О построении арбитражной хеджирующей стратегии на рынке с активами, зависящими от одинакового случайного фактора Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Новицкая О.С., Яцало Е.Б. Экстремальное поведение рекуррентных случайных последовательностей // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 5. 6-10.

4. Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosh T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Berlin: Springer, 2003.

5. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003.

6. Klüppelberg C. Risk Management and Extreme Value Theory // Extreme Values in Finance, Telecommunication and the Environment. Boca Raton: Clapman and Hall/CRC, 2002. 101-168.

7. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1, 2. М.: Фазис, 1998.

8. Kozubowski T.J., Podgorski K. Log-Laplace distributions // Int. Math. J. 2003. 3, N 4. 467-495.

9. Freshet M. Sur les formules de repartition des revenus // Rev. Inst. Int. Statist. 1939. 7. 32-38.

10. Inoue T. On income distribution: the welfare implication of the general equilibrium model and the stochastic processes of income distribution formation: Ph.D. Thesis. University of Minnesota, 1978.

Поступила в редакцию 25.11.2009

УДК 51-77

О ПОСТРОЕНИИ АРБИТРАЖНОЙ ХЕДЖИРУЮЩЕЙ СТРАТЕГИИ НА РЫНКЕ С АКТИВАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ОДИНАКОВОГО СЛУЧАЙНОГО ФАКТОРА

М. А. Мартынов1

Предъявляется явная хеджирующая стратегия, позволяющая доказать арбитраж-ность рынка с наличием по крайней мере двух активов, зависящих от одинакового случайного фактора.

Ключевые слова: контрастная структура типа ступеньки, полулинейное параболическое уравнение, арбитраж, опцион, хеджирующая стратегия.

We present an explicit hedging strategy which enables us to prove the arbitrage of the market incorporating at least two assets depending on the same random factor.

Key words: step-like contrast structure, semi-linear parabolic equation, arbitrage, option, hedging strategy.

Введение. В данной работе речь пойдет о модели ценообразования финансового инструмента, который может быть интерпретирован как опцион на рынке, подчиненном некоторым дополнительным условиям. Напомним, что опцион — это договор, дающий право его владельцу на покупку (или продажу) некоторого актива со стоимостью S(t) в заранее назначенный срок T по фиксированной цене X. Опцион определен в терминах базового актива, т.е. является производной ценной бумагой (деривативом). Иными словами, опцион — это контракт, по которому его держатель в момент исполнения получает платеж. Так как опцион представляет собой финансовый актив, цену которого определяет рынок, то предполагается, что его стоимость зависит от времени и цены S(t) на базовый актив. Задача определения рациональной цены опциона на финансовый актив была решена Блэком, Шоулсом [1] и Мертоном [2]. В дальнейшем построенная ими модель подвергалась многочисленным модификациям. Основное предположение, которое необходимо для получения формулы Блэка-Шоулса, однозначно определяющей цену опциона, — безарбитражность рынка. Напомним, что наличие арбитража эквивалентно существованию возможности с вероятностью 1 получить положительный доход, имея нулевой стартовый капитал.

Предположим, что на рынке присутствуют по крайней мере два актива, стоимости которых Si(t) и S2(t) суть случайные процессы, зависящие от одного и того же броуновского движения. Утверждение об арбитражности рынка с такими активами не является новым. В книге [3] сформулирован принцип, утверждающий, что рынок безарбитражен тогда и только тогда, когда число торгуемых активов (за исключением безрискового) не превосходит числа источников случайности. В этой же книге с помощью

1 Мартынов Михаил Александрович — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

mikhailmartinov@gmail.com.

мартингального подхода показано, что для того, чтобы рынок, включающий несколько рисковых активов, стоимости которых заданы процессами Ито, был безарбитражным, необходимо и достаточно, чтобы на рынке присутствовало по крайней мере столько независимых винеровских процессов, сколько имеется рисковых активов.

В настоящей работе мы доказываем арбитражность рынка с присутствующими на нем активами, зависящими от одних и тех же случайных факторов, альтернативным способом и предъявляем явную хеджирующую стратегию, используя математический аппарат, описывающий формирование контрастных структур типа ступеньки у решений полулинейных параболических уравнений.

Отметим, что для определенности в работе мы будем рассматривать опцион на покупку. Все получаемые результаты с минимальными изменениями справедливы для опциона на продажу.

Начально-краевая задача для аналога уравнения Блэка—Шоулса. Рассмотрим некоторый финансовый инструмент, стоимость которого V = V(Si, S2,t) зависит от цен Si, S2 на два разных актива, и предположим, что рынок безарбитражен. Под разными активами мы будем понимать геометрические броуновские движения, имеющие по меньшей мере различные параметры диффузии (параметры Ji и J2 в нашем случае). Рассмотрим самофинансируемый портфель из одного такого финансового инструмента: (—¿1) единиц первого актива и (—52) единиц второго актива. Стоимость портфеля n(t) в момент времени t составит n(t) = V — 5iSi — 52S2.

Положим, что цены активов изменяются по законам

dSi = цiSidt + uiSidW, dS2 = ц2S2dt + u2S2 dW,

где — положительные коэффициенты сноса, W = Wt — процесс броуновского движения. В таком

случае, используя формулу Ито, можно написать

dV= (V/ + ^Vs, + /Х2S2Vs2 + + \alS22v's2s2 + aia2SiS2VslS^) dt+(oiSiV'Sl + a2S2v'S2) dW.

Изменение стоимости всего портфеля записывается как dn = dV — 5idSi — 52dS2, а невозможность арбитража приводит к условию dn = r(t)ndt = r(t) (V — 5iSi — 52S2) dt, где r(t) — мгновенная процентная ставка. В дальнейшем будем считать, что ставка r(t) = r = const. Приравнивая правые части обоих соотношений для изменения стоимости всего портфеля и подставляя выражение для dV в первое из них, находим

(Vt + HiSiV'Sl + h2S2v'S2 + ^ajSjVslSl + ^cr%S%Vs2s2 + aia2SiS2VslS2 ~ h^iSi - 62/j,2S2)dt+

+ (uiSiV'1 + 02S2V'2 — 5i ui Si — 52 02S2) dW = r (V — 5iSi — 52S2) dt.

Переносим все слагаемые в левую часть и приравниваем коэффициенты при dt и dW к нулю. В результате получаем два уравнения

(У/ +niSiVs1 +/J.2S2Vg2 + ^vlSjVslSl + ^<r%S%Vs2S2 +aia2SiS2VslS2-5i/j,iSi-52iJ,2S2) = r(V-SiSi -52S2),

(JiSiVSl + 02S2VS2 — 5i oiSi — 52 J2S2 = 0.

Из второго уравнения находим, что стохастическая компонента стоимости портфеля будет исключена в случае, если

1 Sl ягБг s2 (T\Si

Подставим найденное выражение для 5i в первое уравнение и после надлежащих преобразований выведем уравнение для определения цены финансового инструмента

I l О О '' loo '' '' '

Vt + ^¡SfVSlSl + -alSlVS2S2 + aia2SiS2VSlS2 + rS +

+5*2 ( ¿¿2 - Ц-1— + r— ] VL + 62S2 \ Hi — - Ц2- Г— + r J - rV = 0. V Ji Ji) 2 V Ji Ji J

10 ВМУ, математика, механика, №6

Следует отметить, что для дальнейших рассуждений (т.е. для построения арбитражной стратегии) важно неравенство нулю коэффициента при ¿2 в уравнении (1). Таким образом, доказав арбитражность рынка, мы методом от противного покажем, что для безарбитражного рынка Hi^ — Ц2 ~ f^ + г = 0. Это

означает, что на безарбитражном рынке рыночные цены риска для активов 5*1 и ¿>2 совпадают. Этот неочевидный факт может быть также доказан иначе, при помощи мартингального подхода [3].

Заметим, что если положить ¿2 равным нулю, тем самым исключив зависимость П от S2, то (1) превратится в стандартное уравнение Блэка-Шоулса (см., например, [3]).

Предположим, что покупатель опциона не знает, что продавец собирается привлекать для хеджирования дополнительный актив, и поэтому ориентируется на цену опциона, найденную по стандартной формуле Блэка-Шоулса. Поэтому поставим начально-краевую задачу для уравнения (1), имитирующую задачу Коши для стандартного уравнения Блэка-Шоулса. Обозначим решение последнего через V(t, Si) и поставим "финальное" условие V"(Si,T) = (Si — X)+, где (Si — X)+ = max (Si — X, 0) , X = const > 0. Как следует из явной формулы для решения этой задачи Коши, в любой момент времени t £ [0,T] имеем V(0,t) = 0 и V(S\,t) = S1 — Хе~г(т~^ (1 — при Si —+оо. Зададимся некоторыми большим положительным числом K+ и большим по модулю отрицательным числом K_. Обозначим

= (2)

где а > 0 и c — константы, которые будут выбраны позднее, t £ [0,T]. Понятно, что S_ ^ 0 и S+ ^ при \K±\ ^ ж. Выберем функции g±(S±,t) = V(S±,t). Таким образом, g_(S_,t) = o(S_) при S_ ^ 0 и V(S+,t) =S+- Xe~r(-T-^(1 - при S+ -»■ +oo.

Таким образом, для любых сколь угодно больших по модулю положительного числа K+, отрицательного числа K_ и любого S2 > 0 получим начально-краевую задачу для уравнения (1):

V (Si ,S2,T) = (Si — X)+ ,

(3)

V (S_,S2,t) = g_(S_, t), V (S+,S2 ,t) = g+ (S+,t).

Оправдать переход от полуоси Si > 0 к отрезку [S_, S+] можно включением в условия договора условия об аннулировании контракта в случае, если в течение времени t £ [0, T] цена выйдет за пределы заранее оговоренного коридора, который можно выбрать сколь угодно широким. Наличие такого коридора можно объяснить существующей системой лимитов на рынке ценных бумаг, которые регулируют резкие колебания цен активов. В случае достижения лимита торги приостанавливаются до тех пор, пока колебания цен не примут более спокойный характер.

Сведение к линейному параболическому уравнению. Произведем несколько замен независимых и зависимых переменных задачи (1)-(3) и приведем ее к начально-краевой задаче для уравнения теплопроводности. Мы не будем выписывать соответствующие начально-краевые задачи на каждом этапе, а только перечислим сделанные замены. Отметим, что эти замены в общих чертах аналогичны приводящим к уравнению теплопроводности в модели Блэка-Шоулса, однако есть и отличия.

Сделаем замену направления времени т = T — t; замену независимых переменных xi = ai lnSi, Sai

%2 = «2 In , гДе OL\,a.2 >0 — произвольные постоянные; замену зависимой переменной V(x\,x2, т) = Si

e~rrU(xi,X2,T)-, сдвиг у\ = Х\ + С\т, У2 = х2 + с2т, где с2 = а2 ~ V+ \(?\(?2{(?\ ~ (72)) и с\ =

Если в (2) выбрать a = ai и c = ci/a, то в результате придем к следующей начально-краевой задаче:

1 2 2тт" , г / (72 (72 ,

-crfafu +s2e a2ai ^--¡л2 -Г— +

2 У1У1 \ о i о i

f/(yi,y2,0) = (^е—-х) , У1 £ [К_,К+], у2 е М,

U (K_,y2 ,т) = erT g_(S_,T), U (K+,y ,т) = erTg+(S+,T).

Заметим, что переменную y2 можно считать параметром, так как в уравнении в (4) нет производных по ней, но зависимость от y2 остается.

1 гг I У2-°2Т I (У1-с1т)а2 / \

Введем обозначения: е = ^afaf, F(y\,T,e) = —е «1-1 - - + г I U0(yi, е) =

( »ll-r = n \ +

I е — X) . Поскольку величину ¿2) соответствующую доле второго актива в безрисковом портфеле,

И1т= 0 \ 1 (4)

мы вольны выбирать произвольным образом, возьмем = и(и — А)(и — В) (Е(у\,т,е))-1, где А и В — некоторые функции, которые мы определим позже. Такой выбор значения произвольной постоянной 52 приводит нас к задаче

— и'т = ! (и),

и(У1, 0,£) = ио(у!,£), У1 е м, (5)

и (К-,у2,т)= егтд- (Б-,т), и (К+,у2,т) = егтд+(Б+,т).

где / (и) = и (и — А)(и — В).

Аппроксимируем краевые условия о учетом того, что число К- велико, а число т ограничено. Заме-

К ст2т

тим, что егтд-(в-,т) —0 при \К- \ оо и егт = " — X. Поэтому, сделав дополнительное

предположение о том, что а2Т ^ 1, исключим в краевых условиях зависимость от времени:

и(К_,у2,т) = 7, и{К+,у2,т) = е«1 -X, (6)

где в качестве 7 можно выбрать любое сколь угодно малое положительное число. Его выбор диктуется выбором К- .

Условия формирования контрастной структуры типа ступеньки. Изложим известные результаты об условиях формирования контрастной структуры типа ступеньки [4, 5] . Рассмотрим следующую начально-краевую задачу:

е2и'хх — щ = f (и, х, е), (х, г) е О х (0,

и(а, г, е) = да, и(Ь, г, е) = дь, г е (0, (7)

и(х, 0, е) = ио(х, е),х е О,

где е > 0 — малый параметр, О = (а, Ь), да и дь — константы.

Предположим, что функция f удовлетворяет следующим условиям.

(А1) Существуют функции О и 0 из С 2(О), такие, что О < 0 ,х е О ив области О = {(и,х) : 0) ^ и ^ Со, х е О} функция f (и, х, 0) обращается в нуль только на кривых и = фг(х), г = 0,1, 2, причем

О) < ф\(х) < <ро(х) < ф2(х) < 0, х е О;

1'и(фг(х), х, 0) > 0, г = 1, 2; ¡и(фо(х), х, 0) < 0, х е О.

Будем считать, что f (и, х, е) — достаточно гладкая функция в области ^ х [0,ео], где ^ — область, содержащая О, а ео > 0 — некоторое число.

<Р2(х)

Введем функцию .](х) = [ f (и, х, 0)йи и сделаем следующие предположения.

(х)

(А2) Существует точка хо е О, такая, что

Пх0) = 0, %{х0) < 0.

(А3) Справедливы неравенства ф\(а) < да < ф2(а); Фч(Ь) < дь < ф2(Ь); у у

J f (и, а, 0)йи > 0, у е (ф\(а), да]; J f (и, Ь, 0)йи > 0, у е [дь, ф2(Ь)).

<Р1(а) >Р2(Ь)

При выполнении условий (А1) — (А3) для достаточно малых е существует стационарное решение и3(х,е) краевой задачи, имеющее внутренний переходный слой в окрестности точки хо, такое, что

, ч {фl(x), х е (а,хо); . .

Иш Щ(х,е) = < (8) уф2(х), х е (хо,Ь).

Решения такого типа получили название контрастных структур типа ступеньки (КСТС).

Известно, что при выполнении условий (A1) — (A3) КСТС и8(ж,е) является асимптотически устойчивым решением краевой задачи. Возникает чрезвычайно важный как с теоретической, так и с прикладной точки зрения вопрос: как устроено множество начальных функций ио(ж,е), из которых формируется при t ^ КСТС и5(ж,е)? Иными словами, какова область влияния этого решения? Дадим в этой связи определение глобальной области влияния согласно [5].

Пусть при е £ (0,е'], где е' > 0 — некоторое число, краевая задача имеет стационарное решение u£(x) £ C2(D).

Определение. Глобальной областью влияния G(ue) стационарного решения и£(ж) краевой задачи называется класс функций uo(ж,е), таких, что найдется е'' £ (0,е'], такое, что при е £ (0, е''] существует решение u£(x,t) £ C 1,0(D х [0, П C2,1(D х (0, начально-краевой задачи и ||u£(x,t) —

ue(X)\\c(D) =

Пусть функция f удовлетворяет следующим дополнительным условиям.

(A4) Множество всех точек ж, в которых J (ж) = 0, состоит из конечного числа отрезков или точек. (A5) Функция «о(ж, е) = ио(ж) £ C|(D) = {v(x) £ C2(D) : v(a) = g0, v(b) = gb} и

(ж) ^ u0(x) ^ (ж),ж £ D.

(A6) Существуют ж(-) £ (a, жо) и ж(+) £ (жо,Ь), такие, что

ио(ж(-)) < ^о(ж) и ио (ж) < ^о(ж) во всех точках ж £ [a, жо), где J (ж) ^ 0,

ио(ж(+)) > ^>о (ж) и ио(ж) > ^>о(ж) во всех точках ж £ (жо,Ь], где J (ж) ^ 0.

Основной результат работы [5] представляет следующая теорема.

Теорема. Пусть выполнены условия (A1) — (A3). Тогда при достаточно малых е существует стационарное решение и8(ж,е) из C2(D) краевой .задачи (7), представляющее собой КСТС, т.е. удовлетворяющее предельному равенству (8).

Пусть, кроме того, выполнено условие (A4). Тогда функция ио(ж,е) = ио(ж) принадлежит G(us), если она удовлетворяет (A5), (A6).

Формирование КСТС в задаче (5). Перепишем задачу (5) с краевыми условиями, замененными на (6) в обозначениях предыдущего пункта (будем писать ж вместо yi и u вместо U):

9 // / / JL. \ + —L

e uxx—ut = f(u), и(х, 0) = ( eai - X J , u(a,t) = j, u(b,t) = е ai - X, (9)

где f (u) = u(u — в1ж — в2)(и — B), В,в1,в2,a, b = const, причем B > 0, Д < 0, в2 > 0, t £ [0,T], ж £ [a, b], a = K-, b = K+.

Применим изложенные выше результаты об условиях формирования КСТС к задаче (9). В нашем случае ^>1 =0, ^о = Аж+в2, ^2 = B, поэтому необходимо выбрать във и B удовлетворяющими условию теоремы.

Условие (A1) в нашей задаче выполнено, если 0 < в ж + в2 < B при ж £ [K-,K+]. Из условия (A2)

в в 3

установим точку перехода. Так как J(x) = f f(u,x)du = f u(u — ¡3\X — ^{u — B)du = jj + fh) ~ B),

о о 12

то из уравнения J(ж) = 0 находим Xq = • Второе условие (A2) выполняется ввиду отрицательности

/?ь так как %{х0) = Ръ

Первые два неравенства (АЗ) имеют место, если В > еа 1 — X.

у 2

Далее, / ¡(и, К-)йи = ^ (Зу2 ~ 4у(В + + /32) + 6ВЦЗхК- + /32)) > 0 в силу малости 5 и соот-0

Е+

ношения 0 < (3\К- + 02 < В. Правое неравенство выполнено при условии, что (3\К+ + ¡З2 < е а1 — X, так

у /

как в этом случае функция Н(у) = [ /(и, К+ удовлетворяет соотношениям Н(В) =0 и Н (у) < 0 на

в

[е"1 -Х,В).

Итак, на в, в и В получаем несколько простых условий:

0 < ргК+ +[32<еа 1-Х, В > /3\К_ + /32, В > еа1 — X,

из которых можно с достаточной степенью произвола так выбрать параметры, характеризующие положение и размер ступеньки, чтобы точка перехода оказалась правее цены исполнения. Таким образом, КСТС в стационарной задаче имеет вид

. | 0 при K- < x < x0;

lim u(x,e) = <

B при x0 < x < K+.

Условие (А4), очевидно, удовлетворяется в силу единственности точки, в которой Л(х) = 0.

Условие (А5) выполнено ввиду соотношения В > еа 1 — X.

Условие (А6) не накладывает дополнительных требований на @\,@2 и В. Действительно, на [К-,хо) нет точек, где Л(х) ^ 0, а на [хо,К+) нет точек, где Л(х) ^ 0. В качестве х(-) можно выбрать любую

точку из (К-,хо), а в качестве х^ — точку, лежащую правее точки пересечения (3\Х + Д и е"1 — X.

Поскольку все условия теоремы выполнены, то в задаче (9) формируется КСТС и начальное условие входит в ее глобальную область влияния.

Арбитражная хеджирующая стратегия. Отметим, что мы вольны выбирать величины К-, К+, а\ произвольным образом. Постоянные @2 и В зависят от выбора К-, К+, а\, но в свою очередь также могут быть выбраны с некоторой долей произвола. К примеру, коэффициент /3\ можно взять любым малым отрицательным, а значит, точку перехода Хо = —можно двигать по оси вплоть до К+ вправо. Поэтому всегда можно добиться того, чтобы

точка перехода Бо в первоначальных координатах лежала намного правее цены исполнения X. А это в свою очередь означает, что мы можем выбрать такую хеджирующую стратегию (¿1,52), что стоимость опциона в начальный момент времени будет пренебрежимо мала.

Цена опциона, рассчитанная по классической формуле Блэка-Шоулса, в начальный момент времени естественным образом оказывается больше, чем в момент исполнения Т. Однако если мы применим хеджирующую стратегию с участием второго актива, то окажется, что в начальный момент времени стоимость опциона (при Б < Бо) пренебрежимо мала в сравнении с его стоимостью в момент исполнения, что, очевидно, предоставляет возможность заключить арбитражную сделку. Таким образом, мы приходим к противоречию с предположением о безарбитражности рынка.

Хеджирующая стратегия (¿1, ¿2) имеет вид

1 51 <71^1 2 (71^1 '

1

¿2 = У(У - ргагЫБг - /32)(У - В)

ер(г-4)52(/Х2-/Х1£-г(1-а))'

Численное решение задачи (9). Построим контрастную структуру в нашей задаче численно. Это, в частности, даст ответ на вопрос о том, насколько быстро эта структура формируется. Будем использовать схему Кранка-Николсона и метод прогонки (см., например, [6, 7]). Напомним, что решение задачи (9) ищется в области [К-,К+] х [0,Т].

Для расчетов возьмем следующие числовые характеристики: Б- = 0,1; £+ = 120; N = 100; т = 25 ■ 10-5; а1 = 100; 01 =2 ■ 10-6; X = 30. Точкой перехода в таком случае будет £о = 33,1, а величиной, характеризующей размер ступеньки, — В = 90.

На рис. 1 сплошной линией изображена "финальная" функция V(31,Б2,Т), а маркерами — решение разностной задачи V(Б1 ,Б2,Ь) при Ь = 0, так как исходную задачу мы решаем в обратную сторону. Уже при Т = 0, 25 (т.е. при сроке истечения в 3 месяца) график решения разностной задачи на последнем слое становится похож на ступеньку. При увеличении Т и при стремлении Ь к нулю точка перехода (на графике примерно 75) будет двигаться к £о = 33,1 и при Т = 0, 5 будет мало отличаться от £о.

На рис. 2 представлен график той же функции V = V(Б1,г) при Ь = 0 (маркер) и при Ь = Т (сплошная линия) в предположении невозможности использования второго актива при формировании портфеля (т.е. 52 =0), как в классической модели Блэка-Шоулса.

Поскольку ступенька начинает формироваться уже при Т = 0, 25 (3 месяца), то можно считать, что такая стратегия реализуема для европейских опционов с традиционными сроками исполнения, а не только для долгосрочных деривативов.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 S 0 20 40 60 80 100 5

Рис. 1 Рис. 2

Исследование поддержано аналитической ведомственной целевой программой "Развитие научного потенциала высшей школы", проект 2.1.1/1399.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities ^ J. Political Economy. 1973. 81. 659-683.

2. Merton R.C. The theory of rational option pricing У У Bell J. Economics and Management Sci. 1973. 4. 141-183.

3. Bjork T. Arbitrage theory in continuous time. Oxford: Oxford University Press, 2003.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

5. Бутузов В.Ф., Кряжимский С.А., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых контрастных структур типа ступеньки в задаче Дирихле У У Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. 44, № 6. 1039-1061.

6. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Главная редакция физ.-мат. лит., 1971.

7. Шведов А.С. Применение метода конечных разностей для оценки финансовых инструментов ^ Экон. журн. ВШЭ. 2002. № 2. 193-216.

Поступила в редакцию 08.02.2010

УДК 511.36

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ НАД Qp ЗНАЧЕНИЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТОЧКАХ ИЗ Cp

О.Ю. Баженова1, В. Г. Чирский2

Сформулированы общие теоремы об алгебраической независимости над Qp значений аналитических функции в точках из Cp и их приложения к конкретным примерам.

Ключевые слова: трансцендентность, p-адические числа.

The paper formulates general theorems on the algebraic independence over Qp of the values of analytic functions at points from Cp and their applications to particular examples.

Key words: transcendence, p-adic numbers.

Пусть Qp — пополнение поля Q по p-адической норме, Cp — пополнение алгебраического замыкания поля Qp. Вопросы алгебраической независимости элементов из Cp над Qp изучались в [1, 2]. Эффективное построение алгебраически независимых элементов было выполнено в [3] и продолжено в [4]. В работе [5]

1 Баженова Олеся Юрьевна — асп. каф. теории чисел матем. ф-та МПГУ, e-mail: bashenova.o@rambler.ru.

2 Чирский Владимир Григорьевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vgchirskii@jandex.ru.