О погрешности кубатурных формул точных на билинейных сплайнах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2009, том 52, №2____________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Ш.Дж.Хамдамов

О ПОГРЕШНОСТИ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ ТОЧНЫХ НА БИЛИНЕЙНЫХ СПЛАЙНАХ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 05.12.2008 г.)

1. Определение классов функций

Будем обозначать через C(r’s\Q){r,s = 0,1,...,;C(0'°\Q) = C(Q)) линейное подпространство функций f(t,T), имеющих в квадрате Q = {0<t,r <1} непрерывные частные производные fkJ (t, т) = dk+1/dtkdT!, где k<r,l <s; f(0’0)(t,r) = .

Специфика двумерного случая позволяет функции f(t,r)<EC(Q) сопоставить как полный модуль непрерывности [ 1]

Mf;t, т) = sup{|/(C, г') - /(/', т-)\: |С - f\ < (,\т' - г'| < т}, (1)

где (t\ г'), (tn, г") & Q, так и частные модули непрерывности

a>{f\ t, 0) - sup{|/(V, т) - f(t", T)\:\t'-f\<t,0<T< 1},

a)(f;0, т) = sup{|/(?, t ) - f{t, г”)\: \т' - г"\ < т,0 < t < 1}, характеризующие изменение вдоль каждой переменной.

Функция (1) удовлетворяет условиям:

а) a>(f; 0,0) = 0,

б) co(t, т) - не убывает по t и т, непрерывна и полуаддитивна, то есть

«(/; Г + Г, т' + г") < co(f; f, г') + co(f; t", т").

Модулем непрерывности функции f(t,r)eC(Q) назовем также функцию <»,(/;?, г), определяемую равенством

a, (fit, r) = sup{|/(/',r')-/(/’,r')-f(f, О+ЖгЦ:

: (f, т-’), (f, г •) е Q, \f-1’\ <!, |т' - г'1 < т). (2)

Помимо всех тех характеристических свойств, которыми обладает полный модуль непрерывности (1), т) обладает следующими свойствами:

1) если f(t,T) = f1(t) + f2(T), то a),(f;t,T) = 0;

2) если = то coXf,t,z) = co(fl,t)-a)(f2,T),

где ю{(р, и) - обычный одномерный модуль непрерывности функции (р(и) ;

3) 0.(/;О,г) = 0) = 0.

Через W(r,s)H0}(Q),r,s gN обозначим класс функций f(t,T)eC(r~1’s~1)(Q),r,s> 1, у которых производная f(r’s\t,T) всюду в Q существует, кусочно-непрерывна и для любых двух точек {Ґ, т'), (Ґ, т") є Q удовлетворяет неравенству

I (У, г') - f™ (Г, т”)| <co(\t'-t"I, |г' — т"\),

где a>(t, т) - некоторый полный модуль непрерывности.

Аналогичным образом w(r’s)H0}l’m2 (Q) - класс функций /(t,r) е Cir~u~l)(Q), r,s> 1, у которых существует и кусочно-непрерывна производная f(r’S\t,T) и для двух точек (Ґ, г'), (Ґ, т") є Q удовлетворяющая условию

где cox{t) и со-,(т) - заданные модули непрерывности.

Через W(r’s)H® (Q), і -1,2 обозначим класс функций, у которых производная f(r’s)(t, т) кусочно-непрерывна на Q и для любых двух точек M\t\ т'),М"(Ґ, т") є Q удовлетворяет условию

\f r’s\M')-f r's)(M")\ < a>[pi(Mr = 1,2,

где

рх (М',М") = yj(tr -t")2 +{т' -т”)2 - евклидово расстояние, а

р2(М',М") = \ґ-Ґ'\ + \т'-т"\ - хэммингово расстояние между точками M'(t',r') и

т”). Здесь co(t) - заданный на отрезке [0,>/2] для расстояния рх и заданный на отрезке [0,2] для расстояния р2 модуль непрерывности.

Наконец, через W(r’s)Ha>" (Q) обозначим класс функций у которых производная

f(r’s\t,T) существует, кусочно-непрерывна на Q и для любых двух точек удов-

летворяет условию

(г’х) (Г, т’) - f(r-s) (Г, т”) - f(r-s) (f, г') + f(r-s) (Ґ, т”)\ < где o)t(t,r) - заданный модуль непрерывности типа (2).

2. Определение билинейных сплайнов

Пусть Атп =AmxAn,m,n<EN,m,n>\, где

^т ~ ^ Ч ^ "• ^ ^т-\ ^ tm ~ 1}’

Л„ ={° = ^о <Ti <••••< Vi <г« =!}“ произвольные разбиения квадрата Q,hk =tk-tkl,k = 0,т; rjt = т —т ,,/ = 0,/?; и

|д1=тах\,|А 1=тахт7г. Равномерное разбиение области 2, то есть когда tk=klm,

1 <k<m \<i<n

k = 0,m; тг = i/n, i = 0, п\ обозначим дий = ди х дя.

Поставим в соответствие каждой функции f(t,r)€.C(Q) функцию S11(f;t,r) eC(Q),

определенную следующим образом:

а) на каждом частичном прямоугольнике

Qia =[^*]х1Л-1,гг],£ = 1,да; / = 1,и функция является алгебраическим многочленом первой степени по f и по г;

б) ^1д (/; **»7,.) = f(tk, тг), (£ = О, да; / =0,п).

Функции называют интерполяционными сплайнами первой степени двух

переменных [ 2, с.54-58] или интерполяционными билинейными спалайнами. На множестве точек (t,r) eQu,k = 1 ,m;i = 1 ,п имеет место представление

*Sy (/;t,т) = f(tk_Y, r ,) • Н(]к(/) • Я0,(г)+./■(/,, г ,)• Я,,(/) • H(Jt) +

+/(^1,г<).ЯОЛ(0-Ям(г)+/(^,г<).Яи(0-Ям(г), (3)

где

1

я«(')=ГЛ-0, Еям<»)-1

^=0

1

н0,1(т)=ч1 HiAT) = ri;XT-h-i\ Z//,/r) = l-

j=o

Очевидно, что при фиксированном значении одной из переменных, например f, функция является сплайном первой степени относительно другой переменной т и об-

ратно. Известно [2], что для любой функции f(t,r)^C(Q) сплайн S11(f;t,T) существует и единственен.

Если обозначить через о(/;[^_1,^],?,0) и частные модули непре-

рывности функции /(^г) е С((9), рассматриваемые только на ячейке О-ы = К-1■> !к ]х [г;_!, г. ~\{к = 1, да; / = 1,//), а через <а (/; <2*. г., /, г) модуль непрерывности функции /'(/, г), определяемый равенством (2) на этой же ячейке, то справедлива следующая основная лемма.

Лемма А. [3,4]. Пусть /(/,г)еС(1,о)(0пС(о,1)(0 и билинейный сплайн,

интерполирующий функцию /^,г) в узлах (^,^) произвольного разбиения Ок 1 = [/у._,, /к] х [ г, , г, ] (А: = 1, да; / = 1,п) квадрата О. Тогда в каждой точке выпол-

няется неравенство

|/(Г,г)-£1Д(/;Г,г)|:

<

гг,к У1 к 1 А1, *■£-

0

(Т, -т)(т-тг_,)|ю(/(1,0);[Г,._!,гг],0,у)й?у, (4)

0

неулучшаемое на всем множестве С(1,0) (2) о С,(од) (()).

Если же /(/, г) е С(1Д) (2), дао в каждой точке (7, г) е О,.. выполняется неравенство

|/(^)-яисмг)|<

Ч 7к

^ К1)? 0* - 00 - 4-1 )(?г ~ *00 ~ Тг-1) | (/0Д) ; б*,' > М> (5)

0 0

-ОД)/

неулучшаемое на всем классе множества С ’ (<2).

3. Оценка погрешности кубатурных формул

Рассмотрим для функции /'(/, г) е С((9) кубатурную формулу [5]

Л

§Ж,туМт = X Е Рк,/(Ч^)+к(ААтп,Ртп), (6)

(е) *=0 /-0

где К(/,Атп,Ртп) - погрешность, а РИ й = {/\г}"Г “ вектор коэффициентов формулы (6).

Ясно, что интеграл от функции г), взятый по области О, представляет собой

кубатурную сумму формулы (1), а именно, используя представление (3), получаем

ГГ тп

(/; гуй(1т = Ё Ё I ^,1 (/; ^ тУ*Ит =

к=1 2=1

т п

= Ё Ё ’ VI )яод (ОЯо,г (т)+/о,, ггЧ )яи (Оя0 г (г) +

- -15 г-1

к=\ !=\д*

+/&-!, т, )Я0, (1)Ни (г)+/(/,, т, )Яи (/)Я|, (г)]^г =

т п и Г!

= Ё Ё[Ж-1 ’ )+/& > гг-1)+/(^-1»■г<)+ж ’ г<)] =

£=1 2=1

= \ilvhfdo ,т0)+КлЛК ,т0)+\лЛЧ> О+КЛп./'О,,,, О] +

+7 ■^ Е ^ )Д'о >*■,■)+7 /1и Е <Д+1 + Ъ )Ж > г,-) +

^ 2=1 ^ 2=1

1 т-1 1 т-1

7:71Е (^+1 + К ЖЬ >то) + Лп Е (^+1 + ^ )/& ’г» ) +

4 к=1 4 £=1

2 /И-1 22-1

+7 Е Е <А+Л+1 + /7/Д+1 + К<Пг + Къ жч> ■т,) =

4 £=1 2=1

гп п

=ЁЁК/(^г)>

£=0 2=0

где, ради краткости, положено

О 1Л г^. IЛ ~^т 1Л IЛ _0 7, _ О

РЖ=КЛ11^Р2о=кЛ/^Роп = КЛп1^Ртп=КЛп1^

Рол = К <Д+1 + Ч, )/4, /?„,, = Лт (д+1 + 7,- )/4, / = 1, И -1;

Р1,а = (К+1 +КН/4,р1,п = (К+1 +К)Лп/^к = 1,т-\;

р1,г = <А+1 + \ )<Д+1 + >7, )/4, £ = 1, ти -1; 7 = 1, и -1.

Таким образом, всюду в дальнейшем, полагая Р°п ={р°м}™’"= 0, мы имеем

т п

|| Л’,, (/; t, т )с11с1т = ЦЦЧ/о* -о- <7>

1д

(2) к-0 1-0

Если Ш - некоторый класс функций из ( " ' ' ' (О), то требуется найти величины [6]

Я(Ш, Ати) = 8ир{| Щ/;Атп,Р:п) 1= / е Ш} (8)

(9)

Вышеприведенная лемма А о приближении функций /($,т) билинейными сплайнами ^(/^г) в каждой точке (^,т)е0 дает возможность оценить значение величины (8) и (9) для введенных классов функций Ш'(1’1)Не,((?\И'г(1’1)Н‘я'((?),И'г(1’1)Нд((?),(г = 1,2) и

Ж( 1,0)(д^пцг(.о»н^ (О).

Здесь, по определению

: <у(/(10) ;/,0)< бц (0, <у(/(од) ; 0, г) < бо, (г)}.

Теорема. Если кубатурная формула (6) точна на множестве интерполяционных билинейных сплайнов и имеет место равенство (7), то для оценки величины (9) на классах функций справедливы неравенства

1 1/т 1/и

£т,(№"»Н-’(д))<— /

^ 0 0

1 1/т 1/п

^(Ги>Я"(Є))<- І ІФ^аиА,,

0 0

1 1/ли 1/и

‘?,„(»'<и>^(®)^- | |®(Л<2+Vі )<*,<*,

^ о о

1 1/ли 1/и 0 0

1 /т \/т+\/п

| і<а{і)сІі + і | <х>{і)сіі + І (-^ + ^ - і)(д{і)сІі,т <п,

0 1/и 1/ш

/т 1/и 1/и+І/т

1 І <х>{і)сіі + І - і)<а{і)сІі, т>п,

0 1/ш 1/и

/и 2/и

1 ґю(ґ)й?ґ + І (-| - ґ)ю(ґ)й?ґ, т = п,

0 1/п

‘?тп(УУітн,0і’а)2 (0)пГод)яад (0) <

1/ли 1/ли

-і I Ю1(0й^+‘б { С02{і)(ІІ\

1

< — 9

1/и

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

Доказательство. Для определенности, приводим доказательство соотношения (10). В самом деле, воспользуясь неравенством (5) для любого f (?,т) е Ш('1Х>НЮ' (О), получаем

I Rif', Kn ,P„J N JJl f(f, t) - Sv (/; t, t) \Mt =

Q

m n

=Z Z JT ж*_ ^ід (f> ^іdtdz -

k=1 ;=1Єй

И

- Z Z h^rl‘2 jj(/i - 00 - ^-i)0, - r\T - r; , )dtd t >

' ' ' Єй

йі Лі

о 0

m n ^k }h

-у m n к ’и

- ^ZZVfc j Jo)t(u,v)dudv.

jt) k=і ;=i о о

Таким образом,

і m n к 'a

3b k=і 2=1 о о

Проводя обычным образом исследования на экстремум функции

m n ^k J?i

k=1 2=1

4>(hl,h2,...,hm,ril,ri2,...,rin) = Y4Y4hkrii J \coXu,v)dudv,

k=1 z=l о 0

w и

при условии - X ri, = 1 в области О после несложных вычислений, получаем

^„(^“'"Я*©)) = inf R(Wn»H‘-(Q), A,J =

тп

і 1/тя 1/и

=л(И'»"я*'-(Є),д„,)і— J J®.(;,r)rf(dr.

\тп; /-ч ^

36 о о

Соотношение (10) доказано. Аналогичным образом, используя неравенство (4) для любого /(t, т) е w(l’0)(Q) n W(0’l)Hm1,02 (Q) , получаем

^(/; Аи,ртп) < Ё■^ )о)х(?)ей + £}®2(т>/т. (15)

*г=1 О 0 ! =1 О 0

Исследуя правую часть неравенства (15) на условный экстремум при тех же условиях будем иметь

1 1/т 1/и

^ш(гі'»Іяч''*(е)пГ«'1>я*'*че))<- и«<*+- и(г)*.

6 о 6 о

Аналогичном образом доказывается неравенства (11)-(14).

Этим теорема доказана.

Следствие. В условиях теоремы справедливы неравенства

і

Ъбтп

1

-ю.

9mn

yin’ П j

Г

m ’ n

9mn

1

9mn

(O

f 1 1л — + —

\m n у

Smn(W^H^ (Q)nW(0'l)H^ (Q)) < — ю,

6m

Г 0 1 го

— H (О-у вп —

Ут) \п)

Худжандский государственный Поступило 05.12.2008 г.

университет им. акад. Б. Гафурова

ЛИТЕРАТУРА

1. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. -М.:Наука, 1984, 324 с.

2. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980, 306 с.

3. Шабозов М.Ш. - Укр. мат. журнал, 1994, т.46, №11, с. 1554-1560.

4. Шабозов М.Ш. - Мат. заметки, 1996, т.59, №1, с.142-152.

5. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.:Наука, 1979, 256 с.

6. Великин В.Л. - И зв. вузов, Математика., 1976, №5, с.15-28.

Ш.Ч,.Хамдамов ДАР БОРАИ ХАТОГИИ ФОРМУЛАМИ КУБАТУРИ, КИ БАРОЙ СПЛАЙЩОИ БИХАТТИ ХАНИК МЕБОШАНД

Даp мак;ола хатогии фоpмyлаx,ои кyбатypие, ки баpои сплайнх,ои бихаттй ханик мебошанд, баpои синфи функциями гуногуни дyтаFЙиpёбанда омухта шyдааст.

Sh.J.Khamdamov ON THE ERROR OF CUBATURE FORMULAS WHICH EXACT IN THE BILINEAR SPLINES

In this article have learnt the error of cubature formulas, which are exact for the bilinear splines for the different functions of two variable.