О подобии операторов численного дифференцирования, интегрирования и сплайнов четной и нечетной степеней (часть 2) Текст научной статьи по специальности «Математика»

------------------------------------------- © В.И. Киреев, О.В. Киреева,

2011

УДК 519.6

В.И. Киреев, О.В. Киреева

О ПОДОБИИ ОПЕРАТОРОВ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ, ИНТЕГРИРОВАНИЯ И СПЛАЙНОВ ЧЕТНОЙ И НЕЧЕТНОЙ СТЕПЕНЕЙ

(часть 2)

Сформулирован принцип подобия применительно к теории локальной и глобальной аппроксимации производных и интегралов, а также к численным схемам решения дифференциальных уравнений. Приведены формулы подобных сплайнов нечетной (3-й, 5-й) и четной(2-й, 4-й) степеней.

Ключевые слова: принцип подобия, локальная и глобальная аппроксимация производных и интегралов, подобные численные схемы, подобные сплайны нечетной и четной степеней.

Продолжение. Начало в ГИАБ№ 12 2010 г. с. 95-106)

4. Применение метода подобия для построения дискретных численных схем решения зада-

чи Коши

П данном разделе принцип подобия наряду с методом аппроксимации применяется для конст--*-*руирования численных схем решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального (ОДУ) 1-го порядка:

У'= F(х,у), у(х0) = уо , х є[а,Ь], х0 = а . (4.1)

Пусть отрезок [а, Ь], как и выше, при рассмотрении локальных аппроксимационных операторов, разбит сеткой {х0 = а,х1,х2,...,хп = Ь} на п промежутков, соответствующих шагам численного интегрирования ОДУ: к+1 = х+ - ^, і = 0,1,..., п -1. Для построения численных схем интегрирования ОДУ 1-го порядка используется приведенные выше формулы аппроксимации производной на трехточечном нерегулярном шаблоне (см. раздел 2), а также формулы, записанные для приращений функции в разделе 3. В этом случае для получения явных и неявных, одношаговых, двухшаговых и трехшаговых схем решения задачи Коши (4.1) используется принцип аппроксимации и принцип подобия, являющийся обобщением интегрально-интерполяционного метода построения разностных схем решения задачи Коши [3].

Заменяя в (3.2) приращения аппроксимируемой функции А/і на приращения решения дифференциального уравнения Ау., а производную /.' на функцию F^ - правую часть дифференциального уравнения и разрешая полученное соотношение относительно у.+1, получим одношаговую неявную одношаговую схему второго порядка (метод трапеций): h

уі+1 = у +-у-[ ^ + F (х.+р .уі+1)] = Ф(Х, Х'+р А+Л. = п -і. (42)

Здесь введено обозначение Fi = F(х., у1). Подчеркнем, что свойство «неявности» схемы (4.2) обусловлено наличием искомого значения у.+1 в левой и в правой частях этой схемы, представляющей в общем случае нелинейное алгебраическое уравнение.

Проделав аналогичные выкладки для соотношения (2.16), получим двухшаговую явную схему второго порядка:

У. 1 = v. + S2 ДУ. l + h2l

•/;+1 i i+1 i-1 i+1

Ґ Fi Fi-1 ^

V hi+l

h

(4.3)

Эта схема на регулярном шаблоне h+ 1 = h = const преобразуется к виду:

У;+1 = 2У> - У>-1 +h (F - F-l) ■

Комбинация схем (4.2), (4.3) дает обобщенную на нерегулярный шаблон явную схему Адамса-Бэшфорта второго порядка:

Уі+1 = Я+ -2"

h2 Г Н; +1

'4+1

Vh h

V ;+1 ;

F. -—F.

h

(4.4)

Эта схема на регулярном шаблоне h+ 1 = h = const преобразуется к известному виду:

уі+і = уі - уі-і + 2(3F;- F-і ) •

Формула (2.б) аппроксимации первой производной в точке xi+l на трехточечном нерегулярном шаблоне определяет неявную двухшаговую схему второго порядка: h.

У;+1 =

(H'+1)2

h;hi+ і

У -Si+li)i-l + H;+lFCx^i)i+1)

H 2(i+j) i

Эта схема на регулярном шаблоне hi+1 = h = const принимает вид:

(4.5)

К 4 „ 2

у+1 = - з .у.-1 +з у + з h F (х+1, у+1)

На основе формулы (3.6) получается явная трехшаговая схема третьего порядка:

У;+1 = У; +

h2l

бн;_

НГ1' F ^ - 3(H;'-l)2 +2h;+lH;-l F ^ + б^Щ-1 +^1(нб,;;-1)+2^1 F

h

hh

hh

(4.б)

Эта схема при шаге h,+j = h = const является традиционной, получающейся интегральноинтерполяционным методом и принимает вид:

У,+i = У +12(5Fi _2 16Fi _i + 23F).

Из формулы (3.8) следует первая двухшаговая неявная схема третьего порядка применительно к нерегулярному трехточечному шаблону:

h2

У;+і = У>- ShAy,i-1+-31

Г1 ^ Г l+l 1

—F. + 2

h i-і v h К1 ,

F; + F (х+1, У;+1)

h;+ і

(4.7)

Эта схема на регулярном шаблоне h+ 1 = h = const (Si+l = 1 ) преобразуется к традиционной схеме парабол (Симпсона):

У+1 = У>-1 + 3(F-1 + 4F. + F (x;+1, j>;+і "

Одноинтервальная (трехточечная) формула (3.4) определяет вторую двухшаговую неявную схему третьего порядка:

h3 Н2(;+1) Н; +1 Н;+1 1

У;+1 = У; ^2— F(x;+1,У;+1) + L2 и F - ТГf-, )

бН; h;+l h;+lh; h;

(4.8)

Эта схема на регулярном шаблоне, т.е. при h,+1 = h = const принимает следующий вид:

Последние приводимые здесь схемы (две неявные одношаговые схемы и неявная двухшаговая схема) следуют из формул (3.9)-(3.11) и имеют вид:

Подчеркнем, что отличительной особенностью приведенных выше численных схем (4.4X4.11) является то, что они в общем случае справедливы для нерегулярного шаблона.

5. Принципы конструирования глобальных интегрально-диффе-ренциальных сплайнов нечетной и дифференциальных сплайнов четной степеней и их количественное подобие

Классические дифференциальные сплайны, звеньями которых являются алгебраические многочлены S2n-1 . (х) , п =1,2,3_, широко используются в практике научных исследований. Данные много-

члены имеют нечетную степень 2п -1, и их формулы получаются на основе условий согласования непосредственно искомых звеньев сплайнов и заданной (аппроксимируемой) функций. (Номера 2п -1 и i , указанные в нижнем индексе обозначения звена, соответствуют степени сплайна и принадлежности отдельного звена сплайна к отрезку х., х.+1 ^ области разбиения сеточной функции). Эти условия

согласования для традиционных сплайнов нечетной степени имеют дифференциальный характер, т.к. они, применительно к звену S2n-1 . (х) , накладываются на значения функций и на их производные, со-

ответствующие концам отрезка х., х.+1J . Далее эти условия используются для вычисления коэффициентов ак . алгебраического многочлена степени 2п -1:

к=0

являющегося отдельным . -м звеном сплайна.

Дифференциальные условия согласования, используемые для построения звеньев сплайнов нечетной степени, имеют следующий вид:

В данной формуле верхний индекс р (в скобках) соответствует порядку производной звена сплайна S2n-1., аппроксимируемой функции f (х) и невязки, обозначаемой SS2n-1.. (Например, этот индекс для двух различных типов глобальных кубических сплайнов задается равным следующим парам значений: р = 0, р = 1 и р = 0, р = 2). Подчеркнем, что в качестве одной пары условий согласования в сплайнах нечетной степени должны быть обязательно заданы два функциональных условия со-

I начении р = 0 имеют следующий вид:

(4.9)

(4.10)

(4,11)

где F'= F’+ Fj • F .

Последняя схема на регулярном шаблоне hi+l = h = const преобразуется к виду:

2n-l

(5.1)

(5.2)

Если же эти два функциональных условия не задаются, то тогда нельзя определить коэффициент а0 . в алгебраическом многочлене (5.1). В соответствии с указанным (дифференциальным) характером

условий согласования в работах автора данной работы традиционные кубические сплайны, а также сплайны пятой и последующих нечетных степеней потому и называются дифференциальными.

Общее количество условий согласования для сплайнов нечетной степени должно быть равно 2п , что соответствует количеству коэффициентов ак . алгебраического многочлена- звена сплайна

Я2п-1і (х)Цхх ]. Таким образом, на каждый узел хі и хі+1 звена приходится п условий согласования. Так, для кубических сплайнов должны быть заданы по два условия на каждый узел звена сплайна, соответствующего некоторому произвольному отрезку хі, хі+1 ^ , для сплайна пятой степени по три условия и т.д.

После получения формулы звена для глобального сплайна с помощью применения условия стыковки соседних звеньев по производным некоторого порядка получаются соотношения связи спределенных и неопределенных параметров сплайна. Это условие стыковки, выражающее непрерывность производной порядка р

звена сплайна в точке х, относится к двум соседним отрезкам х-1, х ^ х , х+1 ^ и имеет следующий

вид:

Я <Р)2п-и (х )Ц^] = Я <Р)2п-!,і (х )| хє[х , х+1 ] (5.3)

Порядок производной р в этом соотношении принимается не равным порядку производной, принятому в условиях согласования (5.2). При решении задачи аппроксимации глобальным сплайном полученное из (5.3) соотношение связи определенных и неопределенных параметров преобразуется к системе алгебраических уравнений трехдиагонального вида. При этом данная система, записанная для внутренних узлов сетки {х}, і = 1,2,...,п -1, дополняется двумя граничными условиями [3]. Решение данной системы относительно неопределенных параметров методом прогонки позволяет получить численные значения коэффициентов всех звеньев сплайн-функций на каждом из отрезков [ х, х+1 ].

Объединением рассчитанных звеньев заканчивается процесс решения задачи аппроксимации исходной функции дифференциальным сплайном определенной нечетной степени.

Конкретный вид соотношений связи определенных и неопределенных параметров для дифференциальных и интегрально-дифференциальных сплайнов приводится в следующем разделе. Отметим, что наряду с глобальными сплайнами существуют более простые в реализации локальные сплайны, имеющие, как правило, больший дефект. Для сплайнов этого типа не требуется строить и решать систему алгебраических уравнений для определения неопределенных параметров, т.к. они определяются непосредственно по формулам численного дифференцирования.

Множество глобальных сплайнов нечетной степени является неполным, и оно требует восполнения с помощью построения дополняющего множества сплайнов четной степени. Однако в теории сплайнов до недавнего времени общего метода построения такого множества не было. Это связано с тем, что традиционным способом без специальных доработок не могут быть получены устойчивые глобальные сплайны четной степени минимального дефекта, т.к. для получения формулы одного звена сплайна четной степени

S2n,i(х) =£ ОсДх - х )к (5.4)

к=0

должно быть задано нечетное количество условий согласования, равное 2п +1. Это обусловливает неустойчивость расчетного алгоритма при определении неопределенных параметров глобальных сплайнов из-за неодинакового количества условий, приходящегося на каждый узел звена. В связи с этим для регуляризации глобальных параболических сплайнов Шенберг в работе [8] построил устойчивый алгоритм, в котором узлы сплайна сдвинуты относительно узлов сеточной функции. В этом случае для нахождения неопределенных параметров во всех узлах сплайна глобальным способом получается трехдиагональная система линейных алгебраических уравнений с преобладанием диагональных элементов. Однако такая модификация существенно усложняет расчетные формулы алгоритма, и в ней используется дополнительное условие непрерывности производных в серединах отрезков между узлами интер-

поляции. Это очень часто снижает эффективность применения указанных параболических сплайнов. Методов построения дифференциальных сплайнов более высокой четной степени, насколько известно автору, нет. Этот пробел в теории сплайнов восполнен автором в работах [1-3, 5, 6] и др. В них автор предложил новый метод построения множества простых устойчивых интегрально-дифференциальных сплайнов четной степени, в которых в качестве одного из условий согласования, наряду с дифференциальными условиями, используется интегральное условие, основанное на определенном интеграле

где Г*1 - есть численное значение определенного интеграла от функции f (х. ) на отрезке [ х. , х. +1 ], вычисляемое численно по одной из квадратурных формул с использованием сеточных значений исходной аппроксимируемой функции f (х. ) . В качестве других условий согласования принимаются традиционные дифференциальные условия:

В формуле (5.6) индекс р может принимать как нулевое, так и ненулевое значения. В силу использования интегрального условия (5.5) для определения нулевого коэффициента в многочлене (5.4) четной степени (в отличие от сплайнов нечетной степени) необязательно задавать функциональное условие (5.6) со значением р = 0 .

В связи с этим количество различных типов сплайнов четной и нечетной степеней (второй и третьей, четвертой и пятой и т.д.) получается одинаковым. Так, количество различных типов звеньев кубических дифференциальных глобальных сплайнов и квадратных интегрально-дифференциальных глобальных сплайнов получается равным двум [2], [3]. Более детальный анализ условий согласования для интегрально-дифференциальных сплайнов четной и дифференциальных сплайнов нечетной степеней показывает, что для сплайнов четвертой и пятой степеней количество различных типов звеньев также одинаково и равно шести. Таким образом, максимальное возможное количество различных типов звеньев сплайнов четных и нечетных степеней (2-й и 3-й, 4-й и 5-й и т.д.) является одинаковым. Этот факт определяет свойство количественного подобия сплайнов нечетной и четной степеней со звеньями S2n-1 . (х) ,п = 2,3,.... и S2n . (х) , п = 1,2,.... соответственно. Соотношения связи определен-

ных и неопределенных параметров для сплайнов четной степени получаются так же, как и для сплайнов нечетной степени, из условия (5.3) непрерывности функций или производных определенного порядка. Неизменными являются также все остальные этапы построения сплайнов четной степени во всей области [а,Ь].

Рассмотрим теперь качественные свойства сплайнов четной степени, связанные с применением интегрального условия согласования (5.5). Это интегральное условие выполняет, во-первых, регуляри-

зующую функцию, т.к. оно в силу своего интегрального характера «замыкает» концы отрезка I х., х.+1

и, таким образом, уравнивает количество дифференциальных условий согласования на левом и правом концах отрезка, требующихся для определения расчетной формулы звена сплайна. Во-вторых, это условие, в силу его интегрального характера, устанавливает свойство консервативности интегральнодифференциальных сплайнов четной степени. Это консервативное свойство обеспечивает сохранение площади под получаемым сплайном для аппроксимируемой функции одной переменной f (х. ) или объема - для аппроксимируемой функции двух переменных 2 (х., у}) . С помощью такого подхода автором ранее сконструированы достаточно простые, экономичные, устойчивые одномерные и двухмерные параболические интегрально-дифференциальные сплайны. При этом при построении параболических сплайнов используется специальный метод слабого сглаживания [3], [6].

Iі 1 = I /(х) dx . Это условие имеет следующий вид:

(5.5)

<^2р> (х,)=Я2р) (х)|х -/(р) (х) ц = о, , = і,і+1

(5.6)

В статье автора [5] описаны также несколько типов глобальных интегрально-дифферен-циальных сплайнов повышенной (четвертой) степени, а также оригинальные интегральные многочлены различных степеней.

Предложенный способ построения сплайнов четной степени и апробированный при решении конкретных задач по аппроксимации как одномерных, так двумерных функций [7, 8] позволяет восполнить множество традиционных сплайнов нечетной степени. Таким образом, совокупность дифференциальных сплайнов нечетной степени и интегрально-дифференциальных сплайнов четной степени образует полное множество сплайнов. Это множество позволяет обеспечить требуемую точность аппроксимации путем выбора нужной степени глобального сплайна четного или нечетного.

Анализ формул, относящихся к дифференциальным сплайнам 3-й, 5-й степеней и интегрально-дифференци-альным сплайнам 2-й, и 4-й степеней, показывает их последовательное парное операционное подобие в смысле, рассмотренным выше в разделах 1 и 2. При этом подобными являются формулы, относящиеся к дифференциальным сплайнам 3-й степени и интегрально-дифференциальным сплайнам 2-й степени, а также формулы, относящиеся к дифференциальным сплайнам 5-й степени и инте-грально-дифференци-альным сплайнам четвертой степени и т.д. Это свойство операционного подобия некоторых типов сопоставляемых дифференциальных и интегрально-дифференциальных сплайнов рассматривается в следующем 6 -м разделе. Здесь не производится непосредственно вывод формул звеньев сплайнов и соотношений связи для определенных и неопределенных параметров, т.к. целью данной работы является только выявление подобия этих формул применительно к сплайнам четной и нечетной степени. Вывод же соответствующих формул для параболических и кубических сплайнов приведен, например, в книге [3], для сплайнов четвертой степени - в статье [5]. Аналогично осуществляется вывод приводимых ниже формул для дифференциального сплайна пятой степени.

6. Операционное подобие формул, относящихся к дифференциальным сплайнам нечетной степени и к интегрально-дифференци-альныш сплайнам четной степени

В данном разделе рассматривается операционное подобие формул звеньев отмеченных в разделе 5 сплайнов и соотношений связи между определенными и неопределенными параметрами, получающимися при конструировании глобальных сплайнов с помощью преобразования условий непрерывности конкретного сплайна во всех внутренних узлах сетки. Как было отмечено в предыдущем разделе, в качестве определенных параметров для дифференциальных сплайнов третьей степени всегда принимаются значения исходной сеточной функции во всех внутренних узлах, а в качестве неопределенных - производные второго или первого порядка этой функции. Для дифференциальных сплайнов пятой степени определенными параметрами по необходимости берутся как значения аппроксимируемой функции, так и производные определенного порядка от этой функции, а в качестве неопределенных параметров - также производные, но другого порядка. В качестве определенных параметров для интегрально-дифферен-циальных парабо-

— — т- і+1

лических сплайнов четной степени всегда принимаются значения определенных интегралов 1. , полу-

чаемых для аппроксимируемой функции на всех отрезках [ х. , х. +1 ], і = 1,2,..., п -1 области разбиения [а, Ь], а в качестве неопределенных - производные некоторого порядка (возможно также и нулевого).

Для приводимых ниже интегрально-дифференциальных сплайнов четвертой степени определенными параметрами кроме интегралов являются также значения исходной сеточной функции в узлах, а неопределенными - производные определенного порядка.

Отметим, что в данной работе проводится сопоставление на предмет операционного подобия формул для обоих возможных типов глобальных сплайнов 2-й и 3- степеней и формул только для одного типа глобальных сплайнов 4-й степени и одного типа глобального сплайна 5-й степени. Нужные формулы одного из глобальных интегрально-дифференциальных сплайнов 4-й степени взяты из статьи автора [5]. Для выявления операционного подобия некоторые слагаемые в правых частях сопоставляемых соотношений, связывающих определенные и неопределенные параметры, необходимо записывать с помощью приращений. Эти записи производятся в соответствии с рекомендациями, изложенными в разделе 1. Отметим, что такой же нетрадиционный вид записи некоторых формул использован при изложении сплайнов и операторов численного дифференцирования в книге [3]. Подчеркнем, что операционное подобие формул звеньев сплайнов нечетной и четной степеней и соотношений, вытекающих из них при выводе глобальных сплайнов, определяется соответствием (подобием) условий согласования. Поэтому рассмотрение вопроса об операционном подобии начинается с записи формул звеньев сплайн-функций, условий согласования звеньев с аппроксимируемой функцией и уравнений связи определенных и неопределенных парамет-

ров для глобальных сплайнов. Эти формулы записаны в тексте далее так, чтобы степени сплайнов последовательно возрастали. Здесь также записано и звено сплайна 1-й степени, для которого отмечено некоторое нетиповое подобие, которое отмечено в конце данного раздела.

Звено дифференциального сплайна 1-й степени и условия согласования для него имеют следующий

вид:

^1,,-(х) = / + -/(х-X) , дБи (X) = 0 дБи (хі+1 ) = 0 (61)

К +і

здесь и ниже приняты следующие обозначения А/ = /+1 - /, кі+1 = хі+1 - хі, 5^1. (хк ) = Б. (хк ) - /(хк ) = 0 , (к=і,і+1) - дифференциальные невязки (условия согласования многочлена Б . (х) с заданной функцией / (хі ) ). Соотношение связи определенных и неопределенных параметров для линейной функции Б. (х) отсутствует в силу отсутствия неопределенных параметров.

Для интегрально-дифференциального сплайна второй степени первого типа формула звена, дифференциальные и интегральная невязки, а также формула связи определенных и неопределенных параметров имеют следующий вид:

Б2. (х) = —^-1'.+1 —— т. —— Ат. + т. (х - х.) +----------- (х- х.)2 (6.2)

•' кі+і ' 2 ' 6 ' ' ' Д.+і '

д^. (х) = 0, д^. (х+1) = 0, дБ- (1‘+1) = 0,

где т = /'(х), т-+1 = / (х ), Щ = т+1 -ті, 1 + т, + ^т,+1 = ^ Ъ (6.3)

6 1 3 ‘6 1+1 ц +1 ц

Неопределенные параметры в соотношениях связи здесь и ниже по тексту записываются в левой

части равенств, а определенные параметры - в правой. Дифференциальные невязки здесь и далее по

тексту являются разностями производных и /(р) соответствующего порядка р , индекс к соответствует степени алгебраического многочлена. Вид интегральной невязки с верхним индексом минус единица приведен в разделе 5 (формула (5.5)). Соотношение связи неопределенных и определенных параметров (6.3) получается из условия непрерывности функции Б2і (х) в узле х (см. формулу (5.3))

Для дифференциального сплайна третьей степени первого типа получается следующая формула звена:

БзДх) = / +(А/ - ^2- ц+1 -Ат-ц+1)( х - х)+т2~(х - х)2 + (х - х)3 (6.4)

К+1 2 6 2 6 ц+1

Коэффициенты этого алгебраического многочлена получаются из двух пар условий согласования:

£Бз, (х) = 0, £Бз, (х+1) = 0, 5Б3' (х) = 0, д^. (х^) = 0,

где ті = /" (х), А ті = ті+1 - ті , А/ = /+1 - / . Здесь ті, ті+1 - неопределенные параметры, соответ-

ствующие вторым производным, а / , /+1 - определенные параметры, соответствующие значениям приближаемой функции в точках х , хі+1. Подчеркнем, что в качестве одной пары дифференциальных условий согласования здесь приняты вторые производные от невязок. Связь определенных и неопределенных параметров получается из условия непрерывности первой производной функции Б3. (х) в узле х и выражается соотношением:

Кі т , Кі + Кі+1 т , Кі+1 т А/ А/-1 (65)

—ті . +----------ті +--ті+. =--------------------------------------------------------------- (6 5)

6 і-1 3 '6 '+1 к+1 к

Для интегрально-дифференциального сплайна 2-й степени второго типа, получаемого с использованием 2-х функциональных условий согласования и одного интегрального, имеют место следующие формулы:

\2

5„(х)" / + (^Г - -Г/,- у- —')( х - х) + 1- + -Г/> + у- 4(|( х - х)

гч+1 гч+1 гч+1 V п,+1 'ч+1 гч+1 у

8^2, (X) = 0 , 3^2, (х+, ) = 0 , 552;; (Г1) = 0 (66)

=#+£) (67)

Здесь соотношение (6.7) получается из условия непрерывности функции 52 , ( х) в узле X. .

Для дифференциального кубического сплайна второго типа, получаемого с использованием других дифференциальных условий согласования, накладываемых на функцию и производную первого порядка, имеют место соотношения:

5 з,(х) = / + Щ (х - х.) + (3 —----3- ш!-—Щ-)(х - х. )2 + (-2 + 2 Й- + -—Й- )(х - х. )3

, *,+, К+1 К+1 И,+, Ит Ит

35з,, (х ) = 0, 85з ,. (х,.+1 ) = 0 , 853,, (х ) = 0, 853 ,. (х„ ) = 0, (6.8)

где / = /(х^Щ = /'(х.X Л,, = х+1 - х. , —Щ = Щ+1 -Щ.

—т , + 2(—I--------)т; +---------т 1+1 = 3(—г/- +—/~) (6.9)

И НИИ И Л

.+1 “/+1 “/+1 “/

Здесь соотношение (6.9) получается из условия непрерывности второй производной функции 53. (х) в узле х..

Для интегрально- дифференциального сплайна четвертой степени имеют место следующие формулы [5]:

5 (х) = / + (-3- I '+1 -А / - 2—^/-А + _! т И 2, + — —Й И 2,)(х - х.) + (3 Щ- - 6 4- +

' И2 ' НИИ 12 ' 30 ' ' И2 И3

'7+1 '7+1 "'+1 /*'.+ ; Л^+1 Л^+1

+6^/——т. и. , —3 —т . и.,) (х-х.)2 + — т . (х-х. )3 +—1— —т. (х-х.)4 (6.10)

И2+1 4 ' '+1 40 ' '+1 ' 6 ' ' 24 И(+1 ' '

8$4л (х ) = 0, х+1 ) = 0, 854''(х. ) = 0, 854" (х,— ) = 0, 85Л,(Г1 ) = 0,

3 7 3 ( — Г —/ ) ( —I '+1 —/)

—и.т ., +—( и . + и.. ) т. +—и . ,т.. = 6 2—^ —/-— - 6 2—'------------I (6.11)

20 ' '-1 201 ' '+1' ' 20 '+1 '+1 И3 И2 , И , И2 , I

V ' ' / V '+1 '+1 /

Здесь /Щ = /"'(х4), k =' -1,' ,' +1 - производные третьего порядка для функции /(х ) являются неопределенными параметрами, а значения интегралов и функции в соответствующих точках являются определенными параметрами. В соотношениях (6.10), (6.11) используются следующие обозначения:

—т. = т., -т., —/ = / , - / , —/ , = / - / ,, —I,+1 = I,+1 - / и .,, —I', = I', - / ,и ..

' '+1 ' ’ ^' ^'+1 ^' 5 ^'-1 ^' */'-1 5 ' ' ^' '+1 ’ '-1 '-1 ^'-1 '

Соотношение (6.11) получается из условия непрерывности второй производной функции 54 . (х) в

узле х .

Для дифференциального сплайна пятой степени имеют место следующие формулы:

)=

(6.13)

(6.12)

В соотношении (6.13) производные четвертого порядка Йк , k = ' -1,',' +1 являются неопределенными параметрами, а значения аппроксимируемой функции и значения ее первых производных во всех внутренних узлах являются определенными параметрами.

Соотношение (6.13) получается из условия непрерывности третьей производной функции 55. (х)

Перейдем теперь к рассмотрению подобия вышеприведенных формул звеньев сплайнов четной и нечетной степеней и соотношений связи определенных и неопределенных параметров для них. (Для сокращения последние соотношения будут называться соотношениями связи.) В работе обнаруживается парное подобие формул звеньев и соотношений связи для обоих типов сплайнов второй и третьей степеней и формул звеньев и соотношений связи для записанных выше сплайнов четвертой и пятой степеней.

Здесь устанавливается парное подобие следующих формул: (6.2) , (6.4) и (6.3) (6.5) для 52. (х) и 53'. (х) , формул (6.6) , (6.8) и (6.7) , (6.9) для 52( (х) и 53((х) , формул (6.10) , (6.12) и (6.11) , (6.13)

Подобие основных соотношений дифференциальных сплайнов третьей и пятой степеней и интегрально-дифференциальных сплайнов второй и четвертой степеней обнаруживается в случае, когда формулы звеньев сплайнов и соотношения связи записаны в некотором специальном виде. Для выявления свойства подобия только некоторые слагаемые в правых частях всех формул звеньев сплайн-функций и правые части соотношений связи для них должны быть выражены через соответствующие приращения определенных параметров. При этом запись (в данной работе) отдельных слагаемых в формулах звеньев сплайнов через приращения параметров используется автором только для сокращения записи.

В чем же состоит сущность подобия? Ниже сопоставляются между собой по принципу подобия группы формул, относящиеся к дифференциальным сплайнам нечетной степени и интегральнодифференциальным сплайнам четной степени на единицу меньшей. Т.е. сопоставляются формулы для кубических сплайнов с формулами для параболических сплайнов и формулы сплайна пятой степени с формулами сплайна четвертой степени. Сопоставим сначала две пары формул (6.2),(6.4) и (6.3), (6.5), относящихся к кубическим и параболическим сплайнам. Из них видно, что коэффициенты, входящие в сравниваемые формулы и зависящие от шагов сетки ^ , к+1, являются одинаковыми, а определенные и неопределенные параметры различаются только их порядком производных. При переходе от кубических сплайнов к параболическим сплайнам порядок производной в соотношениях (6.4) и (6.5) понижается на единицу. Таким образом, в правой части вместо приращений функции Д/, А/і1, входящих в

в узле х.

соотношение (б.5), в соотношении (б.З) записываются приращения первообразных, т.е. определенные интегралы 1;+1, 1'_1, а вместо приращения А/ во втором полиномиальном коэффициенте эвена (б.4) записывается также интеграл 1;;+1 в первом полиномиальном коэффициенте звена (б.2). Вместо производных второго порядка, входящих в формулы (б.4), (б.5), в формулы (б.2), (б.З) входят производные первого порядка. Числовые коэффициенты и степени разностей (x - xt ) в звене параболического интегрально-дифференциального сплайна будут соответствовать указанным коэффициентам и степеням кубического сплайна, если произвести дифференцирование правой части звена кубического сплайна (б.4). Вместо операции дифференцирования звена кубического сплайна можно осуществить обратную ей операцию интегрирования правой части формулы (б.2) с добавлением константы f . Таким образом, выявлено «операционное подобие» формул кубических дифференциальных сплайнов первого типа соответствующим формулам параболических интегрально- дифференциальных сплайнов также первого типа. Под «операционным подобием» здесь понимается то, что одни формулы, соответствующие дифференциальным сплайнам нечетной степени, с помощью дифференцирования или интегрирования можно преобразовать в формулы, соответствующим интегрально-дифференциальным сплайнам четной степени на единицу меньшей. Аналогично обнаруживается такое же «операционное подобие» основных формул кубического дифференциального сплайна второго типа соответствующим формулам параболических интегрально-дифференциальных сплайнов второго типа. Это следует из сравнения формул

(б.б), (б.8) для звеньев кубических и параболических сплайнов и формул (б.7), (б.9)- для соотношений связи.

Аналогично устанавливается также подобие приведенных выше формул для дифференциальных сплайнов пятой степени и интегрально-дифференциальных сплайнов четвертой степени (см. формулы

(б.10)-(б.13)). Необходимо еще раз подчеркнуть, что изложенное в данном разделе «операционное подобие» формул сплайнов обеспечивается, во-первых, соответствующим выбором условий согласования звеньев сплайнов нечетной и четной степеней, а, во-вторых, соответствием (по порядку производных)

их условий стыковки в центральном узле X, двух соседних отрезков [ xt-— ,x; ], [ xt , xt +1 ].

В заключение данного раздела отметим, что формула звена дифференциального сплайна первой степени (б.1) получается с помощью дифференцирования звена параболического интегральнодифференциального сплайна (б.2) и замены в получаемой таким образом формуле приращения Аті и

на приращение А/i и f .

7. Подобные соотношения для глобального способа вычисления производных и интегралов и восстановления значений функций.

В классических учебниках по численным методам (в разделах численного дифференцирования и интегрирования) излагаются, как правило, локальные операторы аппроксимации производных и интегралов на регулярных шаблонах h = const.

В этих формулах в качестве базовых функций используются непосредственно сеточные функции yt = f (xt )= f . В разделах 2 и 3 данной работы именно для таких операторов только в общем случае нерегулярного шаблона записан ряд групп подобия. Однако в теории сплайнов (при глобальном способе их построения) для вычисления производных получаются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) трехдиагонального вида. Автором данной работы на основе анализа предложенных интегрально-дифференциальных сплайнов получены также аналогичные системы для вычисления определенных интегралов [3]. Заметим, что способ определения производных и интегралов на основе решения СЛАУ, естественно назвать в отличие от локального способа глобальным.

В данном разделе этой работы параметрические соотношения, приведенные в предыдущем разделе для параболических интегрально-дифференциальных сплайнов и кубических дифференциальных сплайнов, обобщаются применительно к вычислению производных и к восстановлению значений функций. Приведены также отдельные подобные соотношения, полученные только на основе анализа параболических дифференциальных и интегрально-дифферен-циальных сплайнов. Некоторые из этих соотношений базируются на СЛАУ для неопределенных интегралов. Подчеркнем, что приводимые далее соотношения относятся только к внутренним узлам сетки i = 1,2,....,n -1, образованной разбиением отрезка [a, b] на n частей. Поэтому при конструировании конкретных алгоритмов вычисления про-

изводных, интегралов, приращений функций и производных СЛАУ должны быть замкнуты первым и последним уравнениями. Из анализа неустойчивых параболических дифференциальных сплайнов автором данной работы получено соотношение связи производных и приращений функций:

у^1 + -+1 / + -+1 = д/_1 + Д/ (^-~+2-+~ Мз,і ), і = 1,2,...,и -1 (7.1)

На основе этого соотношения можно записать подобные соотношения, в одном из которых порядок производной может быть понижен. Тогда получается СЛАУ для восстановления значений функции по значениям определенных интегралов:

- - + - - - + -

— ------— /і + — /і, = -'. + -'+1 (-------—М2. ),і = 1,2,...,и -1, (7.2).

2 ^ і-1 2 . 2 і+1 і-1 1 12 2,/-'’ ? ? ? ? чу

Группа подобия из соотношений (7.1), (7.2) может быть дополнена применительно к производным второго, третьего и последующих порядков.

Соотношения связи параболических и кубических сплайнов первого типа позволяют записать подобные СЛАУ применительно к вычислению первых производных по интегралам и вторых производных по значениям функций:

— - + - - I/+1 Iі — + -3

—/■ 1 + --------— /■ + — //1 = ------------— (----------—М4.), / = 1,2,..., и-1, (7.3)

6 /-1 3 Л 6 /+1 -і+1 - 24 4і

-. - . + -. . Д/ Д/ . - 3 + -3

/', + ^^ /" + ^ /". = ^- (-.-slM4.),/■ = 1,2,..., и-1. (7.4)

6^ .-1 -У . ґ ^ .+ 1 і 1 4,.''’ ? ? ? V /

3 6 - +1 - 24

Из параболических и кубических сплайнов второго типа следуют следующие две системы:

і 11 1 Тї ТЇ+1 Ь>2 Ь>2

— / 1 + 2(— +--------)/ +--------/ 1 = 3(), ( м~ . М3.),г- = 1,2,...,и-1

-, (- -м ' -+1л+1 ( -2 -2+1 24 3^

— /' 1 + 2(— + —)/' + — = 3(Д/21 + /) (-+1 _- М4 ), . = 1,2,...,и-1

— .-1 - -+1 Л -+ л+1 -2 -2+1 24 4"

Как видно из приведенных в скобках оценок, последние два соотношения при фиксированных нижних индексах имеют второй порядок аппроксимации на нерегулярной сетке и третий порядок на регулярной. Из анализа интегрально-дифферен-циальных сплайнов получаются также глобальные формулы для вычисления определенных интегралов. На регулярном шаблоне они имеют следующий вид:

-

—-1 + 2-Г1 + С = - [/-1 + 5(/ + /+1) + /+ 2 ] , . = 1,2,..., и-1

-2

-• 1 - 2-'+1 + -і+2 = -[-/11 + 3 (/+1 - /) + /;2], . = 1,2,...,и -1 6

Подобные им формулы принимают соответственно такой вид:

-

Д/-1 + 2Д/ +Д/+1 = -3 [ /и + 5(/'+ /+1) + /+ 2 ] , . = 1,2,..., и-1

-2

Д/_1 - 2Д/ + Д/+1 = -[-/" + 3(/" - /) + /+'2], . = 1,2,...,и -1

6

Все приведенные в данном разделе системы для вычисления соответствующих значений функций, производных в узлах сетки и интегралов на всех внутренних отрезках должны быть замкнуты с соответствующим порядком аппроксимации.

В заключение в следующем разделе в качестве примера приводятся результаты расчета производных на основе системы (7.1), которая позволяет построить корректный способ численного дифференцирования.

8. Глобальный устойчивый способ численного дифференцирования

о 0.4 10 ■ о о о о о

о о 0.4 9.615 0.3846 1.8491 1.9159 1.7241 89900 0.1250

00 о о 0.4 8.621 0.9947 9гівг 3.0648 2.8281 о <м СЛ о о 0.1445

-0.12 0.4 7.353 1.2678 3.2439 3.2670 3.1538 0.0231 о о СТ\ о о

-0.16 0.4 00 СГ\ о ю 1.2553 2.9745 3.0185 2.9411 о о о 0.0333

-0.20 ОТ о о о ю 1.0976 2.5000 2.4605 2.5090 0.0394 о о о о

о со о от 3.077 1.9231 1.4202 1.3892 1.5000 о т—1 со о о 00800

о О 1.5 2.000 1.0769 о о о 00 6 0.7608 0898'0 0.0392 0890'0

-0.55 2.0 89ГТ 0.8321 0.3751 0.3512 0.4250 0.0240 о о ю о о

-0.75 2.5 0.6639 0.5040 0.1653 0.1511 0.1897 0.0142 0.0244

ох- 0.3846 0.2793 о тГ о о о тГ Г' о о о тГ Г' о о о О

к 10 ОТ '1 01 '4У 'к - §• к . а V & <1 * о <г

Известно, что традиционные разностные операторы, использующиеся для определения производных, хорошо приближают их только при достаточно малых шагах h . Но во всех этих операторах шаги h находятся в знаменателях разностных соотношений, что и является причиной некорректности операции численного дифференцирования. Некорректность проявляется в том, что погрешность, возникающая при делении на h, превосходит погрешности задания значений сеточной функции. Указанная погрешность может неограниченно возрастать при стремлении шагов h к нулю.

Системы линейных алгебраических уравнений относительно первых и вторых производных, получающихся из анализа кубических дифференциальных сплайнов, также содержат операцию деления на шаги h . Поэтому в численном анализе актуальной является задача построения корректных алгоритмов численного дифференцирования. Такой алгоритм построен автором, и он основан на системе (7.1).

Действительно, полученная автором система (7.1) относительно первых производных, не содержит операцию деления на шаги h . В связи с этим, а также с тем, что данная система имеет трехдиагональный вид и диагональное преобладание, с ее помощью может быть построен корректный и устойчивый алгоритм численного дифференцирования. (Другие корректные методы численного дифференцирования автору неизвестны). Для проверки факта корректности ниже приведены результаты численного расчета производных сеточного представления формульной

функции у =______1___ на отрезке [—1,0]. Особенностью этой

1 + 25 х2

функции является ее резкое изменение в небольшой окрестности [—0.2, 0]. В связи с этим для производства вычислений выбрана

нерегулярная сетка, сгущающаяся в направлении к указанной окрестности. Система линейных алгебраических уравнений решается методом прогонки. Для ее решения система предварительно замыкается двумя уравнениями, в качестве которых принимаются точные значения производных в двух крайних точках: /'(— 1) = 0.07396, /'(0) = 0 . Эти же точные значения принимались и при локальной аппроксимации. Результаты расчетов сведены в таблицу, в которой построчно и последовательно записаны соответственно: узлы сеточной функции, шаги

К.+1 = х.+1 — х., значения исследуемой сеточной функции,

точные значения производных во всех узлах сетки у', значения у'пр , полученные методом прогонки из замкнутой системы

(7.1), значения /' , полученные по локальной формуле (2.5). В

последних двух строках таблицы приведены абсолютные погрешности вычислений методом прогонки

Кр = |уПр — У'| и Алок = \УоК — У'| . Анализ ПОТу^^К результатов показывает, что корректный метод обеспечивает более высокую точность вычислений.

Кроме этого, полученные результаты сравнивались по введенной выше (см. подраздел 3 «обобщение теорем.....») интегральной норме (3.17). При этом определенные интегралы от производной, рас-

считывалась по квадратурной формуле трапеций, имеющей второй порядок точности. Результаты сопоставления по этой норме следующие: точное значение интеграла равно разности

f (0) — f (—1) = 1 — 0.0384б = 0.9б1154 , приближенное значение интеграла от производных, соответствующих методу прогонки (корректному методу), равно 0.9б21998, а локальному методу соответствует значение интеграла 0.985б. Из сопоставления этих результатов следует, что корректный метод обеспечивает два верных знака, а некорректный - только один верный знак.

Выводы

1. Изложены принципы конструирования полного множества глобальных дифференциальных сплайнов нечетной и интегрально-дифференциальных сплайнов четной степени.

2. Описаны формулы подобных сплайнов нечетной и четной степеней с точки зрения их операционного подобия.

3. Предложен и апробирован глобальный корректный способ численного дифференцирования. Проведено сопоставление результатов расчетов производных, рассчитанных корректным и некорректным способами. Проиллюстрировано существенное преимущество корректного способа.

------------------------------------------------------------------ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Киреев В.И. Интегро-дифференциальный метод приближения функций алгебраическими многочленами. Вычислительные технологии. - Новосибирск. ИВТ СО РАН,199З.Т.2, №б.

2. Киреев В.И. Интегро-дифференциальные сплайны и их приложение к численному дифференцированию и интегрированию.- Депонировано в ВИНИТИ №1б7З-В9З, 1993.

3. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. - М.: Высшая школа,2004.

4. Schoenberg I.J. Cardinal interpolation and splin function. - J. Approximation Theory. V,2, №2, 19б9.- p. 1б7-20б/

5. 9 Киреев В.И. Интегральный метод приближения функций алгебраическими многочленами и сплайнами четвертой степени. Вестник МАИ. - М.: Издательство МАИ, 1994, т.1, №1.

6. Киреев В.И., Бирюкова Т.К. Полиномиальные интегрально-дифференциальные одномерные и двумерные сплайны. Вычислительные технологии. - Новосибирск, ИВТ СО РАН ,1998,т.З, №3.

7. Киреев В.И., Павлов Ю.А. Интегро-дифференциальные параболические сплайны в прикладных задачах формообразования поверхностей сложных промышленных изделий. Вестник МАИ. - М.: Издательство МАИ, 2009, т.1б, №3.

8. Киреев В.И., Сглаживание экспериментальных данных интегро-дифференциальными параболическими сплайнами и методом наименьших квадратов. М.: Издательство МГГУ, отдельный выпуск (препринт), 2009. ГІЇШ

__ Коротко об авторах

Киреев В.И.- профессор кафедры высшей математики, доктор физ.-математических наук,

Киреева О.В. - соискатель кафедры высшей математики, Московский государственный горный университет, Moscow State Mining University, Russia, [email protected]