О построении систем с квазиинвариантными программными связями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.31:62-56

О построении систем с квазиинвариантными программными связями

И. А. Мухаметзянов

Кафедра теоретической механики Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Предлагается процедура построения множества дифференциальных уравнений регуляторов, обеспечивающих стабилизацию программного многообразия управляемой системы при произвольных значениях случайных параметров, входящих в выражения возмущающих функций заданного класса.

1. Постановка задачи

Пусть дана система дифференциальных уравнений движения объекта управления в виде

х1 = ^(ж,и, + К(ж,£)5, (1)

¿2 = и, М)>

где Ж1, , 5 — з-мерные, ж2, — (п — з)-мерные, и — г-мерный, ж(ж1,ж2) — п-мерный векторы; К — (в х з)-мерная матрица.

Предполагается, что ёе1 ||К|| = 0 в некоторой ограниченной области О.

Требуется построить множество дифференциальных уравнений регуляторов, определяющих изменения вектора управления и, обеспечивающих интеграль-ность и асимптотическую устойчивость «в большом» (п — к)-мерного программного многообразия

ш(ж,£) = 0 (2)

системы (1), подверженной действию возмущений 5(с,¿), при любых случайных значениях конечномерного ограниченного постоянного вектора с.

Заметим, что функция ш(ж,£) в (2) является к-мерной непрерывной и непрерывно дифференцируемой в О вектор-функцией.

В общем случае каждая компонента вектора 5 может зависеть от соответствующего количества компонент вектора с. Следовательно, максимальная размерность вектора с может достигать величины ^ щ, где щ — количество постоянных

1=1

с1,..., сгп, входящих во все компоненты 5^ (г =1,2,..., в) вектора 5.

Таким образом, предполагается аппроксимация любой реализации возмущений 5 конкретным выбором постоянных параметров с^ (V = 1,..., щ; г = 1,..., в).

Идея метода борьбы с возмущениями 5 заключается в том, чтобы сделать заданное невозмущённое состояние (2) системы (1), замкнутой дифференциальными уравнениями регулятора, асимптотически устойчивым «в большом» не только к случайным начальным отклонениям от многообразия (2), но также и к случайному изменению вектора с для любых реализаций из некоторой заданной ограниченной области, не выводящей систему (1) из области О.

В случае, когда в качестве невозмущённого состояния принимается одно из частных решений системы (1), инвариантность и квазиинвариантность сводятся

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ грант №06-01-00664).

е—

—е

к определениям, принятым в работах В. С. Кулебакина [1], Б. Н. Петрова [2], тесно связанным с теорией К(Б)-изображения [3].

В этом случае многообразие (2) невозмущённого состояния системы имеет нулевую меру и, следовательно, не охватывает в полной мере поставленную здесь задачу.

Следует отметить, что литература, посвящённая решению проблемы инвариантности, восходит к работам Г. В.Щипанова [4], Н.Н.Лузина [5], В. С. Кулебакина [1,6]. Проблемам возникновения, развитию и обсуждению состояния теории инвариантности были посвящены три Всесоюзных совещания учёных-специалистов, труды которых изданы АН СССР в 1959 г. [7], в 1964 г. [8] и в 1970 г. [9]. В дальнейшем развитию этой проблемы были посвящены работы В. В. Величенко [10], О.Н.Фоменко [11] и других.

2. Решение задачи в упрощённой постановке

Рассмотрим случай, когда вектор возмущений ¿(t, ci, С2,..., cs) в системе (1) является общим решением уравнения

¿ = /о(М)

с постоянными интегрирования ci, С2,... ,cs.

Например, когда система (1) возмущается (2si + 1)-мерным вектором ¿(¿о, ¿i,..., ¿2S1) с элементами

So = co, ¿i = ci sin pit, ¿j = cj cos pit,

i = 1,2,...,si; j = si + 1,...,2si ( )

компоненты вектор-функции fo (¿, t) можно задавать в виде

foo = 0, foi = ¿iPi ctg Pit, foj = -¿jPj tg Pit,

где pi > 0 — заданные постоянные, co, ci, cj — случайные постоянные. Заметим, что возмущения (3), в частности, могут задаваться s = 2si + 1 членами ряда Фурье при разложении семейства произвольных периодических функций с любым заданным периодом.

Условие det ||R|| = 0 в области G позволяет выражать вектор ¿ с помощью первого уравнения (1) в виде

¿ = R-i[xi - pi(x,t)]. (4)

Дифференцируя (1) по t и подставляя в них (4) и ¿ = fo (¿, t), где ¿ заменяется правой частью (4), получим

dtpi dtpi dtpi dR !

3(P2 . , 0(P2 . , дф2 r , 9^2 ( )

Ж2 = + + + ~ÖT ■

du dx d¿ dt

Эти уравнения можно представить в виде

д

X = -г— Ú + /(¿, X, U, t),

du

где p = || 1|; f — n-мерная вектор-функция, составленная из элементов правых частей (5), не содержащих вектора U.

е—

—ф

ф-

-е

Дифференцируя (2) в силу этих уравнений два раза по Г и приравнивая правую часть некоторой вектор-функции Ф, получим

= ф,

(6)

где

дж ди

дш ~ дш . дш .

~ ~ + ж>ж> И>

дж дж дг

Ф(ш, ш, ж, ж, и, Г) — произвольная вектор-функция, удовлетворяющая условию Ф(0, 0, ж, ж, и, £) = 0 и обладающая способностью обеспечивать асимптотическую устойчивость «в большом» тривиального решения ш = 0, ш = 0 уравнения [12]

ш = Ф(ш, ш, ж, ж, и, £).

(7)

Предположим, что ёе1 || =0 в области О. В этом случае общее решение

системы (6), состоящей из к конечных уравнений относительно г компонентов вектора и, при г ^ к имеет вид [13]

и = ПТ {ППТ )-1ф + [Е — )-1^]и, (8)

где Е — единичная (г х г)-матрица, и — произвольная г-мерная вектор-функция.

Полученное уравнение (8) является искомым множеством дифференциальных уравнений регуляторов объекта управления (1).

Необходимо отметить, что от подходящего выбора произвольной вектор-функции Ф в правой части (7) зависит качество переходного процесса в системе (1), (8). В связи с этим приведём один из возможных способов выбора функции Ф, позволяющего наделить систему необходимым качеством переходного процесса. С этой целью, умножая (7) на некоторую симметрическую определённо-положительную (к х к)-матрицу А(ж,£), получим

Аш = АФ.

(9)

Введём замену [14]

у = ш — / (ш,£), / (0,£) = 0, (10)

где /(ш, Г) — произвольная к-мерная вектор-функция с ограниченными и дифференцируемыми в области О элементами, допускающая бесконечно малый высший предел по модулю.

Умножая уравнение (9) скалярно на у, получим

1^(уТАу) = утАФ. Если вектор АФ в правой части этого уравнения выбрать в виде [14]

(11)

АФ

= -Ву-Рш-

АШ У+А

Ё1\

дои) 1 дЬ

1дЛ 2 ёГ

то (11) принимает выражение

(12)

1(1V 2

—УТ Ду + /Т Г + ш

~2

ш,

(13)

где Д, Г — некоторые произвольно выбираемые симметрические определённо-положительные матрицы, V = уТАу + шТГш — определённо-положительная функция Ляпунова, допускающая бесконечно малый высший предел. Следовательно, при достижении определённой отрицательности функции (/ТГ+шТГ/2)ш

ф"

соответствующим выбором матрицы F и функции f правая часть (13) будет определённо-отрицательной по y, и и при этом программное многообразие (2) будет асимптотически устойчивым «в большом» в области G. В частности, при f = —и вектор (12) имеет вид

,, „ „ .. 1dA АФ = -Dy - Flo - Alo - -—у. у 2 di

Здесь dA/dt предполагается ограниченной в G. Теперь из (12) получим Для оценки качества переходного процесса, интегрируя обе части (13), полу-

чим

сю

yTDy-[fT + LOT^ )lo

dt=^Vo, Vo = V(to). (15)

Это равенство является интегральным критерием качества переходного процесса. Имея свободу выбора матриц Д, F, А и функции f, подынтегральному выражению и функции V можно придать нужную структуру с необходимыми весовыми элементами.

При задании конкретного числового значения Vо уравнение

^Ауо + и^ио) = Уо (16)

в 2к-мерном пространстве Со о, Со описывает эллипсоид, поверхность которого является геометрическим местом точек, обладающих следующим свойством. Для начавшихся из них движений имеет место интегральный критерий качества переходного процесса (15), а для всех начальных значений ссо, Со внутри эллипсоида (16) справедлива оценка качества переходного процесса

сю

J\yTDy-(fT + LOT^y • 1

dt<-V0, Vo = V(to),

где Vо —значение V (¿) на поверхности (16).

3. Алгоритм решения задачи в общей постановке

Допустим, что удалось построить дифференциальные операторы

Р^(г,а1,С2 )] =0, г = 1, 2,..., в. (17)

Подставляя в (17) найденное из первого уравнения (1) выражение ё вида (4), получим векторную форму (17)

Р[Е-1 х 1 - Е-1р1 (х,п,Ь)] =0. (18)

Система (18) состоит из в дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет порядок (1 + щ). Таким образом, вместо (1) получается расширенная система [ ]

Р[Е-1ж 1 - Е-1^(ж,М)]=0, (19)

X 2 = ф2(х,и,6,Ь). (20)

ф-

-е

ф-

-е

Для того чтобы эта система была эквивалентна системе (1) необходимо найти соответствующие начальные условия. Для этого нужно продифференцировать уравнения первой группы системы (1) (п — 1) раз и подставить в них х¿о, иго, ёо, т.е. снова получить случайные начальные условия для системы (19), (20).

Заметим, что построением системы (19), (20) вместо (1) достигается явная независимость системы уравнений движения от возмущений ё(с, £), но при этом сохраняется их влияние на начальные условия.

Теперь решение поставленной задачи может быть получено путём построения дифференциальных уравнений регулятора, обеспечивающего интегральность многообразия (2) для системы (19), (20) и асимптотическую устойчивость «в большом» этого многообразия при начальных отклонениях от этого многообразия, зависящих от случайных постоянных компонентов вектора с.

Предположим, что система (19) в области О разрешима относительно старших производных переменных х. Тогда систему (19), (20) можно привести к виду

^) = (¡М) (х, и, г) + (х<М-1), -1),..., х, х, и(М-1) ,..., и, и, г)

м = 1,..., 11,

Vго*) = (т) (х, и, г) + ^ (хр-1), х^-1),..., х, х, и(М-1),..., и, и, г),

(21)

V = ¿1 + 1, . . . ,

х2 = (2 (х, и, ё, £),

где ё имеет выражение (4); N — наибольшее из чисел п; ¿1 —количество уравнений системы (19), имеющих порядок N; < N; х^ —компоненты вектора х, входящие в (19) с наибольшим порядком N дифференцирования по xV — компоненты вектора х, входящие в (19) с порядком дифференцирования по £ меньше N.

После дифференцирования (2) в силу системы (21) по £ N раз получим

и

(М)

= ^ ^„("-1) + р (¿N-1) А и(М-2) й Л дх ди V /

(22)

I. х — 1

где Е — часть и(М), не содержащая х — вектор с компонентами х^

(м = 1, 2,..., ¿1); ф — вектор с компонентами (м =1, 2,..., ¿1).

Приравниваем правую часть (22) произвольной к-мерной вектор-функции Ф(и(М-1),..., и, и, х(М-1),..., х, х, и(М-2),..., и, и, £), удовлетворяющей условию

Ф( 0,..., 0, 0,х(М-1),...,х,х,и(М-2),...,й,и,г)

= 0

и обладающей способностью обеспечивать асимптотическую устойчивость «в большом» тривиального решения и = 0, и = 0,..., и(М-1) = 0 уравнения

) = Ф.

и

Тогда для определения г компонентов вектора и(М-1) получим к конечных уравнений вида

-1) = ^ (х(М-1),..., х, х, и(М-2),..., и, и, г), (23)

где

дх ди

Если в области О ёе! Т| = 0, то общее решение системы (23) может быть представлено в виде [13]

-1) = (^Т )-1д + [е — (^Т )-1^]

(24)

х

х

и

ф-

где и — произвольная г-мерная вектор-функция, Е — единичная (г х г)-матрица.

Уравнение (24) и есть множество искомых дифференциальных уравнений регуляторов, обеспечивающих асимптотическую устойчивость «в большом» и ин-тегральность многообразия (2) при действии на исходную систему возмущений 5(с,г). Заметим, что при г = к уравнение (24) становится единственным, так как при этом [Е - ПТ(ППТ= 0.

Следует отметить, что некоторые элементы вектора и в (2) могут быть заданы независящими от переменных х. или одновременно и от х., и от х„. При этом такие элементы вектора и необходимо дифференцировать по г в первом случае раз, а во втором —один раз. В этих случаях в систему конечных уравнений (23) войдут элементы вектора и со старшими производными разных порядков. Систему (23) в таких случаях следует решать относительно старших производных всех элементов вектора и. При этом система дифференциальных уравнений регуляторов будет состоять из уравнений разных порядков относительно производных вектора и.

В заключении приведём способ получения дифференциального оператора (17), предложенный в работе [11].

Пусть элемент 5г вектора 5 задан в виде

6г = Фг(г, сь...,Ст) и определены его производные по г

Ф(к)(г, С1, .. . , Ст) = , к = 1, 2,..., ш - 1.

(25)

(26)

Если удастся разрешить системы (25), (26) относительно одного из постоян-

ных С

р

Ф«( г, 51,51

,5(Г-1Л = С„

то производная по г функции ф

р

т— 1

дФ

дФ.

будет представлять собой оператор (17) порядка ш. В [11] приведены операторы (17) некоторых наиболее характерных типов возмущений. Если возмущение линейно зависит от постоянных Ск

5г = Ск ак (г),

к=1

то оператор (17) ищется в виде линейного однородного уравнения ш-го порядка

т— 1

5г(т) +53 Ьк(г)5(к) = 0. (27)

к=0

В этом случае функции ак (г) являются фундаментальными решениями уравнения (27). Следовательно, коэффициенты Ьк (г) этого уравнения определяются из системы конечных уравнений

т— 1

а^Ьк = —а^т), = 1, 2, ...,ш.

к=0

0

ф"

4. Построение уравнений регулятора системы квазиинвариантной стабилизации программной ориентации преследующего тела

В качестве примера рассмотрим твёрдое тело, жёстко связанное с подвижной системой координат схуг. Дифференциальное уравнение для главного вектора управляющих сил и2 построим так, чтобы центр масс с двигался по кривой погони за преследуемой точкой о при её движении по произвольному закону го(£) относительно инерциальной системы координат 01х1у1^1. При этом вектор управляющих моментов и1 относительно центра масс тела должен быть таким, чтобы одна ось тела, например сг, асимптотически стремилась занять направление со. Следовательно, программная ориентация тела в этом случае может быть задана выражениями

и1 = к ■ е = 0, и2 = к ■ V = 0, г = 1, 2, (28)

где к1, к2 — орты осей сх и су; е — орт вектора со; V — вектор абсолютной скорости центра масс тела; (■) —знак скалярного произведения.

Известно, что движение центра масс в инерциальной системе координат 01х1^1^1 и вращательное движение тела вокруг центра масс в осях подвижной системы координат схуг описываются дифференциальными уравнениями

/йо = /ио х ио + М* + и + Й1ё, (29)

т^ = /о + и + Й2ё,

где / — тензор инерции тела в точке с; ио(р, д, г) — мгновенная угловая скорость тела; р, д, г — проекции ио на оси сх, су, сг; т — масса тела; М* — главный момент заданных сил относительно центра масс с; /о — главный вектор заданных сил; ё — вектор возмущений; !?1, И2 —заданные (3 х 3)-матрицы, причём элементы И1 предполагаются постоянными.

Систему (29) представим в виде

ио = /-1(/ио х ио + М*) + и1 + Й1ё, V = /о/т + и2 + ВД (30)

где и1 = /-151, и2 = й2/т, Л1 = /-1_Й1, Л2 = Л2/т. Предположим, что ёе! ЦД1Ц = 0. Вектор возмущений зададим в виде

ё = с1 + с2 8ш(р£ + сз), (31)

с2(с21, с22, с2з) —случайные трёхмерные постоянные векторы, р(р1,р2,рз) —заданный постоянный вектор.

Поставим задачу: построить множество дифференциальных уравнений регулятора, определяющего изменения векторов управления и1, и2 так, чтобы обеспечивалась интегральность и асимптотическая устойчивость «в большом» программного многообразия (28) системы (30) при любых случайных значениях постоянных с2, входящих в выражение (31) возмущающего вектора ё. Заметим, что (31) является общим решением системы дифференциальных уравнений

ё2(3) + р2ё2 = 0, г = 1, 2, 3,

которая может быть представлена в следующей векторной форме:

ё(3) + рё = 0, (32)

где р — диагональная матрица (3 х 3) с элементами р2. Из первого уравнения системы (30) имеем

ё = Я-1ио — Л-1/-1(/ио х ио + М*) — Л-1иь (33)

ф"

ф

ф

Умножая (32) на Л1 и подставляя в него значения ё и ё(3), полученные дифференцированием (33) по имеем

44) = ^ [1~\1соо хшо + м*)] + и^ - р^ [¿о - 1~\1соо хшо + М.) - «1]. (34)

Присоединим к этому уравнению второе уравнение (30), подставляя в него выражение (33)

V = /о/т + и2 + Я2Я-1 [ио — /-2(/ио х ио + М*) — и1] . (35)

Дифференцируя (28) по получим

ё5и2 ё5е ёи2 ёк^ ^

, - = —-т- • е + кг ■ тт , —— = —Г" • и + Кг • — • 36

Для производных векторов к2 имеет место формула Пуассона к2 = ио х к2. Следовательно, имеем

кгН = 4*-1) х к2 + ио х к^-1), V = 2, 3,4, 5. Подставим эти выражения в (36). Тогда

ё5 и2

ёг5

1 - '"(34) • (кг хе)+ш0' х е) + кг • е(5\ ёи2 , , ^ ,

-д- = (Ш0 X кг) • V + кг • V.

и

(37)

Подставляя в (37) выражения (34), (35), получим

(38)

= (к2 х е) ■ и13) + ^й1, и1, и1, ио3), ио, ио, ио, ^, ёи2

где —члены, не содержащие и13); Е2 —члены, не содержащие и2.

Приравниваем правые части уравнений (38), соответственно, двумерным вектор-функциям

Ф1 = —а1 и(4) — а2и(3) — а3си1 — а4и1 — а5и1, Ф2 = —ави2,

где й2 (г = 1,..., 5, 6) — произвольные (2 х 2) постоянные матрицы такие, что вещественные части корней характеристических уравнений, соответствующих системе

(5) (4) (3)

и1 + а1и^ + а2 и1 + а3и1 + а4и1 + а5и1 = 0,

и2 + ави2 = 0

являются отрицательными. Здесь и и и2 двумерные векторы с элементами и2, и2. После этого получим

«1 и13) = , «2^ = ^2,^2 = Ф2 — г = 1, 2, (39)

где «1 и «2 — (2 х 3)-матрицы, элементы которых, соответственно, равны элементам векторов (к2 х е) и к2.

ф"

ф

ф

Следовательно, они имеют вид

л1 =

0 — (е ■ кз) (е ■ к2) (е ■ кз) 0 —(е ■ к1)

, л2 = 1 0 0

0 1 0

При ||лглТ || = 0 общее решение уравнений (39) может быть представлено в виде [13]

->Т) — 1Л , [Е лТ(о пТ) —1п ]и0

(40)

и2

и13) = лТ (Л1ЛТ)—+ [Е — лТ (Л1ЛТ)—1 Л1]и0, лТ (Л2ЛТ)—1^2 + [Е — лТ (Л2ЛТ)—1л2]и2,

где Е — единичная (3 х 3)-матрица; и0, и!° — произвольные трёхмерные вектор-функции.

Таким образом, построено множество уравнений (40) регуляторов, присоединяемых к уравнениям объекта управления (29), которые обеспечивают интеграль-ность и асимптотическую устойчивость «в большом» программного многообразия (28).

Литература

1. Кулебакин В. С. О применимости принципа абсолютной инвариантности в физических реальных системах // Докл. АН СССР. — Т. 68, № 5. — 1948.

2. Петров Б. Н. О реализуемости условий инвариантности // Теория инвариантности и ее применение в автоматических устройствах. Труды совещания, состоявшегося в г.Киеве 16-20 октября 1958 г. — Киев: Изд-во АН УССР, 1959. — С. 59-80.

3. Уланов Г. М., Птичкин В. А. Статистическая оптимизация и теория К(Б)-изображений // Теория инвариантности в системах автоматического управления. Труды 11-го Всесоюзного совещания. — М.: Наука, 1964. — С. 109-114.

4. Щипаное Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. — № 1. — 1939. — С. 49-66.

5. Лузин Н. Н. К изучению матричной ткеории дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. — № 5. — 1940. — С. 3-66.

6. Кулебакин В. С. Общие основы автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. — № 6. — 1940.

7. Теория инвариантности и ее применение в автоматических устройствах. Труды совещания, состоявшегося в г. Киеве 16-20 октября 1958 г. — Киев: Изд-во АН УССР, 1959. — 384 с.

8. Теория инвариантности в системах автоматического управления. Труды 11-го Всесоюзного совещания, состоявшегося в г. Киеве 29 мая-1 июня 1962 г. — М.: Наука, 1964. — 504 с.

9. Теория инвариантности автоматических систем. Труды 111-го Всесоюзного совещания по теории инвариантности и ее применению в системах автоматического управления, состоявшегося в г. Киеве 31 мая-5 июня 1966 г. — М.: Наука, 1970. — 420 с.

10. Величенко В. В. О структуре, управляемости и синтезе инвариантных систем // Докл. АН СССР. — Т. 200, № 5. — 1971. — С. 1044-1047.

11. Фоменко О. Н. Квазиинвариантные оптимальные системы автоматического управления // Автоматика и телемеханика. — № 2. — 1970. — С. 145-148.

12. Мухаметзянов И. А. Построение множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по заданной программе // Труды Университета дружбы народов. Теоретическая механика. — М.: Изд-во УДН, 1963. — С. 52-55.

13. Мухаметзянов И. А. Построение уравнений программных движений // Автоматика и телемеханика. — № 10. — 1972. — С. 16-23.

14. Мухаметзянов И. А. Построение систем с асимптотически устойчивыми программными связями // ПММ. — Т. 65, № 5. — 2001. — С. 822-830.

е—

-ф

е-

-е

UDC 531.31:62-56

On Construction of the Systems with Quasi—Invariant Program Constraints

I. A. Mukhametzyanov

Department of Theoretical Mechanics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

The procedure of construction of the systems with the quasi-invariant program constraints is proposed.

e— e

—e e