CC BY
29
УДК 517.982.274+517.983.22 й01 10.12737/4536
О представлении операторов обобщённого дифференцирования Гельфонда — Леонтьева в односвязной области*
А. В. Братищев
Установлен ряд новых свойств мультипликатора. Описан класс односвязных областей, мультипликатор которых есть связное множество. Этот класс характеризуется наличием спиралей у мультипликатора. Пусть далее оператор обобщённого дифференцирования Гельфонда — Леонтьева непрерывен в пространстве функций, аналитических в односвязной области G комплексной плоскости. Известно, что он представим в виде оператора обобщённой свёртки. Её ядро порождается многозначной функцией одного переменного. Назовём мультипликатором G множество М(в) со свойством М(в)в^в. Пусть мультипликатор области связный и не совпадает с единицей. В работе доказано, что при данных условиях рассматриваемые функции будут однозначными. Если мультипликатор области несвязный, то всегда найдётся оператор обобщённого дифференцирования Гельфонда — Леонтьева, порождающая функция которого будет многозначной.
Ключевые слова: мультипликатор области, обобщённая производная Гельфонда — Леонтьева, ядро оператора.
Введение. Рассматриваемые в статье задачи входят в направление исследований, представленное работами [1-7]. Пусть в— односвязная область в комплексной плоскости С, и последовательность ограниченных расширяющихся областей {в^'Гв с кусочно-гладкой границей исчерпывает в.
Н(в) — пространство Фреше аналитических в в функций с топологией равномерной сходимости
на компактах. £(в) — пространство непрерывных в Н(в) линейных операторов. Используются
обозначения предыдущей статьи [8], связанные с интегральным в форме Кете представлением этих операторов [3].
Под оператором обобщённого дифференцирования Гельфонда — Леонтьева (ООД) понимаем линейный непрерывный в Н(в) оператор, действующий на последовательности степеней по
да
правилу Dzn := dn-1zn-1, п е М, D1:= 0 [6]. При этом функция d (г) := называется порож-
п=0
дающей функцией ООД. Пространство операторов Гельфонда — Леонтьева обозначим £в1 (в). В диссертации [7] получена такая характеризация и представление ООД.
ЛЕММА 1. Определённое на последовательности степеней {г11} отображение
D:Dzn := dn-1zn-1, пе М, D1:= 0, расширяется до линейного непрерывного в Н(в) тогда и
да
только тогда, когда ряд d(г):= сходится в окрестности начала координат, и функциональ-
п=0
ный элемент d ^г), Щ > -, - г0| < £, аналитически продолжается в каждую односвязную область п е М. Имеет место интегральное представление
* Работа выполнена в рамках инициативной НИР.
Назовём мультипликатором множества G2 с С по множеству G1 с С множество М(в1,в2) :={z е С :z в сб2}. Для мультипликатора справедливо равенство
G2 • G171) = М (вив2) [9]. В частности, мультипликатором множества G назовём множество М(в) := ^ е С: z в сб}. Очевидно, 1 еМ(б).
ТЕОРЕМА. Пусть весть односвязная область. В случае несвязного мультипликатора М(в) всегда найдётся ООД, для которого функция d (t) многозначная, а в случае связного М(в) ф {1} функция d (^ локально аналитическая и однозначная на вв'"1.
Основная часть. В следующей лемме доказаны необходимые свойства мультипликатора области и получено аналитическое описание класса односвязных областей, мультипликатор которых содержит спираль.
ЛЕММА 2. Пусть в— односвязная область в С , тогда:
1) множество М(в) и {0} и {<»} замкнуто;
2) если единичная окружность 5(0,1) с М(в), то в = D(0,R) либо в = С. Обратно, если в = D(0,R) или в = С, то соответственно М (в) = О (0,1) и М (в) = С ;
3) пусть мультипликатор М(в) является связным, тогда:
а) пусть 0еМ(в). Зе>0 0(0,е)сМ(в) о вограничена. Если вне ограничена и фС, то 0ев и М (в) с О (0,1);
б) в случае 0 г в существует спираль с началом в точке 1, наматывающаяся на точку 0 или на
точку ю S :=jz = exp |леф°' j :r > °jc M(G), ф0 ф nk + и существует полунепрерывная
сверху на (-да, +да) функция k(x) со связной областью определения {x :k (x)<o>}, которая определяет область G по формуле G = {z = exp {геф/}: k (r sin (ф° - ф)) < r cos (ф° - ф)}; в) в случае 0 е G существует наматывающаяся на точку 0 спираль S с M (G), П/~. < ф° < , и
ф° /2 /2
(-2псоБф0) — периодическая полунепрерывная сверху на (-да, +да) функция k1 (x), которая задаёт границу области G по формуле
rG = |exp jk. (x) cos ф° + k (x) sinф0--x— /I: x е(-да, +да)1;
I 1 1 W ° I 1 W ° cosФo J J V 'j
4) дополнение G' в случае |ф° - п| < ^2 представляет собой пучок спиралей с вершиной в бесконечности, а в случае |ф°| < ^2 — пучок с вершиной в нуле.
Доказательство. Большая часть утверждений 1) — 3а) доказана в [7]. Прочие доказываются аналогичным образом.
Докажем 3б). Так как континуум G содержит точки 0, ю, то на G можно выделить ветвь функции w = lnz, являющуюся однолистной и открытой. Область R := lnG односвязная. При этом мультипликатор M(G) преобразуется в вычет s(R) этой области R: z G с G » lnz + R с R . s(R) = lnM(G). По условию точка 0 = In 1 eR является предельной для мультипликатора s(R).
По лемме [9] существует луч l := |леф°' : г > 0| с s (R). Тогда спираль
s := |z = exp |геф°' j: г > 0jc M(G).
Если бы ф° = пk + п^, то s :={z = exp{+г/}: г > 0} = S (0,1) с M (G), и по пункту 3)
G = D(0,R), что невозможно по условию. Согласно лемме [8] Л задаётся полунепрерывной сверху
на (-да, +да) функцией k(x) со связной областью определения {x :k(x)<o>} по формуле
R = {w = геф/: k (г sin (ф0 - ф)) < г cos (ф0 - ф)}. Обратное конформное отображение z = ew даёт
такое представление исходной области G:
G = {z = exp{w} = exp {геф/}: k (г sin (ф0 - ф)) < г cos (ф0 - ф)}.
3в) Продолжим lnz из какой-либо точки области G | {0}. Получим аналитическую функцию w = Lnz на римановой поверхности Le с логарифмической точкой ветвления z = 0 . w = Lnz однолистно и открыто отображает Le на 2п/ -периодическую односвязную область R := Ln (G \ {0}), содержащую некоторую левую полуплоскость Im w < а. Покажем, что множество s (R) := Ln (M (G) \ {0}) совпадает с вычетом области R. Выберем w0 := lnz0 + 2пк/, z0 е M (G) \ {0}
и w1 := lnz1 + 2п//, z1 eG \ {0}. Так как z0 • z1 eG, то по определению w0 + w1 = ln z0 • z1 + 2п (k + /) / e R . То есть s (Л) состоит из точек вычета области. Остаётся показать, что s(R) содержит все точки вычета.
Пусть w0 ф 0 и Vw := lnz + 2п// е R w0 + w е R . Положим z0 := ew0 ^ z0z е eR = G \ {0}. Так как z0 • 0 е G, то z0 е M(G) ^ w0 = lnz0 е s(R). Так как 1 есть предельная точка M(G), то 0 — предельная точка s(R) ^ Зф0 е(П/2z3/^) с M (G) ^ существует полунепрерывная сверху на (-да, +да) функция k(x) со связной областью определения {x :k (х)<да}, которая является границей области R := R • exp {(^2 - ф0) /}: R ={z = x + y/: k (x) < y}, и определяет R по формуле R = {w = геф/ :k (г sin (ф0 - ф))< г cos (ф0 - ф)}. Как и в предыдущем пункте тогда G \ {0} = {z = exp {w} = exp {геф/}: k(г sin (ф0 - ф)) < г cos (ф0 - ф)}. |x = k (t)
Пусть | , t е (-да, +да) уравнение 2п/ -периодической границы области R. Из того,
y = t
что точки k0 (t) +1/, k0 (t) + (t + 2п) / е R следует, что их образы x + k (x) / := (k (t) + ti) exp {(ф0 - ^) /}, x1 + k(x,) / := (k (t) + (t + 2п) /)exp {^ - ^) / } е R.
Расписывая эти равенства, получаем системы:
|x = k0 (t) sin ф0 -1 cos ф0 |x1 = k0 (t + 2п) sinф0 - (t + 2п) cos ф0 = x - 2п cos ф0 |k (x) = k0 (t) cos ф0 +1 s^0' |k (x1) = k0 (t + 2п) cos ф0 + (t + 2п) sin ф0 = k (x) + 2п sin ф0
То есть функция k(x) удовлетворяет функциональному уравнению k(x -2ncosp0) = k(x) + 2nsinp0. Обозначим k1 (x) := k(x) + tgp0 • x полунепрерывную сверху на (-да, +да) функцию. Так как k1 (x - 2ncosp0 ) = k(x), то она (-2ncosp0) -периодическая.
ko t) = k (x) cos Ф0 + x sin Ф0 Решение первой системы j дает уравнение границы области:
t = k (x)sin ф0 - x ^ф0
rG = {exp {k0 (t) + ti): t e (-да, +да)} = = {exp {(k (x) cosф0 + x sinф0) + (k (x) sinф0 - x cosф0 )i): x e (-да, +да)) =
= |exp jk (x) ^ф0 + k (x) sinф0--x— i l: x e (-да, +даН.
I 1 1 W 0 l U/ 0 cos ф0 J J V 'j
4) Комплексную плоскость, в которой находятся M(G) ,G, обозначим cz; комплексную плоскость, в которой находятся R := lnG (LnG), s(R), обозначим cw ; наконец, комплексную плоскость, в которой находятся R := R • exp{(^ - ф0 )i) обозначим с„. Последняя задается полунепрерывной сверху функцией k(x), а ее мультипликатор содержит луч /п/2. Vx e Cv вертикальная
прямая Re v = x распадается на луч x + k (x)i + (/п/2 \ {0)) с R и не пересекающуюся с R остав-
ф0 ф0
шуюся часть. Эта прямая поворотом на угол ф0 - ^2, преобразуется в прямую, которая состоит из
луча (x + k(x)i)exp{(ф0 - ^)i) +\ {0)j с R = lnG и оставшейся части, не пересекающейся с
R = lnG. В свою очередь последняя прямая с помощью 2ni -периодического отображения z = exp{w) преобразует в спирали z = r(1+t9w)exp{xi/cosф0), проходящие через точки exp{xi/cosф0) единичной окружности и наматывающиеся на точки 0 и и. При этом луч
/п2 с s I R I преобразуется в спираль s = {exp{t cos ф0 +1 sin ф0/': t > 0) = {r1+t9W) с M (G), ко-
. фо У Фо
торая наматывается на 0, если |ф0 - п| < , и на ю, если |ф0| < ^ . Поэтому область G в первом случае представляет собой пучок спиралей с вершиной в нуле, а во втором — пучок с вершиной на бесконечности. Дополнение б' наоборот, в случае |ф0 - п| < ^ есть пучок спиралей с вершиной
на бесконечности, а в случае |ф0| < ^ — пучок с вершиной в нуле. Отсюда, в частности, следует
связность любого пересечения zíG'1 Пz2G'1, z1,z2 еб. Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Выберем по точке в двух компонентах связности вычета 5 (б):
^ е К1, е К2, и образуем линейный оператор
zfy(vhyMvrfv + y-(0) ,n l У = X f y ф < z
zZ, v l Z1 J 2п/ rG„+, L
z¡Z2 " l J ' rG„+i 1 l^ 2 J
Zi J 2ni J wt2 l z -tz:
dt
IZ I zZi 1 I 1 , л
[Ll](z) = 0, [Lv](z) = Inm, [Lvn1 ](z)= f vn-2dv = -П-í-^- *
l Z1 J zZ2 n 1 l Z1 Z2 J
Z1J [ JV/ z Z2 n -1 ^ zn-1 Z
zn-1
Его порождающая функция d (z) := In z—-1 локально аналитическая на GG'1 = (M (G))', но мно-
V г - ^,
гозначная, так как при обходе переменной годной из компонент К значение d(z) изменится на слагаемое 2п/.
Пусть теперь мультипликатор М(в) связный и *{1}. Согласно лемме 1 функция d(Z) аналитическая в окрестности нуля и аналитически продолжается в каждую область г • в^1, г е Gn, по
формуле d (£) = к|. Остаётся доказать однозначность этого продолжения на GG'-l =(М (G))'-1. Пусть ^о еGG'-1,Z0 * 0, и для ев', еG ^ = — =— ■
d (Z) = -2r kl —,z1 I на z1 -G'N\ и d (Z) = -f kl —,z2 I на z2 G^1. По теореме единственности то-
fk (fz) на Zi •GN-\ и d(z) = Z
22
z, .[ z 1 z22 . f z,
гда d (£ ) = ^т к ) = ^ к J на связной компоненте открытого множества
г1 ^ п г2 •в;/"1.
В силу пункта 4 леммы 2 множество г1в'1 П г2в'- связное, и потому находится в этой
2 ( \ -,2
связной компоненте. В частности, в точке Z0 d (Z0) = k yL,z1
Z2 l 1 £
So V S о У Si
= 4- k
z
Z ,z2
Vs о У
или
1 k(t1z ) = 1 k(t1z). L1 L1
Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ. В частном случае M(G) = (0,1) теорема была доказана в [6], а в случае,
когда G есть звёздная относительно начала координат область — в работе [10]. Заключение. Получено геометрическое описание односвязных областей G, имеющих связный мультипликатор. Этот класс областей характеризуется тем, что ядро любого ООД Гельфонда — Леонтьева из £GL (G) порождается однозначной аналитической функцией.
Библиографический список
1. Гельфонд, А. О. Об одном обобщении ряда Фурье / А. О. Гельфонд, А. Ф. Леонтьев // Математический сборник. — 1951. — Т. 29, № 3. — С. 477-500.
2. Bieberbach, L. Analytische Fortsetzung / L. Bieberbach. — Berlin : Gottingen : Heidelberg : Springer-Verlag, 1955.
3. Köthe, G. Dualitat in der Funktionentheorie / G. Köthe // J. reine angew. math. — 1953. — Bd. 191. — S. 30-49.
4. Коробейник, Ю. Ф. Об операторах обобщённого дифференцирования, применимых к любой аналитической функции / Ю. Ф. Коробейник // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1964. — Т. 28, № 4. — С. 833-854.
5. Леонтьев, А. Ф. Обобщённые ряды экспонент / А. Ф. Леонтьев. — Москва : Наука, 1981. —
320 с.
6. Братищев, А. В. О представлении оператора обобщённого дифференцирования в одном классе односвязных областей / А. В. Братищев, А. В. Моржаков // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2005. — Т. 5, № 4. — С. 481-490.
7. Моржаков, А. В. Исследование операторов и операторных уравнений, порождённых обобщённым дифференцированием : автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / А. В. Моржаков. — Ростов-на-Дону, 2008. — 15 с.
8. Братищев, А. В. О представлении линейных операторов, коммутирующих с дифференцированием, в односвязной области / А. В. Братищев // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2014. — Т. 14, № 1. — С. 15-21.
9. Братищев, А. В. Описание обобщённых преобразований Бореля, сохраняющих теорему Пойя / А. В. Братищев // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2001. — Т. 1, № 1. — С. 79-89.
10. Моржаков, А. В. О представлении оператора обобщённого дифференцирования в одном классе односвязных областей / А. В. Моржаков // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2006. — Т. 6, № 1 (28). — С. 10-16.
Материал поступил в редакцию 10.06.2014.
References
1. Gelfond, А. О., Leontiev, A. F. Ob odnom obobshchenii ryada Furye. [On a generalization of the Fourier series.] Matematicheskiy sbornik, 1951, vol. 29, no. 3, pp. 477-500 (in Russian).
2. Bieberbach, L. Analytische Fortsetzung. Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer-Verlag, 1955.
3. Köthe, G. Dualität in der Funktionentheorie. J. reine angew. math., 1953, Bd. 191, S. 30-49.
4. Korobeynik, Y. F. Ob operatorakh obobshchennogo differentsirovaniya, primenimykh k lyuboy analiticheskoy funktsii. [On generalized differentiation operators applicable to any analytic function.] Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya. 1964, vol. 28, no. 4, pp. 833-854 (in Russian).
5. Leontiev, A. F. Obobshchennyye ryady eksponent. [Generalized exponential series.] Moscow: Nauka, 1981, 320 p. (in Russian).
6. Bratishchev, А. V., Morzhakov, A. V. O predstavlenii operatora obobshchennogo differentsirovaniya v odnom klasse odnosvyaznykh oblastey. [On presentation of generalized differentiation operator in one class of simply connected regions.] Vestnik of DSTU, 2005, vol. 5, no. 4, pp. 481-490 (in Russian).
7. Morzhakov, A. V. Issledovaniye operatorov i operatornykh uravneniy, porozhdennykh obob-shchennym differentsirovaniyem: avtoref. dis. kand. fiz.-mat. nauk. [Investigation of operators and operator equations generated by generalized differentiation: Cand. phys.-math. sci. diss., author's abstract.] Rostov-on-Don, 2008, 15 p. (in Russian).
8. Bratishchev, А. V. O predstavlenii lineynykh operatorov, kommutiruyushchikh s differentsirovaniyem, v odnosvyaznoy oblasti. [On presentation of linear operators commuting with differentiation in simply-connected domain.] Vestnik of DSTU, 2014, vol. 14, no. 1, pp. 15-21 (in Russian).
9. Bratishchev, А. V. Opisaniye obobshchennykh preobrazovaniy Borelya, sokhranyayushchikh te-oremu Poyya. [Description of the generalized Borel transformations preserving Polya's theorem.] Vestnik of DSTU, 2001, vol. 1, no. 1, pp. 79-89 (in Russian).
10. Morzhakov, A. V. O predstavlenii operatora obobshchennogo differentsirovaniya v odnom klasse odnosvyaznykh oblastey. [On presentation of generalized differentiation operators in one class of simply connected regions.] Vestnik of DSTU, 2006, vol. 6, no. 1 (28), pp. 10-16 (in Russian).
ON PRESENTATION OF GELFOND—LEONTIEV OPERATORS OF GENERALIZED DIFFERENTIATION IN SIMPLY CONNECTED REGION*
А. V. Bratishchev
Some new properties of the multiplier are determined. A class of simply connected regions whose multiplier is a connected set is described. This class is characterized by the availability of spirals in a multiplier. Let the Gelfond— Leontiev generalized differentiation operator be continuous in the space of the analytic functions in simply connected region G of a complex plane. It is known to be presented as an operator ofgeneral complex convolution. The convolution kernel is generated by the many-valued function of one variable. The setM(G) with the propertyM(G)-GQG is called multiplier G. Let the region multiplier be connected, and it does not align with identity. It is proved in the paper that the functions under consideration will be univalent under these conditions. If multiplier G is unconnected, then there is always a generalized differentiation Gelfont —Leontiev operator with a many-valued generating function. Keywords: multiplier of a region generalized Gelfond—Leontiev derivative, operator kernel.
* The research is done within the frame of the independent R&D.
