CC BY
13
© O.A. Хачай, О.Ю. Хачай, 2012
УДК 622. 83 + 530. 1 (075. 8) О.А. Хачай, О.Ю. Хачай
О ПОСТРОЕНИИ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОТКЛИКА МАССИВА НА СИЛЬНЫЕ ВЗРЫВНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Произведено сопоставление теоретических результатов причин хаотизации нелинейных диссипативных динамических систем и результатов обработки методом фазовы1х диаграмм данных детального шахтного сейсмического каталога - сейсмических откликов на взрывные воздействия удароопасного массива горны1х пород. Из теории следует, что обшей причиной хаотизации и стохастизации движений динамической системыi являются потери ими устойчивости и экспоненциальное разбегание близких фазовы1х траекторий, сочетаюшиеся с их обшей ограниченностью и некоторым их обшим сжатием. Этот результат совпадает с полученным анализом фазовых диаграмм, построенных по данным сейсмического шахтного каталога. Рассмотрены детально изменения во времени типы корреляционных зависимостей функцией поглошаемой энергии и выделяемой массивом энергии. Рассмотрены условия применения алгоритма H.H. Боголюбова для анализа накопления и сброса накопленной энергии от взрывных воздействий на массив. Ключевые слова: нелинейная модель отклика массива, алгоритм моделирования, сейсмический шахтный каталог, анализ натурных данных воздействия и отклика массива.
Исследования состояния массива с использованием подходов теории динамических систем [1 - 5] производились с целью выяснения критериев смены режимов диссипативности для реальных горных массивов, находящихся под сильным техногенным воздействием. Для реализации этого исследования были использованы данные сейсмического каталога Таштагольского подземного рудника за два года с июня 2006 года по июнь 2008 г. В качестве данных использованы пространственно - временные координаты всех динамических явлений - откликов массива, происшедших за этот период внутри шахтного поля, а также взрывов, произведенных для отработки массива, и значения зафиксированной сейсмической станцией энергии [3]. Фазовые портреты состояния массивов северного и южного участков построены в координатах Еу(1:) и <^Еу(1:))/Л, : - время, выраженное в долях суток, Еу - выделенная массивом сейсмическая энергия в дж. В этой работе проанализирована морфология фазовых траекторий сейсмического отклика на взрывные воздействия в различные последовательные промежутки времени южного участка шахты. В этот период по данным о произведенных технологических и массовых взрывах большая часть энергии была закачана именно в южный участок шахты. Кроме того в конце 2007 года именно в южном участке произошел один из самых сильных горных ударов за всю историю работы рудника. В результате анализа выделена характерная морфология фазовых траекторий отклика массива, находящегося локально во времени в устойчивом состоянии: на фазовой плоскости имеется локальная область в виде клубка переплетенных траекторий и небольшие выбросы от этого клубка, не превышающие по энергии значений 105 дж. В некоторые промежутки времени этот выброс превышает 105 дж., достигая 106 дж и даже 109 дж.
15
10
5
< 0 -5 -10 15
1.00Е+00 1.00Е+01 1.00Е+02 1.00Е+03 1.00Е+04 1.00Е+05 1.00Е+06 1.00Е+07 1.00Е+08 1.00Е+09
Е
15 10 5 0
-5 -10
1.00Е+00 1.00Е+01 1.00Е+02 1.00Е+03 1.00Е+04 1.00Е+05 1.00Е+06 1.00Е+07 1.00Е+08 1.00Е+09
Е
12 10
8 6 4
2
< I
4 -6 -8 -10
-12
-14 Н-1-1-1-1-■-1-1-1-
1.00Е+00 1.00Е+01 1.00Е+02 1.00Е+03 1.00Е+04 1.00Е+05 1.00Е+06 1.00Е+07 1.00Е+0В 1.00Е+09
Е
в.
Рис. 1. Фазовый портрет отклика состояния массива во время одного из наиболее сильных горных ударов на Таштагольском руднике. а) за промежуток времени 25. 11 - 29. 12 2007 г.: а) за промежуток времени 25. 11 - 29. 12 2007 г.; б) за промежуток времени до горного удара; в) за промежуток времени после горного удара. Ось ОХ -выделенная массивом энергия в дж. за соответствующие промежутки времени, ось ОУ -<^1дЕ)/Л, t - время в долях суток.
Так как исследуемый объем массива один и тот же и мы изучаем процесс его активизации и спада, то очевидно имеют место два взаимозависящих друг от друга процесса: накопление энергии и резонансного сброса накопленной энергии. Интересно отметить, что отражением этого процесса является возвращение фазовой траектории в эту же притягивающую область. Это подтверждается и детальным анализом фазовых траекторий сейсмического отклика массива до и после самого сильного горного удара (рис. 1а -в). Сопоставление фазовых портретов отклика состояния массива до и после горных ударов различной интенсивности и в различные промежутки времени свидетельствуют о том, что выбранный нами объем в виде южного участка реагирует на оказываемое на него воздействие подобным образом, отражая слаженный или совместный механизм освобождения накопленной энергии.
В работе [1] и представленной там обширной библиографии приводится математический аппарат для моделирования процессов в локально активных сплошных средах. При этом подчеркивается, что только в нелинейных активных средах возникновение возмущений может носить локализованный и даже спонтанный характер.
В настоящей работе мы продолжили более детальные исследования процесса поглощения взрывной энергии и ее выделения в южной части шахты в блоке (2), включающем орты с 23 по 31, ЮСВШ и ЮСВО и в блоке (1), включающем орты 13 - 16, в пределах околовыработочного пространства, включающего горизонты - 280, - 350, по данным шахтного каталога с 14 января 2007 года по17 мая 2008 гг. (рис. 1), табл. 1.
Из результатов табл. 2. следует, что процесс поглощения и выделения энергии в исследуемых блоках 1 и 2 как правило носит нелинейный характер, однако степень нелинейности изменяется во времени, так в интервале 23 - 42, соответствующему интервалу ЭТ (200 - 342) (табл.1), коэффициент корреляции между 1д (Ер)(ЭТ) и 1д(Еу2)(ЭТ) достигает максимума. А этот интервал включает процесс подготовки резонансного выброса массивом энергии в виде горного удара 9-го класса. С другой стороны в интервале 12 - 42 присутствует изменение типа корреляционной зависимости между функциями Щ1дЕу2, 1дЕу1): в интервале 12 - 24 коэффициент корреляции соответствует практически линейной функции, что может отражать упругое взаимодействие между двумя блоками (орт15 - 16) и (орт 27 - 29). При этом от 1д(Ер) зависимость функций 1дЕу2 и 1дЕу1 практически нелинейная. На интервале 24 - 41 тип корреляционной функции Щ1дЕу2, 1дЕу1) меняется на нелинейную, взаимосвязь между 1дЕр и Еу1 практически отсутствует (табл. 2), однако за 48 суток происходит горный удар класса 6. 4 в блоке 1 при взрыве класса 5. 2 в блоке 2 (рис. 2). Можно ли считать этот удар форшоком для удара 9-го класса в блоке 2? Ответить на этот вопрос можно только присоединив к имеющимися данным сейсмического каталога детальные ежесуточные наблюдения в рамках электромагнитного активного индукционного и деформационного мониторинга в околовыработочном пространстве 1-го и второго блоков. Является ли смена типа корреляционной зависимости между функциями, описывающими процесс поглощения энергии и выделения энергии с линейного типа на нелинейный отражением изменения механического состояния системы от устойчивого к неустойчивому?
Таблица 1
Пространственно - временные характеристики изменения состояния массива от взрывного воздействия по данным шахтного сейсмического каталога
т эт Ьд Ер Ьд еу2 Ьд Еу1 Место взрыва N
14. 01 0 5. 218 3. 119 1. 499 юв 1
21. 01 7 4. 833 4. 073 0 юв 2
28. 01 14 4. 671 4. 472 0 юв 3
4. 02 21 6. 42 3. 291 3. 964 юв 4
18. 02 35 5 3. 626 0 юв 5
25. 02 42 5. 486 2. 866 4. 175 юв 6
25. 03 70 7. 885 3. 088 0 юв 7
1. 04 77 4. 502 4. 359 0 Орт8, - 210 - 280 8
8. 04 84 6. 098 2. 268 0 Орт8, - 210 - 280 9
15. 04 91 6. 631 1. 78 1. 723 юв 10
22. 04 98 6. 893 3. 884 2. 688 Орт8, - 210 - 2808 11
29. 04 105 4. 926 0 0 Орт 16, - 350 12
30. 04 106 5. 831 0 2. 326 Орт8, - 210 - 280 13
6. 05 112 6. 449 1. 662 2. 553 Орт8, - 210 - 280 14
12. 05 118 4. 043 0 0 Орт 27, - 210 - 280 15
13. 05 119 6. 19 4. 988 4. 543 Орт8, - 210 - 280 16
20. 05 126 6. 234 2. 552 3. 556 Орт8, - 210 - 280 17
27. 05 133 6. 317 2. 149 2. 397 Орт8, - 210 - 280 18
3. 06 140 7. 148 4. 664 2. 8 юв 19
30. 06 157 4. 043 4. 59 6. 191 юв 20
22. 07 179 8. 417 2. 203 3. 07 Орт8, - 210 - 280 21
28. 07 185 4. 043 4. 622 2. 307 сз 22
12. 08 200 4. 387 2. 493 0 юв 23
19. 08 207 4. 502 0 0 юв 24
26. 08 214 6. 145 3. 238 2. 589 юв 25
16. 09 222 6. 431 3. 064 2. 673 Орт 27, - 210 - 280 26
23. 09 229 4. 9 4. 042 1. 874 юв 27
30. 09 236 6. 317 3. 857 0 Орт 27, - 210 - 280 28
7. 10 243 5. 218 3. 215 6. 431 Орт 27, - 210 - 280 29
14. 10 250 6. 255 3. 217 0 Орт 27, - 210 - 280 30
20. 10 256 5 1. 626 1. 729 юв 31
21. 10 257 6. 467 3. 81 3. 367 Орт 27, - 210 - 280 32
27. 10 263 5. 314 2. 074 0 юв 33
28. 10 264 6. 502 2. 988 2. 355 Орт 27, - 210 - 280 34
3. 11 269 6. 481 3. 681 0 юв 35
10. 11 276 5. 704 2. 645 2. 407 юв 36
25. 11 291 7. 361 8. 911 1. 972 Орт 27, - 210 - 280 37
1. 12 297 6. 379 4. 045 0 юв 38
9. 12 305 5. 51 3. 513 3. 719 юв 39
22. 12 328 3. 43 3. 727 1. 767 Орт16, - 350 40
30. 12 336 8. 102 3. 175 2. 375 юв 41
Окончание табл. 1
т эт Ьд Ер Ьд ЕУ2 Ьд Еу1 Место взрыва N
2. 02 342 4 0 0 юв 42
10. 02 350 6. 234 0 0 юв 43
17. 02 357 7. 332 2. 328 3. 902 юв 44
1. 03 370 6. 662 1. 795 0 юв 45
9. 03 378 5. 218 0 0 юв 46
9. 03 378 5 0 2. 039 юв 47
16. 03 385 6. 502 0 0 юв 48
22. 03 391 4. 216 0 0 сз 49
23. 03 392 6. 317 2. 944 0 юв 50
30. 03 399 6. 297 0 2. 267 юв 51
13. 04 413 6. 098 0 0 сз 52
19. 04 419 5. 678 0 0 сз 53
20. 04 420 5. 114 4. 639 0 юв 54
26. 04 426 5. 636 0 0 сз 55
27. 04 427 6. 251 0 0 юв 56
3. 05 433 6. 317 2. 087 0 юв 57
10. 05 440 6. 317 1. 987 0 сз 58
17. 05 447 4. 516 0 0 Орт 28, - 210 - 280 59
17. 05 447 4. 9 0 0 Орт 3, - 140 60
Условные обозначения: Т - даты, ОТ=Т(Н) - Т(1) в сутках, юв -сз - северо-западный участок. юго-восточный участок,
Время (сутки)
Рис. 2. Отражение процесса поглощения взрывной энергии Ер и ее выделения Еи1,Еи2 в блоках (1) и (2) с 14 января 2007 по 17 мая 2008 гг.
Таблица 2
Исследование корреляционной взаимосвязи процессов поглощения и выделения массивом энергии для отдельных временных интервалов (N1)
Интервалы Н(1дЕр, 1дЕу2)
1 - 21 - 0.0062
21 - 60 0.240683
23 - 42 0.535269
Интервалы Щ1чЕр, 1ЧЕу1) Щ1яЕр, 1яЕу2) Щ1ЧЕу2, 1ЧЕу1)
24 - 41 - 0.00881 0.12652
12 - 24 0. 30794 0. 13077 0.70973
1 - 23 0.26314
В связи с этим представляет особый интерес рассмотреть установившийся синхронный колебательный процесс между функциями 1дЕр и 1д Еу2 на интервале 250 - 276 суток (рис.2.), предваряющий горный удар 9-го класса. Колебания функции 1дЕр обусловлены колебаниями энергии регулярных взрывов, происходящих попеременно в разных пространственных точках, на юго-востоке и во втором блоке (табл. 1). Колебания функции 1д Еу2 на этом интервале отражают колебательный процесс выделения энергии блоком 2. Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к теоретическим результатам по изучению нелинейных колебательных процессов. Основоположниками методов изучения таких процессов являются А. Пуанкаре и А. Ляпунов, Б. Ван-дер-Поль, Дж. В. Стретт. Их результаты нашли свое развитие в трудах А. А. Андронова, А. А. Витта. Основы нелинейной механики были заложены Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым [6]. Ими были созданы методы интегрирования нелинейных уравнений, описывающих нелинейные колебательные процессы колебаний и методы исследования общей теории неконсервативных динамических систем.
Имеется глубокое принципиальное отличие между механикой линейных и нелинейных колебаний, которое сохраняется даже при рассмотрении слабо нелинейных колебаний, описываемых дифференциальными уравнениями, отличающимися от линейных наличием малых членов, влияние которых будет сказываться особенно на промежутках времени больших, чем период колебаний. В системе могут присутствовать источники и поглотители энергии, которые производят и поглощают весьма малую работу за один период колебаний, но при длительном их действии производимый ими эффект может накапливаться и оказывать существенное влияние на протекание колебательного процесса: затухание, раскачивание, устойчивость. Малые нелинейные члены могут оказывать кумулятивное действие и разрушают принцип суперпозиции, отдельные гармоники вступают во взаимодействие между собой, в результате чего индивидуальное рассмотрение поведение каждого гармонического колебания в отдельности делается невозможным.
Незатухающие колебания практически могут существовать лишь в случае, если в системе имеется источник энергии, который может компенсировать расход энергии, возникший в результате наличия диссипативных сил. Такой источник играет роль отрицательного трения. Колебания, поддерживаемые источником, не обладающим определенной периодичностью воздействия, принято называть автоколебаниями [6]. При этом поведение колебательной системы, в которой развиваются автоколебания описывается нелинейным дифференциальным уравнением.
Широкое распространение в природе имеют релаксационные колебания, при которых колебательный процесс распадается на две стадии: медленное накопление энергии системой и последующая разрядка энергии, происходящая почти мгновенно после того, как достигнут некоторый критический потенциальный порог для указанного накопления энергии.
Для количественного изучения поведения различных типов нелинейных динамических систем будем опираться на асимптотические методы нелинейной механики, разработанные Н.М. Крыловым, Н.Н. Боголюбовым и Ю.А. Митропольским [библиография в [6]]. Однако для того, чтобы использовать эти результаты применительно к интерпретации имеющихся данных сейсми-
ческого каталога, необходимо от энергетических характеристик перейти к силам и перемещениям. Для этого понадобится дополнительная информация о деформациях, происходящих в массиве под воздействием взрывов. Однако математический аппарат, разработанный академиком Н.Н. Боголюбовым, и рассмотренный им целый ряд модельных нелинейных задач позволяет понять на количественном уровне причины самовозбуждения нелинейной механической системы и возникновение пространственно - временного локального резонанса системы, как отклика на внешнее воздействие.
В качестве примера рассмотрим несколько модельных задач с применением алгоритма асимптотического их решения.
Когда возмущающие колебательную систему силы f не зависят явно от времени, они зависят только от динамического состояния самой системы. Эти колебания определяются дифференциальным уравнением вида:
d x 2 п\ dx | , ^ к
—+*x = ef[x,-\ (1)
где £ - малый положительный параметр. При £=0, колебания будут чисто гармоническими:
x = a cos у с постоянной амплитудой и равномерно меняющимся фазовым углом.
^ = о, у = ю (¥ = ах + в) (2)
dt dt
(амплитуда а и фаза колебания в будут постоянными во времени, зависящими от начальных условий).
Решение уравнения (1), следуя (2) будем искать в виде:
x = a cos у+eux (a, у) + £2u2 (a, у) + £u3 (a, у) +... (3)
в котором ul(a,y),u2(a,y).....являются периодическими функциями угла ^ с
периодом 2п, величины a,у как функции времени определяются дифференциальными уравнениями:
— = £4j(a) + £ A2(a) +....
dt (4)
^^ = rn+£BI(a) + £ B2(a) +.... dt 1 2
Алгоритм решения задачи сводится к нахождению явного вида для функций:
ul(a,Y),u2(a,Y),..., Al(a),Bj(a), A2(a),B2(a),... таким образом, чтобы выражение
(3) оказалось решением уравнения (1), а a,у удовлетворяли системе (2). При этом задача интегрирования уравнения (1) сводится к более простой задаче интегрирования системы (4) с разделяющимися переменными.
Однако процедура явного определения коэффициентов разложений (3) и
(4) очень быстро усложняется, практически эффективно могут быть найдены два - три первых члена разложения, поэтому метод решения (1) имеет смысл асимптотического метода для данного фиксированного m=1, 2, 3... при £ —> 0.
Таким образом, задача формулируется следующим образом: найти функции u1(a,y),u2(a,y),..., A1(a),B1(a),A2(a),B2(a),.. ., чтобы выражение
x = acosy+£u1(a,y) + £u2(a,y) + ....£mum(a,y) + ...(m = 1,2,...), (5)
в котором функции времени a, y определяются »уравнениями m-го приближения»:
^ = £Ai(a) + £ Ma) + ...£mAm (a)
at (6)
dy = 0+£B1(a) + £ B2 (a) + ....£mBm (a) dt
№m+1
с точностью до величин порядка малости £ . При этом определение параметров ay ведется при дополнительных условиях отсутствия первой гармоники в выражениях u1(a,y),u2(a,y),..., т. е. при условиях:
2п 2п
Ju1 (a,y)cosydy = 0, Ju2(a,y)cosydy = 0,...,
0 0 (7)
2ж 2ж v '
Ju1(a,y)sinydy = 0, |u2(a,y)sinydy = 0,...,
0 0
Используя представления (4) и (5) представим левую часть уравнения (1) в виде:
d2x 2 ( „ . . 2 d2u 2 I
—- + a>x = £<-2aAsmy-2aaB,cosy+a> —2 + a>u, !> +
dt2 { 1 r 1 r dy 1J
Ai dA--aBl -2aaB2 |cosy-1 A1 dB-a - +2A1B1 + 2a>aA2 |siny+
+£
+
^ ,< d 2u, n d \ 2 d \ 2
2oA1-— + 2oB1-2 + 0)-2 + 0)¿u2
dad y dy dy
(8)
+ £...
Правую часть уравнения (1) можно записать, учитывая (3) и представления первой и второй производной х по t в виде:
dx
£ f (x,—) = £ f (a cosy, -aosiny) +
+£
u1 f'(a cos y, -aosin y) +
du ^
A1 cos y - aB1 sin y + 0)—1 x f' (a cos y, -arnsin y) dy)
+
(9)
+ £ ...
Лалее необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях £ в правых частях выражений (8 - 9). В результате получим следующие уравнения:
ю
д u ду
ю
2 + ui д' u.
= f0 (a, у) + 2юЛг sin у+2aaB1 cos у,
2
\
+ U2 V дУ J
= f (a, у) + 2юЛ2 sin у+2aaB2 cos у,
2 Í д 2um ^ 2 m + u
at —^Т + um = fm-1(a,у) + 2юЛт s^ + 2aaBm COSу,
V ду J
где для m=0, 1:
^(а,у) = f (a cosу, -aas^^),
f1(а,у) = u fX(a cos у, -aask^^
+
л n • дu1
Л1 cos у - aB1 sin у + a—L ду
fX(a cos у, -aюsinу)+ (11)
( . dA ^ í , „ , dR ^ . „ д2u, „ д2и
+1 aBj2 - A—1 Icos^+1 2AJBJ - A—1 a Isin^-2—-^ - 2—-J,
^ da J ^ da J даду ду
Из выражения (11) следует, что /к (а,у) - это периодические функции переменной поэтому для них, как и для функций ul (а,у) справедливо разложение Фурье. Чтобы определить Aj(a),Bj(a),щ(а,у) из первого уравнения системы (10) представим /0(а,у),щ(а,у) в виде:
/о(а,у) = go(a) + yá.Sn (а)cosпу+hn (a)sinпу}
Г (12)
иДа,у) = v0(a) + j{vn (a)cosпу+wn (a)sinпу}
n=j
Подставим правые части (12) в первое уравнение системы (10), приравняя коэффициенты при одинаковых гармониках, получим: gj (a) + 2—R = 0, hj (a) + 2—Д = 0,
vo(a) = Vn (a) = -gfL~, w, (a) = n = 2,3... (13)
— —(J - n) —(J - n)
В выражениях (13) определены все гармонические компоненты функции
и^у), кроме первых, которые согласно условию (6) равны нулю и u (a, у)
можно записать:
и(a у) = go(a) + _L jj gn(a)cosпу+hn(a)sinпу (14)
J ' —2 —2 n=2 J - n2
Таким образом мы имеем явное выражение для / (a, у) и можем разложить эту функцию в ряд Фурье аналогично (12):
¡¿а,у) = + (а)оо8пу + И^ (а^ппу} (15)
п=1
Повторив процедуру, сделанную на предыдущем шаге, получим аналогично (13): ^ (а) + 2ааВ2 = О, И1(1) (а) + 2ааА2 = О,
п2(а,у) = ^ + ЛУ §(П>(а)С™ПУ+И"1(аПУ (16)
а а 1 - п
Изложенный алгоритм позволяет определить ып(а,у),Ап(а),Вп(а) (п = 1,2,3,...) до любого высокого п и таким образом построить приближенные решения, удовлетворяющие уравнению (1) с точностью до величин сколь угодно высокого порядка малости по отношению к е.
Рассмотрим несколько частных примеров использования этого подхода.
I - свободные псевдогармонические колебания без затухания. Предположим, что зависимость между упругой силой и перемещением нелинейная, но достаточно «слабая». Следуя алгоритму, описанному выше, в первом приближении амплитуда колебания от времени не будет зависеть, изучаемое колебание в первом приближении будет гармоническим, но частота колебаний системы будет зависеть от амплитуды, при этом потеря изохронности будет тем меньше, чем меньше нелинейная часть действующей силы по сравнению с линейной. Анализируя второе приближение, описанным алгоритмом мы снова убеждаемся в том, что амплитуда колебания не будет зависеть от времени. Это свойство справедливо для консервативных систем для любого приближения. В выражении для частоты, появляются члены, зависящие от гармоник действующей силы, которые тем меньше, чем меньше параметр е при нелинейной части действующей силы.
II. Рассмотрим случай колебаний системы под воздействием линейной упругой силы и нелинейного слабого трения, зависящего от скорости. Этот случай является частным случаем рассмотренного алгоритма решения нелинейной задачи. В первом приближении амплитуда колебаний затухает в зависимости от частоты, амплитуды и параметра е, в то время как колебания системы являются гармоническими с постоянной частотой, т. е. в первом приближении система остается изохронной. Во втором приближении закон затухания амплитуды остается тем же, что и для первого приближения, а частота колебаний изменяется пропорционально квадрату параметра е, что свидетельствует о небольшом возможном ее изменении под влиянием нелинейного трения.
III. Рассмотрим колебательную систему, описываемую уравнением вида:
ё2 х
'ж2
+а х=е/ (х) — (17)
которое также является частным случаем уравнения (1). Сопоставляя полученные приближенные решения с решениями для случая II мы убеждаемся в их идентичности для первого и второго приближений. Если положить /(х) = 1 -х2 а= 1, то уравнение (17) запишется в виде:
ё х . л 2 \ ёх
2 е{1 - х )— + х = О , известное как уравнение Ван-дер-Поля, которое
описывает автоколебательные системы [6]. Используя описанный выше алгоритм, мы можем для этого уравнения в первом приближении получить выражение вида:
ег/2
х а0е ^(с + 0) (18)
+ а02 (( -1)/4
Как видно из выражения (18), если начальное значение амплитуды равно 0, то амплитуда останется равной нулю для любого t, что соответствует статическому режиму, т. е. отсутствию колебаний в системе. Однако этот режим неустойчив. Поскольку в системе малые толчки всегда присутствуют, автоматически возбуждаются колебания с нарастающей амплитудой, приближаясь к предельному ее значению.
Рассмотрим коренное отличие автоколебательных систем от колебательных консервативных систем. Во вторых системах возможны колебания с любой постоянной амплитудой, в первых системах колебания с постоянной амплитудой возможны лишь при некотором определенном ее значении. В консервативных системах нет ни рассеяния, ни источника энергии, поэтому один раз возбудившиеся колебания не могут ни возрастать, ни затухать, а их амплитуда равна ее начальному значению. В самовозбудающихся системах имеется рассеяние энергии и ее источник. Поэтому амплитуда колебаний будет возрастать, если количество энергии, доставляемой источником, превышает количество энергии, рассеиваемой диссипативными силами. Если же количество энергии, доставляемой источником, меньше количества рассеиваемой энергии колебания будут затухать. Если количества энергии в системе будут уравновешивать друг друга, то амплитуда будет сохранять свое постоянное значение.
IV. Рассмотрим нелинейную колебательную систему, у которой физические параметры, определяющие ее свойства т, к медленно по отношению к периоду собственных колебаний изменяются со временем. В этом случае уравнение (1) запишется в виде:
Ж
т (т)—
+ к(т)х = е/1 т,х, — I, т = ег (19)
е, - малый положительный параметр, т - «медленное время».
Формулы (3 - 4) изменятся следующим образом.: х = асо^у+еи1(т,а,у) + е2и2(т,а+ еъпъ(т,а,у) +..., (20)
и1(т,а,у),и2(т,а,у).....являются периодическими функциями угла щ с периодом
2п, величины а,у как функции времени определяются дифференциальными уравнениями:
— = еА1(т, а) + е2 А2(т, а) +....
Л (21)
у = со(т) + еВ1(т,а) + е2В2(т,а) +.... со(т) = у]к(т)/т(т)
ю(т) - «собственная» частота рассматриваемой колебательной системы.
Описанную выше схему можно применить для получения асимптотических решений в первом и втором приближении, в результате в случая решения в первом приближении, кроме нарушения гармоничности появляется дополни-
тельный член, зависящий от скорости изменения физических параметров системы.
Отдельно представляет интерес рассмотреть применение метода получения асимптотического решения при воздействии внешней силы, зависящей явно от времени. Как показано в работе [6] этот метод эффективен для рассмотрения возникновения резонансов в колебательной системе с набором собственных частот.
Таким образом, рассмотренный набор решений нелинейной механики [6] может образовать набор аппроксимационных конструкций для локального пространственно-временного моделирования состояния сложнопостроенной нестационарной среды, какой является горный массив, находящийся под сильным техногенным. Использование совместных теоретических подходов [1,2, 6] позволит сформулировать и решать эти задачи.
При этом требуется расширить комплекс входных данных, куда должны войти данные сейсмического каталога, деформационного и индукционного электромагнитного мониторинга.
1. Наймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания.// М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. -С. 424.
2. Чуличков А. И. Математические модели нелинейной динамики. М.: Физмат-лит, 2003. - С. 294.
3. Хачай О. А., Хачай О. Ю., Климко В. К., Шипеев О. В. Отражение синергети-ческих свойств состояния массива горных пород под техногенным воздействием в данных шахтного сейсмологического каталога.// Горный информационно - аналитический бюллетень МГГУ,№6, 2010, с. 259 -
271.
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4. Hachay O.A., Khachay O. Yu, Klimko V.K.. Shipeev O.Yu. The reflection of syner-getic features in the response of geological medium on outer force actions. // Advances in heterogeneous Material Mechanics (2011), Shanghai, China, p.361-366.
5. Hachay Olga, Khachay Andrey, and Khachay Oleg. Construction of a state evolution dynamical model of a rock massive, which is in a regime of energetic pumping.// Geophysical Research abstracts. Vol. 13, EGU2011-1528, 2011
6. Боголюбов H. H. Собрание научных трудов. Математика и нелинейная механика Т. III. М. - Наука. 2005. С. 605. EES
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -
Хачай Ольга Александровна — доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Институт геофизики УрО РАН, о1дакЬасЬау@уа)п1ех. ги
Хачай Олег Юрьевич — магистр, ассистент, Институт математики и компьютерных наук, Уральский федеральный университет, [email protected]
