CC BY
177
УДК 681.518.22
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ НЕПРЕРЫВНОГО ОПТИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ В ЦИФРОВОМ КОМПЬЮТЕРЕ
В.М. БУТОРИН В.В. ЕФРЕМОВ И.Н. ЕФРЕМОВА
Юго-Западный
государственный университет, г. Курск
e-mail:
[email protected] [email protected]
В статье описаны разработанные способы для представления непрерывных изображений в цифровом компьютере, их основные функциональные возможности для обработки изображений.
Ключевые слова: оптический сигнал, дискретизац интерполяция, квантование по уровню, группированная борка.
Введение.
Оптическое изображение порождается распределением светимости сцены, выражаемым непрерывной функцией I (х , X, ^ ), где X — вектор пространственных координат, X — длина волны, t — время. Эта функция служит информативной характеристикой сцены и является основой для получения практических выводов по результатам анализа изображения. Оптический сигнал с помощью оптической системы формирует на чувствительной поверхности датчика изображения распределение освещенности, соответствующее распределению светимости объектов сцены. В системах технического зрения для преобразования оптического сигнала в электрический в качестве датчиков оптической информации используются многоэлементные фотоприемники.
Процесс преобразования с помощью многоэлементного фотоприемника связан с эффектами пространственной дискретизации, которые могут привести к искажению информации за счет двух факторов: частоты дискретизации, определяемой шагом фоточувствительных элементов и конечностью апертуры фоточувствительных элементов. Возможны два взаимодополняющих пути снижения искажений: за счет совершенствования характеристик фотоприемника и за счет адекватной обработки цифрового изображения с учетом характеристик фотоприемника. Совершенствование характеристик фотоприемника подразумевает увеличение частоты дискретизации за счет увеличения количества фоточувствительных элементов на изображение сцены и уменьшение размеров фоточувствительного элемента. Этот путь ограничен тем, что при увеличении количества элементов существенно растет сложность и стоимость фотоприемника, а при уменьшении размера фоточувствительного элемента ухудшается ряд важных параметров фотоприемника, в первую очередь — чувствительность. Обработка цифрового изображения с учетом характеристик фотоприемника позволяет снизить влияние искажений, в первую очередь, обусловленных конечностью апертуры фоточувствительных элементов. Ценность применения обработки цифрового изображения возрастает, когда дальнейшее улучшение характеристик фотоприемника в системе технического зрения затруднено или невозможно.
Элемент фотоприемника воспринимает информацию об интегральной интенсивности излучения по площади своей поверхности. Интенсивность является непрерывной величиной и выражается вещественным числом. Регистрация и обработка сигнала цифровым компьютером предполагает представление непрерывной величины сигнала в квантованном виде с использованием конечного количества цифровых разрядов. Квантованный сигнал получают из непрерывного с помощью аналого-цифрового преобразования с помощью соответствующего устройства. В результате величина оказывается искаженной за счет округления до ближайшего уровня квантования и возможного цензурирования динамическим диапазоном аналого-цифрового преобразователя. Уменьшить ошибки округления можно за счет увеличения количества разрядов аналого-цифрового преобразователя, что приведет к существенному увеличению сложности и стоимости аппаратуры. Кроме того, при увеличении количества разрядов аналого-цифрового преобразователя существенно возрастает время преобразования.
Непрерывный оптический сигнал передается посредством фотонов, имеющих дискретную природу. Количество фотонов, зарегистрированных элементом фотоприемника в процессе восприятия изображения в виде фотогенерированных электронов, является пуассоновской случайной
величиной с параметром, соответствующим интегральной интенсивности освещения фотоэлемента. Реальное количество сигнальных электронов складывается из фотогенерированных, несущих полезный информационный сигнал, и шумовых, которые добавляются в процессе преобразования датчиком и электронным трактом. Величина и характер шума зависят от применяемых компонентов и схемных решений. Флуктуация значений случайной величины порождает временной шум — при постоянной освещенности и неизменных параметрах регистрации сигнал с одного и того же элемента в разные моменты времени будет принимать разные значения.
Если есть возможность обеспечить такие условия формирования изображения, что объекты сцены можно считать неподвижными в течение времени формирования серии кадров, искажения оценки интенсивности освещенности элементов, включая ошибки округления, можно существенно снизить за счет статистической обработки накопленной выборки значений сигнала. В процессе статистической обработки необходимо учитывать наличие в сигнале случайных помех и эффект группировки и цензурирования значений параметра сигнала в результате квантования.
В результате статистической обработки может быть получена оценка интенсивности воспринятого фоточувствительным элементом фотоприемника оптического сигнала высокой степени точности и достоверности в формате вещественного числа. Восстановление непрерывного сигнала по дискретным отсчётам происходит в процессе интерполяции.
Статистическая обработка результатов квантования для получения оценки интенсивности оптического сигнала.
Процесс аналого-цифрового преобразования для последовательности случайных величин входных напряжений в серии измерений можно представить как операцию группировки и цензурирования случайной величины:
Г 0, их (у, к) < щ АПф х (/, у, к )] = ! п, ип_х < ивх (1, ], к) < ип , (1)
( 2™ - 1 и2т _ < и,х (1, ], к)
где их (/, у, к) — напряжение на входе аналого-цифрового преобразователя, / — номер строки элемента матричного фотоприемника, у — номер элемента в строке матричного фотоприемника, к — номер кадра, т — количество двоичных разрядов аналого-цифрового преобразователя, ии — величина п -го порога. Группировка происходит неслучайно и не зависит от параметров сигнала. Оценить величину информационного сигнала можно, оценивая по полученной группированной цензурированной выборке математическое ожидание сигнала. Свойства группированной цензури-рованной выборки отличаются от негруппированной. Группировка приводит к потерям информации. С другой стороны, известно положительное влияние группировки на робастность оценок [3]. Оценка, полученная методом моментов, в данном случае не является ни состоятельной, ни несмещенной, ни эффективной. Наилучшим, с точки зрения эффективности оценки, является метод максимального правдоподобия. Оценка максимального правдоподобия для параметра пуассонов-ского закона распределения является регулярно эффективной [1], следовательно, дисперсия оценки максимального правдоподобия вычисляется по формуле (2):
О а = — , (2)
" N1 а
где а — параметр распределения Пуассона, N — количество наблюдений, /а — количество информации Фишера о параметре а в одном наблюдении. Количество информации Фишера для параметра распределения Пуассона при оценке, определенной по группированным и цензурирован-ным данным, определяется по формуле (3):
41п(! V ЕГРп(а)/"^
I I ))
J ^ п=0
(3)
а к е "а
/ \ ^ и е „ где р„ (а) = > - — вероятность попадания пуассоновской случайной величины с пара-
ип _! <к <ип к!
метром а в п -й интервал группировки.
Количество информации Фишера зависит от положения граничных точек и^ и 2, ..., и^
и
решением задачи нелинейного программирования с целевой функцией тах 1а можно дои <и <...<и
биться оптимального размещения интервалов группировки. Оптимальный выбор интервалов группировки значений выборки рассматривается в [3]. С точки зрения технической реализации это значит, что электронный тракт сопряжения датчика и аналого-цифрового преобразователя должен обладать нелинейностью усиления заданного вида, а цифровой код дополнительно обрабатываться для возврата к линейной шкале. С учетом того, что количество носителей информационного сигнала распределено по закону Пуассона, можно предположить, что предыскажения типа гамма коррекции, не являясь оптимальными, позволят выровнять в пределах динамического диапазона и в среднем снизить относительную погрешность.
Для предварительной оценки эффективности применения метода максимального правдоподобия и введения предыскажений по сравнению с методом моментов и отсутствию предыскажений выполнено статистическое моделирование. Исследовалась серия из 20 выборок, каждая из которых включала по 20 распределенных по закону Пуассона случайных значений на каждом из 256 уровней интенсивности, которые определялись разбиением динамического диапазона от 0 до 100000 носителей сигнала на равные промежутки. Случайные значения выборок квантовались на 256 уровней по линейной шкале и с введением предварительной гамма коррекции с параметром, равным 4. В качестве наблюдаемого критерия эффективности рассматривалась относительная погрешность оценки интенсивности информационного сигнала по данным выборки. Результаты сведены в табл. 1.
Таблица1
Погрешности оценок интенсивности информационного сигнала
Наблюденная относительная погрешность
Минимальная. Максимальная Средняя Доверительный интервал 90%
Метод моментов 0,0000028 0,4100420 0,0088673 ±0,0031263
Метод максимального правдоподобия 0,0000005 0,3743910 0,0057482 ±0,0023847
Метод моментов, предыскажения 0,0000186 0,0049501 0,0011585 ±0,0000591
Метод максимального правдоподобия, предыскажения 0,0000009 0,0044665 0,0005074 ±0,0000459
По результатам статистического моделирования можно сказать, что применение метода максимального правдоподобия при равномерном распределении яркости изображения в среднем позволяет снизить относительную погрешность ориентировочно на 35%, а в сочетании с предыскажениями — на порядок. Максимальная относительная погрешность при использовании метода максимального правдоподобия снижается ориентировочно на 10%, а в сочетании с предыскажениями — на два порядка. При этом предыскажения приводят к тому, что на некоторых уровнях яркости относительная погрешность возрастает.
Проблемой использования оценок максимального правдоподобия для оценки параметров сигнала является необходимость численного решения задачи минимизации для поиска максимума функции правдоподобия. Одним из методов ее решения может являться использование одно-шаговых оценок, являющихся результатом первой итерации поиска минимума. Известен ряд работ, посвященных этой проблеме [4, 5].
Интерполяция дискретизированного изображения с учетом апертуры эл.е-
.
В системах технического зрения для автоматизации микробиологических исследований в качестве датчиков оптической информации используются многоэлементные матричные фотоприемники. Изображение сцены, спроецированное на поверхность фотоприемника, описывается функцией распределения освещенности Ь(х, у ). Процесс преобразования связан с эффектами пространственной дискретизации, которые могут привести к искажению информации за счет частоты дискретизации, определяемой шагом фоточувствительных элементов и конечности апертуры фоточувствительных элементов. Для частот, не превышающих частоту Найквиста, эффект дискретизации сводится к влиянию конечности апертуры [6]. Сигнал на выходе матрицы размером N х X N у представлен значениями Ь(г, у ) , которые являются интегралами функции распределения
освещенности по апертуре у ) элемента. Процесс дискретизации можно описать как суперпозицию функции распределения освещенности и апертурной функции Р(х, у,\, у) фотоприемника:
L(í, j) = } Jl(x,y)p(x,y,i, j„dxdy . (4)
Если фоточувствительные элементы имеют вид одинаковых прямоугольных площадок, выражение (4) может быть представлено в виде свертки с прямоугольной функцией, что соответствует перемножению спектра изображения на быстрозатухающий спектр апертурной функции вида sin (ю)|ю . Таким образом, апертура действует как фильтр низких частот. Из этого следует, что выборка изображения с помощью детекторов конечной апертуры эквивалентна выборке отфильтрованного изображения с использованием набора S -функций, при этом апертурная функция детектора представляет собой импульсный отклик фильтра [6]. Вследствие фильтрации сигнал на частоте Найквиста разрешаться не будет, а допустимое падение частотно-контрастной характеристики будет наблюдаться на частотах, существенно меньших частоты Найквиста. При заданной ра з-решающей способности влияние конечности апертуры приводит к увеличению количества чувствительных элементов матричного фотоприемника в 2—2,5 раза по сравнению с необходимым количеством по критерию Найквиста.
Восстановление непрерывного сигнала по дискретным отсчетам происходит в процессе интерполяции. Одним из наиболее эффективных методов интерполяции является приближение атомарными функциями [2, 7]. Эффективность обусловлена с одной стороны относительной легкостью обращения с ними (явные формулы для значений функций, моментов, производных, Фурье-спектра), а с другой — хорошими, а иногда и наилучшими аппроксимациоными свойствами. Эти свойства связаны с возможностью представления алгебраических многочленов в виде линейных комбинаций сдвигов атомарных функций.
В качестве базисных функций используются атомарные функции fupn (x) . Это бесконечно-
дифференцируемые симметричные функции с длиной носителя n + 2 , из суммы сдвигов которых можно составить полином порядка n . Интерполяция двумерного сигнала, представленного Nх X N у значениями равноотстоящих отсчетов, на сумму сдвигов атомарных функций происходит
следующим образом [2]:
N-2 2Nr2 n - f . Nx - 11 , f . N y - 1 Л
f y ) = X X Di, j fuPN„-ll x - i + \fUPNy-i| y - j + | . (5)
í=0 j =0 ^ 2 ) ^ 2 )
Функция (5) на рабочем участке совпадает с интерполяцией глобальным полиномом [2]. Для нахождения коэффициентов D ; необходимо решить систему линейных уравнений вида (5). Исходные данные состоят из значений N x X N y отсчетов. Дополнительные уравнения можно получить, используя априорную информацию о свойствах функции.
Производная порядка (m) по переменной x функции (5) вычисляется по формуле
f , Ny - 1YN-"2-m
P(m,0) (x,y ) = Z fuPN-1 у - j + \ Z Dmki}fup_
j =0
с
)
k =0
, Nx - 1 - m Л x - k + -\ , (6)
где
m
Dkmj = XC (- 1) í Dk-i, j . (7)
í=0
Аналогично вычисляются производные по переменной у .
Интеграл функции (5) по двумерной области может быть вычислен как сумма интегралов базисных функций.
2N х -2 2Му -2 / Д/" ( N - 11
Я / (х, у = Е Е °г,] Я /иРмх -1 I х - 1 + _ I/ирм -1 у - ] + —_ \dxdy . (8)
5 Í =0 j=0 S l. ) У l 2 )
2
Учитывая, что (5) представляет собой свертку, оценить спектр можно по формуле (9)
у
F{f (x,У )}= F{D} F ^ fup | x + |fup ly + y ^
2 уир ,у -г- | , (9)
М - 1му -/ М - 11 1 2 |
где Р — двумерное преобразование Фурье.
Функция яркости на выходе датчика представлена интегралами по фоточувствительным площадкам (4). В связи с этим предлагается для получения коэффициентов интерполяционного
полинома использовать систему уравнений вида (8), где в левой части использовать (4), а в правой — оценку этого интеграла.
Чтобы приравнять к нулю производные, система дополняется уравнениями вида (7), где правая часть приравнивается к нулю. Моделирование показало, что при использовании системы уравнений вида (8) наилучшие результаты получаются, если, с помощью уравнений вида (9), учтены условия равенства нулю гармоник спектра, превышающих предельную частоту. Над полученным изображением можно производить описанные выше операции. Например, используя (6) можно выделить градиенты.
Интерполяция атомарными функциями проводилась как описанным ранее в [2] способом, с использованием системы уравнений (5) и (7), так и предложенным способом, с использованием системы уравнений (8), (7) и (9). Для сравнения способов обработки в качестве критериев использованы значения частотно-контрастной характеристики. Оценки значений критериев выполнены с помощью программы оценки качества изображений —Imatest Studio 3.8!. В качестве объекта сцены в соответствии с документацией на указанную программу используется наклонная ступенчатая мира, аналитически описываемая ступенчатой функцией. Исходными данными для интерполяции атомарными функциями были точные значения указанной функции в узлах интерполяции. Для предложенного способа в качестве исходных данных использовались интегралы по прямоугольным площадкам, моделирующим чувствительные элементы. Результаты по измерению значений частотно-контрастной характеристики приведенных изображений, приведенные к размеру растра, сведены в табл. 2. Предложенный способ имеет лучшие значения частотно-контрастной характеристики для частот, не превышающих частоту Найквиста.
Таблица 2
Характеристики изображений при интерполяции
Исходное изображение Изображение на поверхности фотоприемника Воспринятое фото-приемником изображение Изображение, интерполированное полиномиальным сплайном 3 порядка Изображение, интерполированное по заданным интегралам
Частота спада частотно-
контрастной характеристики до 50%, приведенная к элементу изображения, линий на пиксель 1,06 0,48 0,351 0,345 0,395
Частота спада частотно-
контрастной характеристики до 30%, приведенная к элементу изображения, линий на пиксель 1,35 0,863 0,458 0,455 0,488
Величина частотно-конт-
растной характеристики на частоте Найквиста 0,877 0,525 0,304 0,33 0
.
В работе описаны два способа обработки оптических изображений на цифровом компьютере, общая задача которых — приблизить дискретизированное и квантованное цифровое изображение к его исходному непрерывному виду. В ряде случаев, условия работы системы технического зрения позволяют применять эти способы совместно. На первом этапе собирается статистика из серии кадров и на основе этой статистики методом максимального правдоподобия вычисляется наилучшая в среднеквадратическом смысле вещественная оценка интегральной освещенности каждого фоточувствительного элемента, представленная в числовом формате, обеспечивающем максимальную точность. На втором этапе, на базе полученных оценок интегральной освещенности предложенным в работе методом, строится интерполяционный многочлен. В результате изображение, считанное фотоприемником с разрешением N х X N у, и квантованное т -разрядным аналого-цифровым преобразователем на 2т уровней, представлено (2N х — 2)х (2N — 2) вещественными коэффициентами интерполяционного многочлена.
Представление изображения в виде интерполяционного многочлена, полученного указанными способами, позволяет:
1) пользоваться преимуществами интерполяции в дальнейшей обработке изображения;
2) снизить требования к характеристикам аппаратуры, таким, как количество элементов фо- топриемника и количество разрядов аналого-цифрового преобразователя за счет использования при создании данного представления дополнительной статистической информации и информа- ции об апертуре элементов фотоприемника, либо повысить качество изображения, не повышая требований к аппаратуре.
В то же время, применение предложенных способов обработки может повлечь за собой до- полнительные временные и аппаратные затраты на обработку изображений.
Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и н
аучно-
педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., соглашение № 14.В37.21.0626.
Список литературы
1. Боровков, А.А. Математическая статистика [Текст]/ А.А. Боровков. — М.: Наука, 1984. — 472
с.
2. Горшков, А.С. Цифровая обработка сигналов: атомарные функции и теория чисел [Текст]/
A.С. Горшков. — М.: Машиностроение, 1994. — 224с.
3. Лемешко, Б.Ю. Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Компьютерный подход [Текст]: монография /Б.Ю. Лемешко, С.Б. Лемешко, С.Н. Постовалов,
Е.В. Чимитова. — Новосибирск: Издательство [II 1 У, 2011. — 888 с.
4. Лемешко, Б.Ю. Численное сравнение оценок максимального правдоподобия с одношаговыми и
влияние точности оценивания на распределения статистик критериев согласия [Текст]/ Б.Ю. Лемешко,
Е.В. Чимитова // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2003. Т.69. — С. 62-68.
5. Орлов, А.И. Прикладная статистика [Текст]. А.И. Орлов. М.: Издательство «Экзамен», 2004. — 656 с.
6. Федосов, В.П. Формирование оптического изображения с помощью матричного фотоприемника
[Текст] /Федосов В.П. // Зарубежная радиоэлектроника. 2001. №9. С. 59-6ß.
7. Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях [Текст]/ Под ред.
B.Ф. Кравченко. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 544 с.
REPRESENTATION OF ANALOGUE OPTICAL IMAGE ON DIGITAL
COMPUTER
V.M. BUTORIN V.V. EFREMOV I.N. EFREMOVA
South-West State University, Kursk
e-mail: [email protected] [email protected] [email protected]
This article describes the developed methods for represen- tation of analogue optical image on digital computer and their main capabilities for image processing.
Keywords: optical signal, spatial sampling, interpolation, amplitude quantization, grouped sample.
