CC BY
85
Раздел I. Теория и практика создания интеллектуальных и многопроцессорных систем
О.Н. Паулин
О ПОСТРОЕНИИ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ
СИММЕТРИЧЕСКИХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИИ ДЛЯ СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ
По-видимому, впервые обратил внимание на симметрию аргументов некоторых булевых функций (БФ) К. Шеннон [1]; он же описал простейшие свойства симметрических функций (СФ). Затем появилось множество работ [2-9 и др.], посвященных свойствам и применению СФ; сейчас можно утверждать, что специфика СФ как подкласса класса БФ достаточно сильна, что позволяет поставить вопрос о построении прикладной теории СФ. Действительно, в литературе, посвященной СФ, достаточно развит понятийный аппарат [1-6, 9 и др.] и получен определенный опыт представления материала на основе теоретико-множественного подхода [5, 6, 9], поставлены и решены основные задачи будущей теории: исследование свойств и особенностей СФ и частично-симметрических функций (ЧСФ) [1-5, 8]; определение и обнаружение полной (частичной) симметрии булевых функций [2, 3]; декомпозиция функций с полной (частичной) симметрией [2, 5]; разложение булевых функций в различных базисах [6]; доопределение неполностью заданной булевой функции до симметрической (частично-симметрической) [7]; построение и оптимизация логических схем на основе СФ и ЧСФ [5, 7, 9-13].
Проблема состоит в том, что полученные до сих пор результаты систематизированы неполно и недостаточно приспособлены для практических приложений.
В настоящее время широко используется одновременная обработка множества данных (многооперандная обработка) [14], которая основана на идее сжатия многорядных кодов (МРК) с помощью многооперандных сумматоров [15]. Эффективные методы сжатия МРК описаны в [12]; методы автоматизированного проектирования многооперандных структур рассматриваются в работах [10, 11, 15].
Ниже приводится эскиз прикладной теории СФ и примеры её применения для построения цифровых устройств.
Базовые понятия и положения прикладной теории СФ
Булева алгебра является классическим образцом аксиоматической теории со своим предметом, операциями, системой аксиом, тождествами и законами. Эти же атрибуты теории применимы и к алгебре СФ как к подмножеству булевой алгебры. Поскольку СФ - специфичны, то к набору атрибутов булевой алгебры следует добавить определенный минимум положений, с помощью которых можно описать эту специфику. В этот минимум, очевидно, должны входить признаки, выделяющие класс СФ из класса БФ.
Существует несколько эквивалентных определений понятия симметрии булевой функции [1, 5 и др.]. Конструктивным является предварительное выявление симметрии пар аргументов х, и х^ БФ (аргументы х, и х)■ симметричны, если при их перестановке значение функции не изменяется), и лишь затем - выявление симметрии функции (функция обладает полной симметрией, если все её аргументы симметричны). Такой подход позволяет находить тонкие различия в симметрии, а
именно [3]: прямая (х~х/), смешанная (х ~ х/ ^ х, = х/) или полиморфная (х, ~ х/ и х, = х/ ^ х, и х/) симметрия.
Множество кортежей с одинаковым количеством а единиц, 0<а<п (п - количество аргументов БФ), может быть представлено а-числом СФ; обозначать СФ мы будем Нп(а), Бп(а) и т.п. Количество кортежей в таком множестве равно в точности спа . Если СФ содержит лишь одно множество единичных кортежей с одинаковым количеством а единиц, то она называется фундаментальной. Произвольная СФ содержит несколько подобных множеств, каждое из которых представляется своим а,-числом, так что такая СФ может быть обозначена как Нп(а1, а2, ...).
Свойства СФ: транзитивность её аргументов; сохранение симметрии при
инвертировании её аргументов; ортогональность фундаментальных СФ, т.е.
Нп(а,)&Нп(а/)=0 при всех Щ.
Операции над СФ. Как и в булевой алгебре, в алгебре СФ справедливы идем-потентные, коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные законы; в соответствии с положениями теории множеств операциям над СФ соответствуют аналогичные операции над их а-числами. Приведем без доказательств выражения для основных операций над СФ и законы алгебры СФ с учетом их специфики.
Обозначим: $п(Л) - СФ п аргументов; А - множество а-чисел СФ; N - максимальное множество а-чисел, N={0, 1, ..., п}; МсЫ. Тогда:
1. Операция КОНЪЮНКЦИИ
Sn(I) & Sn(J) = SИ(I п X). (1)
2. Операция ДИЗЪЮНКЦИИ
Sn(I) V Sn(J) = ЗД- и X). (2)
3. Операция ИНВЕРСИИ
Sn (I) = Sn (N \ I). (3)
4. Операция ИСКЛЮЧАЮЩЕГО ИЛИ (СЛОЖЕНИЕ ПО МОДУЛЮ 2)
Sn (I) © Sn (X = Sn ((1и J)\(I п X)). (4)
5. Операция ИМПЛИКАЦИИ
Sn(I)^Sn(J)=Sn(N \ (1иХ)). (5)
6. Законы ОТРИЦАНИЯ
Sn(I) • Б#) = 0; Sn(I) + &(I) = Sn(N) = 1, (6)
при I п X = 0 Sn(I \ X) = Sn(I) • &,(X) = Sn(I). (7)
7. Законы ДВОЙСТВЕННОСТИ (аналоги теорем де Моргана)
Sn(I) • Sn(X) = £,(I) + &(X) = Sn(N \ (I п X)),
Sn(I) + Sn(X) = &,(I) • &(X) = Sn(N \(I и X)). (8)
8. Законы ПОГЛОЩЕНИЯ
Sn(1)+Sn (I) • Sn (M=Sn (I),
Sn(I) • ^п (^п (М^Ш. (9)
9. Законы СКЛЕИВАНИЯ
Sn(I) • Sn(X) + Sn(I) • ЗД = Sn (I),
^п^) + Sn(J)) • ^п^) + &,( X)) = 8п (I) . (10)
Приведем также без доказательства разложение СФ по Шеннону [1]:
^ а2,...) = х, • S„-1(аl, а2,...) + х, А-1(а1 - 1, а2 - 1,...) . (11)
Как видно из выражений (1) - (11), всевозможные преобразования СФ могут быть представлены в числовой форме, поэтому при описании и построении логи-
ческих схем удобно пользоваться именно а-числами. Это, на наш взгляд, является достоинством предлагаемой теории.
Двойственность и самодвойственность СФ. Рассмотрим поведение СФ (состав её а-чисел) при инвертировании самой функции и её аргументов и проведём анализ свойств двойственности и самодвойственности СФ.
Пусть Нп (А) = Нп (А) - это СФ, полученная из исходной СФ при инвертировании самой исходной функции Нп(А), где А={а}, а2, ..., ак}, к<п (при к=п функция Нп(А) становится тавтологией). Тогда (см. (3))
А = N \ А. (12)
Пусть Н'п(А) = Н(А') = Н(В) - это СФ, полученная из исходной СФ Нп(А) при инвертировании всех её аргументов. Тогда кортежи для каждого а',-числа, / = 1, к, противоположны кортежам для а,, то есть для каждого а', имеет место равенство Ь, = а', = п-
а. Таким образом, множество Ь-чисел СФ Н(В) определяется из соотношения
В = {Ь, | Ь,- = п-а}. (13)
Функция, двойственная к данной, определяется формулой
Нп(А*) = Нп(А’) = Нп(В) = Н„(N \ В), (14)
где А* - множество а-чисел СФ, двойственной к Нп(А); N={0,1,...^}, так что связь между множествами а-чисел исходной и двойственной к ней функций имеет вид (В определяется по (13))
A*=N \ В. (15)
Самодвойственной является такая СФ, которая равна двойственной к ней функции, т. е.
Нп(А)=Нп(А*), или А = А* = МВ. (16)
В работе [8] показано, что особые СФ НЕЧЁТНОСТЬ L3=S3(1, 3) и МАЖОРИТАРНОСТЬ M3=S3(2, 3) являются самодвойственными, а РАВНОЗНАЧНОСТЬ Я3(0, 3) - не является.
Представление СФ. СФ могут быть представлены в следующих основных формах: аналитическая, кодовая и табличная. Аналитическая форма была предложена Шенноном [1] в виде теоремы.
Теорема 1. Произвольная СФ может быть представлена дизъюнкцией фундаментальных СФ:
У=Нп(А)=Нп(аг, а2, ...)= У Нп (а), (17)
аеА
где и - операция дизъюнкции; А - множество а-чисел СФ.
Представление (5) - не что иное как декомпозиция произвольной СФ на фундаментальные СФ, оно является аналогом совершенной дизъюнктивной нормальной формы для БФ.
В [4] предлагается СФ задавать двоичным вектором Пу)=(по,п,...,пп), где п -значение функции у на множестве наборов значений аргументов хп-1, ..., х}, х0, содержащих ровно 5 единиц (0<5<п, п,б{0, 1}); такой вектор назван локальным кодом (ЛК). Отметим, что доказательства наличия свойств двойственности и само-двойственности для особых СФ в [8] проведены с использованием ЛК.
Аналогично (1) любая СФ может быть представлена соответствующим ЛК:
п
У = У ^Н^я) . (18)
5=0
Так, например, для СФ Н3(0, 3) (функция равнозначности) её ЛК п=(1001).
Отметим, что в отличие от представления функции таблицей истинности (ТИ), число строк которой равно 2п, длина I ЛК линейно зависит от п (1=п+1).
Обе формы (аналитическая и кодовая) могут быть заданы либо получены из ТИ; они эквивалентны и легко преобразуются друг в друга.
Отметим, что ЛК - закодированный список а-чисел СФ.
При табличной форме представления СФ [5, 10] ячейки таблицы заполняются соответствующими а-числами в зависимости от назначения таблицы. Например, если таблица описывает функционирование логической схемы, то а-числа перебираются таким образом, чтобы были рассмотрены все необходимые варианты их получения из множества исходных данных. В [5, 8, 11, 12] приведены примеры таблиц разного назначения.
Функции с частичной симметрией. Булевы функций, у которых только часть (т, 2 < т < п-2) их аргументов являются симметричными, называются частично симметрическими (ЧСФ). Множество аргументов X ={ха, х2, ..., хт} образуют симметрический комплект (СК), если любые два аргумента х,к и х/ обладают прямой, смешанной или полиморфной симметрией (1< к, / < т ). В [3] доказана важная теорема о симметрическом комплекте.
Теорема 2. Если в симметрическом комплекте X хотя бы между двумя аргументами существует полиморфная симметрия, то все аргументы связаны друг с другом полиморфной симметрией:
3 х, к, хе X | (х к и х/ ^ V у, г е X | у и г. (19)
Эта теорема позволяет упростить выявление симметрии, так как сокращает перебор вариантов отношений между аргументами булевой функции при их анализе. Из этой теоремы вытекает следующее
Следствие. СК бывают только двух типов: простые и полиморфные.
Принимая во внимание данное выше понятие СК, можно сказать, что функция, у которой все аргументы входят в СК, обладает полной симметрией, а функция, у которой только часть аргументов входит в СК, обладает частичной симметрией.
Свойство СК. Если функция является ЧСФ относительно некоторого комплекта S, то она является симметрической и относительно комплекта S', дополнительного к S, то есть состоящего из инвертированных аргументов СК &
Из свойства транзитивности симметричных аргументов (СА) следует, что функция может иметь несколько непересекающихся СК. Поэтому более точно определим ЧСФ.
Частично симметрической функцией называется [5] такая функция алгебры логики п переменных, которая содержит г > 1 комплектов СА и q > 0 несимметричных аргументов. Все комплекты СА являются непересекающимися множест-
г
вами и содержат т1, т2, ..., т аргументов (Vmi (2 < т, < п); ^т1 = п - q < п).
1=1
ЧСФ, которая имеет несколько (г > 2) СК, но не имеет несимметричных аргументов (любой аргумент входит в какой-либо СК) назовем квазисимметрической функцией (КСФ). КСФ играют важную роль при описании многоразрядных много-операндных сумматоров произвольной конфигурации (различное количество операндов в разрядах) [10].
Синтез логических схем цифровых устройств на основе СФ
Значительную долю в множестве цифровых схем составляют комбинационные логические схемы (ЛС); их условно можно разделить на 3 вида: регулярные, нерегулярные и частично регулярные. Синтез схем каждого из этих видов имеет свою специфику. Для синтеза регулярных схем, описание функционирования которых обладает симметрией относительно входных переменных (например сумматоров), естественным является применение аппарата алгебры симметрических
функций. При синтезе нерегулярных схем используются классические методы совместно (при необходимости) с методами регуляризации, как-то: применение программируемых логических матриц, использование базовых кристаллов и т. д. В случае частично регулярных схем одним из подходов к решению задачи синтеза может быть совместное использование перечисленных методов.
При обработке потоков данных популярными стали многооперандные устройства [12, 13, 15], в частности сумматоры. В них имеет место "равноправие" входных сигналов относительно реакции схемы устройства (свойство коммутативности), т.е. симметрия аргументов функций, описывающих его работу. Из этого следует, что для определения реакции схемы устройства достаточно подсчитать количество "1" во входных наборах; такая ситуация описывается СФ. Это позволяет значительно сжать таблицы истинности для функций, описывающих работу устройства, что соответствует обобщению информации и выявлению главных связей в описании работы устройства. В свою очередь, это приводит к получению лучших по сравнению с традиционным подходом результатов в построении ЛС. Эффективность синтеза ЛС на базе СФ определяется тем, что используется присущее ЛС свойство симметрии, поэтому результат синтеза наиболее близок к оптимуму (ещё великий Пуанкаре заметил, что красивое уравнение верно).
Во многих случаях (например, при организации параллельного переноса сумматора) для описания функции данного разряда необходимо учитывать также состояния входов всех предыдущих разрядов, а эту ситуацию можно описать только, введя для каждого разряда свои СФ. Для описания таких случаев подходящими являются квазисимметрические функции.
Наш метод построения ЛС [5, 10] заключается в составлении таблицы функционирования ЛС, которая затем преобразуется в специальную таблицу поразрядных значений а-чисел [10]. Переход от а-чисел к логическим функциям не представляет труда. Так, для СФ трёх аргументов при а}=2 и а2=3 имеем мажоритарную функцию М=£3(2, 3), которой соответствует логическая функция
У = Х1 *2 Хз + Х1 Х2 Хз + Х1 Х2 Хз + Х1Х2 Хз = Х1Х2 Хз + Х1Х2 Хз + Х1Х2 Хз •
Для ручного синтеза КС (количество входов не превышает шести), описываемой ЧСФ, нами предложена модифицированная карта Карно (МКК) [5]. В ней наименованиями строк и столбцов являются частично или полностью симметрические наборы групп. Склеиванию подлежат наборы, отличающиеся значением одной группы либо одной несимметричной переменной.
Пример 2. Минимизируем ЧСФ с единичными наборами 0-2, 7, 9, 10, 1з, 14, 17, 18, 21, 22, 25-28, з1 с помощью МКК [5]. ЧСФ имеет два комплекта СА (хь х2} и {х4, х5} и один несимметричный аргумент х3. На множествах (х;, х2} и {х4, х5} определены группы О] и 02 соответственно. МКК для заданной ЧСФ приведена в табл. 1. Результат минимизации представлен соответствующей функцией:
у = х~зБ 1 (0) • £22 (0,1) + х~зБ2 (2) • £22 (1,2) + хз£ 1 (0,2) • £22 (2) +
+ Хз^(2) • ^ (0,2) + 51(1) • £2 (1).
Модифицированная карта Карно
_____________________________________________Таблица 1
О] Хз
£1(0) • 0 £1(1)•о £1(2) • 0 £2(0) • 1 £ 2(1) • 1 £ 2(2) • 1
о2 £ 22(0) ^ 22(1) £ 22(2) 1 1
1 1 1 1
1 1 1
Пример 3. Синтезируем схему порогового устройства, имеющего 9 входов х1..х9 и порог, равный 2; в наших обозначениях описание такого устройства имеет вид СФ И9(>2).
Разобьем 9 входных переменных на 3 подмножества {х1, х2, х3}, {х4, х5, хб}, {х7, х8, х9}; введем над ними подфункции 01, 02, О3. Весом симметрической подфункции О будем называть ее а-число; в данном случае (0<а<3). Вес Ь (2<Ь<9) СФ определяется суммой весов подфункций, Ь=а1+а2+а3
Организуем упорядоченный (например, в порядке возрастания весов подфункций) перебор весов а подфункций так, чтобы сумма их весов давала заданный вес СФ Ь и занесем значения весов (приведены 6 начальных и 4 последних варианта перебора ) в табл. 2.
Далее произведем "склеивание" а-чисел, которое заключается в следующем. Операцией склеивания двух наборов БФ называется исключение в результирующем наборе переменной х, из множества существенных переменных, входящих в эти наборы, в соответствии с тождеством: ух/ + Ух, = У .
Варианты весов подфункций О _____________________________________________________________________Таблица 2
Оі 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3
02 0 0 1 1 1 2 3 3 3 3
Оз 2 3 1 2 3 0 0 1 2 3
В вырожденном случае, когда БФ тождественно равна 1 (на всех наборах функция равна 1), все переменные склеиваются. В случае СФ этой ситуации соответствует наличие всех а-чисел (0<а<п); обозначать эту ситуацию мы будем символом Х, так что в(Х)=1. Например, в табл. 2 последние 4 варианта в результате "склеивания" дадут | 3 3 Х|.
Проведя подобные "склеивания" по всей табл. 2, получим матричное представление СФ И9(>2):
Н 9(> 2) =
0 Х 2,3
0 2,3 1 0 Х
Х +
0 — — 1 X 0
0 0
+12,3 X Х|.
(*)
Здесь 2,3 означает, что О=1 при значениях а-чисел, равных 2 или 3; 0 означает инверсию значения функции О при значении а-числа, равного 0, т. е.
О (0) = 0.
По (*) легко получить минимизированное аналитическое описание функционирования заданного порогового устройства с учётом разбиения множества из 9-ти исходных переменных на 3 подмножества по 3 переменных. Имеем ¥ = О, (0)(02 (2,3)+03(2,3))+О, (0)О2 (0)О3 (0) +
+ О (0)( (0) + О2 (0)О3 (0))+ ) (2,3).
Обозначим (/=1, 2, 3): м, = И (2,3) - функции МАЖОРИТАРНОСТЬ;
У1 = Иг (0) - функции ИЛИ. Учтем также, что О1(1) = О1(0) О1(2,3) = у1 м1; ух + х = у + х; у1 у2 + у1 у3 + у2у3 = м4 - функция МАЖОРИТАРНОСТЬ.
Тогда (**) примет вид:
И9 (> 2) = у1(м2 + М3) + М4 + М1. (***)
(**)
Рис. 1. Схема порогового устройства
По (***) построена схема в смешанном базисе, включающем функцию МАЖОРИТАРНОСТЬ (рис. 1).
Сравним синтезированную нами схему со схемой, построенной в [6], по следующим параметрам: количество элементов, глубина схемы и цена по Квайну. Имеем для нашей схемы соответственно 11, 4,
28, а для схемы из [6] - 20, 6, 43. Лучшие значения пара-метров нашей схемы объясняются тем, что она получена естественным образом.
Пример 4. Рассмотрим синтез умножителя 8х8. Схема умножения двух операндов одинаковой разрядности (умножение "в столбик") может быть представлена в виде ромба бит частичных произведений.
Для получения результата необходимо суммировать все строки (частичные произведения); результат умножения получается как результат сжатия многорядного кода. Одномоментное сжатие МРК нереализуемо из-за непомерных затрат оборудования, поэтому на практике прибегают к декомпозиции ромба. В [11] рассмотрены варианты декомпозиции, основой которых является выделение нескольких блоков бит, содержащих выбранное количество строк, для последующего их сжатия, а затем сжатия полученных результатов. Рассмотрим разбиение исходного ромба на 4 одинаковых подромба двумя сечениями, горизонтальным и наклонным, параллельными границам исходного ромба. Достоинством данного подхода является регулярность и наращиваемость структуры. Так, собрав 4 умножителя 8х8 в общую структуру, получим умножитель 16х16; 4 умножителя 16х16 дадут умножитель 32х32 и т. д.
Этот подход иллюстрируется примером умножителя 8х8 (рис. 2). Разобьем исходный ромб бит частичных произведений для умножителя 8х8 на четыре малых ромба (фрагменты 4х4). Тогда для свертки бит исходного ромба нужно предварительно свернуть каждый отдельный малый ромб с помощью сумматора типа [1 2 3 4 3 2 1] (цифры в квадратных скобках означают количество слагаемых в соответствующем разряде); пунктиром отмечены разряды, в которые возможен перенос. Если считать, что весь малый ромб заполнен единицами, то макси-мальное значение суммы составляет 11100001, т.е. возможен перенос в 8-й разряд.
Нетрудно убедиться, что 4 промежуточные суммы образуют трехрядный код со следующим распределением слагаемых по разрядам: крайние 4 разряда справа и слева имеют по одному однобитному слагаемому, а разряды с 5-го по 12-й - по 3 слагаемых. Первые 4 разряда идут непо-средственно на выход, а для суммирования разрядов с 5-го по 16-й целесообразно использовать модифицированный сумматор Глассера [12], причем для обработки старших четырёх разрядов схему сумма-тора можно упростить.
1 2 3 41312111 1
1 1 1 2 3 4 3 2 1 2 3
1 1 1 2 3 4 3 2 1
|1|2|3|4 3 2 1 4
|1|1|1|1|3|3|3|3|3|3|3|3|1|1|1|1| Рис. 2. Разбиение на ромбы
Заключение
Предложен эскиз прикладной теории СФ. Класс СФ расширен за счёт обобщения понятия частичной симметрии на случай нескольких симметрических комплектов. Разработанные способы представления и минимизации ЧСФ составили основу методов синтеза схем, которые описываются этими функциями. Предлагаемый числовой (теоретико-множественный) подход к построению прикладной теории СФ имеет естественный выход на практические приложения и направлен на решение главной задачи этой теории - получение инструментария для автоматизированного синтеза оптимальных ЛС; на этом пути нами получены определённые результаты. Числовой подход апробирован при построении многооперандных сумматоров и умножителей на их основе.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Shennon C.E. A symbolic analysis of relay and switching circuits // Trans. AIEE, 57, l938. Pp. 7l3-722.
2. Mukhopadhaya A. Detection of total or partial symmetry of a switching functions with the use of decomposition charts // IEEE Trans. on EC. ^б3, v. EC-l2. № б. Pp. 553-557.
3. Das S.R., Sheng C.L On detection of total or partial symmetry of a switching functions // IEEE Trans. on EC. l97l, v. EC-20. № 3.
4. Лупанов О.Б. Об одном подходе к синтезу управляющих систем - принципе локального кодирования // Проблемы кибернетики. М.: Наука, ^б5. Вып. l5. С. 3l-ll0.
5. Паулин О.Н., Ляховецкий А.М. Синтез комбинационных схем, описываемых частичносимметрическими булевыми функциями / Деп. в ГНТБ Украины l3.02.l995 г., № 350. Укр-95. 23 с.
6. Авгуль Л. Б., Петроченко А.С. Декомпозиция симметрических булевых функций и булевых функций с частичной симметрией в базисе монотонных функций // Кибернетика и системный анализ. l998. № 3. С. 2б-40.
7. Paulin O.N. and Lyakhovetsky A.M. Method of Incompletely Assigned Boolean Function Redefinition up to the Symmetrical // Engineering Simulation, 2000, Vol.l7, pp. 787-797.
8. Паулин О.Н. Особые симметрические булевы функции: их свойства и применение // Искусственный интеллект, № 4, 2003. Донецк: ИПИИ, 2003. С. 32-39.
9. Рицар Б.Є. Теоретико-множинні оптимізаційні методи логікового синтезу комбінаційних мереж. - Рукопис. Дисертація па здобуття паукового ступеня доктора технічних паук за спеціальністью 05.l2.l3. - радіотехнічні пристрої та засоби телекомунікацій. - Національний Університет "Львівська політехніка", Львів, 2004.
10. Паулин О.Н., Ляховецкий А.М. Модель и метод проектирования многооперандного сумматора па базе симметрических функций // Тр. междунар. копфер. по индуктивному моделированию МКИМ-2002. Львов, 2002. С. 208-2l3.
11. Паулин О.Н. К построению быстродействующих арифметических устройств // Исску-ственный интеллект. Донецк: ІПТТЇЇ. "Наука і освіта", 2002. Т.3. С. 3l4-322
12. Паулин О.Н. Об эффективности сжатия многорядных кодов // Искусственный интеллект, № 3, 2004. Донецк: ІПШІ, 2004. С. 224-228.
13. Paulin O.N. On carry organization in compressing multi-row codes// Pattern Recognition and Information Processing (PRIP'05): Proceedings of the Eighth International Conference (l8-20 May, Minsk, Republic of Belarus). Minsk: Propilei, 2005. P. 454-45б.
14. Гамаюн В.П. О развитии многооперандных вычислительных структур // Управляющие системы и машины. l990. № 4. C. 3l-33.
15. Паулин О.Н., Синегуб Н.И., Ляховецкий А.М. Построение быстродействующих устройств умножения па основе многооперандных сумматоров // Праці міжнародної конференції з управління "Автоматика-2000", секція 7. Львів, 2000. С. ^7^73.
