О полноте правил нечеткого управления для фаззи-систем автоматического регулирования Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ТЕОР1Я I МЕТОДИ АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛ1ННЯ

TEOPiH i МЕТОДИ АВТОМАТИЧНОГО УПPABЛiHHЯ

ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

THEORY AND METHODS OF AUTOMATIC CONTROL

УДК 62-55:681.515

В. И. Гостев, Н. Н. Кунах, В. А. Величко

О ПОЛНОТЕ ПРАВИЛ НЕЧЕТКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ФАЗЗИ-СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

В работе показано, что для фаззи-систем автоматического регулирования (систем, работающих на базе нечеткой логики) требование полноты правил нечеткого управления всегда выполняется при условии симметричных друг относительно друга и пересекающихся при значении u = 0,5 на универсальном множестве U = [0,1] функций принадлежности.

Функциональная схема системы автоматического управления на базе нечеткой логики (системы управления с нечетким регулятором или системы фаззи-управ-ления) приведена на рис. 1. Схема состоит из устройства сравнения, нечеткого регулятора НР, объекта управления ОУ и цепи обратной связи.

Нечеткий регулятор (фаззи-регулятор, fuzzy-controller) включает три основных блока - блок фаззифи-кации (fuzzyfication), блок формирования логического решения (inference) и блок дефаззификации (de-fuzzyfication).

В блоке фаззификации входные лингвистические переменные x^i = 1,n, такие как ошибка системы 0, скорость изменения (первая производная) ошибки 0, ускорение (вторая производная) ошибки 0, качественно характеризуются терм-множествами (лингвистичес-

© Гостев В. И., Кунах Н. Н., Величко В. А., 2005

Рисунок 1

кими величинами) а\, такими как отрицательная (О), положительная (П), которые описываются на универсальном множестве и = [0,1] функциями принадлежности (ФП) ц( и). ФП определяет степень принадлежности каждого элемента и универсальному множеству числом между 0 и 1, которое называют степенью истинности рассматриваемой лингвистической переменной данному терму. Диапазоны изменения вход-ныхх переменных, например, [Вт1п,Втах], [0тШ,0тах],

В. И. Гостев, Н. Н. Кунах, В. А. Величко: О ПОЛНОТЕ ПРАВИЛ НЕЧЕТКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ФАЗЗИ-СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

[0min,0max], и текущие значения входных переменных пересчитываются (отображаются) на единое универсальное множество.

В блоке формирования логического решения на основе матрицы знаний (базы правил) записываются лингвистические правила вида ЕСЛИ (исходная ситуация), ТО (ответная реакция), которые вместе обычно называют рабочим правилом. Взаимодействие между входными и выходными ФП типа ЕСЛИ-ТО обозначается как импликация (логическая связка). Импликация (активизация) - это этап нечеткого вывода, представляющий собой процедуру нахождения степени истинности каждого из подзаключений логических правил вида ЕСЛИ-ТО, которые являются нечеткими лингвистическими высказываниями в форме лингвистических переменных. Часть ЕСЛИ (предпосылки или условия) означает сопряжение логических операций, а часть ТО (решение, вывод, заключение) обычно представляет собой простое указание лингвистической величины для выходного воздействия (управляющего воздействия на объект управления) нечеткого регулятора. Соответствующей формулировкой правил достигается результат, при котором для любой лингвистической величины управляющего воздействия, как минимум, одно из правил оказывается приемлемым. Наиболее часто используется «минимаксный» (Max-Min Inference) метод логического решения, когда вначале ФП части ТО каждого из правил объединяются с величиной истинности части ЕСЛИ (при этом ФП части ТО ограничивается величиной истинности части ЕСЛИ - это «мини»-операция), а затем из ограниченных ФП части ТО путем взаимного наложения выбирается результирующая ФП с максимальной величиной истинности («макси»-операция). Эта результирующая ФП определяет собой текущее воздействие базы правил. Процедура обработки базы правил с формированием результирующей ФП представляет собой логическое решение для расчета выходной величины НР.

В блоке дефаззификации полученная результирующая функция принадлежности для управляющего воздействия на объект управления преобразуется в числовую величину, как правило, методом определения «центра тяжести» (Centre of Gravity) плоскости S результирующей фигуры.

Для лингвистического правила управления (рабочего правила) нечеткого регулятора

Если (0* = aj1) и (0* = 4) и (0* = 4), то (m* = a}c), j = 1,2,

где aji, aj2 и a{¡ - лингвистические оценки ошибки 0( t), скорости изменения (первой производной) ошибки 0(t) и второй производной ошибки 0(t), рассматриваемые как нечеткие множества, определенные на уни-

версальном множестве, требование полноты правил управления сводится к выражению

3 / и = и Бпрр(а}г), (1)

г

где 5ирр() - носитель нечеткого множества а^. Содержательно это означает, что для каждого текущего пересчитанного на универсальное множество значения ошибки и^^, первой производной ошибки и2(£) и второй производной ошибки из(t), т. е. для каждого текущего состояния процесса = 1,3, на универсальном множестве существует хотя бы одно управляющее правило, посылка которого имеет ненулевую степень принадлежности для и^ г = 1, 3.

Выбор функций принадлежности при синтезе нечетких регуляторов для систем автоматического управления имеет специфические особенности. Эти особенности обусловлены тем, что на вход нечеткого регулятора, как правило, поступают три лингвистических переменных - ошибка системы 0, скорость изменения (первая производная) ошибки 0, ускорение (вторая производная) ошибки 0, которые качественно можно охарактеризовать (с целью упрощения расчетов) только двумя терм-множествами (лингвистическими величинами), например, отрицательная — 1, положительная — 2. Эти терм-множества описываются на универсальном

множестве и соответственно двумя функциями при-1 2

надлежности ФП: ц (и) и ц (и). Поэтому функции ц (и) и ц (и) должны быть симметричными друг относительно друга и пересекаться при значении и = 0, 5. Кроме того, функция ц (и) должна быть убывающей, а ц (и) - возрастающей.

Математическое описание на едином универсальном множестве и = [0,1] симметричных относительно абсциссы и = 0, 5 функций принадлежности задается в виде [1], например:

- возведенных в степень треугольных ФП (см. рис. 2):

ц1(и) = (1 - и)с, ц2(и) = и ; (2)

- гауссовых ФП (см. рис. 3):

ц1(и) = ех^-1 (и) ^ ц2(и) = ехР

- экспоненциальных ФП (см. рис. 4):

12 ц (и) = ехр (-си), ц (и) = ехр [-с( 1 - и)]. (4)

Другие симметричные относительно абсциссы и = = 0, 5 функции принадлежности представлены в работе [1].

(u - 1 Г

„ 2 2c

; (3)

1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.25 0.5

Рисунок 2

0.75

1 0.8 0.6 0.4 0.2

0.25 0.5

Рисунок 3

0.75

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.25

0.5

Рисунок 4

0.75

На рис. 5 представлено отображение диапазонов

[0т1п,0тах], [0т1п,0тах], [0т1п,0тах] и [тт1п,ттах]

изменения входных и выходной переменных нечеткого регулятора и текущих значений переменных на единое универсальное множество (пересчет фиксированного значения х* е [хн^х^] каждой лингвистической переменной ^,г = 1, п, п = 4, в соответствующий элемент

м*е [0, 1 ] определяется выражением u* = ■

-, а так-

же нахождение результирующей функции принадлежности при функциях принадлежностей (ФП) терм-множеств (лингвистических величин) отрицательная

ц1(и) и положительная ц2(и) треугольной формы.

Совершенно очевидно, что при использовании функций принадлежности, симметричных друг относительно друга и пересекающихся при значении и = 0, 5 на

Рисунок 5

универсальном множестве требование полноты правил управления удовлетворяется для каждого текущего состояния процесса = 1, 3, так как для каждого текущего пересчитанного на универсальное множество значения ошибки, первой производной ошибки и второй производной ошибки на универсальном множестве всегда существует управляющее правило, посылка которого имеет ненулевую степень принадлежности для и;,1 = 1, 3.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Гостев В. И. Синтез нечетких регуляторов систем автоматического управления. - К.: Издательство «Радю-аматор», 2003. - 512 с.

2. Гостев В. И., Крайнев В. В., Криховецкий Г. Я. Функции принадлежности для нечетких регуляторов систем автоматического управления // Вюник Державного уж-верситету ¡нформацшно-комужкацшних технологш. -2004. - Т. 2, № 1. - С. 30-32.

Надшшла 11.10.05

В poóomi показано, що для фаз1-систем автоматичного регулювання (систем, як працюють на базi нечт-коЧ логлки) вимога повноти правил нечimкoгo управлтня завжди виконуеться при умoвi сiмеmричниx одтег вiд-носно другоЧ i перетинающихся при значент и = 0, 5 на утверсальнш множиш U = [0, 1] функщй приналежнoсmi.

In operation is shown, that for fuzzy-systems of autocontrol (systems working on the basis of fuzzy logic) the requirement of entirety of rules of fuzzy control always is fulfilled under condition of symmetric from each other and intersected at value u = 0, 5 on universal set U = [0, 1 ] of membership functions.

0

1

0

1

xi xíi