CC BY
362010
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_______________
Математика. Механика. Информатика Вып. 2(2)
УДК 510; 165
О последовательности 6 исторических этапов появления основных математических понятий
В. Л. Чечулин
Пермский государственный университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 chechulinvl@mail.ru; (342) 239-64-24
Описана периодизация 6-уровневого развития математического знания при использовании психолого-гносеологических оснований отражения действительности в сознании человека; по уровням обобщения (абстрактности понятий) прослежено на конкретных примерах 6 этапов появления основных математических понятий. Прослежена основная линия развития число-уравнение-функция-алгоритм-непредикативность, а также функция-функционал-оператор, отмечены этапы развития логики (схема изменения в истории представлений о бесконечности описана в одной из предыдущих работ). Указано, что периоды развития математики в целом совпадают с периодами исторического развития самоосознания (историческими социально-экономическими формациями), содержат в основании общую гносеологическую структуру отражения действительности в сознании человека и во многом тождественны периодам усвоения математических представлений при изучении математики при взрослении.
Ключевые слова: история математики; гносеологические основания абстрактных понятий; 6-уровневая иерархия понятий; линия развития: конкретное число - число из единиц -уравнение - функция - алгоритм - непредикативность.
Предисловие
При обобщенном взгляде на историю математики, от древности до современности, замечаем последовательное поэтапное усложнение математических понятий, аналогичное таковому же их усложнению, происходящему при взрослении человека и изучении математики от счета на пальчиках до современного ее (математики) состояния. Вообще говоря, такое усложнение понятий наблюдается не только в истории математики, но и в истории других наук в связи с тем, что основания усложнения понятийной системы связаны с наличием определенных этапов, уровней самосознания личности. С гносеолого-психоло-гической стороны эта структура уровней са-моосознания, обобщения подробно описана в работах [32], [33].
В этой статье рассматривается историко-математический аспект общеисторического структурного усложнения научного знания при обобщенном взгляде на развитие науки, свойственном, скорее, не собственно матема-
© В. Л. Чечулин, 2010
тическому походу к истории математики, но более философско-математическому взгляду.
1. Гносеологические основания
иерархии понятий
Формирование системы понятий неотъемлемо связано с наличием определённой структуры отражения действительности в сознании, причем действительности, содержащей как сам отражающий субъект, так и само отражаемое описание действительности (см. рис.). Всего в процесс отражения выделяемы 6 последовательных стадий, которые совпадают с уровнями обобщения понятий (что, в свою очередь, соответствует определённым уровням самоосознания - психологическим возрастам личности)1. Не акцентируя внимания на деструктивных последствиях кризисов развития, ограничиваясь рассмотрением только нормативного развития, можно сказать, что самоосознание человека проходит
1 Исторически эти этапы совпадают с периодами смены ведущих общественно-экономических формаций (вбирающих в себя как соподчиненные и модернизованные предыдущие уровни организации).
6 последовательных уровней обобщения, на эти же достигнутые в самоосознании уровни обобщения накладывается и понятийный аппарат описания внешнего мира.
В формировании этой структуры уровней обобщения выделяются три последовательные стадии:
а) формирование нейрофизиологических когнитивных структур, обеспечивающее в дальнейшем физиологическую возможность познания и себя, и окружающего мира, с формированием 6-уровневой нейронной структуры (см. [6]);
б) последовательное образование струк-
2. Этапы появления основных понятий
12. Первое понятие, появившееся в истории математики, понятие конкретного числа на первом уровне, соответствующем обобщению совокупностей чувственно воспринимаемых образов, когда обобщаемые образы предметов обладают свойством численности (как-то "глаза" - их обычно два, "рука" - имеет обычно пять пальцев и т. п.), и это побочное по отношению к именованию предметов свойство (численности) используется в дальнейшем для счета других предметов.
Схема отражения мира в самоосознании *самоописание субъекта в самоописательной части описания мира
тур самоосознания с наличием также 6 уровней отражения действительности;
в) преобразование окружающего мира, направленное на упорядочение его явлений и процессов на пользу и обеспечение не ограничиваемого во времени продолжения существования человека, появление и усложнение техники, устройств обработки информации, научного понятийного аппарата, описывающего окружающий мир, так же содержащего 6 уровней обобщенности, сложности понятий. (Примеры 6-уровневых систем обработки информации см. в [31], [35].)
Примеры конкретных чисел описаны в [12]: "Первым шагом к возникновению счета было установление, как мы сейчас говорим, "взаимно однозначного соответствия" между считаемыми предметами и некоторым другим <естественным> множеством. <...> Пережиток этой системы мы встречаем в древней индийской словесной системе счисления, где единица называлась Луной., два - близнецами, пять - чувствами. и т. д." [12, с.9]. Это
2 Номер пункта обозначает уровень абстракции понятий, аналогично и в других параграфах.
этап счета при помощи "конкретных" чисел. Представления об арифметических операциях как таковых в древности не было, употреблялся конкретный пересчет сложенных в кучки предметов для вычисления суммы и т. п.
Записи чисел, как и отвлеченного понятия об арифметической операции, на этой стадии еще не существует, все действия выполняются непосредственным пересчетом предметов, сложенных в кучу или распределенных по кучкам. Следы этого имеются и древнеегипетской математике.
Древнеегипетская математика также не знала абстрактного определения понятия числа и арифметической операции, она оперировала теми же конкретными пересчетами, т. е. все действия в ней сводились практически к сложению: "все действия в египетской математике по существу сводятся к сложению" [17, с. 84].
2. С появлением письменности понятие конкретного числа облекается в более абстрактную форму, появляется уже отвлеченное определение понятия числа; так, у пифагорейцев (VII в. до н. э.) число представлялось состоящим из отдельных единиц (как совокупность сложенных палочек, камешков и подобных внешних по отношению к человеку предметов для счета).
Такое же определение числа встречается и у Евклида (II в. до н. э.) ("Начала", кн. 7, Определения):
" 1. Единица есть <то>, через что каждое из существующих считается единым.
2. Число же - множество, составленное из единиц" [11, т. 2, с.9-10].
У Евклида имеется и абстрактное определение понятия арифметической операции (сложения, умножения и т. п.): "Говорят, что число умножает число, когда столько в нем единиц, сколько раз составляется умножаемое и что-то возникает" [11, т. 2, с.10], а также указано на свойства этих операций (дистрибутивность, коммутативность) (там же, кн. 7):
"Если два числа, перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающие будут равны между собой.
Пусть будет два числа А, В, и пусть А, умножая В, производит С; В же, умножая А, производит D; я утверждаю, что С равно D. <далее следует доказательство этого утверждения^' [11, т. 2, с.23-24].
Таким образом, на второй стадии развития математики появляется абстрактное понятие числа (обобщающее до степени произ-
вольности операций с числом множество конкретных чисел 3 ) и абстрактное определение арифметической операции (обобщающее до степени произвольности множество конкретных пересчетов чисел).
Хотя в древности и в античности и решали задачи, сводящиеся к уравнениям (в том числе и частные случаи квадратных уравнений), но абстрактного определения понятия уравнения (вида "уравнение - это.") в эти периоды (1, 2) еще не существовало.
3. Следующим возникшим понятием является понятие переменной, неизвестной величины, появившееся как обобщение множества однотипных задач на нахождение некоторого численного решения, и связанное с ним понятие уравнения.
У Диофанта (II в. н. э.) определение уравнения таково [10, с.37-38] (Арифметика, кн. 1):
"(I) Все числа, как ты знаешь, состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. Так вот среди них находятся:
квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата;
затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону;
далее квадрато-квадраты <...>; далее квадрато-кубы <...>; далее кубо-кубы <...>.
Из них при помощи сложения, вычитания, умножения или нахождения отношения между собой или каждого с собственной стороной составляются многочисленные арифметические задачи; решение же их получается, если ты пойдешь путем, который будет указан дальше.
(II) < . Далее вводятся обозначения для степеней и обозначение неизвестной величины:> Не получившее никакого из этих названий <степеней>, но состоящее из неопределенного количества единиц, называется числом (арШцод) и его знаком будет д."
У Диофанта уравнение - это некоторая сумма различных степеней неизвестной.
С упадком Римской империи наука преемственно развивалась в арабских странах, у
3 У Архимеда (III в. до н. э.) даже имеется работа "Об исчислении песчинок" [3], в которой он пытается построить наиболее возможное в доступной ему системе записи чисел число и показать, что его достаточно для исчисления всех песчинок в мире.
Омара Хайяма (Х в.) и у ал-Каши (XV в. н. э.) определение уравнения (при большей сложности решаемых уравнений) практически совпадает с таковым же определением у Диофанта ("Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы") [26, с.70-71]:
"Я утверждаю, что искусство алгебры и алмукабалы есть научное искусство, предмет которого составляют абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесённые к какой-нибудь известной вещи, по которой их можно определить. Эта вещь есть количество или отношение, не связанное ни с чем другим. В это ты должен глубоко вникнуть. Цель этого искусства состоит в нахождении соотношений, связывающих его предмет с указанными данными. Совершенство этого искусства состоит в знании методов изучения, посредством которых можно постигнуть способ определения упомянутых неизвестных, как числовых, так и геометрических".
Если у Диофанта понятие неизвестной вводится после определения числа (из единиц) и уравнения, то у ал-Каши первым понятием становится неизвестная [13, с. 13] ("Ключ арифметики", Введение): "Арифметика - это наука о правилах нахождения числовых неизвестных величин с помощью соответствующих им известных. Предмет арифметики есть число, т.е. то, что происходит при счёте и охватывает как единицу, так и то, что состоит из единиц".
[13, с. 179-180] ("Ключ арифметики", кн. 5): "Наука алгебры и алмукабалы - это наука о правилах, по которым узнают многие числовые неизвестные по соответствующим им известным. Эти известные бывают известны или сами по себе, как числа, или условию, как корень чего-то, основание чего-то, отношение чего-то к чему-то и другое из понятий арифметики и геометрии, что видно из того, что говорит спрашивающий.
Неизвестное следует называть вещью, динаром, дирхемом, долей, частью и так далее. Обычно в большинстве случаев мы называем неизвестное вещью, если же <не>известное, называемое вещью, умножается на себя, произведение называется квадратом и вещь здесь является корнем; на квадрат - куб, на куб -квадрато-квадрат, и так далее, как мы говорили в пятой главе первой книги. Эти степени являются степенями неизвестного и являются неизвестными родами, потому что их основание есть неизвестная вещь.
Если спрашивают: неизвестная принята за вещь, а квадрат, построенный на неизвестной, за квадрат и с ним сделано то, что ясно того, что говорит спрашивающий, тогда с помощью того, что требуется арифметикой для определения этой величины, это приводится к условию, называемому уравнением".
[13, с. 191 ] ("Ключ арифметики", кн. 5): "Если действие приводит к уравнению, то необходимо один род или больше равны одному роду или больше. Так как роды бесконечны, задачи тоже бесконечны, бесконечны и виды задач, а в каждом виде тоже бесконечное количество задач, как например, один род равен другому или двум родам, или трем, или четырем и так до бесконечности, или два рода, или три, или четыре и так до бесконечности равны двум родам или трем родам, или четырем и так до бесконечности."
Операции с упорядоченными табличными величинами близко подводят к понятию функции, но ее абстрактного определения на
4
этом этапе развития науки еще не существует .
4. Понятие о функции возникло первоначально при изучении свойств внешних по отношению к человеку явлений, изучения свойств движения материальных тел; так, уже у Галилея (XVI в.) имеется предварительное понятие о функциональной зависимости, привязанное, однако, к изучаемому им фрагменту физической реальности [7, с. 117]: "При наличии же такого влечения <притяжения> тело необходимо движется с непрерывным ускорением, начиная с самого медленного движения, оно достигнет некоторой степени скорости не раньше, чем пройдя все степени меньших скоростей."
[7, с. 117]: "Прежде всего следует принять во внимание, что движение падающих тел является не равномерным, а, после выхода тел из состояния покоя, непрерывно ускоряющимся -
4 См. работу Махмуда ибн Мухаммеда Мариам Челеби (ум. в 1525 г.) "Правила действия и исправления таблиц" с изложением интерполяционных приемов при обработке табличных значений [27].
В западноевропейской научной школе попытка Орема (XIV в.) описать изменения свойств вещей в трактате "О конфигурации качеств" [18] заканчивается описанием лишь качественно наглядных, геометрических изменений, без их привязки к реальности и количественному измерению интенсивности свойств, не содержит абстрактного, пригодного к решению практических задач определения функции.
явление, известное всем наблюдателям. <...> Пространства, пройденные движущимся телом, вышедшим из состояния покоя, находятся друг к другу в отношении времен, в течение которых пройдены эти пространства, или, иначе говоря, что пройденные пространства относятся друг к другу как квадраты времени".
Функциональная зависимость пути падающего тела от времени сформулирована при наличии неявного предположения о двух взаимосвязанно изменяющихся величинах (меры пути и меры времени)5 и в [8, с.249] (Теорема 2).
Понятие же функции обобщает множество решений уравнения при введении в уравнение изменяемого параметра (переменной, аргумента функции).
У Декарта (XVII в.) и Ферма (XVII в.) определение функции (как взаимозависимости двух величин) уже абстрактно:
(Декарт. Геометрия, кн. 1) [9, с. 14]: "Итак, желая решить какую-нибудь задачу, следует сперва ее рассматривать как уже решённую и дать названия всем линиям, которые представляются необходимыми для ее построения, притом неизвестным так же, как и известным. Затем, не проводя никакого различия между этими известными и неизвестными линиями, нужно обозреть трудность, следуя тому порядку, который показывает наиболее естественным образом, как они взаимно зависят друг от друга, до тех пор, пока не будет найдено средство выразить одну и ту же величину двояким образом: это то, что называется уравнением, ибо члены, полученные одним из этих двух способов, равны членам, полученным другим".
В этом определении функции истолковывается параметризация уравнения как связывающего две изменяющиеся величины.
У Ферма определение аналогично ("Введение в изучение плоских и телесных мест") [23, с. 137-138]:
"Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место, и конец одной из них описывает прямую или же кривую линию. Существует только одна единственная и простая прямая линия; наоборот, кривых бесконечно много: круг, парабола, гипербола, эллипс и т. д. <. >
5 "Синтез кинематической и математической мыс-
ли имел во всем этом решающее значение" [34, с.182].
Для установления уравнений удобно расположить обе неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин".
На этом же этапе возникают понятия об операциях над функциями: дифференцирование, интегрирование, в работах тех же Декарта и Ферма, ("Из письма Декарта Дебону 20 фев. 1639 г." [9, с. 192—193]:
".Вы определяете пространство, заключённое линией, которая еще не дана. Я не думаю, что можно было бы найти общим образом правило, обратное моему правилу для касательных, или же тому правилу, которым пользуется господин де-Ферма, хотя в некоторых случаях его легче применить, чем моё. Но отсюда можно вывести a posteriori теоремы, распространяющиеся на все кривые, заданные уравнением, в котором одна из величин х или у не превосходит двух измерений, хотя бы другая имела их тысячу. И в поисках вашей второй кривой я нашел их почти все, но так как я записал их лишь в черновых набросках, которые не сохранил, то послать их Вам не могу. Впрочем, имеется другой способ, более общий и a priori..."
Упоминаются у Декарта работы Ферма. Ферма писал ("Метод отыскания наибольших и наименьших значений") [24, с.154]:
"Все учение о нахождении наибольших и наименьших значений основывается на том, что принимают две буквенные неизвестные (position at notis) и применяют следующее единственное правило. <далее описано нахождение экстремума функции>".
Он подчеркивал ("О касательных к кривым линиям") [25, с.155]:
"Отыскание касательных в данных точках каких-либо кривых мы приводим к вышеизложенному методу".
"Этот метод никогда не изменяет. Напротив, он может быть распространён на многочисленные прекрасные вопросы. Действительно, с его помощью мы определили центры тяжести фигур, ограниченных кривыми линиями и прямыми, и центры тяжести тел и многое другое, о чем я, может быть, расскажу, если у меня будет досуг. <.>
Что касается квадратуры площадей, заключенных кривыми и прямыми линиями, а также отношения порождаемых ими тел к конусам с теми же высотой и основанием, то это я уже подробно обсуждал с господином де-Робервалем" [25, с. 157].
У Ньютона нахождение производной от функции сводилось к решению некоторого уравнения с функциями при отбрасывании бесконечно малых величин [20]. Впоследствии аппарат дифференциального и интегрального исчисления совершенствуется, появляется понятие дифференциального уравнения, решением которого (при его интегрировании) является некоторая функция. Такой математический аппарат позволяет решать широкий класс прикладных задач механики (см. пример в [14]). Однако абстрактно свойства решений дифференциальных уравнений (при их параметризации) на 4-м этапе еще не исследуются - эти исследования начинаются на следующем этапе, при появлении понятия пространства решений, обобщающего некоторое параметризованное множество дифференциальных уравнений и их решений (см. следующий параграф).
Понятия функции и операции над функциями относятся к одному уровню обобщения, так же как абстрактное понятие о числе (как множестве единиц) и первоначальное понятие арифметической операции на 2-м этапе развития математики.
На этом этапе определение функции привязано к изменению значений переменных, по аналогии с первоначальным изменением переменной как изменением ее координаты при движении во времени. Абстрактное определение функции как отображения (одного множества на другое, без использования связанного с представлением о времени понятия изменения переменной величины) наблюдается на следующем этапе, такое определение функции есть уже в работах Лобачевского (1я пол. XIX в.) [16] и других математиков.
5. Совместно с появлением абстрактного определения функции возникает и определение абстрактной последовательности операций - алгоритма. Одной из первых формальное понятие об алгоритме и об исполнителе алгоритма сформулировала А.Лавлейс6 (1-я пол. XIX в.). "По определению Лейвелс, аналитическая машина представляет собой воплощение науки об операциях и сконструирована специально для выполнения действий над абстрактными числами как объектами этих операций." [1, с.199]. Определение Лавлейс использует абстрактное представление об отображении-операции, она писала ("При-
6 Дочь поэта Байрона.
мечания переводчика"):
"Под словом операция мы понимаем любой процесс, который изменяет отношение двух или более вещей, какого рода эти отношения ни были бы. Это наиболее общее определение, охватывающее все предметы во вселенной..." [1, с.199].
Это представление аналогично далее используемому определению бинарной (парной) операции или определению вывода в формальной системе.
Исследования оснований геометрии, возобновленные при анализе систем аксиом, подтолкнули к формулированию понятия системы аксиом, а затем и формальной системы. Дискретная математика развивалась на этом этапе большей частью в рамках аксиоматизации и получения следствий из аксиом. Теоремы о свойствах формальных систем, носящих ограничительный характер, появились позже - это теоремы Гёделя о неполноте (1930-е гг.), теорема Тарского о неопределимости понятия истины средствами формальной системы (1950-е гг.). Однако эти ограничения касались в основном предикативных формальных систем7.
Рядом с этими ограничениями стоят теоремы об алгоритмической неразрешимости некоторых проблем, например теорема о неразрешимости проблемы тождества слов в полугруппах с двумя и более образующими соотношениями (Мальцев, 1940-е гг.; Адян, 1960-е гг.), интерпретируемая как невозможность построить для управления некоторой системой по начальным и граничным условиям конечный автомат8.
В теории категорий (1950-е гг.), которую прочили на роль новых (вместо теории множеств) оснований математики, также действовали ограничения предикативности (не-самоссылочности) - невозможно было построить категорию всех категорий.
Оттачивание тонкостей предикативного формализма, с одной стороны, дало теорию вычислимых функций (лямбда-исчисление, которое стало основой семантики языков программирования высокого уровня и получило широкие приложения); с другой стороны, несколько отвлекло некоторые разделы математики от реальности, погружая их в область дополнительных гипотез и искусственных предположений.
7 О различии предикативных и непредикативных формальных систем см. [30].
8 Конечный автомат вкладывается в некоторую полугруппу.
6. С третьей стороны, непредикатив-ность, самоприменимость деятельности человека вынуждала искать формализованное выражение этого свойства действительности. Еще в начале XX в. Пуанкаре в "Геттингенских лекциях" (доклад 5-й "О трансфинитных числах") отмечал, что "Цермело высказал возражение против отказа от непредикативных определений, ссылаясь на то, что в таком случае пришлось бы отказаться от большей части математики, например, от доказательства существования корня алгебраического уравнения. <...> Я <Пуанкаре> могу говорить на эту тему ещё несколько часов, но не в силах решить проблему" [19, с. 192-193].
Одной из первых формализаций непредикативных структур было введение русским математиком Миримановым самопринадле-жащих множеств (в 1-й четв. XX в.), впоследствии эта теория, получившая приложения для описания и непредикативных явлений реальности, развита в работах советско-российской математической школы; типичные области приложения этих результатов -математическая экономика (содержащая и самого управляющего субъекта) и теория управления.
Ограничительные результаты предыдущего уровня (теоремы Гёделя и проч. ) при использовании в доказательствах непредикативных рассуждений получаются гораздо более коротким путем.
Шестой уровень в гносеологической схеме отражения соответствует непредикативным конструкциям.
Таким образом, наиболее общая схема этапов появления новых, не сводимых к предыдущим математических понятий прослежена; некоторые ответвления от нее описаны ниже.
3. Ступени последующего развития понятия функции
5ф. Как уже было сказано, на 5-м этапе появилось обобщенное понятие функции как отображения. Совместно с этим при исследовании свойств решений дифференциальных уравнений, как обобщение свойств этих уравнений, доказана теорема Коши (1789-1857) о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (1830-е гг.), распространенная также и на системы дифференциальных уравнений [15, с.84-88].
Дальнейшее изучение дифференциальных уравнений привело к изучению свойств
пространств их решений; Брио и Буке (в сер. XIX в.) отмечали, что "случаи, когда дифференциальное уравнение можно проинтегрировать, чрезвычайно редки, и их следует рассматривать как исключения; но можно рассматривать дифференциальное уравнение как определяющее функцию и изучать свойства функции по этому уравнению" [15, с. 150].
Чуть позже, к кон. XIX в., появилось понятие функционала (сопоставления функции некоторого числа), впоследствии приведшее к понятию нормы (в том числе, позже, нормы оператора); тогда же возникло понятие функционального пространства.
6ф. Обобщение свойств преобразований функциональных пространств (отображений из одного функционального пространства в другое) дало понятие оператора. Понятие нормы оператора связано с понятием вероятностной меры .
Невозможно дать определение вероятностной мере посредством какого-либо алгоритма; что именно принимается за то или иное событие, которому соответствует эта мера, определяется самим субъектом. Таким образом, в теории вероятностей и е! приложениях неотъемлемо присутствуют предикативные рассуждения.
Развитие математических понятий в линии число-уравнение-функция-оператор также достигает своего завершения.
4. Этапы развития логики
Логика в своем развитии проходит те же этапы. Историко-психологические сведения о развитии структуры логических поня-
9 В простой интерпретации этого на примере интегрального определения вероятностной меры эта связь такова. Пусть некоторая неотрицательная функция на интервале соответствует единице сиг-
ма-алгебры событий (ее интеграл на этом интервале нормируется к единице, отнесенный сам к себе), остальные функции, соответствующие событиям также неотрицательны, но во всякой точке меньше или равны первой, мажорирующей их функции; тогда мера вероятности события равна отношению интеграла функции, соответствующей событию, к интегралу на этом же интервале мажорирущей функции, т.е. вероятность равна отношению норм этих функций. (В случае операторов и их норм рассуждения аналогичны, но гораздо более громоздки. В соотнесении мажорирующего отображения с единицей вероятностной меры легко усматривается непредикативность конструкции, нормируемой к единице относительно себя самой).
Этапы появления понятий
№ уровня Новообразованный в истории объект математических представлений Истори- ческий период
1 "Конкретное число", пересчет Древность
2 Число как "куча" единиц10, арифметическая операция, потенциальная бесконечность Античн., с VII в. до н. э.
3 Уравнение, неизвестная (переменная) величина, актуальная бесконечность Ср. века, с I в. н. э.
4 Функция, операции над функциями (интегрирование, дифференцирование), дифуравнения, отношение уровней бесконечности Нов. вр., с XVI в. н. э.
5 Алгоритм, формальная система, функциональное пространство, функционал, абстракция ряда "алефов", недостижимые кардиналы Новейш. вр. с нач. XIX в.
6 Оператор, вероятностные меры, непредикативные конструкции, множество всех множеств С сер. XX в.
тий таковы, что в истории осознания логических понятий и операций по мере усложнения структуры научных понятий и развития представлений о логических понятиях и операциях выделяем 6 стадий.
1л. Первоначальное формирование понятий о чувственно воспринимаемых образах, возникновение письменности (1 тыс. л. до н.
э.) [4, т. 19. Ст. "Письмо", с.571-577].
2л. По обобщении понятий об отдельных предметах и образах возникновение осознанного представления об элементах языка, формирование логики объемов понятий (Работы Аристотеля в этом плане первоначальны [2]) (IV в. до н. э.).
3л. Возникновение логики суждений, осознание грамматических категорий. Если на предваряющей стадии основополагающим элементом рассуждения было отдельное понятие-слово, то на этом, 3-м, этапе анализу подвергается словосочетание или грамматическая категория (склонение, спряжение) как отношение, связующее отдельные слова или понятия (в логике - высказывание - силлогизм). Первоначальны в этом плане грамматические учения (III в. н.э.) неоплатоников [22]. В дальнейшем при развитии символизма, символьного обозначения (первоначальное обозначение понятия буквой у Диофанта (II в. н. э.)), и при возникновении формального понятия о подстановке понятий на место переменных в логическом выражении формируется схоластическая логика - силлогистика, абстрактно оперирующая понятиями (до XV в.):
"Большое занимает место в школе Псел-ла (IX в.) изучение подстановки одних логических терминов на место других терминов, которая, по-видимому, вряд ли была возможна без ясного различия логических постоянных и логических переменных." [21, с.114].
4л. Примерно с XVI в., при обобщении формально-логических рассуждений и отвлечении от них, появляется стадия оперирования абстрактно-определимыми понятиями (например, сила, скорость и т. п.) и осознанное применение гипотетических рассуждений (Ф.Бэкон, Г.Галилей, XVI в., до кон. XVIII в.). Абстрактное определение понятия обобщает множество силлогизмов, включающихся в определение термина. Возникает представление о модальной логике (Гегель).
10 Из историко-философских сравнений - логика (отношений несамопринадлежащих классов) Аристотеля.
5л. Осознанное определение понятия об алгоритме возникает в 1-й пол. XIX в.11, с разницей от гипотетического мышления предыдущей стадии (не осознающего конечной цели построения гипотез и открытия законов), осознающего конечную цель логического построения, взаимосвязь множества отдельных законов, гипотез. С возникновением понятия об алгоритме связано появление отвлеченного понятия о формальной (аксиоматической) системе, теории.
6л. При обобщении множества теорий в практике применения теоретического знания, осознании взаимосвязи физических, биологических и социальных процессов, требующих анализа ценности и значимости конечных целей (отчасти процессы глобализации и экологизации), и окончательном оформлении вероятностного мышления (с середины XX в.) -стадия развития логики научного знания наблюдается в современности.
Структура прослеженных этапов такова, что на каждой новой исторической стадии наблюдается обобщение некоторого множества элементов предваряющей стадии, отвлечение от них и появление новой структуры, исторического новообразования. О связи развития логики в истории с возрастным развитием логических знаний см. кратко в [28].
11 Об определении алгоритма А.Лавлейс говорилось выше.
Заключение
Краткий очерк развития представления о бесконечности приведен в работе [29]12 как дополнение к основному материалу, описывающему различные уровни бесконечности. Совместно с ним изложенная систематизация новообразований в истории математики дает целостное преставление о структуре развития этой области научного знания (см. таблицу). Этапы развития уровней обобщения, абстрактности понятий, как в истории, так и при возрастном их формировании, аналогичны. Детальное описание этапов возрастного формирования основных математических понятий (в линии изучения логики и программирования, схематически намеченное в [28]) подлежит отдельному изложению.
Список литературы
1. Апокин И.А., Майстров Л.Е. История вы-
числительной техники (От простейших сченых приспособлений до сложных релейных систем). М.: Наука, 1990. 264 с.
2. Аристотель. Собр. соч. В 4 т. Т.2 / ред.
З.Н.Микеладзе. М.: Мысль, 1978. 687 с.
3. Архимед. Исчисление песчинок (Псаммит).
М.; Л., 1932.
4. Большая советская энциклопедия. В 30 т. М.: Советская энциклопедия, 1970-1978.
5. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука, математика Древнего Египта, Вавилона и Греции / пер. с гол. И.Н.Веселовского. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1959. 460с.
6. Величковский Б.М., Когнитивная наука и современная психология // Психолог. журн. 2005. Т. 26, №5. С.79-85.
7. Галилей Г. Диалог о двух главнейших систе-
мах мира // Избр. труды. В 2 т. Т.1 / пер. с лат. А.И.Долгова М.: Наука, 1964. С.97-586.
8. Галилей Г. Беседы и математические дока-
зательства, касающиеся двух новых отраслей науки // Избр. труды. В 2 т. Т.2 / пер. с лат. А.И.Долгов. М.: Наука, 1964. С.97-586.
9. Декарт Р. Геометрия (с приложением из-
бранных работ П. Ферма и переписки Декарта) / пер. А.П.Юшкевича. М.; Л., 1938. 296 с.
10. Диофант Александрийский. Арифметика и
12 С единственным дополнением, появление непредикативных представлений о самопринадле-жащем множестве всех множеств относится к 6 этапу (уровню) абстрактности, обобщенности понятий.
книга о многоугольных числах / пер. с древнегреч. И.Н.Веселовского, под. ред. И.Г.Башмаковой. М.: Наука, 1974. 328 с.
11. Евклид. Начала. В 3 т./пер. и коммент. Д.Д.Мордухай-Болтовского. М.;Л.,1948-1950.
12. История математики. В 3 т. М.: Наука, 1970-1972.
13. Ал-Каши, Джемшид Гиясэддин. Ключ арифметики // Ключ арифметики, Трактат об окружности / пер. с араб. Б.А.Розенфельда. М.: Гос. изд. техн.-теор. лит., 1956. 568 с.
14. Левковский П.Е. Задача расчета устойчивости сводов в трудах механиков ХУШ в. на примере работ Шарля Боссю // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. 2009. Вып.3.(29). С. 183-191.
15. Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения / под ред. А.Н.Колмогорова, П.А.Юшкевича. М.: Наука, 1987. 318 с.
16. Лобачевский Н.И. Полн. собр. соч. В 5 т. / гл. ред. В.Ф.Каган. М.; Л.: Гос. изд-во тех-нико-теор. лит., 1951.
17. Нейгебауэр О. Точные науки в древности / пер. с англ. Е.В.Гохмана, ред. А.П.Юшкевич. М.: УРСС, 2003. 240 с.
18. Орем Н. О конфигурации качеств / пер. с лат. В.П.Зубова. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 136 с.
19. Пуанкаре А. Гёттингенские лекции // Последние работы / НИЦ Регулярная и хаотическая динамика. Ижевск: 2001. С. 151-202.
20. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики / пер. с нем. М., 1978.
21. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967. 508 с.
22. Тронский И.М. Античные теории языка и стиля. М.; Л., 1936.
23. Ферма П. Введение в изучение плоских и телесных мест // Декарт Р. Геометрия. М.; Л., 1938.
24. Ферма П. Метод отыскания наибольших и наименьших значений // Декарт Р. Геометрия. М.; Л., 1938.
25. Ферма П. О касательных к кривым линиям // Декарт Р. Геометрия. М.; Л., 1938.
26. Хайям Омар. Трактаты / пер. Б.А.Розенфельда. М.: Изд-во вост. лит., 1961.
27. Челеби Махмуд ибн Мухаммед Мариам. Правила действия и исправления таблиц // Ал-Каши. Ключ арифметики. Трактат об окружности / пер. с араб. Б.А.Розенфельда. М.:
Гос. изд. техн.-теор. лит., 1956. С.311-320.
28. Чечулин В.Л., Загородских Н.В. О психо-лого-гносеологических ограничениях преподавания курса программирования // Рождественские чтения: материалы всерос. конф. Пермь, 2008. С.102-104.
29. Чечулин В.Л. Об упорядоченных множествах с самопринадлежностью // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2008. Вып. 4 (20). С.37-45.
30. Чечулин В.Л. О приложениях семантики самопринадлежности // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 3 (29). С.10-17.
31. Чечулин В.Л. О некоммутативности категор-ной диаграммы программного комплекса // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 7 (33). С. 110-113.
32. Чечулин В.Л. О развитии самопознания в
истории литературы // Психология познания: актуальные проблемы: материалы ме-ждунар. науч.-практ. конф. Пермь, 2008.
С. 152—155.
33. Чечулин В.Л. Связь моделей эмоциональных характеристик с общей теорией психологии личности // Г ипотезы и алгоритмы математической теории исчисления эмоций / под. общ. ред. О.Г.Пенского. Пермь, 2009. С.143-146.
34. Юшкевич А.П. О развитии понятия функции // Математика в ее истории. М.: Янус, 1996. С.176-199.
35. Chechulin V.L., Ardavichus V.G., Kolbasina O. V. Informatization of the process of producing formalin // Russian Journal of Applied Chemistry, MAIK Nauka / Interperiodica. 2008. Vol. 81, №. 6. P.1112—1116.
About the consequence of the 6 historical stages emergence of the basic mathematical concepts
V. L. Chechulin
Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukirev st., 15 chechulinvl@mail.ru; (342) 2-396-424
The periodization 6-tiered development of mathematical knowledge in the use of psychological and epistemological grounds reflection of reality in human consciousness was described; the levels of generalization (abstract concept) traced, with specific examples. Traced the main line of development: the number-equation-function-algorithm-impredicative; as well as: function-functional-operator; marked stages of development of logic (the change in the history of ideas about infinity was described in a previous work). It is indicated that during the development of mathematics in general, coincide with periods of historical development of self-awareness (historical socio-economic formations) contain the base of the overall structure of epistemological reflection of reality in human consciousness, and in many respects identical period in which knowledge of mathematical concepts in the study of mathematics in adulthood.
Key words: history of mathematics; epistemological grounds abstract concepts; 6-tier hierarchy concepts; line development: a specific number - a number of the units - the equation -the function - the algorithm - Impredicative.
