CC BY
9
2. Kil'chevskij N. A. Dinamicheskoe kontaktnoe szhatie tvyordyh tel. Udar [Dynamic contact compression of solids. Impact]. □ Kiev : Naukova dumka, 1976. □- 320 p.
3. Zhukov I. A., Dvornikov L. T. New constructive solutions of anvil-blocks of percussion mining machines. North Charleston : Create Space, 2015. 130 p.
4. Manzhosov V. K. Prodol'nyj udar [Longitudinal impact]. Ul'yanovsk :UlGTU, 2007. 358 p.
5. Manzhosov V. K. Model' vrashchatel'nogo udara po sterzhnyu [Model rotational hitting the web] // Vestnik UlGTU. 2017. №2, pp. 47-50.
6. SHevchenko F. L., Ulitin G. M. O raznovidnostyah krutil'nyh udarov, voznikayushchih pri rabote burovyh ustanovok i sposobah ih ustraneniya [The varieties of torsional shocks occurring during the operation of drilling installations and how to resolve them ] // Sovershenstvovanie tekhniki i tekhnologii bureniya skvazhin na tvyordye poleznye iskopaemye [Improvement of equipment and technology of drilling wells for solid minerals]. Еkaterinburg : UGGA, 2001. Vyp. 24, pp. 132-138.
7. Ulitin G. M., Pettik YU. V. Krutil'nyj udar buril'noj kolonny pri zaklinivanii rezhushchego instrumenta [Torsional blow of a drill string at jamming of the cutting tool] // Naukovi praci DonNTU. Seriya «Prnicho-geologichna» [Naukovi Pratsi DonNTU. A series of «Price geological»]. 2008. №7 (135), рp. 104-107.
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, моделирования процессов удара [e-mail: [email protected]].
Самсонов Александр Анатольевич, аспирант кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи и патенты в области создания механизмов различного технологического назначения [e-mail: tpm@,ulstu.ru].
Поступила 18.04.2019 г.
УДК 539.3:533.6:517.9
А. В. ГЛАДУН, П. А. ВЕЛЬМИСОВ
О ПОСТРОЕНИИ УПРАВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЯМИ ТРУБОПРОВОДА
Рассмотрена задача построения стабилизирующего управления в случае динамической неустойчивости трубопровода. Исходное дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее динамику трубопровода, с помощью метода Галёркина приводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений, для которой строится управление, обеспечивающее асимптотическую устойчивость нулевого решения. Приведены результаты численного моделирования динамики трубопровода под действием построенного управляющего воздействия.
Ключевые слова: упругий трубопровод, динамика, управляемость, стабилизация, уравнения с частными производными, метод Галёркина.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Ульяновской области в рамках научного проекта № 18-41-730015.
1. Введение
Составной частью многих конструкций, приборов, аппаратов, установок и т. д. являются трубопроводы, по которым протекает поток жидкости или газа. Воздействие потока может приводить к возникновению колебаний трубопровода, нарушающих надёжность эксплуатации конструкций и приводящих к разрушению конструкций или их элементов. В связи с этим при проектировании механических систем с трубопроводами необходимо использование математических моделей, позволяющих заранее определить значения параметров механической системы, гарантирующих
© Гладун А. В., Вельмисов П. А., 2019
нормальную работу конструкций и не приводящих к их разрушению или возникновению аварийной ситуации [1-6]. Если по каким-то причинам параметры системы выходят за границы стабильной работы конструкции, требуется срочная коррекция системы, предполагающая решение задачи управления параметрами трубопровода. Управление параметрами предполагает активное воздействие на трубопровод с целью устранения возникающих в нём колебаний [7, 8].
2. Постановка задачи
Рассматривается задача построения управления, обеспечивающего гашение колебаний трубопровода, с протекающей внутри него жидкостью или газом. Для описания динамики трубопровода используется уравнение [1, 3, 5]
(m0 + m„) w ( х, t) + EJw''' '(x, t) + [ N + m,U2 J w''( x, t) + 2Um„ w'(x, t) + aw''' '(x, t) -
1 ( ' 8 ' J (1)
-fiw''(x,t)-—w''(x,t) 90jw'2(x,t)dx + 9,8-jw'2(x,t)dx + f(x,t) = 0,
2 V o 8t o ) где коэффициенты m0, m„, J вычисляются по формулам:
т0 =р0л{ Д,2 - Д2 ], т,=р,лД;, J = 4 [ Д - Д
Штрих и точка сверху обозначают частные производные по координате х и времени t соответственно. В уравнении (1) м (х, t) - деформация (прогиб) в сечении х в момент времени V, Е - модуль упругости; и, т,, р, - скорость, масса жидкости (газа) на единицу длины и плотность жидкости (газа), I - длина трубы между опорами; Д, Д0 - внешний и внутренний радиусы трубопровода; т0, р0 - масса металла на единицу длины трубы и плотность метала; N - сжимающая (V > 0) или растягивающая (V < 0) сила; а - коэффициент внутреннего демпфирования; коэффициент / учитывает
инерцию вращения сечений; в0, в, - некоторые постоянные; /(х,t) - внешнее управляющее воздействие на трубопровод.
Введём безразмерные координату х , время t и функцию прогиба м :
_ х — и _ м> ...
х =—, t =—1, м = —. (2)
III
Сделаем замену переменных (2) в уравнении (1) и разделим обе части уравнения (1) на (EJ)//3 .
Оставляя за безразмерными переменными такие же обозначения, какие были у исходных переменных, получим
(mo + ms)U-/- „„ (N + mJJ ) l2 -U2l2m^u , aU.„„, ,
-^-J— w(xt)+w ' '(xt)+-—EJ~w'(x't)+~Jw '(x't)+EJw (x't)-
(3)
BU2 913 г 9Ul2 г l3 -—-w''(x,t)--0— w''(x,t) j w'2(x,t)dx - —-w''(x,t) j w'(x,t)w'(x,t)dx +-f (x,t) = 0.
EJ 2EEJ 0 EJ 0 EJ
Рассмотрим задачу построения управляющего воздействия f (x, t) , обеспечивающего гашение
возникающих колебаний трубопровода в случае, когда значениям исходных параметров уравнения соответствует состояние динамической неустойчивости [5, 6].
Задача. Найти для случая динамической неустойчивости уравнения (3) непрерывное (далее допустимое) управляющее воздействие f (x, t), такое, что соответствующее ему нулевое решение уравнения w( x, t) = 0 будет асимптотически устойчивым.
В начальный момент времени t = 0 деформация и скорость точек трубопровода задаются равенствами:
w(x,0) = 42c1 sin (nx) + 42c2 sin (2nx), x e [ 0,1 ], (4)
w(x, 0) = 4/2 c3 sin (nx) +V2c4 sin (2nx), x e[ 0,1 ], где c1, c2, c3, c4 - некоторые заданные постоянные.
3. Построение решений
Для построения решений уравнения (3) методом Галёркина будем задавать функцию w (x,t) в виде [4]
M
WM (xt) = Z vk (t(x)'
k=1
где {gk (x)}j - полная на [0,1] система нормированных базисных функций, соответствующих
случаю шарнирного закрепления концов трубопровода
w(0, t ) = w(1, t) = w"(0, t) = w"(1, t ) = 0.
Возьмём в качестве базисных функций {gk ( x )}j sin ( knx ) и ограничимся случаем M = 2, тогда функция w ( x, t ) запишется следующим образом:
w ( x, t ) = V2 v1 ( t ) sin (nx ) + V2 v2 (t ) sin ( 2nx ). (5)
Зададим управляющее воздействие функцией
f (x,t) = л/2u1 (t)sin (nx) + V2u2 (t)sin (2nx), (6)
где u1 (t ), u2 (t ) - некоторые непрерывные функции (далее управления), обеспечивающие решение поставленной задачи.
В результате применения процедуры метода Галёркина получаем систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для функций v1 (t) и v2 (t) :
U2 (К + m)2 +пУ) n4Ua /Л n2((U2да, + N)l2 -n2EJ) 16 и2i2m
-EJ-v'1(t) + ~EJT EJ-v1(t ) - T ~EJTv 2(t ) +
n412 (U6v1 (t)v1(t) + 4U0v2(t)v2(t) + ^vf (t) + 2W0v22 (t) \(t) +lщ (t) = 0, (7)
EJ У ............z 2 1 w u zv 1 EJ
U2((m + m,))2 + 4nß) 16n4Ua 4n2 ((U2m, + N)l2 -4n2EJ) 16 u2l2m, , Л
-EJ-v 2(t )+^JTv 2(t ) EJ-v2(t)+Y~UTv1(t )+
4n412 (U0v1 (t)v1(t) + 4Udv2(t)v2(t) +l^v2 (t) + 2ieov'2 (t) lv2(t) u2 (t) = 0 . (8)
ЕЗ \ ............^ 2 147 и ) ^ ЕЗ
Начальные условия (4) при этом принимают вид
VI (0) = с, У2 (0) = с 2, *(0) = С3, V 2(0) = С4. (9)
Управления и1 (7) и ы2 (7) представим в виде суммы двух слагаемых:
ик {) = и"к (í) + илк (í), к = 1,2.
С помощью линеаризующего управления и£ (t) преобразуем к-е уравнение к линейному уравнению 2-го порядка с постоянными коэффициентами относительно функции Vk (7) . А управление и1 (7) выберем так, чтобы соответствующее полученному линейному уравнению нулевое решение уравнения vk (7) = 0 было асимптотически устойчивым.
Зададим управления и1н (7) и и\ (7) следующим образом:
ин (7) = ^ ^Uвvl (7)V 1(7) + 4^2 (7V2(7) + вVl2 (7) + 21в0(7) j^ (7) + 16^^2^) ,
< (7) = ^^^Uвvl(t)Vl(t) + 4Uвv2(t^2(7) + вV2 (7) + в (7) ^) - ,
тогда система уравнений (7), (8) сводится к двум отдельным линейным дифференциальным уравнениям 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Каждое из полученных уравнений, рассматриваемое совместно с начальными условиями (9), представляет собой задачу Коши и может быть решено методом Лапласа. Метод Лапласа позволяет найти явно функции v1 (7), v2 (7), подставляя которые
в равенство (5) получаем функцию прогиба трубопровода х,t) в явном виде, что значительно облегчает проверку точности решения. Вычисляя производные от функции м(х,^ и подставляя их в уравнение (3), получаем невязку Е(х,t), по величине которой оцениваем погрешность найденного решения.
4. Исследование устойчивости и управляемости
Для изучения устойчивости и управляемости приведём каждое из полученных линейных уравнений 2-го порядка к системе двух линейных уравнений 1-го порядка в нормальном виде. Введём новые переменные
у = V ^), у2 = V ^), Уз = ^), у4 = V (О,
тогда получаем
У 1 = У 2 >
У 2 =
ж2/ ((и2т, + N)/2 -ж2EJ) -жАиау2 - /4и1л ^) ,
и2 / ((т0 + т, )/2 +ж2/) у 3 = У 4 >
4ж2/ ((и2т,+ N)/2 - 4ж2EJ)у3 - 16ж4иаУ4 - /4ил (() .
У 4 = ■
и2 / ((т0 + т,)/2 + 4ж2/)
Пусть
(10)
(11)
(12)
у = Ау + Ьи
- линейная система, записанная в матричном виде, где для системы (10) у = (у1, у2)*, к = 1, для системы (11) у = (У3, у4)*, к = 2 и
А =
0
к2ж2 ((и2т,+ N)/2 - к2ж2EJ)
1
7 4 4
к жа
и2 ((т0 + т,)12 + к2ж2/) и/(( + т,)12 + к2ж2/) * - знак транспонирования.
Ь =
0
(-1)/3
и2 ((( + т,))2 + к2 ж2/)
Составим характеристическое уравнение для каждой из систем и найдём его корни. Имеем
0 к4ж2ар к4ж4а2р2 к2Р((^2т, + ^2 -к2ж2Ы) Л =--—-- +------ , р =
ж
2/
4/2
и
и ((т0 + т,)/2 + к 2ж2/)
к = 1,2.
Поскольку р > 0, и > 0, то корни характеристических уравнений будут иметь отрицательные вещественные части, если
((и2т, + N)/2 - к2ж2EJ)> 0. (13)
В этом случае решения систем уравнений (10), (11) будут асимптотически устойчивыми. Если заменить в неравенстве (13) знак неравенства на знак равенства, то получим два действительных корня к4 ж2 ар
4 = 0, л2 = -
/
и устойчивость решений рассматриваемых систем. Следовательно, равенство ((и2т, + N)/2 - к2ж2EJ) = 0
описывает линию, отделяющую область асимптотической устойчивости от области неустойчивости для систем (10) и (11). Выразим из него скорость движения жидкости (газа) и через длину трубы между опорами /
и (()=1
П
к2 л2 EJ - /2 N
т,
Будем в дальнейшем полагать, что постоянные в уравнении (1) заданы следующим образом: «0 = 8.45 кг, m# = 6.65 кг, Е = 210 • 109, J = 14 • 10-7, N = 1500, а = 0.2, в = 0.5.
На рис. 1 изображены графики функций Ш(/) = U (I) при к = 1 и U 2 (/) = U (/) при к = 2.
При этом областью асимптотической устойчивости на рис. 1 является часть плоскости, лежащая ниже кривых U1(l) и U2 (I) .
Возьмём для примера точку I = 20, U = 30 на рис. 1, U1(20) = 26.628, лежащую в области неустойчивости решений системы уравнений (10). При заданных значениях параметров и нулевых управлениях u1 (t) = 0 , u2 (t) = 0 , среди характеристических чисел матрицы системы линейного приближения
для исходной нелинейной системы (7), (8) имеются характеристические числа с положительной действительной частью. Это влечёт за собой неустойчивость решений системы (7), (8), а после подстановки найденных функций v1(t) = y1, v2(t) = y3 в равенство (5) для прогиба пластины, динамическую неустойчивость решений уравнения (3).
I
Рис. 1. Функция U (I) при k = 1 и при k = 2
В результате под действием линеаризующих управлений м1н (t) , и2, ^) при заданных значениях
параметров системы точкам, лежащим в области асимптотической устойчивости на рис. 1, соответствует динамическая устойчивость, а точкам из области неустойчивости - динамическая неустойчивость трубопровода.
Рассмотрим для случая динамической неустойчивости возможность построения стабилизирующего управления. Для этого исследуем полученную линейную систему (12) на управляемость, используя достаточное условие управляемости линейных систем.
Так как при I Ф 0
(-1) I6
<М{Ъ, ЛЬ} =—-^-- ф 0,
и4 ((( + да*)/2 + к 2ж1р)
то гапк{Ъ, ЛЪ} = 2 при IФ 0 и линейные системы (10), (11) управляемы, что означает для линейной системы возможность построения стабилизирующего управления.
5. Стабилизация нулевого прогиба трубопровода
Покажем один из возможных способов построения стабилизирующего управления для системы линейных уравнений (11), записанной в матричном виде (12) при I = 20, и = 30. Для системы (10) алгоритм построения такой же. Будем искать управление и^) в виде сложной функции и(у(ф, зависящей от переменных у1, у2, которые в свою очередь зависят от безразмерного времени t. Тогда линейная система уравнений (12) после подстановки управления и(у) = е у примет вид
у = (Л + Ъе*) у, (14)
где е = (е1, е2)* - некоторый постоянный вектор. Используя подходящий вектор е, можно изменить значения характеристических чисел матрицы системы. Если в результате подстановки
управления и (у) действительные части всех характеристических чисел матрицы (А + Ь е ) станут
отрицательными, то решения линейной системы (12) будет асимптотически устойчивые, что приведёт к асимптотической устойчивости нулевого решения w( х, /) = 0 уравнения (3).
Таким образом, задачу стабилизации нулевого прогиба трубопровода w(х, I) = 0 для полученной после преобразования Галеркина системы (12) можно переформулировать следующим образом.
Задача . Найти для системы (12) допустимое управление и (у), такое, что соответствующее ему решение системы у1 = 0, у2 = 0 будет асимптотически устойчивым. В системе уравнений (12) сделаем замену переменных:
г = Ту, где Т = {Ь,АЬ}, г = (21,.
Получаем:
г = Рг + с1и,
где Р = Т 1АТ, ё = Т~1Ь , ё = (1,0)*. Или более подробно:
f Z1 >
V z 2 У
f 0 -61.91194Y z, ï
1 -0.00009
V Z2 У
f 1 ï 0
(15)
Стабилизирующее управление для системы (12) будем строить [9] по формуле
/1 0 У1
Будем искать mini lull = min (ef (p, + ef (p, не только по действительной части ф, но и по
u (y ) = e*y, e = T(-1)* ' 0 (p - h), (16)
l Pi 0J
где p = (0.00009, 61.91194)* - последний столбец матрицы P в системе (15), взятый с противоположным знаком, а h - вектор коэффициентов характеристического уравнения
X2 + h1X + к2 = 0
для системы (14).
Обозначим корни характеристического уравнения через X 2 = Р± W*. Находим компоненты вектора e коэффициентов управления u (y ), вычисляя их явно с помощью математического пакета для
ЭВМ по формуле (16). Получив явный вид вектора e коэффициентов управления, как функции переменных ф, y, рассмотрим задачу о минимизации нормы стабилизирующего управления с обратной связью, где
Il u (y)| i-
= SUP^ IN = e12 (P + (Р, .
мнимой части y корней характеристического уравнения системы. Минимум ||u|| ищем в замкнутой области D: -300<р<-1, -5000<у<5000 методом сопряжённых градиентов, начиная спуск с точки р = -1, у = -500.
Получаем min||u|| = 1.1265-108 при р = -7.724116, у = 0.5.
Для асимптотической устойчивости возьмём в качестве корней характеристического уравнения X2 =-7.724116 ±0.5/, тогда вектор h = (-15.448, 59.912)*. Вычисляя по формуле (16), получим стабилизирующее управление для системы (11):
u(y) = -1362.722148y3 +10525.90602y4. Аналогичным образом получим стабилизирующее управление для системы (10): u (y ) = 812.623756y1 +1359.405679y2.
Подставляя найденные управления в системы (10), (11) и решая их методом Лапласа, находим функции
y1 = V1 (t ) = e(-1)) (0.02cosh (0.0000389t ) + 1284.521078sinh (0.0000389t )),
y3 = v2 (t ) = e(-7724116)i ((-0.03)cos (0.49999987t ) - 0.443447 sin (0.49999987t )), управления
О 0.5 1 1.5 Рис. 2. Управление и^ (t)
Рис. 3. Управление и, (t)
Рис. 4. Колебание точки X = 10 :
Рис. 5. Колебание точки X = 4 ]
Рис. 6. Погрешность для X = 10 м Рис. 7. Управляющее воздействие для X = 10 м
и1л ^) = е( ^(57.03465со^(0.0000389t) + 702352.90^^(0.0000389t)),
и2л ^ ) = е(-7724116)) (146.14073^ (0.49999987t) + 36815.903981и (0.49999987t)) .
Затем находим в явном виде линеаризующие управления и1н (t) , и, (t) и из равенств (5), (6) получаем прогиб пластины w( x, t) и управляющее воздействие и ^).
На рис. 2, рис. 3 изображены графики линеаризующих исходную систему управлений. На рис. 4 -рис. 6. приведены результаты численного моделирования применения построенных управлений при заданных параметрах для случая, когда в начальный момент времени t = 0 с деформация и скорость точек пластины задаются равенствами (4) с константами
с1 = 0.02, с2 =-0.03, с3 = 0.03, с4 = 0.01.
На рис. 4 и рис. 5 изображены графики функции w( x, t) при x = 0.5 и при x = 0.2 в безразмерных единицах, что соответствует расстоянию 10 м и 4 м от левой опоры.
Несмотря на то, что при подстановке пробных функций ), ) в уравнения (7), (8) получается
невязка не более порядка 10-8, дальнейшее вычисление невязки для исходного уравнения (3) приводит к накоплению вычислительной погрешности. На рис. 6 изображена невязка ЕЯ(x,t) при x = 0.5 , которая получена путём подстановки найденной функции w(x,t) и управляющего воздействия / t) в уравнение (3). Видим, что с течением времени невязка ЕЯ( x, ^ быстро уменьшается до нуля, следовательно, стабилизирующее управление компенсирует возникающие изначально вычислительные погрешности. График управляющего воздействия / (x, t) для середины трубопровода
x = 0.5 представлен на рис. 7.
В статье показано одно из возможных решений задачи управления динамикой трубопровода на основе метода Галёркина. Для повышения точности построения стабилизирующего управления в рамках изложенного алгоритма без особых затруднений может быть увеличено количество пробных функций.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. - Москва : Физматгиз, 1963. - 880 с.
2. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - Москва : Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1972. - 432 с.
3. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем // Докл. АН СССР. Серия «Механика». - 1980. - Т. 252, №2. - С. 307-310.
4. Вельмисов П. А., Логинов Б. В., Милушева С. Д. Исследование устойчивости трубопровода // Приложение на математиката в техниката: Сб. доклади и научни съобщения. XXI национальная школа. Болгария, Варна, 1995. - С. 299-304.
5. Вельмисов П. А., Корнеев А. В. Математическое моделирование в задаче о динамической устойчивости трубопровода // Автоматизация процессов управления. - 2015. - № 1(39). - С. 63-73.
6. Вельмисов П. А., Корнеев А. В., Киреев С. В. Исследование динамической устойчивости трубопровода // Журнал Средневолжского математического общества. - 2016. - Т. 18, №2. - С. 106-114.
7. Вельмисов П. А., Гладун А. В. Об управлении динамикой трубопровода // Журнал Средне-волжского математического общества. - 2016. - Т. 18, № 4. - С. 89-97.
8. Вельмисов П. А., Гладун А. В. Об управлении динамикой трубопровода в случае его динамической неустойчивости // Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании: материалы XIII Международной научной конференции. (Саранск, 12-16 июля 2017 г.). - Саранск: СВМО, 2017. - С. 381-390. Режим доступа: http://conf.svmo.ru/files/deamm2017/papers/ paper54.pdf.
9. Красовский Н. Н. Теория управления движением. - Москва : Наука, 1968. - 476 с.
REFERENCES
1. Volmir A. S. Ustoychivost uprugikh system [Stability of Elastic Systems]. - Moscow: Fizmatgiz, 1963. 880 p.
2. Volmir A. S. Nelinejnaya dinamikaplastinok i obolochek [Nonlinear Dynamics of Plates and Shells]. - Moscow: Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoy literatury izdatelstva «Nauka», 1972. 432 p.
3. Chelomei S. V. O dinamicheskoy ustoychivosti uprugikh sistem [On the Dynamic Stability of Elastic Systems]. // Academy of Sciences of the USSR. Series «Mechanics». 1980. Vol. 252, no. 2, pp. 307-310.
4. Velmisov P. A., Loginov B. V., Milusheva S. D. Issledovanie ustoychivosti truboprovoda [Investigation of the stability of the pipeline] // Application of mathematics in the technician: Sat. Report and study of the message. XXI National School. Bulgaria. Varna. 1995, pp. 299-304.
5. Velmisov P. A., Korneev A. V. Matematicheskoe modelirovanie v zadache o dinamicheskoy ustoychivosti truboprovoda [Mathematical modeling in the problem of dynamic stability of a pipeline]. // Avtomatizatsiyaprotsessov upravleniya [Automation of control processes]. 2015. no. 1 (39), pp. 63-73.
6. Velmisov P. A., Korneev A. V., Kireev S. V. Issledovanie dinamicheskoy ustoychivosti truboprovoda [Investigation of the dynamic stability of the pipeline] // Zhurnal Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva [Middle-Volga Mathematical Society Journal]. 2016. Vol. 18. no 2, pp. 106-114.
7. Velmisov P. A., Gladun A. V. Ob upravlenii dinamikoy truboprovoda [About control of pipeline dynamics] // Zhurnal Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva [Middle-Volga Mathematical Society Journal]. 2016. Vol. 18. no. 4, pp. 89-97.
8. Velmisov P. A., Gladun A. V. Ob upravlenii dinamikoy truboprovoda v sluchae ego dinamicheskoy neustojchivosti [On control of dynamic of a pipeline in the case of its dynamic instability] // Differencialnye uravneniya i ih prilozheniya v matematicheskom modelirovanii: materialy XIII Mezhdunarodnoy nauchnoy konferencii [Proceedings of the XIII International scientific conference "Differential equations and their applications in mathematical modelling"]. (Saransk, July 12-16, 2017). Saransk: Middle-Volga Mathematical Society, 2017, pp. 381-390. Access mode: http://conf.svmo.ru/files/deamm2017/papers/paper 54.pdf.
9. Krasovsky N. N. Teoriya upravleniya dvizheniem. Lineynye sistemy [Theory of Motion Control. Linear Systems]. Moscow: Nauka, 1968. 476 p.
Гладун Алексей Владимирович, доцент кафедры «Естественнонаучные дисциплины» Ульяновского института гражданской авиации имени Главного маршала авиации Б. П. Бугаева, кандидат физико-математических наук, [email protected]
Вельмисов Пётр Александрович, профессор кафедры «Высшая математика» инженерно-экономического факультета ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный технический университет», доктор физико-математических наук, профессор, [email protected]
Поступила 13.05.2019 г.
