CC BY
53
УДК 539.3, 519.6
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 1
О ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИММЕТРИЧНЫХ ФОРМ РАВНОВЕСИЯ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН ПОД ДЕЙСТВИЕМ НОРМАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ*
С. М. Бауэр1, Е. Б. Воронкова2, A.A. Романовеi3
1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, s_bauer@mail.ru
2. С.-Петербургский государственный университет,
канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник, voronkova@mech.kth.se
3. С.-Петербургский государственный университет, angelina.romanova@gmail.com
1. Введение. Вопрос о существовании несимметричных решений у симметрично загруженной круглой пластины был впервые рассмотрен в [1]. Исследуя большие прогибы пластины, загруженной постоянным давлением, авторы с помощью метода Га-леркина приводят решение, соответствующее несимметричным формам равновесия. Строгое доказательство существования несимметричного решения было проведено в [2], а единственность доказана в работе [3]. В работах [4-5] для пологой сферической оболочки и круглой пластины при различных условия закрепления и нагруже-ния определены значения критической нагрузки, при которой происходит переход от симметричной формы равновесия к неосесимметричной.
В данной работе рассматривается аналогичная задача о потере устойчивости круглой пластины, модуль упругости которой изменяется при движении от центра пластины к краю. Подобная пластина может быть простейшей моделью решетчатой пластины (РП) диска зрительного нерва человека [6]. Показано влияние неоднородности пластины на величину критической нагрузки.
2. Постановка задачи. Рассмотрим круглую, защемленную по краю пластину, загруженную нормальным давлением. Полагая, что модуль упругости круглой изотропной пластины меняется при удалении от центра пластины к ее краю, выпишем систему уравнений
£>ДД«; + Б'Ь^т) + В"Ь\(ги) =р + Ь(и>, ДД^1 [ 1\'' к.
Е
L2-(F) = -|L(«,>«,)> (!)
(У=Ю П = ЁИ
U дг ' U дв '
где w(r,6), F(r,6)—неизвестные нормальный прогиб и функция усилий; Д, h, E(r), D(r) = E(r)h3/12(1 — г/2), v — радиус, толщина, модуль упругости, цилиндрическая жесткость и коэффициент Пуассона пластины; г, в — координаты срединной поверхности пластины (О^г^Д, 27т); Д —оператор Лапласа, Li, bf, (i = 1,2) —
*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №№09-01-00140а, 10-01-00244а). © С. М. Бауэр, Е. Б. Воронкова, А. А. Романова, 2012
дифференциальные операторы:
т±/ \ о /// , 2±v ч , 2 ел' у' 3У г±м "4- (у' Ll{y) = 2y +_—у +-(у) ---—, L2(y)=y +
Будем считать, что край пластины г = R закреплен от поворотов, но точки края свободно смещаются в радиальном и окружном направлениях. В этом случая растягивающее и сдвигающие усилия на контуре полагаем равным нулю:
w = w' = О, ^F'+ = - (^F^J = 0. (2)
Обозначим среднее значение модуля упругости через Eav:
2тг R
EaV = ^j /E{-r>drdd' Е{-Г) = Е°КГ)> (3)
0 0
где /(г) —достаточно гладкая, положительная на отрезке [0, R] функция.
После введения безразмерных переменных
* г * aw * аЗ pR^ 2 F 2 -.г,/-, 2\
г =Д' w /?=12(1--)
система уравнений (1) примет следующий вид (знак * в дальнейшем опускаем): gi(r)AAw + g'^L^w) + g'{(r)L2(w) = р + L(w, F), ff2(r)AAF + ^(r)Li(F) = (4)
здесь <7i(r) = Eof(r)/Eav, <72 M = 1/g\{r). Граничные условия сохраняют вид (2).
3. Построение решения. Мы ищем критическое значение нагрузки р = рсг, при котором возможна бифуркация пластины в неосесимметричное состояние. При малых значениях р система (4) имеет симметричное решение, несимметричное решение этой системы появляется при возрастании нагрузки [2].
Следуя [4-5], будем искать решение в виде
w(r, в) = ws(r) + wn(r) cos n6>, F(r, в) = Fs(r) + Fn(r) cos n6>, (5)
где функции ws, Fs определяют докритическое симметричное решение, а функции wns(г, в) = wn(r) cosпв, Fns{jr,9) = Fn(r) cosпв описывают закритическое состояние пластины (за п принято число волн в окружном направлении, образовавшихся в результате бифуркации). Функции wns, Fns полагаются малыми сразу после перехода пластины в неосесимметричное состояние.
Симметричное решение задачи определяется из решения уравнений
шо w0\ , / , v \ рг ш0фо
( // . ШЛ , / ( / , v \
("о + -wo)
22 I Фо + — ~ — I + 92 (Ф'о ~ >) =
получающихся из системы (4) после подстановки в нее соотношений (5) и с учетом обозначений ujq — w!s, фо — Fg и граничных условий
wo(l)=0, </>о(1) = 0. (7)
Для несимметричного решения после разделения переменных получим линейную систему уравнений
д\ AnAnwn + g'1Lin(wn) + д2Ь2 / (К п2 г, \ U (< п2 <JL К
ш0 I — - п J + Фо I —--) + —Фо + —•^о, (8)
{?// 71^ \ 1П!!
g2AnAnFn+g^L*ln(Fn)+g^L*2n(Fn) = -и>'0 (-f - ^wnj --foj0
относительно wn(r), Fn(r), где
/ 9
л // У п
А „у = у + — - ^-у,
, ч ;;; 2 ± Z/ „ 2n2 + 1 . З«2 , , . .. f у' П2 \
Lfn(y) = 2у'" + —у" - —з—у' + —у, Ltn(y) =y"±v^- -у) ,
и граничные условия
wn(l) =w'n{l)= о, F^l) = Fn(l)=0. (9)
Учитывая ограниченность искомых решений, в центре пластины дополнительно полагаем
^0(0) = М0)=«4(0)=^(0) = 0.
Для каждого числа волн в окружном направлении п будем искать такие значения нагрузки рп, при которых существует отличное от нуля решение системы (8)—(9) при условии (6)—(7), т. е. собственные значения и функции системы. Критической нагрузке соответствует pcr = min рп.
п
Схема численного решения задачи аналогична методу, описанному в работах [4] или [5]. Сначала, для заданныхрип методом пристрелки решается осесимметричная задача (6)—(7), далее методом прогонки проверяется существование несимметричного решения. Шаг интегрирования выбирался так, чтобы искомые значения нагрузки отличались не более, чем на 1% при уменьшении в два раз шага сетки.
4. Результаты и их обсуждение. Были проведены две серии расчетов: при
(1 О'1 2
изменении модуля упругости пластины по законам Е = Eq 'e~qiT и Е = Eq е~Ч2Г . Параметры Е^ и </j (г = 1,2) выбирались так, чтобы среднее значение модуля упругости пластины Eav (3) оставалось постоянным.
Возможность перехода симметрично нагруженной пластины в несимметричное состояние обусловлено появлением при больших прогибах сжимающих напряжений в окрестности контура пластины [2]. На рис. 1 на примере неоднородной пластины показано, что при возрастании внешней нагрузки увеличивается интенсивность сжимающих напряжений и, одновременно, сужается зона, в которой они появляются, создавая тем самым дополнительные предпосылки для перехода пластины в неосимметричное состояние [5].
Рис. 1. Безразмерное окружное усилие для различных значений нагрузки.
Для однородной пластины наименьшее значение нагрузки, найденное при численном интегрировании системы (8)—(9) совместно с (6)—(7), равно р°сг = 64522, а соответствующее этой нагрузке волновое число п = 14. Для неоднородных пластин результаты расчетов приведены в табл. 1 и на рис. 2. Значения параметра q = О соответствуют пластине с постоянным модулем упругости.
Таблица 1. Критическая нагрузка для неоднородной пластины
д = 0 д = 0.5 9=1 д = 3 д = 5
Е = Е^1}е-1г Рсг 64522 56841 49207 26324 12123
п 14 14 14 15 17
Е = Е{02)е-1г2 Рсг 64522 53287 44137 20843 9103
п 14 14 14 16 20
О1-1-'-1-1-
0 1 2 3 4 5
Ч
Рис. 2. Изменение критической нагрузки при изменении степени неоднородности пластины д: р®г — критическая нагрузка для однородной пластины.
В каждой серии расчетов с ростом неоднородности потеря устойчивости осесим-метричных форм равновесия происходила при более низкой нагрузке (до 7 раз) и с образованием большего числа складок в окружном направлении, чем для однородной пластины (табл. 1).
Как уже отмечалось, для однородной пластины возможность появления волн в окружном направления была рассмотрена Пановым Д. Ю. и Феодосьевым В. И. [1]. Однако выбранная авторами форма решения допускает существование одновременно несимметричного и симметричного решений, что противоречит теореме единственности, доказанной в [3]. Этим можно объяснить существенное расхождение результатов из [1] и других работ (табл. 2). Различие значений критической нагрузки в графах 2 и 3 объясняется выбором меньшего шага интегрирования (в два раза). Численное значение нагрузки, полученное при шаге интегрирования из [5] (3 = 0.02), равно 62832.
Таблица 2. Значения критической нагрузки для однородной пластины по данным разных авторов
Панов, Феодосьев Cheo, Reiss наст, работа
1 2 3
Per 26053 62600 64522
п 8 14 14
Необходимо отметить, что для однородной пластины различие нагрузки, соответствующей волновым числам п = 14 и п = 13, составляет всего 0.6%. Подобная картина характерна и для неоднородной пластины. Для пластины с модулем упругости, изменяющимся по закону Е = Eoe~ir, минимум нагрузки рсг = 18355 достигается при числе складок п = 16; нагрузка, соответствующая числу волн п = 15, равна рп = 18416. Это говорит о чувствительности задачи к различного рода «несовершенствам» (неправильной форме, начальным напряжениям и т.п.).
Рассмотренная выше пластина со свойствами, существенно снижающимися от центра к краю, может быть простейшей моделью решетчатой пластины диска зрительного нерва человека (РП) [6]. В ряде случаев при сильном увеличении внутриглазного давления по краю РП могут образовываться складки и возникать отеки [7]. Согласно представленным расчетам у однородной пластины с параметрами РП (h/R = 0.1, Eav = 0.3 МПа, v = 0.45) волны по краю образуются при нагрузке, равной 490 мм рт. ст., ас учетом неоднородных свойств образование складок возможно уже при 70 мм рт. ст. (q = 5). В ряде работ отмечается возможность кратковременного подъема внутриглазного давления до 100 мм рт. ст. [8]. Таким образом, с механической точки зрения отеки и складки по краю РП могут быть объяснены потерей осесимметричных форм равновесия.
5. Выводы. В работе численным методом исследована потеря устойчивости осесимметричных форм равновесия изотропных пластин с переменным модулем упругости. Показано, что при уменьшении модуля упругости к краю пластины бифуркация в несимметричное состояние происходит при существенно меньшей нагрузке, чем для пластины с постоянными механическим свойствами. Одним из возможных объяснений появления складок по краю РП может быть переход из симметричного деформированного состояния в несимметричное.
Литература
1. Панов Д. Ю., Феодосьев В. И. О равновесии и потере устойчивости пологих оболочек при больших прогибах // ПММ. Т. XII. 1948. С. 389-406.
2. Морозов Н. Ф. К вопросу о существовании несимметричного решения в задаче о больших прогибах круглой пластины, загруженной симметричной нагрузкой // Изв. Высш. Уч. Заведений. Математика. 1961. №2. С. 126-129.
3. Piechocki W. On the non-linear theory oí thin elastic spherical shells // Arch. Mech. Stos. 1969. N21. P. 81-101.
4. Huang N. C. Unsymmetrical buckling ol thin shallow spherical shells //J. Appl. Mech. 1964. N31. P. 447-457.
5. Cheo L.S., Reiss E. L. Unsymmetric wrinkling ol circular plates // Quart. Appl. Math. 1971. N31. P. 75-91.
6. Bauer S. M., Voronkova E. B. On the deformation ol the Lamina Cribrosa under intraocular pressure // Russian Journal ol Biomechanics. 2001. Vol. 5. N 1. P. 73-82.
7. Нестеров А. П. Основные принципы диагностики первичной открытоугольной глаукомы // Вестн. офтальмологии. 1998. №2. С. 3-6.
8. Coleman D. J., Trokel S. Direct-recorded intraocular pressure variations in a human subject // Arch Ophthalmol. 1969. N82. Vol.5. P. 637-640.
Статья поступила в редакцию 26 октября 2011 г.
ХРОНИКА
27 октября 2010 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступил канд. физ.-мат. наук, доц. В. Г. Быков (СПбГУ) с докладом на тему «Стационарные и нестационарные режимы движения неуравновешенного ротора с автобалансировочным механизмом».
Краткое содержание доклада:
Рассматриваются статически и динамически неуравновешенные роторы, оснащенные шаровыми автобалансировочными устройствами (АБУ). Для различных моделей роторов получены условия существования сбалансированных и несбалансированных стационарных режимов движения. На основе критериев Рауса и Михайлова проведено исследование устойчивости и построены двухпараметрические диаграммы устойчивости. Численно исследованы нестационарные режимы движения ротора в случае вращения с постоянной угловой скоростью. Показано, что при выполнении определенных конструктивных условий динамический дисбаланс ротора полностью компенсируется одноплоскостным АБУ. Проведена серия расчетов различных режимов нестационарного прохождения через критическую скорость как в случаях выполнения необходимого условия автобалансировки, так и в случае его нарушения. Показано, что во всех рассмотренных вариантах максимальные амплитуды нестационарного движения ротора с АБУ могут превосходить максимум амплитуды стационарного режима. Исследовано влияние вязкого трения в АБУ на процесс установления сбалансированного режима. Обнаружен эффект быстро вращающихся балансировочных шариков, возникающий в резонансной области в случае недостаточного демпфирования в АБУ. Исследовано влияние анизотропии упругих и диссипативных свойств опор на процесс автобалансировки.
