)ф = ; У-ф
Эt Sc
Здесь обозначено: Р - плотность воздуха; ы = (и,у,^ - вектор скорость потока; п - кинематическая вязкость; Р - давление за вычетом гидростатического атмосферного давления; g - вектор ускорения свободного падения; р0 - равновесная плотность; Т - температура, Pr - число Прандтля; ф массовая концентрация примеси; §с= V/ Э - число Шмидта; Э - коэффициент молекулярной диффузии.
Гидростатическое уравнение и стандартное приближение Буссенеска для возмущений плотности заданы в виде
Определим систему декартовых координат таким образом, что бы ось 2 была направлена против направления вектора ускорения свободного падения.
Граничные условия для параметров течения зададим на обтекаемой поверхности и на границе пограничного слоя следующим образом:
Здесь Тя - температура подстилающей поверхности, ф я - концентрация примеси на поверхности, Н - высота пограничного слоя, и0 - скорость течения на высоте 2 =Н, Т0,ф0 - температура и концентрация примеси на высоте 2 = Н соответственно.
УРо = §Ро(Ро, ТоХ Р-Ро = -РЛТ - То)
(24)
Здесь Ь = -Р '(Эр/Эт)р - коэффициент расширения, Р=1/ т для идеального
газа.
Рельеф обтекаемой поверхности описывается уравнением 2 = г(х, у) - рис. 1.
2 = г (х, у): и = 0, Т = Т, ф=ф8
2 = Н: u = и 0 (1,0,0), Т = Т0, ф = ф0.
(25)
Рис. 1. Г еометрия течения над шероховатой поверхностью.
По координатам -, у зададим периодические граничные условия. Считаем, что в начальный момент скорость течения, температура и концентрация примеси описываются линейными функциями, имеем
I = 0: и = Ц^/И, Т = Т& + (То -Т>/И, ф = ф?+ (ф0-ф^/И (26)
Решение задачи (23)-(26) не было получено даже на уровне оценок типа [1]. Приближенные решения для турбулентных течений были получены в наших работах [6, 32] и других. Практически при любой функции распределения шероховатости 2 = г (— у) течение довольно быстро переходит в турбулентный режим с установлением логарифмического профиля скорости, температуры и концентрации примеси - рис. 2. Решение получено путем численного интегрирования системы уравнений (29) с граничными условиями (25) и начальными данными (26). Хорошо видно, что линейный профиль (26) за короткое время эволюционирует в логарифмический профиль.
Рис. 2. Формирование логарифмического профиля скорости потока в турбулентном пограничном слое в координатах х = пЛ,? = / ^.
Этот факт, установленный во многих и многих исследованиях, показывает, что природа изобрела наиболее экономичный способ движения в форме логарифмического профиля. Однако если логарифмический профиль подставить в первое уравнение (12), то можно убедиться, что уравнение Навье-Стокса не выполняется. Это результат означает, что в природе существуют силы, которые поддерживают логарифмический профиль, но которые не нашли отражения в уравнениях (12). Обычно происхождение этих сил приписывают так называемым напряжениям Рейнольдса, обусловленным турбулентной вязкостью или диффузией [31]. Однако мы, не без основания, приписываем эти силы полям гравитации, рассмотренным выше.
Действительно, обратимся к методу решения проблемы турбулентной диффузии, который был предложен в наших работах [6, 32-35] и других. Основная идея заключается во введении в уравнения (15) случайных параметров. Например, в пограничном слое можно представить вектор
скорости течения и = (и,у, в форме и = и(х,У,2/И(х,у.{^ г), где И = И(х, г) - это поверхность, описывающая динамическую шероховатость [6].
Предполагается, что такую поверхность можно характеризовать
случайными параметрами И И К> К , которые имеют смысл высоты, скорости движения элемента и наклонов поверхности. Обозначим функцию
/■ = /■ (К И И И )
распределения этих параметров ;*к","х,"у,ч.>.
Предположим, что ^ =2 / И =соп^ и рассмотрим достаточно представительную область течения объемом ^ = ^у^ , где ^ ’^у - типичные масштабы течения в направлениях х, у соответственно - рис.1. Рассмотрим подобласть течения ^, которая принадлежит рассматриваемой области течения ^ , ив которой случайные параметры И И Их Иу изменяются в интервалах (И; И + <^И) ,(И; И ), (Их; Их + ) , (Иу ; Иу + ^Иу) .
В общем случае подобласть ^ является многосвязной областью, объем которой задается уравнением
dVs = dVfs (И, Их, Иу, К )ёШИхёИуёИ(
Случайная амплитуда скорости может быть определена путем суммирования выражения и = и(х,у,2/И(х,уЛ),г) в объеме :
~ 1 г
и(^,г,И,Их,Иу,К) = • •» х,У,^,г)dхdydz (27)
Здесь - произвольный объем, вложенный в ^ = ^У^ и содержащий ^ .Очевидно, что и(^г,И,Их,ИУ,И) является случайной функцией, поскольку зависит от случайных параметров. Уравнения, описывающие динамику и = и(^г, И, Их, Иу, Иг), следуют из уравнений (23), а их вывод дан в [6, 32].
Статистический момент порядка т случайной функции
и(^г, И, Их, Иу, И) определяется следующим образом
и m (z, t) = | и>т (Пt, И, Их , Иу , к )/, (И Их , Иу , к (28)
В результате применения указанных преобразований система
уравнений (23) принимает вид [6, 32]:
Эп ЭФ Л
аЦ -пэГ 0 <29>
Э~ У~ Э~ N ЭР V Э , 2 2\Э~
— +------+-------------=—^—(1 + пц)-
Эг И Эц Р0И Эц И Эц Эц
пп2п Э~ VN ЭФ 2 ,~
—¡2 Т" + + — (Р - Г)
И Эц И Эц Р0
э~ у~ эт V э , 2 2ч э~ ппЦэТ
— +------=-----------------г-—(1 + п п2)-—
Эг И Эц РгИ Эц Эц РгИ Эц
ЭА+КЭ± = _п_Э.(1+п2п2)Э± Пп2п Э<~
Эг И Эц 8еИ2 Эц Эц 8еИ2 Эц
Здесь У~ = п - цФ , Ф = И + Ихи + Иу V, Р = ~ + в, п = + Иу , N = (-ц Их,-ц Иу ,1) .
Система уравнений (29) имеет установившееся решение в форме
логарифмического профиля, как для скорости - рис. 2, так и для температуры и концентрации [6, 32-34]. В чем же отличие исходной системы (23) и выведенной из нее системы уравнений (29)? Отличие заключается в явном учете влияния микроскопической геометрии линий тока на основное течение. Г еометрический фактор оказывается весьма существенным, не смотря на его малую величину.
Так, в пограничном слое над гладкой поверхностью безразмерный параметр динамической шероховатости, определенный по динамической скорости, составляет около 1 = Иит /пп » 8 71. Для сравнения укажем, что число Рейнольдса пограничного слоя атмосферы составляет порядка Яе = ни0/п» 107 109.
Большая величина числа Рейнольдса и малая величина толщины вязкого подслоя вполне соизмеримы в логарифмическом масштабе, когда реализуется логарифмический профиль скорости, который выводится из уравнений (29).
Силы, фигурирующие в динамических уравнениях (3), имеют геометрическую природу, что хорошо видно из приведенных примеров движения частиц в гравитационных полях в пространствах с метрикой (13) и (18). Уравнения (29) показывают, что такого рода гравитационные поля возникают и в течениях сплошной среды. Однако до последнего времени эти поля не были идентифицированы как гравитационные.
Метрика и гравитационные поля течений в пограничном слое
Рассмотрим течение над гладкой поверхностью, совпадающей с плоскостью ХУ. Определим систему декартовых координат таким образом, что бы ось % была направлена по нормали к поверхности в сторону потока. Докажем, что если течение имеет компоненты скорости параллельные плоскости ХУ и зависящие только от координаты 2, то такая система может двигаться с произвольным ускорением при нулевой кривизне пространства.
Для доказательства рассмотрим обобщение метрики (4), связанной с движением материальной точки с произвольной скоростью и = и(), имеем
ds2 = dt2 - (йх - иАйг - и (2^)2 - (йу - и2dt - и2 (2^)2 - (йг - и3dt)2 (30)
Здесь и 1( 2 X и2( 2) - произвольные функции, описывающие профиль скорости. Вычисляя отличные от нуля коэффициенты аффинной связности в метрике (30), получим
_ 2 _ dUl и Ли 3 -р 2 _ Ли 1
11 _-~1й_ 1 ’ 44 _- "ЛГ (31)
р3 _ Ли2 и Лиз р2 _ 2 р4 _ Лиз
11 _-~ 2~Ж’ 44__’ 11 __~ж
Уравнение (1) для пустого пространства и при равной нулю космологической константе удовлетворяется тождественно, поскольку
Як _ 0
в метрике (30). Следовательно, в этом случае возможно движение
системы с произвольным ускорением Ли / Л _ а(г) при нулевой кривизне пространства, что и требовалось доказать. Отметим, что к известным решениям уравнений Навье-Стокса такого типа относятся течения Пуазейля и Куэтта [31].
Полученный результат можно усилить, допустив наличия профиля третьей компоненты скорости. Соответствующая метрика имеет вид
Лз2 _ Лг2 - (Лх - игЛг - и1(г)Лг)2 - (Лу - и2Лг - и2(г)Лг)2 - (Лг - и3Лг - и3(г)Лг)2 (32)
Вычисляя отличные от нуля компоненты тензора Риччи в метрике (32), находим
Я _
(1 - и32)(1 + и3) Ли3 Ли3 (1 + и32 -2и3и32)2 Лг Лг
Я, _ _
(1 - и3 )и3 Ли3 Ли3
14 Я41 „ . тт2 2\2 , 1, (33)
(1 + и32 - 2и3и32)2 Лг Лг (1 + и .2)(1 + и.
Я, _-
(1 + и32)(1 + и3) Ли3 Ли3
(1 + и32 - 2и3и32)2 Лг Лг Следовательно, в случае метрики (32) возможно движение системы с
произвольным ускорением Ли /_ (Ли 1/, Ли 2/, 0) параллельным плоскости ХУ при нулевой кривизне пространства. Заметим, что в теории уравнений Навье-Стокса профиль с тремя компонентами скорости, зависящими от одной координаты, не представляет интереса, так как он не удовлетворяет уравнению неразрывности. Однако в случае системы
уравнений (29) такое решение существует и соответствует логарифмическому профилю - рис. 2.
Метрика (18) может быть использована для моделирования течения в пограничном слое. В общей теории относительности стационарные профили скорости в пограничном слое зависят от двух произвольных функций, удовлетворяющих условию нулевой кривизны пространства
еГ[2/у, -(?'-1)/у2] + е£[2¿/хх + (2£"+£'2-я')/х2] _ 0 (34)
Траектории частиц в метрике (18) описываются системой уравнений
Л2х + Л,(ЛА2 - £'/х сх-/ (ЛА2 + ^ ЛуЛх _ 0
Лз2 2 (Лз) 2 (Лз) у Лз Лз
2 . 2 (35)
Л2у - Ае1-£(£г _0
Лз2 2 (Лз) 2 ^ Лз) х Лз Лз
В теории уравнений Навье-Стокса к числу таких решений относится течение Блазиуса. В нестационарном случае используя метрику (13) можно описать течения жидкости при движении плоскости по заданному закону
[31].
Наконец, заметим, что переход к турбулентности приводит к решениям с ненулевой кривизной пространства, как следует из выражения (7). Поэтому доказательство существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса, видимо, не может быть получено в плоских пространствах. Во всяком случае, таких решений, которые бы не противоречили общей теории относительности. Решения уравнений Навье-Стокса с неограниченным ростом производных скорости типа [4, 36-41] следует рассматривать в рамках общей теории относительности [7-11] с учетом влияния градиентов скорости на кривизну пространства-времени.
Библиографический список
1. Ладыженская О.А. Шестая проблема тысячелетия: уравнения Навье-Стокса, существование и гладкость// УМН, -2003., - Т. 58, - №2 (350), - С. 45-78.
2. C. L. Fefferman. Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation. The millennium prize problems/ Clay Math. Inst., Cambridge, MA, 2006, pp. 57-67.
3. Отелбаев М. Существование сильного решения уравнения Навье-Стокса// Математический журнал, Том 13, №4 (50), 2013.
4. TERENC E TAO. FINITE TIME BLOWUP FOR AN AVERAGED THREEDIMENSIONAL NAVIER-STOKES EQUATION// arXiv:1402.0290v2 [math.AP] 6 Feb 2014.
5. Kiselev, S.P., Ruev, G.A., Trunev, A.P., Fomin, V.M. & Schavaliev, M.S. Shook-wave phenomena in two-component and two-phase flows. - Nauka, Novosibirsk, 261 p., 1992 (in Russian).
6. Trunev A. P. Theory of Turbulence and Model of Turbulent Transport in the Atmospheric Surface Layer. - Russian Academy of Sciences, Sochi, 160 p., 1999 (in Russian).
7. Einstein A. Zur allgemeinen Relativitatstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1915, 44, 2, 778—786; Erklarung der Perihelbeivegung der Merkur aus der allgemeinen Relativitdtstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1915, 47, 2, 831—839; Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstneorie. Ann. Phys., 1916, 49, 769—822; Nahemngsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1916, 1, 688—696; Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitdtstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1917, 1, 142—152; Uber Gravitationwellen. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1918, 1, 154—167.
8. Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля. - 7 изд. -М.: Наука. - 1988. - стр. 329-330; L. D. Landau and E. M. Lifshitz. The Classical Theory of Fields. Pergamon, New York, second edition, 1962.
9. В. А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения (2-е изд.). - М.: ГИФМЛ,
1961.
10. Steven Weinberg. Gravitation and Cosmology. - John Wiley & Sons, 1972.
11. A.Z. Petrov. New methods in general relativity. - Moscow: Nauka, 1966.
12. С. А. Подосенов. Пространство, время и классические поля связанных структур. М.: Компания Спутник +, 2000, 445 с.
13. J. A. Shifflett. A modification of Einstein-Schrodinger theory that contains Einstein-Maxwell-Yang-Mills theory// Gen.Rel.Grav.41:1865-1886, 2009.
14. L.N.Krivonosov, V.A.Luk’aynov. The relationship between the Yang-Mills and Einstein and Maxwell Equations// J. SibFU, Math. and Phys, 2(2009), no. 4, 432-448 (in Russian).
15. Fabio Grangeiro Rodrigues, Roldao da Rocha, Waldyr A. Rodrigues Jr. The Maxwell and Navier-Stokes that Follow from Einstein Equation in a Spacetime Containing a Killing Vector Field// AIP Conference Proceedings, v. 1483, 277-295, 2012.
16. Alon E. Faraggi and Marco Matone. The Equivalence Postulate of Quantum Mechanics// arXiv:hep-th/9809127v2, 6 Aug 1999.
17. Трунев А.П. Гравитационные волны и квантовая теория Шредингера// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар:
КубГАУ, 2014. - №02(096). С. 1189 - 1206. - IDA [article ID]: 0961402081. - Режим доступа: http ://ej .kubagro.ru/2014/02/pdf/81 .pdf
18. Трунев А.П. Гравитационные волны и стационарные состояния квантовых и
классических систем// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2014. - №03(097). - IDA [article ID]:
0971400090. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/90.pdf
19. Трунев А.П. Атом Шредингера и Эйнштейна// Политематический сетевой
электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2014. -№03(097). - IDA [article ID]: 0971400094. - Режим доступа:
http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/90.pdf
20. Трунев А.П., Е.В. Луценко. Гравитационные волны и коэффициент эмерджентности классических и квантовых систем// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2014. -№03(097). С. 1343 - 1366. - IDA [article ID]: 0971403092. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/92.pdf
21. C. Eling. Hydrodynamics of spacetime and vacuum viscosity// JHEP, 11, 048, 2008.
22. C. Eling, I. Fouxon, Y. Oz. Gravity and Geometrization of Turbulence: An Intriguing Correspondence// arXiv:1004.2632, 28 Oct, 2010.
23. I. Bredberg, C. Keeler, V. Lysov, A. Strominger. From Navier-Stokes to Einstein// arXiv: 1101.2451, 12 Jan, 2011.
24. C. Eling, Y. Oz. Holographic Vorticity in the Fluid/Gravity Correspondence// arXiv:1308.1651, 28 Oct, 2013.
25. Sayantani Bhattacharyya et all. Conformal Nonlinear Fluid Dynamics from Gravity in Arbitrary Dimensions// arXiv: 0809.4272v2, 3 Dec, 2008.
26. Sayantani Bhattacharyya et all. The Incompressible Non-Relativistic Navier-Stokes Equation from Gravity // arXiv: 0810.1545v3, 20 Jul, 2009.
27. Michael Haack, Amos Yarom. Nonlinear viscous hydrodynamics in various dimensions using AdS/CFT// ArXiv: 08064602v2, 11 Sep, 2011.
28. V.E. Hubeny. The Fluid/Gravity Correspondence: a new perspective on the Membrane Paradigm// arXiv:1011.4948v2, February 22, 2011.
29. R. Baier, P. Romatschke, U.A. Wiedemann. Dissipative Hydrodynamics and Heavy Ion Collisions// arXiv:hep-ph/0602249v2, 17 Mar, 2006.
30. N. Anderson, G.L. Comer. Relativistic fluid dynamics: physics for many different scales// arXix:gr-gc/0605010v2, February 6, 2008.
31. L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Fluid Mechanics. - Pergamon, Oxford, UK, first edition, 1959.
32. Трунев А. П. Теория турбулентности и моделирование турбулентного переноса в атмосфере. // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2010. - №05(059). С. 179 - 243; №06(060). С. 412 - 491.
33. Трунев А.П. Теория турбулентности и модель влияния плотности шероховатости // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного
аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2010. - №04(058). С. З48 - З82.
34. Трунев А. П. Теория и константы пристенной турбулентности II Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2010. - №04(058). С. З8З - З94.
35. Trunev, A. P. Diffuse processed in turbulent boundary layer over rough surface! Air Pollution III, Vol.1. Theory and Simulation, eds. H. Power, N. Moussiopoulos & C.A. Brebbia, Comp. Mech. Publ., Southampton, pp. 69-76, 1995.
36. J. Leray, Sur le mouvement d’un liquide visquex emplissent l’espace, Acta Math. J. 6З, 19З-248, 19З4.
37. JORMA JORMAKKA. SOLUTIONS TO THREE-DIMENSIONAL NAVIER-STOKES EQUATIONS FOR INCOMPRESSIBLE FLUIDSIIarXiv:0809.3553v7 [math.GM], 1 Dec 2012.
38. R. Grundy, R. McLaughlin. Three-dimensional blow-up solutions of the Navier-Stokes equationsIÆMA J. Appl. Math. 6З, no. З, pages 287-З06, 1999.
39. V. A. Galaktionov, J. L. Vazquez. THE PROBLEM OF BLOW-UP IN NONLINEAR PARABOLIC EQUATIONSIIDISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS, Volume 8, Number 2, pp. З99-4ЗЗ, April 2002.
40. V. A. Galaktionov, J. L. Vazquez. Blow-up of a class of solutions with free boundaries for the Navier-Stokes equationsII Adv. Differ. Eq. 4, 291-З21. 1997.
41. Z. Xin. Blow-up of smooth solutions to the incompressible Navier-Stokes equation with compact densityII Comm. Pure Appl. Math. 51, 229-240. 1998.
Bibliograficheskij spisok
1. Ladyzhenskaja O.A. Shestaja problema tysjacheletija: uravnenija Nav'e-Stoksa, sushhestvovanie i gladkost'II UMN, -200З., - T. 58, - №2 (З50), - S. 45-78.
2. C. L. Fefferman. Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation. The millennium prize problemsI Clay Math. Inst., Cambridge, MA, 2006, pp. 57-67.
3. Otelbaev M. Sushhestvovanie sil'nogo reshenija uravnenija Nav'e-StoksaII Matematicheskij zhurnal, Tom 1З, №4 (50), 201З.
4. TERENC E TAO. FINITE TIME BLOWUP FOR AN AVERAGED THREEDIMENSIONAL NAVIER-STOKES EQUATIONII arXiv:1402.0290v2 [math.AP] 6 Feb 2014.
5. Kiselev, S.P., Ruev, G.A., Trunev, A.P., Fomin, V.M. & Schavaliev, M.S. Shook-wave phenomena in two-component and two-phase flows. - Nauka, Novosibirsk, 261 p., 1992 (in Russian).
6. Trunev A. P. Theory of Turbulence and Model of Turbulent Transport in the Atmospheric Surface Layer. - Russian Academy of Sciences, Sochi, 160 p., 1999 (in Russian).
7. Einstein A. Zur allgemeinen Relativitatstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1915, 44, 2, 778—786; Erklarung der Perihelbeivegung der Merkur aus der allgemeinen Relativitdtstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1915, 47, 2, 8З1—8З9; Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstneorie. Ann. Phys., 1916, 49, 769—822; Nahemngsweise Integration der
Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1916, 1, 688—696; Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitdtstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1917, 1, 142—152; Uber Gravitationwellen. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1918, 1, 154—167.
8. Landau L. D, Lifshic E. M. Teoreticheskaja fizika. T.2. Teorija polja. - 7 izd. - M.: Nauka. - 1988. - str. З29-ЗЗ0; L. D. Landau and E. M. Lifshitz. The Classical Theory of Fields. Pergamon, New York, second edition, 1962.
9. V.A. Fok. Teorija prostranstva, vremeni i tjagotenija (2-e izd.). - M.: GIFML, 1961.
10. Steven Weinberg. Gravitation and Cosmology. - John Wiley & Sons, 1972.
11. A.Z. Petrov. New methods in general relativity. - Moscow: Nauka, 1966.
12. S. A. Podosenov. Prostranstvo, vremja i klassicheskie polja svjazannyh struktur. M.: Kompanija Sputnik +, 2000, 445 s.
13. J. A. Shifflett. A modification of Einstein-Schrodinger theory that contains Einstein-Maxwell-Yang-Mills theoryII Gen.Rel.Grav.41:1865-1886, 2009.
14. L.N.Krivonosov, V.A.Luk’aynov. The relationship between the Yang-Mills and Einstein and Maxwell EquationsII J. SibFU, Math. and Phys, 2(2009), no. 4, 4З2-448 (in Russian).
15. Fabio Grangeiro Rodrigues, Roldao da Rocha, Waldyr A. Rodrigues Jr. The Maxwell and Navier-Stokes that Follow from Einstein Equation in a Spacetime Containing a Killing Vector FieldII AIP Conference Proceedings, v. 148З, 277-295, 2012.
16. Alon E. Faraggi and Marco Matone. The Equivalence Postulate of Quantum MechanicsII arXiv:hep-thI9809127v2, 6 Aug 1999.
17. Trunev A.P. Gravitacionnye volny i kvantovaja teorija ShredingeraII Politematicheskij
setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyj zhurnal KubGAU) [Jelektronnyj resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2014. - №02(096).
S. 1189 - 1206. - IDA [article ID]: 0961402081. - Rezhim dostupa:
http:IIej. kubagro.ruI2014102IpdfI81. pdf
18. Trunev A.P. Gravitacionnye volny i stacionarnye sostojanija kvantovyh i klassicheskih
sistemII Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyj zhurnal KubGAU) [Jelektronnyj resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2014. - №0З(097). - IDA [article ID]: 0971400090. - Rezhim dostupa:
http:IIej.kubagro.ruI2014I03IpdfІ90.pdf
19. Trunev A.P. Atom Shredingera i JejnshtejnaII Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyj zhurnal KubGAU) [Jelektronnyj resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2014. - №0З(097). - IDA [article ID]: 0971400094. - Rezhim dostupa: http:IIej.kubagro.ruI2014I03IpdfI90.pdf
20. Trunev A.P., E.V. Lucenko. Gravitacionnye volny i kojefficient jemerdzhentnosti klassicheskih i kvantovyh sistemII Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyj zhurnal KubGAU) [Jelektronnyj resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2014. - №0З(097). S. 1З4З - 1З66. - IDA [article ID]: 097140З092. - Rezhim dostupa: http:IIej.kubagro.ruI2014I03IpdfI92.pdf
21. C. Eling. Hydrodynamics of spacetime and vacuum viscosityII JHEP, 11, 048, 2008.
22. C. Eling, I. Fouxon, Y. Oz. Gravity and Geometrization of Turbulence: An Intriguing CorrespondenceII arXiv:1004.2632, 28 Oct, 2010.
23. I. Bredberg, C. Keeler, V. Lysov, A. Strominger. From Navier-Stokes to EinsteinII arXiv: 1101.2451, 12 Jan, 2011.
24. C. Eling, Y. Oz. Holographic Vorticity in the FluidIGravity CorrespondenceII arXiv:B08.1651, 28 Oct, 201 З.
25. Sayantani Bhattacharyya et all. Conformal Nonlinear Fluid Dynamics from Gravity in Arbitrary DimensionsII arXiv: 0809.4272v2, З Dec, 2008.
26. Sayantani Bhattacharyya et all. The Incompressible Non-Relativistic Navier-Stokes Equation from Gravity II arXiv: 0810.1545v3, 20 Jul, 2009.
27. Michael Haack, Amos Yarom. Nonlinear viscous hydrodynamics in various dimensions using AdSICFTII ArXiv: 08064602v2, 11 Sep, 2011.
28. V.E. Hubeny. The FluidIGravity Correspondence: a new perspective on the Membrane ParadigmII arXiv:1011.4948v2, February 22, 2011.
29. R. Baier, P. Romatschke, U.A. Wiedemann. Dissipative Hydrodynamics and Heavy Ion CollisionsII arXiv:hep-phI0602249v2, 17 Mar, 2006.
30. N. Anderson, G.L. Comer. Relativistic fluid dynamics: physics for many different scalesII arXix:gr-gcI0605010v2, February 6, 2008.
31. L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Fluid Mechanics. - Pergamon, Oxford, UK, first edition, 1959.
32. Trunev A.P. Teorija turbulentnosti i modelirovanie turbulentnogo perenosa v atmosfere. II Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyj zhurnal KubGAU) [Jelektronnyj resurs]. -Krasnodar: KubGAU, 2010. - №05(059). S. 179 - 24З; №06(060). S. 412 - 491.
33. Trunev A.P. Teorija turbulentnosti i model' vlijanija plotnosti sherohovatosti II Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyj zhurnal KubGAU) [Jelektronnyj resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2010. - №04(058). S. З48 - З82.
34. Trunev A.P. Teorija i konstanty pristennoj turbulentnosti II Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyj zhurnal KubGAU) [Jelektronnyj resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2010. - №04(058). S. З8З -З94.
35. Trunev, A. P. Diffuse processed in turbulent boundary layer over rough surfaceI Air Pollution III, Vol.1. Theory and Simulation, eds. H. Power, N. Moussiopoulos & C.A. Brebbia, Comp. Mech. Publ., Southampton, pp. 69-76, 1995.
36. J. Leray, Sur le mouvement d’un liquide visquex emplissent l’espace, Acta Math. J. 6З, 19З-248, 19З4.
37. JORMA JORMAKKA. SOLUTIONS TO THREE-DIMENSIONAL NAVIER-STOKES EQUATIONS FOR INCOMPRESSIBLE FLUIDSIIarXiv:0809.3553v7 [math.GM], 1 Dec 2012.
38. R. Grundy, R. McLaughlin. Three-dimensional blow-up solutions of the Navier-Stokes equationsIIIMA J. Appl. Math. 6З, no. З, pages 287-З06, 1999.
39. V. A. Galaktionov, J. L. Vazquez. THE PROBLEM OF BLOW-UP IN NONLINEAR PARABOLIC EQUATIONSIIDISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS, Volume 8, Number 2, pp. З99-4ЗЗ, April 2002.
40. V. A. Galaktionov, J. L. Vazquez. Blow-up of a class of solutions with free boundaries for the Navier-Stokes equationsII Adv. Differ. Eq. 4, 291-З21. 1997.
41. Z. Xin. Blow-up of smooth solutions to the incompressible Navier-Stokes equation with compact densityII Comm. Pure Appl. Math. 51, 229-240. 1998.
