О погрешности численного интегрирования быстроосциллирующих функций трех переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е|Я Серия: Математика. Физика. 2013. №19(162). Вып. 32 101 МБС 65Б30

О ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ БЫСТРООСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

Аннотация. В статье исследуется погрешность численного интегрирования быстроосцил-лирующих функций трех переменных на классе дифференцируемых функций. Информация о функции задана еe следами на системе взаимно перпендикулярных плоскостей.

Ключевые слова: быстроосциллирующие функции, кубатурные формулы, погрешность, численное интегрирование.

Введение. Необходимость приближать функцию трех переменных симметрическими отрезками ряда Фурье возникает при рассмотрении, например, задач компьютерной томографии, цифровой обработки многомерных сигналов и многих других. При решении таких современных задач важно уметь находить коэффициенты ряда Фурье в случае, когда в качестве данных заданы не только значения функции в узловых точках, но и следы функции на линиях или плоскостях. Применение теории интерлинации и интерфлетации функций [1] позволило построить кубатурные формулы приближенного вычисления 3В коэффициентов Фурье, в которых учитывается вид задания исходной информации. Более детально с этими кубатурными формулами можно ознакомиться в работах [2-4].

При построении математических моделей вышеуказанных задач нельзя не учитывать погрешность численного интегрирования быстроосциллирующих функций, а также оптимальность или близость к ним кубатурных формул на различных классах функций. Для этого важно иметь не только оценки сверху, но и оценки снизу численного интегрирования на классе. Впервые вопрос об оптимальной погрешности численного интегрирования быстроосциллирующей функции одной переменной на классе дифференцируемых функций был рассмотрен в [5]. В данной работе на классе дифференцируемых функций будет получена оценка снизу численного интегрирования быстроосциллиру-ющей функции трех переменных, при условии, что оператор численного интегрирования использует информацию о следах неосциллирующего множителя подинтегральной функции на N взаимноперпендикулярных плоскостях.

Постановка задачи: на классе действительных функций трех переменных И^’г (М), г = 1, 2, определенных на О = [0,1]3 и таких, что |/(г,г,г)(х, у, г) | < М, найти оценку снизу погрешности численного интегрирования

О.Н. Литвин, О.П. Нечуйвитер

Украинская инженерно-педагогическая академия, ул. Университетская, 16, Харьков, 61003, Украина, e-mail: olesya@email.com

1 1 1

в случае, когда информация о функции f (x,y,z) задана ее следами на N плоскостях.

1. Оптимальная погрешность численного интегрирования на классе. В качестве множества кубатурных формул Ln для приближенного вычисления интеграла I (f, ш) будем рассматривать множество кубатурных формул In , которые используют информацию о следах функции не более чем на N плоскостях. Пусть R (f,u,l^) погрешность приближенного вычисления I (f, ш) кубатурною формулой lN : R (f, ш, lN) = I и,ш) - In .

Определение 1. Погрешностью кубатурной формулы In на классе F называют величину

R (F, ш,1^)= sup |R (f, ш,lN)|.

f (x)€F

Определение 2. Оптимальной погрешностью численного интегрирования на классе называют

Rn (F, ш)= inf R (F, ш,^).

In €Ln

Для того чтобы получить оценку снизу величины Rn (F, ш) сначала для фиксированной кубатурной формулы In получают оценку снизу величины R (F, ш, In). Если эта оценка не зависит от кубатурной формулы In , то эта же оценка справедлива и для величины Rn (F, ш). Для получения оценок снизу величины R (F, ш, In) используют метод «шапочек» [5].

2. Оценка снизу оптимальной погрешности на классе H^’r (M) , r = 1, 2. В

качестве интеграла I (f, ш) будем рассматривать

1 1 1

If (m, n, p) = J j J f (x, y, z) sin 2nmx sin 2nny sin 2npz dxdydz .

000

Теорема 1. В случае, когда информация о функции задана ее следами на N = 31 плоскостях

х = Хс, a = 1,£, у = у/з, /3 = 1,£, z = z7, 7 = 1,£

на классе Hf,r (M) , r =1, 2, справедлива следующая оценка для погрешности вычисления интеграла If (m, n,p):

M (r!)3 1 1

Rn {f* ,т.,п,р,£м) >-------------->

1728[(2r +l)!]3 23riV3r

I > max(2nm, 2nn, 2np),

M(r!)3 1 1

Rn (f* ,т,П'р,£м) > ---------------о ,„ , о -----ту

8[(2r + 1)!] 243г+3 (m,np)

l < (2nm, 2nn, 2np).

□ Пусть фг (x, b — a) = (x — a)r (b — x)r , тогда

|фг (x, b — a)| < C (r) (b — a)r, a < x < b,

b

[ фг (x, b — a) dx = Ci (r) (6 — a)2r+1 = 7—' ' (b — a)2r+1,

J (2r + 1)!

a

1

C (r) = sup 1фГг) (t)| = r!, c1 (r) = f Фг (t) dt,

0<t<1 J

0

Фг (t) = tr (1 — t)r.

На каждой подобласти Gkqs = Ak x Aq x As,

Ak = {x : x £ [(6k + 1) /12m; (6k + 5) /12m]} , k = 0,1,..., 2m — 1,

Aq = {y : y £ [(6q + 1) /12n; (6q + 5) /12n]} q = 0,1,..., 2n — 1,

As = {z : z £ [(6s + 1) /12p; (6s + 5) /12p]} s = 0,1,..., 2p — 1,

объемом-------- x — x — имеем

3m 3n 3p

|sin27T?n^| > - , I sin 2nny\ > - , |sin27rpc| > - .

1. Пусть l > max(2nm, 2nn, 2np). Разобьем каждую область

Gkqs = Ak x Aq x As

на c = ([l/m] + 1) ([l/n] + 1) ([l/p] + 1) подобластей

Gk£ = Ak x AJ x Д„Л , v, A = 0,c — 1.

Полное число подобластей GkJ* равно c ■ 8mn > 8l3 , поэтому будет не менее чем l3 областей GkJg , куда не попали плоскости кубатурной формулы. Построим ’плохую’ функцию на классе, обобщая на трехмерный случай результаты [5]

/<(w)_ М ф(х, |ДШ V'^KI) ФИ)

(C(r)f (|Д;:| г (К1)" (|дл|)

xsign(sin 2nmx) sign(sin 2nny) sign(sin 2npz)

на тех Ak x ДJ x Д*, куда не попали плоскости интегрирования. Когда (x, y, z) £ G\GkJs\ тогда f *(x, y, z) = 0. Ясно, что f * (x, y, z) £ Hf,r (M) . Найдем оценку снизу

1 1 1

/ / / f * (x, y, z) sin 2nmx sin2nny sin 2npzdxdydz >

000

>

M(ci (г))3 з +1,—^,г+1

8(C (r))3

r+1

M(r!)3

rl3

1

8[(2r + 1)!]3 \3m [l/m]

3

r+1

1

>

M(r!)3

11

3n [l/n] M(r!)3

r+1

1

3p [l/p] 11

r+1

>

8[(2r + 1)!]3 63r+3 l3r 1728[(2r + 1)!]3 23r (3l)

3r

M(r!)3

11

1728[(2г + 1)!]3 23г Ж3г'

Рассмотрим функцию /1* (ж, у, г) = —/* (ж, у, г) . Приближенные значения интегралов от /* (ж,У,г) , /1 равны нулю. Точные значения равны по модулю и имеют проти-

воположный знак. Поэтому хотя бы для одной из этих функций погрешность интегрирования будет больше или равна модулю интеграла. Эту функцию и возьмем в качестве функции /* (ж, у, г):

Дм (/*,т,п,р,1м) >

>

1 1 1

f* (x, y, z) sin 2nmx sin 2nny sin 2npz dxdydz

000

>

>

M(r!)3

11

1728[(2г + 1)!]3 23г ^3г '

2. Пусть I < тах(2пт, 2пп, 2пр). Разобьем каждую из сторон параллелепипеда Скд5 = Дк х Д х Д8 на 8 равных частей подобластей. Получим 16т ■ 16п ■ 16р = 4096тпр параллелепипедов = Дк х Д^ х Д*, V, ^, Л = 0,..., 7 с соответствующими сторонами

длинной 2^, 24^, 2ф) причем при приближенном вычислении интеграла будет не менее

чем с = (16т — I) (16п — I) (16р — I) > тпр областей С^*, куда не попали плоскости кубатурной формулы. Повторяя почти дословно рассуждения предыдущего пункта, получим оценку погрешности

1 1 1

f * (x, y, z) sin 2nmx sin 2nny sin 2npz dxdydz

>

>

М(с 1 (г))с 8(С (г))3

и\г+1\^Г1-1\г+1

■т ■ п ■ р - \ АЦ Д

Д

г+1

М (г!)3

8[(2г + 1)!]

гтпр

>

М(г!)

24т ) ^ 24п^ \ 24р )

11

>

8[(2г + 1)!]3 243г+3 (тпр)г 3. Численный эксперимент. Введем обозначения

Л,10 (ж) =

х—х\ -А -

0,

ж0 < ж < ж1; ж > ж1;

, (ж) = , 0, ж < ж*-ь

: : 1 ж, , ж < ж,.

0, ж < жк-1.

ж — жк 1

^1к (ж) = <

д

ж — жк+1

-Д

0,

жк-1 < ж < жк,

жк < ж < жк+1; ж > жк+1,

1

к = 1,£ — 1, жк = А:Д, Д = - .

Функции /г^(у), ,7 = 0,Л.3Д~), 5 = 0,£, = ]А^а = зД, Д

аналогично.

определяются

Для вычисления интеграла (т, п,р) в [4] построена кубатурная формула

1 1

I-1

Ф3(т,п,р)= / / ^^ / (жк ,у,г)/ (ж, к,т) вт2ппуйу 8т2прг^г+

1 1

00

I-1

к=0

+ ^^ /(ж,у7-, г)/(у, ^, п) вт2птжйж в1п2прг^г+

0 0 ^=°

1 1

I- 1

+ ^^ /(ж, у, 2^)/(г, з,р) вт 2ппу йу вт2птжйж—

00

«=0

I-1 I-1

ЕЕ /(жк, у7-, г)/(ж, к, т)/(у, ^ п) вт 2прг

0 к=0 .7=0

1

1 е-1 е-1

-■ЕЕ f (xk, y, zs)/ (x, k, m)/ (z, s,p) sin 2nny dy—

0 k=0 s=0

1 e-1 e-1

EE f (x, yj, zs)/ (y, j, n)/ (z, s,p) sin 2nmx dx+

0 j=0 s=0 e-1 e-1 e-1

+ f (xk,yj,zs)1 (x, k,m)/ (y, j,n)/ (z,s,p),

k=0 j=0 s=0 xk+l 2/j+l

/(x,k,m)= J h1k (x) sin 2nmx dx, /(y,j,n) = J h2j (y) sin 2nny dy,

Xfc yj

^s + l

1 <z's'p)=/ h3s <z)sin2npzdz-

Zs

которая в своем построении использует следы функции f (x, y, z) на взаимно перпендикулярных плоскостях.

Теорема 2 [4]. Для кубатурной формулы Ф3 (m, n,p) вычисления /f (m, n,p) справедлива следующая оценка

I /f /г, р) — Ф? /г, р) I < --------^ о—•

1 11 ' 11 Л “ [(г + 2)!] f3r

В таблице 1 для функции

f (x, y, z) = sin(100x + 100y + 100z)

приведена погрешность e приближенного вычисления интеграла /f(m, n,p) по кубатурной формуле Ф^^^п^), а также погрешность численного интегрирования e на классе H3,2 (M). Целью численного эксперимента является подтверждение неравенства e < e, где

e = | /f (m, n, p) — Ф3 (m, n, p) | ,

M(r!)3 1 1

1728[(2r + 1)!]3 23r (3l)

3r

l > max(2nm, 2nn, 2np) ;

e = <

M(r!)3 1 1

f < max(27rm, 2тгn, 2тгр)

8[(2r + 1)!]3 243r+3 (mnp)r

Таблица 1

При ближенное вычисление по формуле Ф^

m n p £ £ £

3 3 3 5 0.000013365075428 0.000000000300488

3 3 3 10 0.000005512964248 0.000000000300488

3 3 3 20 0.000014447274293 0.000000000897253

3 3 3 25 0.00000002814482 0.00000000023521

Таким образом, численный эксперимент подтверждает теоретические результаты.

Вывод. В работе получена оценка погрешности численного интегрирования быстро осциллирующих функций трех переменных на классе дифференцируемых функций в случае, когда информация о неосциллирующем множителе подинтегральной функции задана ее следами на системе взаимно перпендикулярных плоскостей. Показано, что оценка численного интегрирования на классе меньше погрешности приближенного вычисления интеграла от быстро осциллирующей функции кубатурной формулой, которая использует в своем построении оператор интерфлетации.

Литература

1. Литвин О.М. Методи обчислень. Додатков1 роздши. Навчальний поабник / К.: Наукова думка, 2005. - 331 с.

2. Lytvyn, O.N., Nechuyviter O.P. 3D Fourier Coefficients on the Class of Differentiable Functions and Spline Interflatation // Journal of Automation and Information Sciences. - 2012. - 44;3. -P.45-56.

3. Литвин О.Н., Нечуйвитер О.П. Обоснование точности кубатурных формул для прибли-женого вычисления 3D интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием интерфлетации // Электронное моделирование. - 2012. - 34;5. — С.206-217.

4. Литвин О.Н., Нечуйвитер О.П. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье функции трех переменных с использованием сплайн-интерфлетации на классе дифференцируемых функций // Доклады Национальной Академии наук Украины. - 2012. - №8. -С.36-41.

5. Жилейкин Я.М., Кукаркин А.Б. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроос-циллирующих функций // ЖВМ и МФ. 1978. - 18;2. - С.294-301.

ABOUT ACCURACY OF NUMERICAL INTEGRATION OF HIGHLY OSCILLATORY FUNCTIONS OF THREE VARIABLES

О.^ Lytvyn, O.P. Nechuiviter

Ukrainian Engineering Pedagogical Academy,

Universitetskaya St., 16, Kharkiv, 61003, Ukraine, e-mail: olesya@email.com

Abstract. The accuracy of numerical integration of highly oscillatory functions of three variables on the class of differentiable functions is investigated. Information about function is set of values on the flats.

Key words: highly oscillatory functions of many variables, cubature formulas, numerical integration.