О построении универсального алгоритма управления процессом сближения механических систем с заданным многообразием в условиях неопределённости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теоретическая механика

УДК 531.31:62-56

О построении универсального алгоритма управления процессом сближения механических систем с заданным многообразием в условиях неопределённости

И. А. Мухаметзянов

Кафедра теоретической механики Российский университет дружбы народов улица Миклухо-Маклая, 6, Москва, 117198, Россия

Строится универсальный алгоритм управления процессом сближения с заданным многообразием фазового состояния механических систем любой конфигурации при произвольно действующих на них не управляющих активных сил и ограниченных случайных возмущений.

Ключевые слова: управление, связи, программное движение, универсальный алгоритм управления, процесс сближения.

1. Постановка задачи

Рассмотрим механическую систему, движения которой описываются следующими уравнениями Лагранжа второго рода:

а (дТ\ дТ „

аД^ - ^ = ^ + (1)

где Т — кинетическая энергия системы вида

Т = 1 дтА(д, 1)д + дтЬ(д,1) + То(д,1), (2)

д — п-мерный вектор обобщённых координат, А(д, 1) — (п х п) матрица, Ъ(д, 1) — п-мерный вектор, Т0(д,1) — скалярная функция, Q — п-мерный вектор управляющих сил, ^ — п-мерный вектор неуправляющих активных сил и случайных возмущающих сил, ограниченных по величине.

Элементы вектора Ъ(д,1) и матрицы А(д,1), а также функцию То(д,1) и их производные по д и 1 в области С!(д, 1) функционирования системы (1) будем считать ограниченными и непрерывными. Заметим также, что А(д,1), Ъ(д,1), То(д,1), определяющие конфигурацию системы, кроме этих условий не стеснены другими ограничениями.

Пусть невозмущённое состояние системы (1) задано в виде (п — £;)-мерного многообразия

"(Ч,1) = 0, (3)

где ш — ^-мерный вектор с непрерывными и линейно независимыми в области С(д, 1) элементами, непрерывно дифференцируемыми по д и £ в этой области. Заметим, что к ^ п.

Задача заключается в построении управляющей обобщённой силы в виде комбинации непрерывных и ступенчатых функций от ш и Со, обеспечивающей асимптотическое сближение фазового состояния системы (1) с многообразием (3) при любых начальных условиях до, ^о, ¿о, независимо от конкретного вида А(д,1), Ъ(д,1), То(д,1), Я'.

Статья поступила в редакцию 3 февраля 2011 г.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 10-01-00381-а.

Отыскание вектора в виде функции от ш и Со объясняется тем, что их значения в невозмущённом состоянии (3) равны нулю, а при отклонениях от него становятся отличными от нуля. Следовательно, вектор ш может быть принят в качестве меры отклонения от многообразия (3).

Заметим, что при размерности вектора , равной количеству степеней свободы системы, решение поставленной задачи возможно по принципу декомпозиции [1]. Здесь важной особенностью цели данной работы является решение поставленной задачи при минимальной размерности вектора , равной размерности к вектора ш или при любой размерности 8 вектора Q, удовлетворяющей условию к ^ в ^ п.

2. Алгоритм управления укороченной системой

Для решения задачи переходим от обобщённых координат ^, д2,..., дп к другим обобщённым координатам ,... , являющимся элементами вектора ш, и координатам Р\,Р2,... ,Рп-к, ортогональным к ним.

В силу ортогональности этих групп координат члены аяр матрицы А(д,р,1) кинетической энергии в новых координатах будут равны нулю. Следовательно, кинетическая энергия системы будет иметь следующую структуру:

т = тш + Тр + То(ш,р,г), (4)

где

Тш = - Сот Аш (ш,р,г)Со + Сот Ьш (ш,р,£),

1т т (5)

Тр = -р Ар(ш,р, Ь)р + р Ьр(ш,р,г).

Заметим, что матрица Аш является определённо положительной. При этом уравнение (1) в новых координатах разбивается на две части:

а (дТ\ дТ ^ _

ёй (т)- дш = ^ + (6)

а (дт\ дт ^ ёй {*) - * = ^ + (7)

Систему (6) назовём укороченной системой.

Теперь переходим к преобразованиям, связанным лишь с укороченной системой, считая влияние системы (7) на систему (6) через элементы р и р, входящими в неё через Аш(ш,р,Ь), Ь(ш,р,Ь) и их производные по Ь,р,ш, возмущающимися факторами системы (6). Эти преобразования связаны стремлением замены Т на Тш в (6). Из (4) и (5) следует

дТ дТш .

ИШ = ж = ЛшШ + к. (8)

Следовательно, учитывая (4) и (8), уравнение (6) можно представить в виде

1 (дт^\_ етк = 0 + о> + ЪТе + дТ0 (9)

аг\дш ) дш = Чш + Чш + дш + дш . (9)

После замены правой частью (8) получим оСо

й ,л дЪш дЪш дТ™ дЪт. , дТ дТ0

Ш+ -Шш + 1Й - ~ИГ - Ш ш = + ^ + иш + ШШ . (10)

Это уравнение можно представить более компактно в виде:

^ (Ашй) = <^ш + В^Со + +

дТ^2) дш

(11)

где

Вш =

дК дш

( ^ V

кососимметричная матрица,

~ = дТр + дтъ_ дЬ„ . _ дЬ„ , = дш + дш дР р т •

Определим скалярное произведение (11) на (Со + 2ш), умножая сначала на Со, а затем на 2ш. При умножении (11) на Со в его левой части получим

Сота (АшСо) = ^ (СотАшСо) — СотАшСо,

где Со1 АшСо = 2ТЬ

_ отЧ2)

Теперь, добавляя в обе части уравнения (11) сумму

_.т дТ^2) дш

.тдтЬ2)

Р

дтЬ2)

др дЪ

получим

dí

ш

яш + В1ш + + ш

т 9АШ 2дш

ш

. т аАш .

(12)

Скалярное произведение (11) на 2ш имеет следующий вид:

а (шт2АшСо) = шт2Ашш + 2ш7

ш + ^ 2дш ^

(13)

так как

2штаа(Ашй)=ак2АШй)—{с?2АШй), ^=

а

' 2 дш1

Суммируя (12) и (13), получим

а {штАшш + шт2АшСо) =

= (ш + 2со)Т(яш + + йт + —

^ + 2Л^й. (14)

Вектор обобщённой силы управления зададим в виде:

Яш = иш — БСо — 2Сю,

(15)

где О и С — знакоопределённые положительные постоянные к х ^-матрицы, иш — ступенчатая часть , определяемая ниже.

При подстановке (15) в (14) в правой части появляются члены:

„т ^ т d(uiTDui) rr

- (ш + 2шу DOJ = -шт2Dw - штDw =--—- - ооDw,

„ T rri ГГ1 d (u)^Cu\ ГГ1

- (й + 2d)1 2Сш = -шт2Сй - Си =--—- 4штСи.

Первые слагаемые правых частей этих выражений перенесём в левую часть (14). Тогда уравнение (14) принимает вид:

d

— [штАшй + шт2АШй + шт(D + С=

(и + 2ш)Т (ии + йт+ Втй + Q^ -

от {-At - + - 4штСш. (16)

— со

При задании матриц D и С, удовлетворяющих условию D + С > Аш, функция V = йтАшй + шт 2Ашш + шт (D + С )ш (17)

в левой части (16) становится положительно определённой функцией вида

V = (ш + ш)тАш (ш + ш) + штСш, (18)

где С = С + D -Аш.

Действительно, функцию (17) можно представить в виде:

V = штАиш + шт 2Ашш + шт Ашш + штСш. Первые три слагаемые этой суммы можно представить в виде

штАшш + шт2Ашш + штАшш = (ш + ш)Т Аи (ш + ш). (19)

Следовательно, функция (17), являющаяся знакоопределённой положительной функцией, допускающей бесконечно малый высший предел по ш, ih, может быть принята в качестве функции Ляпунова для стабилизации невозмущённого состояния ш = 0, lv = 0 системы, если можно добиться знакоопределённой отрицательности правой части (16) подходящим выбором функции Uu и матриц С и D.

Для выбора Uu предложим способ, аналогичный принципу декомпозиции [1]. Для этого вектор Uu выберем в виде:

иш = -sign (ш + 2ш)Т (Uo + ioTD0io) , (20)

где Uo — постоянный вектор, удовлетворяющий условию

Uo >

Q и

(21)

так как (Со + 2ш)тВ'^со = 0, 6от Б06о — вектор с элементами штСо, где — определённо положительные (к х £;)-матрицы, удовлетворяющие условию

п 1

Uoi > 2 max

дА.

dui

(22)

При этом первый член в правой части (16) имеет следующее выражение:

к

(ш + 2ш)Т U- = ^ - (Шг + 2wi)[(Uoi + wTD0iш) sign (йл + 2wi)] < 0,

г=1

где и^г — положительные элементы вектора Uo.

Таким образом, правая часть (16) принимает вид

к

W = - (йг + 2шг)[(иог + йтDoгй) sign (йг + 2шг)] -

г=1

- йТ (1аАг - 2А- + - 4штСш. (23)

При условии

1 А

-2Аш + D> ^, С > 0 (24)

функция W становится знакоопределённой отрицательной функцией от ш, ш. Следовательно, при выборе Uu в виде (20) невозмущённое состояние ш = 0, ш = 0 системы (6) будет асимптотически стабилизировано.

Таким образом, искомый вектор обобщённых сил управления построен в виде (15), где иш, представляющая собой ступенчатую часть управления, имеет вид (20).

3. Алгоритм управления исходной системой

Теперь необходимо определить вектор обобщённых сил управления ( исходной системой (1). С этой целью определим зависимость между ( и построенной в п. 2 функцией ((ш. Для этого определим сумму элементарных работ всех активных сил управления

<5Аа = (т5д, (25)

где ёд — вектор изохронных вариаций элементов д.

Выделим из (25) элементарную работу 5А% = ш, совершаемую лишь при вариациях

5ш = Пёд, (26)

Ош п л

— прямоугольная ( к х п) матрица-строка.

вытекающих из (3), где П

од

Из системы к уравнений (26) определим элементы вектора 5д в количестве п через к элементов вектора 5ш. Для этого вектор 5д разложим на две составляющие: ( 5д) N — вектор, нормальный к многообразию (3), и (5д)т — вектор, касательный к (3). Первый из них ищем в виде (5д)^ = ПТА, где Л — к-мерный искомый вектор.

Подставляя

^ = ( q)N + ( Ч)т (27)

в (26), получим А+П(5д)т = 5ш. Следовательно, имеем (5g)N = 5ш.

Подставляя в (25) значение (27), получим

<5 Аа = QT Пт (ППТ )-15ш + QT (Sq)

Второй член в правой части этого выражения не зависит от 5ш. Следовательно, частью суммы элементарных работ управляющих сил, совершаемых на элементарных перемещениях 5д, вносящих вклад в вариацию 5ш, является

5А* = (т Пт (ППТ )-15ш,

откуда

01 = 0т пт (ппт )-1. (28)

Если вектор обобщённых сил управления исходной системой (1) задавать в виде Q = Мои, где и — r-мерный вектор управления, М(q, q, t) — матрица (п х г), удовлетворяющая в области G условию det ||МТМ0|| = 0 и !Мо = 0, то при подстановке Q = М$и в (28) получим следующую систему к уравнений для определения г элементов вектора и:

(ППТ )-1!М0и = Q^. (29)

Заметим, что правая часть этого уравнения была определена в виде (15), где иш имеет вид (20).

Решение уравнения (29) относительно и можно представить в виде [2]:

и = йТ (ППТ)-1 Q^ + ит, (30)

где QT = (Ит)-1ПМо, det ||ППТ|| = 0, ит — r-мерный произвольно задаваемый вектор, удовлетворяющий условию й,ит = 0, который можно представить в виде [2]:

Е — ПТ (ПйТ)-1 П

где Е — единичная матрица, и — произвольный вектор. Заметим, что при г = к матрица П является квадратной, причём Е — QT (ПП^ П = 0. Следовательно, имеет место ит = 0. Отсюда следует, что минимальная размерность вектора управления и может быть равна размерности к вектора ш при к < п. Как отмечалось в п.1, в этом заключается принципиальное преимущество предлагаемого здесь метода управления от принципа декомпозиции [1] при задании невозмущённого состояния системы в виде (п — к)-мерного многообразия (3).

Следует отметить также то, что в случае г > к, полагая ит = 0, в силу произвольности вектора ит, получим вектор управления и, имеющий минимальную евклидову норму, в виде

и = ПТ (П!)-1 (иш — Du — Сш), (31)

где иш — ступенчатая функция (20).

В частном случае к = г = 1 матрицы Мо и !Т становятся п-мерными векторами-столбцами, а С, D, иш, Uo, ш — скалярными величинами. При этом из (31) получим скалярное управление

П2

и = ^ U — Duo — Сш), (32)

А

где Л — скалярное произведение векторов Мо и !т, Uш — выражается в виде (20).

4. Примеры

4.1. Управление движением точки по намотанной на круглый цилиндр винтовой линии

В качестве обобщённых координат примем цилиндрические координаты: г = R = const — радиус поперечного сечения цилиндра, z — координата, определяющая положение центра поперечного сечения цилиндра, на котором находится движущаяся по нему точка, р — полярный угол поворота прямой, проходящей через точку и центр сечения.

Для простоты примем массу точки, равной единице. При этом проекциями скорости точки на оси цилиндрической системы координат являются vr = г, vv = гр, vz = z. Следовательно, имеет место

v2 = г2 + г2р2 + z2. (33)

При г = R = const обобщёнными координатами являются q\ = р, q2 = z.

Параметрическое уравнение винтовой линии имеет вид z = t, р = kt, где к — параметр, определяющий шаг винта h = 2л/к. При этом уравнением невозмущённой траектории точки является ш = р - kz = 0.

В возмущённом движении происходят отклонения от этой траектории и имеет место ш = 0, со = 0.

Теперь от обобщённых координат р и z переходим к новым ш и р. Производную по времени от р ищем в виде р = ар + Ы, где а и b — постоянные, определяемые из условия отсутствия в v2 в новых координатах ш и р члена, содержащего произведение шр.

Теперь р и z в (33) путём решения системы со = р - кz, р = ар + bz заменим на z = (р - аш) / А, р = (Ъш + кр) /А, где А = ак + b = 0.

Подставляя эти выражения в (33) с учётом г = 0, получим

2 1 « = Д2

R2 (boo + кр) + (р — acó)2

Отсюда и2 = Ашш2 + АРр2 + Ашршр, где

= R2b2 + а2 = R2k2 + 1 = R2bк - а

А = Д2 , АР = Д2 , АшР = Д2 • (34)

Определим a и b из условия Ашр = 0 в виде a = kR2b. При этом имеем А = (k2R2 + ^ Ь, а из условия А = 0 следует b = 0. Подставляя значения a, А в (34), получим

А = R2 А =_1_

А 1 + R2к2 , Ар Ъ2 (1 + R2k2),

где b можно задавать произвольно при условии b = 0.

При одномерном, т.е. скалярном управлении и, задавая Mq в виде Mq = ||ц1,ц2|| и учитывая П = ||1, —к\\, Аш, Ар — постоянные величины, из (32) получим выражение управления и в виде

и = [—Uosign (u + 2u) — Do — 2Cu], (35)

л

где П2 = 1 + к2, X = ц1 — кц2 = 0.

Из условия X = 0 следует, что при выборе цi и Ц2 необходимо исходить из цi = кц2. Значение U в (35) необходимо выбрать из условия U > max |, где значение max IQ'U | можно оценить, выражая Q'u через Q с помощью (28).

Например, при отсутствии возмущений значение ( определяется моментом силы тяжести точки, равной тдЯ вшр. Следовательно, значение и<о в (35) можно взять равным и0 = тдК/(1+к2), так как тах | < тдН/(1+к2). При этом управление (35) примет вид:

1 + к2 — кЦ2

mgR

2 sign (ш + 2ш) — Du — 2Сш

1 + к

где В > 2Я2/(1 + Я2к2), С> 0, ц = кц.

Заметим, что (¡1 — к¡12) является скалярным произведением вектора ( на вектор Мо Следовательно, при равенстве этого произведения нулю управляющий вектор ( будет лежать в касательной плоскости к многообразию ш = р — кг = 0. Поэтому изменениями ш, происходящими в подпространстве, нормальном к этому многообразию, точкой управлять невозможно. Следовательно, при таком управлении процесс стабилизации многообразия становится не управляемым.

и

4.2. Управление движением точки по намотанной на тор винтовой

линии

При движении точки по поверхности тора с постоянным радиусом г = R = const поперечного сечения в качестве обобщённых координат примем тороидальные координаты: г = R = const — радиус поперечного сечения тора, р — угол поворота прямой, проходящей через точку и центр сечения, при относительном движении точки по внешней окружности движущегося сечения, ф — угол поворота поперечного сечения тора вокруг вертикальной оси, проходящей через центр тора.

Параметрическое уравнение винтовой линии имеет вид аф = t, р = kt, где а — расстояние от центра поперечного сечения до оси вращения вокруг вертикальной оси ( а > R). При этом уравнением невозмущённой траектории точки является ш = р — кф = 0. В возмущённом движении происходят отклонения от этой траектории и имеет место ш = 0, ш = 0. Для простоты массу точки примем равной единице.

При этом проекциями скорости точки на оси тороидальной системы координат являются vr = г = 0, vv = Rip + (а + Rcosp)ip. Следовательно, имеем

v2 = R2p2 + (а + R cosp)2ip2. (36)

Теперь от обобщённых координат p и ф переходим к новым ш и р. Производную по времени от р ищем в виде р = rip + Ьф, где а и b — определяются из условия

2

отсутствия в выражении 2 в новых координатах ш и члена, содержащего произведение шр.

Теперь р и ф в (36) путём решения системы ш = р — kip, р = ар + Ьф заменим

на

р — aui ■ bui + кр р = ^~, ф = ,

где А = Ь + ка = 0.

Подставляя эти выражения в (36), получим

V2 = Ашш2 + Арр + Ашршр,

где

_a2(a + R cos^)2 + b2R2 _ (a + R cos'p)2 + R2k2

А,,, — rr, , Ар —

ш Д2 ' P Д2

R2bk — а(а + R cos p)

А = —

А,р = Д2

2 Г ^ (37)

Из условия Аш„ = 0 следует Й*кЬ - а(а + Rс^р)2 = 0, откуда b = (а +

R2

R cos р)2.

При условии а = 0 можно выбрать а произвольно. Например, при а = 1 имеют место

~ ( a + R cos<)2 R2k2 + (a + R cos<)2

Ш ' А= ш .

Подставляя эти выражения в (37), получим

R2 (а + R cos^)2

АШ --7 О / I — , АР —

R4k2

R2k2(a + R cos р)2 ' р R2k2 + (а + R cos^)2'

(38)

При одномерном, т.е. скалярном управлении и при задании вектора Мо в виде = ||¡11,^21|, учитывая П = ||1, —к\\, получим из (20) управление и в виде

—2

и = — [— (Uo + OTD0U) sign (i + 2ш) — Dio — 2Co] ,

(39)

где П2 = 1 + к2, X = ц1 — кц2 = 0, U > max Qu . Из условия X = 0 следует, что при выборе ц1 и ц2 необходимо исходить из ц1 = кц2.

Значение U в (39) необходимо выбрать из условия U > max IQ'U|, где значение max IQ'UI можно оценить, выражая Q'u через Q' с помощью (28). Например, при отсутствии возмущений значение Q', определяемое моментом силы тяжести точки, равной mgR sinp, можно оценить так:

, „/ , ,, ^ rn.gR тах((тд)| < .

Следовательно, значение Ио в (35) можно взять равным Ио = тдК/(1 + к2).

дТ

Теперь оценим член -7—^-, входящий в выражение Ош в (11). дш

(40)

1

Имеем Тр = —ртАрр, где Ар имеет вид (38), а её производную по ш представим

в виде:

гр дш

Так как —— = 1, то др

дАр дАр др дш др дш'

дАр дАр 2R5k2(a + R cos р) sin р дш = др = [R2k2 + (а + R cos р)2]2 •

Следовательно, имеет место оценка

Теперь оценим max вию (22) вида Do > max

max

8Аи

дА„

дш

<

2 R5k2(n + R)

(41)

(42)

дш ЗА,

дш

Щ2к2 + (а - R)2]2'

для выбора значения Юо, удовлетворяющего усло-Для этого, обращаясь к (38), определим

дш др

дАш дАш

-2 R2 ( a + R cos p) sin p [R2k2(a + R cos p)2] + 2R3 sin p(a + R cos p)3 [R2k2 + (a + R cos p)2]2

Отсюда

max

—A—

дш

<

2 R3( a + R)3(Rk2 + 1) [R2k2 + (a - R)2]2 '

Следовательно, условие (22) выполняется при

2 R3( a + R)3(Rk2 + 1)

Do >

Теперь оценим значение max

[R2k2 + (a - R)2]2 d A—

(43)

(44)

(45)

dt

D > max

необходимое при выборе D, из условия (24): —A—

d

+ 2 max A—

(46)

Имеем —A— = —А—ф. Отсюда в силу (43) имеем

d

Из (38) следует

— ф

max

d A—

d

<

2 R3( a + R)3(Rk2 + 1) [R2k2 + (a - R)2]2

max |ф

maxA— <

R2(a + R)2 R2k2 + (a - R)2

(47)

(48)

Таким образом, значение и0 в (20), удовлетворяющее условию и0 > \((ш\, оценивается неравенством

U0 > max IQ— (mg)| + max

дАъ

дш

max Iр I ,

(49)

где первое слагаемое правой части (49) оценивается неравенством (40), а значение дА

" выражением (42). Значение Юо в (20) оценивается неравенством (45),

max

дш

а max |р2 | — неравенством max | р2 | ^ max ^|аф| + Ьф

Итак, построено управление (39) с параметрами Do, Uo, С, выбираемыми из условий (45), (49), С > 0, а D — из условия (46) путём замены в нём значений d A—

max —и maxA—, правыми частями (47) и (48).

d

4.3. Управление процессом нарезания резьбы на круглую цилиндрическую трубу

Процесс нарезания резьбы на внешнюю или внутреннюю поверхность трубы можно осуществить двумя способами: двигая и вращая трубу относительно неподвижного резца или двигая и вращая резец относительно неподвижной трубы. Такими способами можно осуществить этот процесс одним и тем же законом поступательного движения оси трубы с одновременным вращением вокруг этой оси или теми же движениями резца с держателем. Зададим закон этого движения в

следующем параметрическом виде:

г = I, ф = Ы,

где г — координата центра масс движущегося тела на прямой, параллельной оси цилиндра, ф — угол поворота тела вокруг этой оси. При этом на внешней или внутренней поверхности трубы описывается винтовая линия ш = ф — кг с шагом к = —-—, где К — радиус наружной окружности трубы за вычетом глубины к

резания в случае нарезания резьбы на внешнюю поверхность трубы, в случае нарезания резьбы на внутреннюю поверхность трубы К есть радиус внутренней окружности трубы плюс глубина резания, к — заданная постоянная, определяющая шаг винта.

Как известно, при этом кинетическая энергия движущей части определяется по формуле Кёнига:

22

Т = ^ + ^Г, (50)

где т — масса движущегося тела, 3 — момент инерции этого тела относительно оси трубы. В случае движущегося резца с держателем положение их центра масс будем считать лежащим на оси трубы.

Теперь вместо обобщённых координат г и р введём новые ш и р, причём производную по времени от р будем искать в виде р = аф + Ы, где а и Ь определим из условия отсутствия в выражении Т в новых координатах члена, содержащего произведение ш .

Теперь представим Т через ш и , подставляя в (50) значения

р — аш . Ьш + кр

* = ф =

где А = ак + Ь = 0, найденные из уравнений

ш = ф — кг, р = аф + Ы.

Получим

Отсюда где

Т = (р + ай)2 + ¿2 (йЬ + кР)2 Т = \йтАшй + 1 ртАрр + Ашрйр,

1 ♦ Т л ♦ 1 'Т

j Ашш+ 2р

2 2 2

. 'ma + J b . m + Jk . Jkb — ma

Аш = д2 , Ар = Д2 , А^р = Д2 .

Тк

ор = 0 следует, что а =

через , получим

Из условия АШр — 0 следует, что а — — Ь. Подставляя значение а, выраженное

m

А= (м* + 'ь - Jm А =_m2_. (51)

m ' ш Jk2 + m' р b2 (Jk2 + m)

Заметим, что параметр b, входящий в (51), можно задавать произвольно при условии = 0.

При одномерном, т.е. скалярном управлении и, задавая вектор Mq в виде Мт = Ц^^Ц и учитывая Q = ||1, -к\\, из (32) получим

и = —г [U0sign (й + 2й) + Du + 2Сш], (52)

Л

где Uo > max|Q— |, так как A— и Ap являются постоянными, Q2 = 1 + к2, X = — кц2 = 0. Отсюда вытекает необходимость соблюдения условия = кц2 при выборе и ¡j,2.

Значение Q— можно определить из (28) через Q'. Например, при отсутствии случайных возмущающих сил max |Q— | оценивается неравенством

, max |МС| + k max |РС| max\Q—| <-f+p-, (53)

где Мс — момент сопротивления резанию относительно оси вращения, Рс — сила сопротивлению резанию вдоль оси трубы. Следовательно, значение Uo в (52) может быть принято равным правой части (53). Заметим, что данный процесс можно осуществить путём управления лишь вращением вокруг оси цилиндра, оставляя движение вдоль оси произвольным. При этом ^2 = 0, = 0, а значение Uo оценивается неравенством U0 ^ max |^М^с|/(1 + к2).

Литература

1. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Доклады АН СССР. — 1988. — Т. 300, № 2. — С. 300-303. [Pyatnickiyj Е. в. Рппар dekompozicii V иргау1епп шекЬап1сЬе8к1ш1 8181ешаш1 // БоЫаёШ ЛМ ЯБЯК. — 1988. — Т. 300, N0 2. — Б. 300-303. ]

2. Мухаметзянов И. А. Построение уравнений программных движений // Автоматика и телемеханика. — 1972. — № 10. — С. 16-23. \Mukhametzyanov I. А. Роэ^оеше uravneniyj рг^гаттпШкЬ dvizheniyj // Avtomatika i 1е1ешекЬатка. — 1972. — N0 10. — Б. 16-23. ]

UDC 531.31:62-56

On Construction of the Universal Controls Algorithm of the Approachs Pocess Mechanics Systems with Given Manifold Provided that Indeterminancy I. A. Mukhametzyanov

Department of Theoretical Mechanics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

The procedure of construction of the universal controls algorithm of the approachs process mechanics systems with given manifold provided that indeterminancy is proposed.

Key words and phrases: control, constraints, programmed motion, universal controls algorithm, approachs process.