CC BY
37
_______УЧЕНЫЕ 3 АП И С К И Ц А Г И
Том III 1972 '
УДК 532.517.4
О ПОВЕДЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НА СРЕДУ БЫСТРОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ
ДЕФОРМАЦИИ
В. Л. Зимонт, В. А. Сабельников
Получены точные результаты по изменению лагранжевых и эйлеровых характеристик однородной турбулентности при быстром однородном расширении или сжатии газовой среды, что позволяет найти для этого случая соотношение между диффузионными параметрами турбулентного поля, выражающимися через лагранжевые характеристики, и эйлеровыми характеристиками турбулентности.
В частности, показано, что величина коэффициента турбулентной диффузии изменяется при деформации среды (увеличивается при сжатии и уменьшается при расширении) и затем стремится к значению коэффициента диффузии исходного турбулентного поля при больших временах диффузии, в то время как произведение 1/"<и3;>/э при деформации не меняется (/э — эйлеров интегральный масштаб турбулентности).
Полученные результаты позволяют определить для рассматриваемого случая ошибку в величине коэффициента турбулентной диффузии, следующую из обычно используемого при расчетах турбулентных течений допущения о том, что коэффициент турбулентной диффузии пропорционален произведению У00> /э.
При построении расчетных схем турбулентных течений, использующих уравнение для кинетической энергии пульсаций скорости <и2> и эйлерового интегрального масштаба турбулентности 1Э, обычно принимается, что в уравнении диффузии величина коэффициента диффузии, выражающаяся через лагран-жеву корреляционную функцию, пропорциональна произведению У<и2>/Э, поскольку нахождение соотношения между параметрами турбулентности в эйлеровом и лагранжевом описании представляет принципиальную трудность [1]. По-видимому, такое допущение разумно в течениях с достаточно медленной деформацией потока (свободные струи, течения в каналах с медленно изменяющейся площадью сечения и т. д.).
В настоящей статье приводятся строгие результаты о поведении коэффициента турбулентной диффузии для среды, подвергающейся действию быстрой сферической деформации, при которой произведение У<и2>/Э не меняется. Показано, что в этом случае за время деформации происходит увеличение коэффициента турбулентной диффузии при сжатии (или уменьшении при расширении) среды и затем постепенное его уменьшение (или увеличение) до исходного значения. При анализе турбулентными пульсациями плотности пренебрегали, т. е. уравнение неразрывности для пульсационной составляющей скорости принимали в виде (Нуи=0, и в процессе деформации пренебрегали диссипацией
турбулентной энергии из-за вязкости и влиянием на турбулентность нелинейности уравнений, что согласно оценке членов уравнений неразрывности и движения можно сделать при условии
< и* > V <ц2> а
где 0 — время деформации; (I — характерный размер рассматриваемой области, подвергающейся деформации; а — скорость звука.
Получим сначала уравнение, описывающее диффузию пассивной примеси в поле неизотропной и нестационарной однородной турбулентности.
В работе [2] приводится соотношение, связывающее средний квадрат перемещения жидкой частицы в некотором фиксированном направлении под действием турбулентных пульсаций скорости (дисперсию) <С-*2(0> с лагранжевыми характеристиками нестационарной однородной изотропной турбулентности (для неподвижной в среднем жидкости):
• . ' I
1 й<*2(0> /-________ Г л_________
~2 —- а) - У< и* (/)> ) V<и* (г) > Я (*, г) <Гс. (2)
о
Здесь Ь — время с момента начала диффузии; <«2 (/)> —средний квадрат пуль-„ <и(/)и(т)Ъ-
сации скорости; #(*, т) =---------------------^ — лагранжева корреляционная
4 <иЧ*)><иЧт)»'12 у ™
функция; и (I) и «(т)—составляющие скорости жидкой частицы вдоль рассматриваемого направления в момент Ь и т.
Соотношение (2) естественным образом может быть обобщено на случай неизотропной и нестационарной однородной турбулентности. Проводя выкладки, аналогичные тем, которые необходимы при выводе соотношения (2), получим связь между тензором дисперсии жидкой частицы <^xl(t)xj{t)^> и лагранжевым корреляционным тензором:
<«/ (0 и , (т)>
Яу (*, т=) = ■
1 а< •*< Х<> I
[<«?(*)> <Иу(0>]1/2 ’
І
/<«?(<)> ІV<и) ь)> Ъ]■») ^ +
2 (И "“2
+ V<и) (0 > 1 /<и? (*)> Л/г (<. -с) Л
- о .
Последнее соотношение можно рассматривать так же как обобщение уравнения, полученного в работе [3] для тензора дисперсий в случае стационарной неизотропной однородной турбулентности.
Производные по времени от компонентов тензора дисперсии входят в полу-эмпирическое уравнение турбулентной диффузии, которое при отличной от нуля средней скорости и при пренебрежении пульсациями плотности имеет вид [1]
. д<с> . - д<с> д \( 1 <<<■*«(0д<с> 1
<• * > дх„ дх? |Д 2 сИ ) дх& ] ’
ді?
в силу чего тензор
Л < Хі X; >
°Ч = Лі
называют тензором коэффициентов турбулентной диффузии.
В уравнении (3)<с(х, £)>— средняя концентрация, < и— компонент средней скорости в направлении ха. Если однородная турбулентность подвергается деформации сжатия или расширения, то в случае выбора координатных
осей, совпадающих с не зависящими от времени главными направлениями тен зора Эц, уравнение (3) для однородной турбулентности принимает вид
д<"с> д<с> д2<с>
д* < с > д2 < с >
+ + <4> Качественным отличием турбулентной диффузии в случае стационарной турбулентности от молекулярной, описываемой аналогичным (4) уравнением, является то, что компоненты йц есть функции времени, изменяющиеся от нуля в начальный момент диффузии до некоторых конечных значений при большом времени диффузии [1], в то время как коэффициент молекулярной диффузии принимается постоянным. Оказывается, что в случае нестационарной турбулентности появляются дополнительные качественные особенности в поведении коэффициента турбулентной диффузии.
В статье теоретически исследуется зависимость от времени коэффициента турбулентной диффузии для нестационарной турбулентности, вызванной однородной быстрой сферически симметричной деформацией однородной турбулентности.
Отметим сначала очевидные предельные случаи соотношения (2) для некоторого компонента тензора Ьу в главных осях: при малых временах диффузии
1 й <дг2> л
В (О — ~2~ - " % « < и2 (0) > *,
что совпадает со случаем стационарной турбулентности [2];
при медленно изменяющихся параметрах турбулентности (квазистационар-ная турбулентность),,когда за время значительного уменьшения корреляционной функции /?(/, т) изменение турбулентных параметров поля несущественно, из соотношения (2) следует (при ОоЯьшйХ по сравнению с Т1 временах диффузии)
£> (0 = <и? (<)> Ть (/) = ]/ < и* (0 >*£(<) ,
где ть (I) = | Я (#, а)Ли и /4(0= У<«*(0>7*£-(0 — лагранжевы масштабы вре-о
мени и длины. Этот результат аналогичен случаю стационарной турбулентности при больших временах диффузии [2].
Нетривиальные результаты получаются, когда изменение параметров турбулентности нельзя рассматривать как медленное. Рассмотрим предельный случай скачкообразного изменения турбулентных параметров в некоторый момент времени *0 и будем полагать, что при t<Ct0 и />*0 турбулентность стационарна.
Отметим одним и двумя штрихами соответственно параметры до и после изме-
нения турбулентности. В этом случае при <0 асимптотические значения коэффициента диффузии при <<*0 и будут соответственно
£>’ = У<и'2> 1[ и £>" = У< и"2> 1"с . (5)
Для величины коэффициента турбулентной диффузии непосредственно после изменения параметров (^=-^о + 0) из соотношения (2) имеем
/о+0
О(*о + 0) = У<и'*><и"2> | Д(<о + 0, т)Л. (6)
о
В том случае, когда /?(<о + 0, ^ — 0) = 1, величина интеграла в выражении (6) может быть вычислена при известной лагранжевой корреляционной функции (#, *<*о)
<в(*+т)«(0>
*(т) = _..У<^>
Действительно, если коэффициент корреляции.для двух случайных функций равен единице, то они пропорциональны (справедливо и обратное утверждение) [5]:
и (к + 0) = аи (*0 — 0) + Ь,
причем поскольку <и (*0 + 0)> = < и (<0 — 0)> = 0, то 6 = 0 и
а= ]/< ц2 (*о + 0) > 1
Г <«2(*0-0)> - У <«'2>-
(7)
Используя (7), из определения корреляционной функции можно получить, что
, а ч <и((0-0)и (т)> „ Л , ,пч
Я (^о + 0, т) =---------------= Я (*о — 0, т), (8)
откуда
О (<0 + 0)
<«'2>
<и' 2>-
(9)
При £ -> оо коэффициент диффузии асимптотически стремится к значению •О". В зависимости от соотношения между £)', О", <и'2> и <и*г*> характер поведения коэффициента диффузии может быть различным (фиг. 1).
М">17'
Конкретное соотношение между значениями указанных величин определяется физическими причинами, вызывающими изменение турбулентного поля. В том случае, когда в момент времени *0 однородная турбулентность подвергается деформации в течение времени 0, удовлетворяющем условию (1), может быть найдена связь между турбулентными параметрами до и после деформации. Это связано с тем, что уравнение движения становится линейным и задача имеет точное решение (в работах [4] и [6] влияние .быстрой” деформации на энергетический спектр и средний квадрат пульсаций скорости проанализировано для случая осесимметричной деформации).
Покажем, что в случае сферической деформации для составляющих скорости ( 8 8 \
в главных осях Я 1*о + -уГ, = 1. С этой целью, аналогично работе [4],
найдем связь между мгновенными скоростями частицы до и после деформации.
Обозначим так же, как и в работе (4], через а их, и' (а) и а" (х), ш'(а) и <о" {х) соответственно лагранжевы координаты частицы, скорости и вихрь до 0 \ / 0 \
= 4)— ~2~) и после I # — /о -Ь ~2~I деформации.
Уравнение неразрывности в лагранжевых координатах имеет вид
<?‘р" = р',
дхI
где характеризует деформацию (/=1, 2, 3).
Из уравнения движения следует условие сохранения циркуляции
]* и' йГ = | и" 01", и £"
где I— жидкий контур, состоящий из одних и тех же частиц. Если в качестве
V рассматривать контур, охватывающий малую окрестность а, и использовать теорему Стокса, получим:
(го! и')п с1Б' = (го! и")п йБ"
или
Шп (а) <І8’ = «>; (*) <й",
:кция вихря на і еской симметриї
ц; Й = Є2Ш;'(^)
где индексом п обозначена проекция вихря на нормаль к площадкам ЫБ' и йБ". Поскольку в случае сферической симметрии й8"1й& = &, то
или в проекциях на оси
(*) =“/ («).
откуда с использованием выражения скорости через вихрь следует, что действительно имеет место линейное соотношение
«•(*) = 4-“» (10)
и
/ 0 0 \
Л I <0 + 2 ’ — 2 ) = ^‘
Из (10) следует
<а,/2>= е-2 <«'*>
и в соответствии с (9)
О (<0 + 0) = е-1 й'. (11)
Связь между эйлеровыми интегральными масштабами длины с учетом (10) имеет вид .
С = <. (12)
Для определения соотношения между Б’ и О" в соответствии с (5) необхо-
димо знать связь между лагранжевыми масштабами длины. Вообще говоря, для этого необходимо определение лагранжевых характеристик турбулентности по-известным эйлеровым, что приводит к появлению принципиальных трудностей [1].
Однако в рассматриваемом случае сферической деформации соотношение (12) строго выполняется и для лагранжевых масштабов длины, т. е.
П = £>''. (13)
Формула (13) следует (для модели стационарной турбулентности) из связи
между %(<!, *2) и Яу(т)*: .
Яг/ (<1, Ь) = #г/( е2*1— е2-1 (<,Д) ) ,
где 1 (/) = 1 при ^ > 0 и 1 (0 = 0 при < < 0.
Это следует из свойства инвариантности уравнения Навье—Стокса относительно преобразования переменных (как в эйлеровом, так и в- лагранжевом представлении), которому удовлетворяет каждая реализация поля:
х* = ех; и* (х*, {*) = е~1 и (х, Ь)\ ** = е2
/* (х*. (*) = [(V - V*) д, щ (х, О + /г £ <)].
где / — случайная сила в модели стационарной турбулентности, V — кинематическая вязкость. ■
Такое преобразование координат и скорости соответствует быстрой сферической деформации (V* — кинематическая вязкость после деформации), поэтому временной масштаб изменяется после деформации пропорционально е3.
* Легко видеть, что моменты скоростей любого порядка до и после дефор-
ыацни находятся в аналогичной связи.
В случае v = const для затухающей турбулентности / (jc, *) = 0,гпри известной лагранжевой корреляционной функции исходного поля Rг (tu t2) для быстрой сферической деформации
# > . * I 1 ^1 - 4> . ^2 to \
Rlj ih> h) = R;j Ho + e2-l • *o + g2-l №-/„) J ■
Из (И) и (13) следует, что при сжатии (е<1) имеет место выброс, а при расширении (г> 1) провал в величине составляющих коэффициента диффузии, которые затем асимптотически стремятся к прежним значениям.
Фиг. 3
На фиг. 2 и 3 приведены результаты расчета произвольного компонента £>/у-в главных осях в предположении экспоненциальной зависимости для Я'ОО при
£>/,0_2-| = £>' И 0^0-4") =0*2у. ПосколькУ 0«^~:Г£’ на графиках
изменение коэффициента диффузии при деформации изображено как скачкообразное.
В заключение отметим, что в случае плоской или осесимметричной дефор-
мации Л(<о + _2_, t0— —2~ I < 1 точное вычисление составляющих Dy
удается провести лишь для случая пространственно-временных корреляционных функций, представимых в виде произведения двух функций, одна из которых
0
зависит от координат, а другая —от времени. Нахождение £>(/) при *>*о + ~2~
требует, по-видимому, привлечения соображений о связи эйлеровых и лагран-жевых характеристик.
1. Монин А. С., Яг л ом А. М. Статическая гидромеханика. М., .Наука', 1965.
2. 'Г а у 1 о г Q. 1. Statistical theory of turbulence. IV — Diffusion in
a turbulent air stream, Proc. Roy. Soc., AISI, No 874, 1935.
3. Batchelor G. K- Diffusion in a field of homogeneous turbulence. Austr. J. Sci. Res., A2, No 4, 1949.
4. Бэтчелор Дж. К. Теория однородной турбулентности,
гл. IV, § 3. М., Изд. иностр. ли*., 1955.
5. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., Гостех-
издат, 1964.
6. Ribner Н. S., Tucker М. Spectrum of turbulence in a conra-cting stream. NACA Report, No 1113, 1953.
ЛИТЕРАТУРА
«
Рукопись поступила IjVI 1971 г. Переработанный вариант поступил 2/VI 1972 г.
