CC BY
53
ЛИТЕРАТУРА
1. Rinott Y. and Rotar V. A multivariate CLT for local dependence with n-1/2 log n rate and
applications to multivariate graph related statistics // J. Multivariate Analysis. 1996. V. 56.
P. 333-350.
УДК 512.62
О ПОЛИКВАДРАТИЧНОМ РАСШИРЕНИИ БИНАРНЫХ ПОЛЕЙ
Кр. Л. Геут, С. С. Титов
Работа посвящена генерации неприводимых многочленов степени 2n посредством поликвадратичного расширения поля над GF(2). Построено полное бинарное дерево неприводимых многочленов, рассмотрены свойства этого расширения.
Ключевые слова: неприводимый многочлен, поликвадратичное расширение, след многочлена.
Неприводимые многочлены активно применяются при передаче информации по каналам связи в виде битовых строк, помехоустойчивом кодировании, работе конечных автоматов, стандартах защиты информации [1]. Использование свойств неприводимых многочленов позволяет максимизировать эффективность компьютерной реализации арифметики в конечных полях.
Рассмотрим уравнение x2 + x = z в поле GF(2m), где z — корень неприводимого многочлена f над GF(2) степени m. Если x не лежит в этом же поле GF(2m), а лежит в расширении GF(22m) этого поля, то след Tr(f) = 1 [2] и x — корень неприводимого многочлена F степени 2m [3-5]. Многочлен F получается из f посредством так называемой операции A [6]: F(X) = f (X2 + X). Многочлен F неприводимый и периодический (с периодом равным единице), т. е. F(X + 1) = F(X).
Если же x лежит в том же поле GF(2m), то многочлен, полученный с помощью операции A из многочлена f, приводим, F(X) = p(X)q(X), Tr(f) = 0, degp = degq = m, и x — корень одного из этих двух неприводимых многочленов p, q, связанных соотношением сдвига: p(X + 1) = q(X) [6].
Если m = 2k и Tr(x) = 1, то после поэтапного применения операции A можно построить полное бинарное дерево, ветви которого символизируют применение операции A, а вершины — многочлены, полученные с помощью этой операции [6]. Если представить шаг (т. е. применение операции A) как уровень, то можно заметить, что вершина с неприводимым многочленом степени 2n+1 появляется только после прохождения всех уровней с неприводимыми многочленами степени 2n, причём число этих уровней-шагов равно 2n-1. Приводимость многочлена, полученного с помощью операции A, зависит от следа многочлена, к которому была применена эта операция.
Многочлены степени 2n со значением следа Tr =1 всегда лежат на нижнем уровне, так как после применения операции A они дают неприводимый периодический многочлен степени 2n+1, а на остальных уровнях лежат многочлены с нулевым значением следа Tr = 0.
Симметричные (самовозвратные) многочлены (т. е. многочлены, у которых коэффициенты симметричны относительно центрального бита) степени 2n+1 с нулевыми значениями следа и антиследа (Tr = Tr-1 = 0) получаются из многочленов степени 2n со значениями Tr = 0, Tr-1 = 1, а многочлены степени 2n+1 со значениями Tr = Tr-1 = 1 —из аналогичных многочленов степени 2n со значениями Tr = Tr-1 = 1,
причём в одной ветви может встретиться только один симметричный многочлен одной степени.
В результате исследования поликвадратичного расширения полей посредством операции А получены следующие свойства этого расширения.
1. Посредством поликвадратичного расширения можно вычислять характеристический многочлен элемента не только из расширенного поля, но и из расширяемого, т. е. движение по дереву возможно как вверх, так и вниз. Для того чтобы «опуститься» по дереву вниз, необходимо применить операцию А, а чтобы «подняться» по дереву вверх — выполнить обратную операцию Л = А-1.
2. Для вычисления расширений необходимо вычислить относительный след корня и записать уравнение, задающееся неприводимым многочленом, коэффициенты которого вычисляются в явном виде [3, 4].
Теорема 1. Если Л,(ж) = г, deg f = п, f (г) = 0, degд = 2п, д(г) = 0, то Тг(г) = = Тг(х), где Л,(х) = х + ж-1 равен относительному следу элемента х.
Теорема 2. Если в поле ОЕ(2т), т > 1, г — корень симметричного многочлена f, то однозначно определён периодический многочлен д, где у = 1/(г + 1) —его корень. И наоборот, если д — периодический, то f — симметричный, где г = 1/у +1.
Таким образом, с помощью операции А построено полное бинарное дерево неприводимых многочленов степени 2П. Изученные в работе свойства такого поликвадратич-ного расширения значительно упрощают процедуру генерации многочленов и дают возможность избежать полного перебора при поиске многочленов больших степеней, что имеет особое значение для криптографии и теории кодирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Информационные технологии и безопасность алгоритмы разделения секрета. Предварительный государственный стандарт республики Беларусь СТБ П 34.101.44. Минск: Госстандарт, 2011.
2. Глуско Кр. Л., Титов С. С. Арифметический алгоритм решения квадратных уравнений в конечных полях характеристики два // Доклады ТУСУРа. 2012. №1(25). Ч.2. С.148-152.
3. Болотов А. А., Гашков С. Б., Фролов А. Б. Элементарное введение в эллиптическую криптографию: алгебраические и алгоритмические основы. М.: КомКнига, 2006.
4. Болотов А. А., Гашков С. Б., Фролов А. Б. Элементарное введение в эллиптическую криптографию: Протоколы криптографии на эллиптических кривых. М.: КомКнига, 2006.
5. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988.
6. Геут Кр. Л., Титов С. С. О свойствах поликвадратичных расширений бинарных полей // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 44-й Всерос. молодежной конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2013. С. 17-19.
УДК 512.55
КЛАССЫ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ И ВАРИАЦИОННО-КООРДИНАТНО ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ НАД КОЛЬЦОМ ГАЛУА
М. В. Заец
Рассматривается новый класс функций над кольцом Галуа Я = ОК(дт,рт), получивший название класса функций с вариационно-координатной полиномиальностью (ВКП-функций). Рассматривается соотношение между данным классом и
