О полугруппе операторов Сильченко Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 4, С. 82-90

УДК 517.9

О ПОЛУГРУППЕ ОПЕРАТОРОВ СИЛЬЧЕНКО

А. Г. Чшиев

Исследуется класс полугрупп операторов с суммируемой особенностью в нуле и неплотным образом. Применяется подход, основанный на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы. Установлено существование базового генератора, получено представление резольвенты базового генератора в явном виде.

Ключевые слова: полугруппа операторов, генератор полугруппы, линейное отношение.

1. Введение

Всюду в работе через X обозначено комплексное банахово пространство, через End X — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X. Через LR(X) обозначим множество линейных отношений [1-4] на пространстве X. Под полугруппой операторов понимается сильно непрерывная операторнозначная функция

T : (0, то) ^ End X

со свойством

T(t + s) = T(t) T(s) при всех t,s> 0. Под ядром и образом полугруппы понимаются соответственно подпространства

KerT = P| KerT(t) и ImT = |J ImT(t), t>0 t>0

где Ker T(t) — ядро, а Im T(t) — образ оператора T(t). В классическом смысле [5] понимается инфинитезимальный оператор A0 полугруппы операторов T :

Ao : D(Ao) С X ^ X,

ч Г v -л v T(t)x - x

D(A0) = <хеХ : 3 lim ——-

^ t

T(t)x - x

Aqx = lim -.

t^0+ t

Если полугруппа операторов является вырожденной [1, 2, 4, 6-9], т. е. подпространство Ker T ненулевое, то оператор A0 имеет неплотную область определения, и, как правило,

2013 Чшиев А. Г.

спектр ст(Ао) оператора Ао заполняет всю комплексную плоскость. Кроме того, оператор Ао может быть незамыкаемым в классе операторов, а функция (преобразование Лапласа полугруппы Т)

со

А ^ - У е-Лтт(т) ^т

о

не обязательно является резольвентой оператора Ао. Более того, она может не быть резольвентой никакого линейного оператора. В результате возникают сложности с использованием спектральной теории инфинитезимального оператора для исследования свойств полугруппы. В последнее время для исследования полугрупп операторов применяется подход, основанный на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы (см. [1, 2, 4, 6, 7, 9]). Данный подход является эффективным с точки зрения применения спектральной теории генератора полугруппы для исследования свойств полугруппы. В частности, в статье [2] вводится определение и приводятся примеры генераторов полугруппы операторов, изучаются их общие свойства.

Согласно статье [2], введем в рассмотрение следующее подпространства:

ХС(Т) = {ж £ X: ^Иш+ Т(¿)ж = ж}, 1

XI (Т) = |ж £ X: I ||Т(¿)ж|| ,

о

п

Хг(Т) = |ж£Х1(Т): ^ /Ж(Й = ж|,

о

и дадим ряд определений.

Определение 1. Строгим инфинитезимальным оператором или инфинитези-мальным оператором в смысле Феллера полугруппы Т называется линейный оператор

А0 : £(Ао) С X ^ X,

Я(Ао) = {ж £ ^(Ао): Аож £ XC(T)}, А0ж = Ао ж.

Таким образом, имеет место включение Ао С Ао.

Определение 2. Старшим генератором полугруппы Т называется отношение А £ ЬД^), состоящее из пар (ж, у) £ X х X со свойствами:

1) ж £ !тТ;

2) верны равенства:

í

Т№..- Т(8)ж = / т(тМт, о <, < 4<

Определение 3. Генератором полугруппы Т называется отношение А из ЬД^), удовлетворяющее условиям: 1) Ао С А С А;

2) A перестановочно с операторами T(t), t > 0, т. е. (T(t)x,T(t)y) G A для всех (x, y) G A и всех t > 0.

Определение 4. Генератор A полугруппы T называется базовым, если резольвентное множество р(А) генератора A содержит полуплоскость

Cw = {A G C : Re А > w}

для некоторого w G R.

Множество генераторов полугруппы T обозначено через Gen(T).

Важность базового генератора обусловлена возможностью использования его резольвенты при исследовании свойств полугруппы. Отметим также, что при таком определении генератора полугруппы отсутствуют какие-либо априорные предположения относительно характера поведения полугруппы в окрестности нуля.

В работе используется генератор Ac G Gen(T), который определяется (см. [2]) как сужение старшего генератора A на подпространство Xc(T) х Xc(T).

Отметим [2], что генератор A G Gen(T) является оператором тогда и только тогда, когда полугруппа T невырожденная.

2. Определение и свойства полугруппы операторов Сильченко класса A(^)

Полугруппы операторов с неплотным образом и суммируемой особенностью в нуле систематически исследовались воронежским математиком Ю. Т. Сильченко. Поэтому данный класс полугрупп называется в настоящей работе его именем. Дадим точное определение.

Определение 5. Пусть D — неплотное подпространство из X. Полугруппой операторов Сильченко класса A(^) называется операторнозначная функция

T: (0, то) ^ EndX

со следующими свойствами:

1) T(t + s) = T(t)T(s) для всех t, s > 0;

2) Im T(t) С D для каждого t > 0;

3) limt^0+ T(t)x = x для каждого x G D;

4) ||T(t)|| ^ ^>(t) для каждого t > 0, где ^ — некоторая суммируемая на [0,1] функция.

Всюду далее через T обозначена полугруппа операторов Сильченко класса A(^>). Из определения следует, что Im T С D, причем образ полугруппы Im T плотен в D. Кроме того, полугруппа T сильно непрерывна при t > 0 [8]. Поэтому величина ||T(t)|| равномерно по t ограничена на каждом компактном отрезке [а,в], 0 < а ^ в < то [5, лемма 10.2.1]. Таким образом, функцию ^ можно считать непрерывной на (0, то).

Далее полугруппа T исследуется с применением подхода [2], основанного на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы операторов. Согласно классификации из монографии [5 с. 524], полугруппа T относится к классу (E). Поэтому полугруппа T обладает базовым генератором [2]. Так как Xi (T) = X, то из [9] следует

Теорема 1. Для того чтобы инфинитезимальный оператор A0 был замкнут, необходимо и достаточно, чтобы

ШГЛ CXi(T).

Свойства подпространства & непосредственно влияют на свойства полугруппы Т. В частности, верна

Теорема 2. Пусть & — замкнутое подпространство в X. Тогда инфинитезимальный оператор А0 замкнут.

Также из [9] следует

Теорема 3. Для того чтобы инфинитезимальный оператор Ао был не замыкаем в классе операторов, необходимо и достаточно, чтобы

1т А0 п Кег Т = {0}. Так как подпространство & не плотно в X, то верна

Теорема 4. Спектр ст(Ао) инфинитезимального оператора Ао заполняет всю комплексную плоскость.

< Так как @ ф X, то 1т(А0 - XI) с1тТ ф X для любого А £ С. Поэтому <т(А0) = С. > Для каждого х £ X определим функцию

грх : [0, оо) —>■ [0, оо), ipx(u) = sup —

т6(0,1] т

J T(s + u)xds 0

Лемма 1. Для каждого х £ X функция суммируема на [0,1]. < Для каждого х £ X и т > 0 функция

т+п

1

: [0, оо) -»■ X, fr(u) ^ I J T(s)xds

абсолютно непрерывна. Функция

Пт : [0, ^ [0, Пт(u) = ||&(u)||

непрерывна. Для каждого n £ N положим

= SUp Пт(u) = Пт„ (u), т 6[1/n,1]

где тп существуют и принадлежат [1/n, 1]. Тогда функции пт„ измеримы для каждого n € N и

^x(u) = lim ^x,n(u),

для каждого u. Следовательно, функция измерима.

Из непрерывности на (0,1] и суммируемости на [0,1] функции ^ следует, что

и+т

1

J ^ lim — J (p(s)ds^jdu = J (p(u)du< оо.

0 u 0

Следовательно,

1

J ^x(u) du < то. t> 0

Из суммируемости функции "фх для каждого х £ X и [2, теорема 4] следует Теорема 5. Пусть А — базовый генератор полугруппы Т. Тогда

п

lim - [ Т(тША, А)х(1т = - [ е~ХтТ(т)х <1т n J J

„ — \тг

I -1 \1 )Х ш = — I С

п^о+ n

0

для любого х £ X. В частности,

со

Л(Л, А)х = - У е-ЛтТ(т)х ¿т, (*)

0

если Л(Л, А)х £ X(Т).

Следствие 1. Пусть А — базовый генератор полугруппы Т и ^(А) С X(Т). Тогда для любого х £ X

со

Л(Л-А )х=-/е-Лт Т (т )хйт'

0

Так как Х1 (Т) = X, то из [2, теорема 7] следует

Теорема 6. Генератор Ас полугруппы Т является базовым, ) С р(Ас) и резольвента Л (Л, Ас) генератора Ас имеет представление

со

Л(Л, Ас)х = - ^ е-ЛТ(¿)х х £ X, Л £ Сад(Т). 0

Следствие 2. Пусть А — базовый генератор полугруппы Т и Б(А) С X(Т). Тогда

А = Ас.

Отметим, что если дополнительно потребовать выполнения условия

J p(t) dt < то, о

то iR U Со С p(Ac) и представление (*) резольвенты имеет место для любых А £ iR U Со и x £ X.

В следующей теореме приводится достаточное условие для того, чтобы генераторы Ac и A совпадали.

Теорема 7. Пусть функция р ограничена на [0,1]. Тогда Ac = A. < Положим T(0) = I. Тогда

sup ||T(t)|| < sup p(t) < M < то. te[0,i] ie[0,i]

Из принципа равномерной ограниченности заключаем, что Xc(T) = Xc(T), поэтому ХС(Т) = 1тТ. Согласно определениям генераторов, получаем А = Ас. >

Ясно, что в случае ограниченности функции ^ старший генератор также является базовым и для любого х £ X имеет место представление (*).

В следующем примере посчитаны генераторы Ао, Ао, Ас, А. Показано, что Ао = Ао,

Ас = А.

Пример. Пусть X — пространство сдвоенных числовых последовательностей V = {(хп,уп),п £ Н}, для которых конечна норма

v||x = |x„| + ы), в G (0,1).

. i | Уn|

n=1

Введем в X следующие подпространства:

Y = {v G X : Ж1 = yx =0},

D = { v G Y : ||v||d = ^ na(ne |xn| + Ы) < то, а ^ Л.

Отметим, что Y = Y ф X. Полугруппу определим формулой

T : (0, то) ^ End X,

T(t)v = {(a„(t),&„(í))e(-n+in1+e)*, n G n}, ж G X, где a1(í) = b1 (t) = 0, и

an(t) = cos nt — sinnt, t > 0, n ^ 2,

bn(t) = sin nt + cos nt, t > 0, n ^ 2.

Для случая в = 1/2 данный пример рассмотрен в [8]. Функция T есть полугруппа операторов Сильченко класса A(<) с функцией

< : (0, то) ^ (0, то), <(t) = 2ввe-et-e.

Кроме того, имеют место следующие включения:

D(A0) С D при а < 1 + в,

D(A0) D D при а > 1 + в, D(A0) = D при а = 1 + в.

При этом ^ = £>(А0) = Y.

Пусть V = {(хп, уп), п £ Н)} £ ^(Ао). Тогда по определению

Aоv = Т'(0^ = {(сп,^),п £ Н},

где С1 = =0, и

сп = (¿п1+в — п)хп — пуп, п ^ 2, = пх„ + (т1+в — п)у п, п ^ 2. Область определения ^(Ао) инфинитезимального оператора Ао имеет вид

( ^ Л

^(Ао) = \ V £ ^ : ^ (пв| (т1+в — п)х„ — пу„| + |пх„ + (т1+в — п)у„|) < ^ [

= / V £ ^ : £ п1+в (пв|хп| + Ы) < то!.

^ п = 2 '

Подпространство Хс(Т) имеет вид

XC(T) = {v G Y : ¿ne(|xn| + Ы) < то} ^ n = 2 '

«=2

Следовательно,

D(Ao) = {v G Y : ¿n1+2e(|x„| + Ы) < то}.

^ n=2 J

Таким образом, А0 = А0.

Прежде чем считать старший генератор А полугруппы операторов Т, отметим, что

ImT = {v G Y : ¿ (|x„| + |y„|)e-Y" < то, 7 > ü}

^ n=2 '

и 1т Т = .

Следуя определению, старший генератор А £ Сеп(Т) состоит из пар (V, и) £ X х X со свойствами:

1) V е 1т Г =

2) верны равенства

í

Т(ф - Т(ф = ^ Т(т)ийт, 0 <5 < ¿< то.

Полагая V = {(хп, у«),п £ Н} и вычисляя выражения справа и слева, находим, что последовательность и имеет вид:

и = {(#п,Лп),п £ Н},

где 51 = Л,1 =0, и

5« = (-п + т1+в)х« - пу« п ^ 2, = пх« + (—п + гп1+в)у«, п ^ 2. В частности, любая пара (0,и), где и £ Кег Т, принадлежит А.

Согласно определению, D{Ас) = Х(Т) nD(A). Так как ХС(Т) С У = ImT, то D(AC) = {v G Y : ^ne(Ixnl + Ы) < то}.

^ n=2 ^

Следовательно, генератор Ас £ Сеп(Т) состоит из пар ^,и) £ XX х со свойствами: 1) последовательность V = {(хп, у«), п £ Н} удовлетворяет условиям:

X

Х1 = yi =0 и (|xn| + Ы) < то;

n=2

2) последовательность и имеет вид:

и = {(#«), п £ Н},

где 51 = =0 и

5« = (- п + гп1+в)ж„ - пу« п ^ 2, = пж„ + ( — п + гп1+в)у«, п ^ 2.

Таким образом, Ас = А.

Отметим, что «многозначность» генераторов Ас и А (в случае вырожденной полугруппы Т) привносится за счет ядра полугруппы Кег Т. Резольвента генератора Ас имеет вид:

Я(А, А^ = ), п е М},

где = =0 и

1/ 1 ^ 1 1/ 1 \ 1

— г, I ®га " ~Уп -Г~—--Ь - \ХП + -уп

i /7га — А + in 2 \ i /7га — А — in

1/1 ^ 1 l/ l \ 1

-2га — „I . ®га + Уп -Л , . + - - ~Хп + Уп

2 \ г /7„ — А + гп 2 \ г /7„ — А — гп

где 7га = —п + гп1+в, п ^ 2. Имеют место оценки

| Ке А + п| | Ке А + п|

Отсюда получаем оценку резольвенты

те |

Ке А + п

^ ^ I Re А + nl

n=2 n=2

Следовательно,

a(Ac) = ap(Ac) = {А e C : А = An = —n + in1+e ± in, n ^ 2}

sup ||R(A, Ac)У < 4.

A6p(Ac)

и

Литература

1. Баскаков А. Г., Чернышов К. И. Спектральная теория линейных отношений и вырожденные полугруппы // Мат. сборник.—2002.—Т. 193, № 11.—C. 3-42.

2. Баскаков А. Г. Линейные отношения как генераторы полугрупп операторов // Мат. заметки.— 2008.—Т. 84, № 2.—C. 175-192.

3. Cross R. Multivalued linear operators.—N. Y.: M. Dekker, 1998.—335 p.

4. Баскаков А. Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов // Функцион. анализ. СМФН.—2004.—Т. 9.—C. 3-151.

5. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.—830 с.

6. Чшиев А. Г. Теорема Герхарта — Прюсса для некоторого класса вырожденных полугрупп операторов // Мат. заметки.—2013.—Т. 94, № 3.—С. 426-440.

7. Бичегкуев М. С. К теории бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов // Алгебра и анализ.—2010.—Т. 22, № 2.—C. 1-13.

8. Сильченко Ю. Т. Полугруппы с неплотно заданным производящим оператором // Изв. вузов. Математика.—2005.—№ 7.—C. 57-62.

9. Чшиев А. Г. Об условиях замкнутости и условиях замыкаемости инфинитезимальных операторов некоторых классов полугрупп операторов // Изв. вузов. Математика.—2011.—№ 8.—C. 77-85.

Статья поступила 31 октября 2012 г. Чшиев Аслан Григорьевич

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, младший научный сотрудник отдела функцион. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]

ABOUT SILCHENKO OPERATORS SEMIGROUP Chshiev A. G.

We consider a class of operator semigroups with integrable singularity at the origin and nondense image. Our approach is based on using the linear relations as the generators of semigroup. The existence of a base generator is proved and a representation of the resolvent of the base generator is also obtained.

Key words: semigroup of operators, generator of the semigroup, linear relation.