О последовательном оценивании параметров непрерывной авторегрессии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 5(25)

УДК 519.216.3

Т.В. Емельянова, В.В. Конев

О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ НЕПРЕРЫВНОЙ АВТОРЕГРЕССИИ

Для устойчивого процесса авторегрессии с непрерывным временем предлагается последовательная процедура оценивания неизвестных параметров, использующая специальное правило остановки наблюдений. Процедура строится на основе классических оценок по методу наименьших квадратов, но в отличие от них обеспечивает контроль за среднеквадратической точностью оценок. Получены формулы для асимптотической длительности наблюдений при увеличении среднеквадратической точности оценок. Результаты могут найти применение в задачах идентификации динамических систем, подверженных действию шумов, адаптивного прогнозирования, а также для оценивания параметров спектров гауссовских процессов с непрерывным временем.

Ключевые слова: гарантированная среднеквадратическая точность, авторегрессионный процесс, гауссовский процесс с рациональной плотностью, последовательное оценивание, момент остановки.

В задачах обработки временных рядов, идентификации, прогнозирования и управления в динамических системах широко используются модели с непрерывным временем, описываемые стохастическими дифференциальными уравнениями. Параметры этих уравнений во многих случаях неизвестны, и решению основных задач фильтрации, прогнозирования, управления обычно предшествует этап идентификации, заключающийся в оценивании неизвестных параметров. Для решения задач идентификации параметров стохастических динамических систем разработаны различные эффективные методы: максимального правдоподобия, стохастической аппроксимации, наименьших квадратов и др. (см., например, [1-4]). Использование этих методов усложняется, если получаемые оценки являются существенно нелинейными функциями и поддаются исследованию лишь в асимптотике при неограниченной длительности наблюдений. Однако в практических задачах объем доступных данных всегда конечен и желательно знать качество оценок, вычисленных по наблюдениям на ограниченном временном интервале. Для решения задач в неасимптотической постановке требуются методы, позволяющие контролировать точность оценок при малых и умеренных объемах данных. Один из подходов к решению задач идентификации динамических систем в неасимптотической постановке связан с использованием последовательного анализа, который характеризуется тем, что длительность наблюдений не фиксируется заранее и определяется специальными правилами накопления данных.

Пусть наблюдаемый /»-мерный процесс Х( = (Х1(/),...,Хр(/))' описывается

системой линейных дифференциальных уравнений

ёХ( = АХ ¡Л + , (1)

в которой А и В - квадратные матрицы постоянных коэффициентов размера р х р, причем все характеристические числа матрицы А имеют отрицательные вещест-

венные части, Wt - стандартный /»-мерный процесс броуновского движения. Задача состоит в том, чтобы оценить неизвестные коэффициенты матрицы А = 1|а. || по

наблюдениям процесса ХР К этой задаче сводится задача оценивания параметров стационарного гауссовского процесса авторегрессии р-го порядка (АР(р))

ёхр- = (б^Р-1 +... + 9 рх{) & + <зём>{ (2)

с рациональной спектральной плотностью, имеющей вид / (X) = -

|60Х)|2 '

Предполагается, что неизвестные параметры 9,, , = 1, р, таковы, что все корни ха-

рактеристического полинома Q(z) = -9^р 1 -...-9 р имеют отрицательные

вещественные части. Процесс (2) представляется в виде (1), если положить

(X ' ( 0 1 0 . . 0'

X = ; а = 0 0 1 . . 0

хр-1 \9р 9 р-1 . 91,

В =

( 0 0 0

0 ^ 0 ст

ст > 0.

(3)

Одним из основных методов оценивания вектора неизвестных параметров 9 = (91,92,..., 9р)' является метод наименьших квадратов (МНК), согласно кото-

рому оценка 9Т имеет вид

где (а), обозначает ,-ю координату вектора-столбца а = (аь..., ар)';

Мт =| XsXs'ds

(4)

(5)

- выборочная информационная матрица Фишера, М— - обратная к ней, если она не вырождена, и М- =0 - в противном случае. Асимптотические свойства вектора оценок 9Т по методам максимального правдоподобия и наименьших квадратов изучались в ряде работ [1, 5, 6 и др.]; они являются сильно состоятельными и асимптотически нормальными. В прикладных задачах использование асимптотических свойств оценок обычно основывается на предположении, что эти свойства сохраняются для малых и умеренных объемов данных. Однако поведение оценок при малых и умеренных длительностях наблюдений может существенно отличаться от асимптотического, и это может привести к неточным выводам при принятии решений. Изучение задач оценивания параметров диффузионных процессов в неасимптотической подстановке восходит к работам Новикова, Липцера и Ширяева [3, 7, 8], которые предложили последовательный план для оценивания неизвестного параметра диффузионного процесса

dxt = 9х^ + стdwt,

2

СТ

а также двумерного процесса специального вида с двумя неизвестными параметрами. В этих работах было доказано, что последовательная оценка имеет преимущества перед классической оценкой МНК: она является несмещенной и гауссовской [см. подробнее 7- 9 и др.]

Этот метод, однако, оказывается непригодным в более общей ситуации, когда число неизвестных параметров превышает размерность наблюдаемого процесса. В [10] впервые была разработана общая последовательная процедура, позволяющая получать гарантированные оценки с любой заданной среднеквадратической точностью для авторегрессии с дискретным и непрерывным временем любого порядка по конечной реализации процесса. Предложенная в [10] процедура позволяет оценить неизвестные параметры с любой заданной среднеквадратической точностью и обладает хорошими асимптотическими свойствами. Эта процедура может оказаться, однако, достаточно сложной для практической реализации в случае многих неизвестных параметров, поскольку она включает два этапа и требует построения целой системы оценок МНК, вычисляемых в специальные моменты времени. На первом этапе строится последовательность модифицированных оценок МНК, каждая со своим правилом прекращения наблюдений, на втором этапе проводится процедура сглаживания оценок первого этапа, причем при сглаживании используется случайное число оценок, зависящее от требуемой точности оценивания неизвестных параметров.

Цель данной работы - предложить одноэтапную процедуру оценивания, использующую специальное правило остановки наблюдений, которая позволяет контролировать среднеквадратическую точность оценок. Эта процедура, как и в [10], является последовательной модификацией оценки МНК и может использоваться при наличии некоторой априорной информации о параметрах.

1. Построение последовательной процедуры

При построении последовательного плана будет использоваться следующая лемма, дающая оценку нормы уклонения оценки (4) от ее истинного значения.

Лемма 1. Пусть матрица Мт в (5) невырождена. Тогда квадрат нормы уклонения оценки (4) удовлетворяет неравенству

||9 т -92 <| Мг2|| -IК112, (6)

т

где тт =| Х6^6, .

0

Доказательство. Пусть QT - ортогональная матрица размера р х р , приводящая матрицу Мт к диагональной форме, т. е.

йт Лт& = Мт , (7)

где Лт = diag (Х1 (Мт),..., X (Мт)), X, (М) - собственные числа матрицы М, за-

нумерованные в порядке убывания: Х1 (М)>Х2(М)>...>Хр (М).

Подставляя (1) в (4) и используя (7), получаем

йТЛтйт '(9 -9) = тт .

Поскольку транспонированная к ортогональной матрице совпадает с обратной к

ней, то это равенство можно переписать в виде

ЛTQТ '(9т -9) = QТ 'mт

или, в координатной форме,

X, (Мт )^т '(9т-9^. = {^т 'mт), , = 1,р .

Возведя обе части этого равенства в квадрат, просуммировав по , и применив неравенство Коши - Буняковского, имеем

С(бг ' (9т -9) =/С Х, (Мт Кбг ' т^г < 11йт ' тт|1 /С Х, (Мт )|(бг 'ттХ| <

i=1 i=1 i =1

м2

<

1ЫГ IР .

||qt ' mT\ Хг- (МГ )JZ«2T ' mr)i ■

Таким образом,

А 2 ( p Y/2

||бт (T -9)|| < (MT ) ||бт тт|

V i=1 /

Так как матрица QT ортогональна, то

( p Y/2

,/T _V|| - (MT )

V i=1

Учитывая, что

P iß

S ^-4 (MT ) = tr Л-4 = trM-4 = IM-2\\ , i=1

приходим к утверждению леммы. Лемма 1 доказана.

Как будет показано ниже (см. лемму 3), с вероятностью 1 существует предел

M

lim —— = F , (8)

T T

причем матрица F является положительно определенной. Поэтому отсюда следует, что множитель MT II в правой части (6) монотонно убывает с ростом T, при-

чем lim M,-2 = 0. Для контроля среднеквадратической точности будем исполь-

T 11

зовать следующий план оценивания.

Пусть Н > 0. Определим длительность наблюдений процесса и оценку неизвестных параметров по формулам

т = т(Н) = inf{т>0:|\M-2]! <H}; ()

т(Н)

6*(Н )=M -(Н )-| Xsd < X, > p. (10)

0

Используя этот план, получим верхнюю границу для среднеквадратической точности оценок.

Лемма 2. Пусть матрица (5) удовлетворяет условию (8) Тогда для любого Н > 0 оценка 9* (Н), определенная в (9) и (10), удовлетворяет неравенству

».,2 Ee tMT(H Ч

e*(H)-e < ——^.

II H2

Доказательство. Заменяя в лемме 1 T на t(H), получим

(11)

|e* (H)-e| <||мч2я)|

т(Н)

о

1

Учитывая (6), имеем Ee e*(H)-Є <—2E

H

т(Н)

J XsdWs

о

Переходя к усе-

ченным моментам и используя свойства стохастического интеграла, получаем

р <.н)

2 zLEe J (Xt )l dt = 2 EetrMx(H) .

H 1=1 „ H

I=1 0

Отсюда приходим к (11). Лемма 2 доказана.

2. Свойства выборочной информационной матрицы Фишера

Для изучения свойств последовательного плана (9), (10) для процесса (2) нам потребуется установить некоторые свойства выборочной информационной матрицы Фишера. Наложим дополнительные условия на возможные значения параметра процесса (1).

Будем предполагать, что значения параметров 9 = (91, 02, ... , 0P)' таковы, что все корни характеристического полинома имеют отрицательные вещественные части и отделены от нуля известной отрицательной постоянной у, то есть

max Re Xi (A(9)) < -у < 0 .

1<i < p

Обозначим это множество

ЛY = {9 е Rp : maxReXj- (4(0)) <-у}. (12)

{ 1<i<p )

Пусть K сЛу - компакт.

Лемма 3. Пусть в уравнении (1) _E||X0||4 < +» . Тогда матрица (5) удовлетво-

MT

ряет предельному соотношению P9 - lim —— = F, где F - положительно опреде-

tT

ленная матрица, являющаяся единственным решением уравнения

FA'+ AF'+ BB' = 0,

(13)

где F = J eAsBB' eA sds.

Доказательство. Заметим, что матрица F в (13) является положительно определенной (см., лемму 1 в [11]). По формуле Ито имеем

й (ХХт') = ХтХт' А'<И + Хт (йШт)'В'+ АХтХт'Л + ВёШтХт' + ВВ'<И .

2

2

зо

Переходя в этом равенстве к интегральному виду и учитывая, что

Мт =| ' ds ,

получим

где

МтА'+ АМт'+ BB' t + §т = 0,

$т = XоXт +|Xs (dWs)'B' + B\(dWs)'Xs'-ХтХт

(14)

(15)

Разделив обе части равенства (14) на Т и учитывая (13), получим

М^л'+л^-^+Т = 0. (16)

МТ

Разрешим это уравнение относительно матрицы —Т— Г . Так как матрица Л устойчива, то решение уравнения единственно и имеет вид (см., например, [12, с. 212])

ML- F = f eAs^eA'sds . т J т

Отсюда имеем оценку

fc, 1 т < X f eAseA'sds ^т

т J 0 т

= -£Шт1, где CY = sup

9gAy

eAseA'sds

из которой следует, что

Ee

мт

т

--F

т

(17)

(18)

Из представления (15) для |Т, проводя несложные арифметические преобразования, получаем

Ee

^т VI 2

т

Eel X о Xо II2 + Eg || XтXт 1|2 ^

+"Г Ee

т 2 e

f Xs (dWs)'B'

+ Ат Ee

т 2 e

B f(dWs )XS

Оценим сверху второе слагаемое в правой части неравенства (19). Имеем

Eg| ^т 1 = 1

т2

-Eg(tr^Xт ^-^т ')') =

Ee[f-s]MW,j ^f,

(19)

А(т - s;

BdW„

-^tr f eA(-s )BB1 (-s}) 1 ds ■■

2т

,r If Ит - s )(eA,T-s )

= a2 f|\eA" -

ds.

(20)

X)

Из теории дифференциальных уравнений известно, что если maxRe Хг- (А) <-у< 0,

1<i< p

то \e( s)А < ce у(т s). Отсюда и из (20) следует, что

т

Далее получаем

т2Eg f Xs (dWs)'B'

1- Ee ||XtXt I2 < CT2с2 j e-2Y(r-s)ds <

2 2 i

С CT 1

T 2y t

(21)

T2 £ CT2 E j(Xs) p ds < T2 p CT2 E j I |Xs| I2 ds <

T k=1 0 T 0

'2 i\№S

pa

T

II4 ds < -T

где <5 - некоторая постоянная. Аналогично оценивается последнее слагаемое в

(19). Поскольку первое слагаемое в (19) стремится к нулю, то lim Ee

T

T

= 0.

Отсюда и из (17) следует требуемое предельное соотношение. Лемма 3 доказана.

Оценим скорость убывания с ростом т четвертого момента нормы уклонения отношения Мт / т от предельной матрицы F.

Лемма 4. Пусть начальное условие в уравнении (2) таково, что

sup Ee ||X0||8 < +х, где область Ау определена в (12). Тогда для любого компакта

ееЛ„

К сЛт справедлива оценка

sup Ee

eeK

MT

T

--F

(22)

где Ь - некоторая постоянная.

Доказательство. Исходя из (17), (18) и проводя несложные арифметические преобразования, получим

Ee

MT

T

--F

< C444 Ee

IX 0 X 0II4 + IXtXt H4

+ 2

j Xs (dWs)' B'

4

T 4

T 4

T 4

(23)

Е \\Х X 114 С

По условию леммы для всех 9е К имеем sup———0—< —-. Для оценки ма-

9ек Т4 Т4

тематического ожидания второго слагаемого используем лемму 1.1.1 из [13], согласно которой X/: удовлетворяет неравенству

E||Xt||2m <(2m- 1)!!ц

2m

(

-2уТ Л

2Y

для всякого t e R+ , где ц - некоторая постоянная. Поэтому

2

4

4

Ее|XtXt Г _ Eg||XT\

-<105ст8

С1 - e-2YT V

T 4

T 4

2Y

_L _ Ci

T 4 t 4

(24)

Заметим, что последнее слагаемое допускает следующую оценку:

Ee

| X, (dWs)' B

T 4

i p СT

■< ZT P X E»li( X.\dW,

T k _1 V r,

4

k _1 V 0

Используя известное свойство стохастических интегралов (см., например, [3])

Л

2m

e! J f (s, rn)dWs < [m (2m - 1)]m Tm-1J Ef2m (s, ra)ds , (25)

получаем

Ee

|Xs (dWs)'B

T 4

2Y

T

3 2 .

(26)

Отсюда и из (23), (24) приходим к требуемой оценке. Лемма 4 доказана.

Следствие. Из леммы 4 имеем P

Мп

— F

>6 |<

M— 4

E — - f

n

2 2 6 П

. Отсю-

М

да и из леммы Бореля - Кантелли получаем, что lim —— _ F п.н.

—^•Ю —

Лемма 5. Для всякого H > 0 справедливо неравенство

ю

Ee trMT(H} < trF • Eex(H) +J tr(eAsEQX0X0 'eA's )ds . (27)

0

Доказательство. Используя рассуждения из доказательства леммы 3, имеем

ю

MT - TF _ J eAs|seAsds _

0

ю С T T \

_JeAs X0X0'- XTXT '+|Xs (dWs)'B'+ B| dWsXs' eAsds .

0 V 0 0 J

Заменяя Т на т и учитывая, что математические ожидания третьего и четвертого слагаемых в правой части этого равенства равны нулю, получаем

ю ю

EeMT -FEeT _ |eAsEe (X0X0 ')eA'sds - JeAsEe (XTXT ')eA'sds .

Поэтому Ee trMT < tr F • EeT + J tr [eAsEe (X0X0 ’) eA s ) ds .

0

Лемма 5 доказана.

4

4

Ю

Асимптотическое поведение средней длительности процедуры дает следующая теорема.

Теорема 1. Пусть т(Н) определяется формулой (9) и выполнены условия леммы 4. Тогда для любого компакта К сЛт

lim sup

H eeK

Ee^—) -I If ~2||2 e — II II

= 0.

(—)

Доказательство. Сначала покажем, что lim sup Ee-------

H ^w06K H

< +W . По определе-

нию т(Н) имеем

EeT(H) = jPe (t(H) > T)dT = jPe [ IM-2\\2 > —

\

dT.

Выбирая 5 > 0, такое, что

ii 1

sup F 2 2 < —,

eeK 25

(28)

получаем оценку

w W ( 1 1 ^

EeT(H) < jx(T5 < H)dT + j Pe I T2M^|p > -

0 h V 5

dT

Для подынтегральной функции во втором интеграле имеем оценку

Pe

„I 1

T^M, 2 >- < Pe

T * 5 eV

V / V

F “^ 2 >---------------------

11 25

+ Pe

T2MTt2\2 - F“^ 2

25

<Pe

( МТ

Т F <п

V T

T 2M“2 2 - F“^ 2

1 л ( МТ

> — + Pe| Т F

25 Ч T

>n 1, 0 6 K. (29)

Mt II -^l_

Поскольку lim—— _ F п.н. и функция F 2 равномерно непрерывна по e на

T ——ю T 11 11

компакте К, то для Д < — найдутся такие Т0 > 0 и п> 0 , что при T > Т0, если

M

T

--F

< П, то

25

Т2M“2 2 -F~2Ь

< Д, поэтому первое слагаемое в правой

части (29) равно нулю и неравенство (29) принимает вид

Pe

..1 1Л

2, г-2 1- 1

Т2Mf2 2 >

< Pe

M

T

--F

>П |<-1Ee

п

M

T

--F

(30)

Используя лемму 4, получаем требуемую асимптотическую равномерную ограни-

ченность величины Er

т(H )

H

. Далее имеем

5

Ее^—) - к ~2||2

0 — II II

< А + Ее

т(—) ,

Н ‘

м.

т(Н)

С(Н)

- к

Ее

( Мт(— )^-2

т(Н)

- к 2

>Л

+ к “^ 2 . ро

м

т(Н)

С(— )

- к

>П

Покажем, что для любого п> °

ііш 8ир Ре

Н ЄєК

м.

т(Н)

С(Н )

- к

>П

= 0.

Имеем

Ре

м

т(Н)

т(Н)

- к

>П

< ре(х(Н)<т)+£ ре| «ир

к =т V к <Т <к+1

мТ

т

—к

(31)

>п|. (32)

Рассмотрим к-й член ряда в правой части (32). Имеем

ре | ®ир

чк<Т<к+1

м

т

--к

<Реї шр >Л | + 2Ре

чк<Т<к+1 Т 4

8ир

Vк<Т<к+1

Т

+ре| вир Х5° ^ >^1 = Р1 (к) + 2Р2 (к) + Рз (к), "Л = —,

Т 4- ^ , -3............. (33)

V к <Т < к+1 Т 4 (

где су определено в (17).

Оценим первое слагаемое в правой части этого неравенства. Используя известное неравенство для неотрицательных субмартингалов (см., например, [3])

£| єир Хп | р <(-0 ЕХІ

кп<N J V р 1

и лемму (1.1.1) из [13], получим

||ХТХТ 1 > П ЪГ 4 ^ 1

N

(34)

Р (к ) = ре| ™р т

V к <Т < к+1 Т

4 Ї2 1

>-Ч<

4) Чп) к

2 Е9 I ™Р ||ХТХТ "|2

. 11 (У)

<|-| — Ее еир ||Хт||4 < -^, /1(у) = |-| 9

) к2 к<т<к+1 к2 Vі!) 9

4 Г 64ст‘

к <Т <к+1

2 64^4 (1 - е-2Т(к+1) ^

2 У

(35)

Так как процесс

Т > °, является неотрицательным субмартинга-

лом относительно фильтрации Е = (//)^.>0, // = ст(^5,5>0), порожденной вине-ровским процессом, то второе слагаемое допускает следующую оценку:

2

Р2 (к) = Р.

вир

V к <Т <к+1

(л к)

• Е.

вир

к <Т <к+1

< І2І1І Е.

ґ к+1

Х| I {х^^Жр (,)

І=1 V 0

Используя неравенства (34) , (25) и лемму (1.1.1) из [13], получаем, что

Р.

БИр

Vк<Т<к+1

| Х (Ж,)' в'

Т

к+1

(к +1) I Ее\\х,\х *•

Таким образом,

(к +1)2 , , Р2(к) < ,4 4 (У) •

(36)

По условию теоремы для последнего слагаемого в (33) имеем оценку

Р3(к) = РІ 5ир 1ХоМ]<= І (37)

V к <Т <к+1 Т ) к к

Из (35) - (37) имеем оценку для ряда в (32)

X РI вир

к=т V к <Т <к+1

мТ

Т

>п1< і X р-

(38)

Первое слагаемое в (32) допускает оценку

Ре(х(Я )< т ) = Р.

1

- + ... +-

1 1 ---------<-

Х4 (Мт ) Хр (Мт ) Н4

< Р.(1 (Мт )> Н )<

Р. (Мт > Н) = Р. I 11Г (Х ) > Н

/

Л I и

< — Е. Н.

Л

V 0

Н

=Р. || Х,| |2 > Н

V 0 )

- (е -2ут -1) •

2у' ;))

(39)

Подставляя эту оценку и оценку (38) в (32), получаем

вир! р.

.єК

М

т( Н)

т( Н)

>П |< — Н

2

( т + -1 (е (т - 1)Ц+1X -1

2у V 2у ' ^)) к=т к2

Переходя к пределу при Н ^да, затем при да ^да , приходим к (31). Учитывая лемму (1.1.1) из [13], получим

Рб(х(Н)< т)<

V

т +■

2у V 2у

Г7(е_2'т - О

Остается убедиться в том, что для любого п > 0

4

ііш вир Е.

Н .єК

М

Т(Н )

С(Н )

- Е

>п

= 0.

(40)

Рассмотрим

т(Н) Е. ——-у

. Н л

М

т(Н)

:(Н)

- Е

>П

т(Н)

= Е.— -%

Н

М

т(Н)

т(Н)

+Е. — -%

Н

М

т(Н)

т(Н)

- Е

т(Н)

Л

- Е

>П

х(т(Н) < т) +

>П

х(т(Н)> т)<

/

< тР. Н 9

М

Т(Н)

т(Н)

- Е

>П

+ Х(т(Н )> т ^

Н

Выбирая т из условия т > — с 5, удовлетворяющим (28), имеем

5

1

Е(х(Н)х(т(Н) > т)) = |Р. (т(Н) > Т)Т = | Р. I ||т2М^Ц2 > -

ёТ:

отсюда и из (30) получаем требуемое. Теорема 1 доказана.

Найдем верхнюю границу для среднеквадратической точности оценки вектора неизвестных параметров . = (.1, .2, ... , .р)' в уравнении (2) с помощью последовательного плана (9), (10).

Теорема 2. В условиях теоремы 1 для любого компактного множества К сАт

яф Е. ( *(Н)- 2) < ) (1 + о (1))

.єК

где

ак = вир ф(.), ф(.) = Е Е 2 , где о(1)^0 при Н ^ ж .

(41)

.є К

Доказательство. Используя оценки (11) и (27) из лемм 2 и 5, приходим к неравенству

( да Л

і

Е. (( * (Н)- .|2 ) < — ігЕ • Е.т +11г( (Х0Х0 ') еЛ'8) )

Н V г,

(42)

В силу теоремы 1 отсюда следует неравенство (41). Теорема 2 доказана.

Пример. Применим полученные результаты к процессу АР(2) с неизвестными параметрами 9 = (01, 02)

ёх( = (.^ +.2х()ё + adwt. Этот процесс в матричной форме имеет вид

(43)

где

ёХ( = ЛХ( + ВёЖ(,

х=1X): Л=(.2 і): в=(0 °

у2 2

Ж/: - стандартный двумерный винеровский процесс, причем (Ж()2 = wt .Область устойчивости Лу процесса (43) задается равенством (см. рис. 1)

Лт={(01, 02): 02 < ^01 +Y2,01 < 0}, Y > 0.

01

Разрешая уравнение (13) относительно F, получаем

F = diag

2

V 20201 202 у

F “

402^Л/Г+е1Т

Поэтому при больших Н средняя длительность процедуры оценивания удовлетворяет соотношению

-402Т1+04

E0t(H) ~ H-

а

для всех 0 = (01, 02)' е K, где K - компакт в параметрической области A^, y > 0. При этом среднеквадратическая точность оценивания равномерно по компакту K определяется неравенством (41), причем

ф(0) = trF\F-2f = 16002(1 + 012^л/1+04. а

Подставляя полученную оценку 0 (H) = (0j,02)' в (2), получаем оценку спектральной плотности f(X) процесса (43). Теорема 2 позволяет построить доверительную область для оценки f (X).

ЛИТЕРАТУРА

1. Арато М. Линейные стохастические системы с постоянными коэффициентами. Статистический подход. М.: Наука, 1989.

2. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979. 528 с.

3. ЛипцерР.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

4. Яглом А.М. Введение в теорию стационарных случайных функций // УМН. 1955. Т. 7. Вып. 5. С. 3-168.

4

а

5. Тараскин А.Ф. Об асимптотической нормальности стохастических интегралов в оценках коэффициента переноса диффузионного процесса // Мат. физика. Киев: Наукова думка, 197о. Вып. 8. С. 149-163.

6. Тараскин А.Ф. Об асимптотической нормальности некоторых стохастических интегралов и оценках параметров переноса многомерного диффузионного процесса // Теор. вероятн. и мат. статистика. Киев: Наукова думка, 1970. Вып. 2. С. 205-220.

7. Новиков А.А. Последовательное оценивание параметров диффузионных процессов // Теор. вероятн. и ее примен. 1971. Т. 16. Вып. 2. С. 394-396.

8. Новиков А.А. Последовательное оценивание параметров процессов диффузионного типа // Мат. заметки. 1972. Т. 12. Вып. 5. С. 627-638.

9. Арато М., Колмогоров А.Н., Синай Я.Г. Об оценках параметров комплексного стационарного гауссовского марковского процесса // ДАН СССР. 1962. Т. 156. № 4. С. 747750.

10. Konev V.V. and Pergamenshchikov S.M. Sequential Estimation of the Parameters in a Trigonometric Regression Model with the Gaussian Coloured Noise // Statistical Inference for Stochastic Processes 6: 215-235, 2003.

11. Конев В.В. Пергаменщиков С.М. Последовательное оценивание параметров линейных неустойчивых стохастических систем с гарантированной среднеквадратической точностью // Проблемы передачи информации. 1992. Т. 28. № 4.

12. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

13. Kabanov Yu.M. and Pergamenshchikov S.M. Two Scale Stochastic Systems: Asymptotic Analysis and Control // Springer, Berlin, New York, 2002.

Статья поступила 24.06.2013 г.

Emelyanova T.V., Коnev V.V. ON THE SEQUENTIAL ESTIMATION OF PARAMETERS IN A CONTINUOUS AUTOREGRESSION MODEL. In this paper, we propose a sequential procedure for estimating unknown parameters for a stable autoregressive continuous time processes. The procedure uses a special rule to stop observations and is based on the classical least squares (LS) estimates but, in contrast, provides control for the mean-square accuracy of estimates. Formulas for the asymptotic duration of observations with an increase in the mean-square accuracy of estimates are obtained. The results can be applied in a wide range of problems such as system identification, adaptive forecasting, and estimation of parameters of spectra of continuous time Gaussian processes.

Keywords: fixed-accuracy estimation, autoregressive process, gaussian process with rational density, sequential estimation, stopping time.

EMEL’YANOVA Tatiana Veniaminovna (Tomsk State University)

E-mail: [email protected]

KONEV Victor Vasil’evich (Tomsk State University)

E-mail: [email protected]