CC BY
39Логические исследования 2019. Т. 25. № 2. С. 26-45 УДК 510.644
Logical Investigations 2019, Vol. 25, No. 2, pp. 26-45 DOI: 10.21146/2074-1472-2019-25-2-26-45
Неклассическая логика
Non-classical Logic
Л.Ю. Девяткин
О подлинно паранепротиворечивых и подлинно параполных многозначных логиках
Леонид Юрьевич Девяткин
Институт философии РАН.
Российская Федерация, 109240, г. Москва, ул. Гончарная, д. 12, стр. 1. E-mail: [email protected]
Аннотация: Статья посвящена анализу нескольких классов паранепротиворечивых и параполных логик на примере трехзначных и четырехзначных логик, сохраняющих классические истинностные значения. Результаты, представленные в статье, можно разделить на три группы. Первая группа результатов касается паранепротиворечивых логик. Показано, что все трехзначные подлинно паранепротиворечивые логики являются логиками формальной противоречивости, а все трехзначные логики формальной противоречивости, расширяющие позитивный фрагмент классической логики, являются языковыми вариантами подлинно паранепротиворечивых логик. Приводятся примеры четырехзначных подлинно паранепротиворечивых логик, которые не являются логиками формальной противоречивости. Найден ряд необходимых условий, которым должны соответствовать четырехзначные матрицы подлинно паранепротиворечивых логик, чтобы задаваемые этими матрицами логики не являлись логиками формальной противоречивости. Вторая группа результатов касается параполных логик. Показано, что все трехзначные подлинно параполные логики являются логиками формальной неопределенности, а все трехзначные логики формальной неопределенности, расширяющие дуально-позитивный фрагмент классической логики, являются языковыми вариантами подлинно параполных логик. Приводятся примеры четырехзначных подлинно парапол-ных логик, которые не являются логиками формальной неопределенности. Найден ряд необходимых условий, которым должны соответствовать четырехзначные матрицы подлинно параполных логик, чтобы задаваемые этими матрицами логики не являлись логиками формальной неопределенности. Третья группа результатов касается паранормальных логик. Приводится ряд необходимых условий, которым должны соответствовать четырехзначные матрицы подлинно паранормальных логик, чтобы они не являлись ни логиками формальной противоречивости, ни логиками формальной неопределенности. Для паранормальных расширений «полезной четырехзначной логики» Белнапа даются также необходимые и достаточные условия, для того чтобы они были максимальными подлинно паранормальными логиками и в то же время не являлись ни логиками формальной противоречивости, ни логиками формальной неопределенности.
(¡5 Девяткин Л.Ю.
Ключевые слова: паранепротиворечивость, параполнота, многозначные логики, логические матрицы, закон непротиворечия, формальная противоречивость, формальная неопределенность, функциональные свойства
Для цитирования: Девяткин Л.Ю. О подлинно паранепротиворечивых и подлинно параполных многозначных логиках // Логические исследования / Logical Investigations. 2019. T. 25. № 2. С. 26-45. DOI: 10.21146/2074-1472-2019-25-2-26-45
Введение
Базовый критерий, которому должна соответствовать паранепротиво-речивая логика,— это отсутствие в ней принципа ex contradictione (sequitur) quodlibet (ECQ): a, —a Ь в. Однако, как отмечают многие авторы, такое определение паранепротиворечивости слишком абстрактно (см., например, [Urbas, 1990], [Béziau, 2000]).
В этой связи актуальна проблема выделения полезных классов пара-непротиворечивых логик, обладающих более четко определенными свойствами. Такие классы возникают, когда на рассматриваемые системы накладывают дополнительные условия. В качестве примеров можно привести строго паранепротиворечивые логики [Urbas, 1990], логики формальной противоречивости [Carniélli ét al., 2002], идеальные паранепротиворечивые логики [Ariéli ét al., 2011b], подлинно паранепротиворечивые логики [Béziau, Francéschétto, 2015]. Однако это, в свою очередь, приводит к вопросу о соотношении между различными классами паранепротиворечивых логик.
В данной статье мы рассматриваем соотношение между логиками формальной противоречивости и подлинно паранепротиворечивыми логиками. Логика L называется подлинно паранепротиворечивой, если в ней отвергается не только ECQ, но и закон непротиворечия (NC): —(a Л —a) [Béziau, Francéschétto, 2015], [Béziau, 2016]. Логика L называется логикой формальной противоречивости (сокращенно — LFI), если она отвечает двум условиям: (1) p, —p b q, то есть в L отвергается ECQ; (2) существует такое множество формул O(p), зависящих в точности от единственной пропозициональной переменной p, что (i) O(a),a b в; (ii) O(a), —a b в; (iii) O(a), a, —a Ь в для любых формул a и в [Carniélli ét al., 2007], [Carniélli, Coniglio, 2016].
Работы [Marcos, 2005] и [Brunnér, Carniélli, 2005] посвящены анализу феномена дуальности между паранепротиворечивыми и параполными логиками. В рамках выбранного авторами подхода параполные логики оказываются, в определенном смысле, изоморфны паранепротиворечивым. Это позволяет легко переносить концепции и результаты с паранепротиворечи-вых логик на параполные. Однако переносятся также и проблемы, в том
числе проблема поиска классов полезных параполных логик и соотношения между такими классами. В статье [Marcos, 2005] дано определение логик формальной неопределенности, дуальных логикам формальной противоречивости. В настоящей работе, опираясь на понятие дуальности, мы определяем подлинно параполные логики и устанавливаем соотношение между такими логиками и логиками формальной неопределенности.
Отдельным направлением в рамках исследований, посвященных пара-непротиворечивым логикам, является изучение логик, которые являются паранепротиворечивыми и параполными одновременно. Знаменитым примером такой логики является «полезная четырехзначная логика» FDE [Belnap, 1977]. В заключительной части работы мы сравниваем класс логик, являющихся одновременно логиками формальной противоречивости и формальной неопределенности, с классом логик, являющихся одновременно подлинно паранепротиворечивыми и подлинно параполными. В частности, мы даем описание новых расширений FDE, обладающих рядом интересных свойств.
1. Базовые определения
Пропозициональный язык L = {L, F) рассматриваем как алгебру, свободно порожденную бесконечным множеством пропозициональных переменных Var(L).
Логическое следование Ь над L определяем как множество пар {X, Y), где X, Y С L, замкнутое относительно следующих свойств:
• Если X П Y = 0, то X Ь Y (рефлексивность)
• Если X Ь Y и X С X', Y С Y', то X' Ь Y' (монотонность)
• Если для всех Z С S имеет место X U Z Ь Y U (S \ Z), то X Ь Y (сечение)
Если Ь также замкнуто относительно всех эндоморфизмов L, называем такое следование структурным. Когда Ь — структурное логическое следование, называем пару {L, Ь) пропозициональной логикой.
Называем логической матрицей структуру M = {A, D), где A = {A, F) — алгебра, и D С A. Если L and A подобны, называем M матрицей для L. В этом случае гомоморфизм h из L в A называем оценкой L в M. Матричное следование определяем следующим образом:
Cn(M) = {{X, Y)|Vh(h(X) С D ^ h(Y) П D = 0)}.
Упорядоченную пару Ь = (С, Си(М)) называем многозначной пропозициональной логикой.
Пусть / — операция на А, и А' С А. Если /(а\,..., ап) € А1 для всех таких наборов (а1,..., ап), что а^ € А' при каждом 1 < г < и, говорим, что / сохраняет множество А'. Говорим, что матрица М сохраняет множество А', если каждая операция этой матрицы сохраняет множество А'.
Примем следующую нотационную конвенцию: пропозициональная связка языка С и соответствующая ей операция матрицы М для языка С будут обозначаться одним и тем же символом.
2. Паранепротиворечивые логики
Этот раздел посвящен соотношению между понятиями подлинной пара-непротиворечивости и формальной противоречивости в трехзначных и четырехзначных логиках. Следуя [АпеН е1 а1., 2011а], принимаем следующие минимальные условия, при которых функция многозначной матрицы может трактоваться как паранепротиворечивое отрицание: а € В, —а/В, Ь € В, —Ь € В, с € В, —с € В для некоторых а,Ь,с € А. Не теряя общности, в трехзначном случае будем считать, что а = 1, Ь = 0, с = 2. Далее, определение подлинно паранепротиворечивой логики требует выполнения условия: Н(—(р Л —р)) € В для некоторой оценки Н. Следуя [Beziau, ЕтапсевсИейо, 2015] и [Beziau, 2016], полагаем также, что конъюнкция в подлинно паранепротиворечивой логике ведет себя классическим образом, то есть а Л в ^ а; а Л в ^ в; а, в ^ а Л в, или — эквивалентно в случае многозначных логик — Н(а Л в) € В ^ Н(а) € В & Н(в) € В. В этом случае можно доказать следующую теорему.
Теорема 1. Каждая трехзначная подлинно паранепротиворечивая логика является логикой формальной противоречивости.
Доказательство. В силу требований, предъявляемых к отрицанию и конъюнкции, —(0 Л —0) € В и —(1 Л —1) € В, поэтому единственная возможность выполнить также Н(—(р Л —р)) € В состоит в выборе таких — и Л, что Н(—(р Л —р)) = 0 при Н(р) = 2. Ясно, что в таком случае —(р Л —р) отвечает определению О(р). ®
Определение ЪЕ1 таково, что ему может отвечать и логика, язык которой содержит только унарные связки. На практике ЪЕ1 обычно определяются как языковые расширения позитивного фрагмента классической многозначной логики [СагшеШ, Conig1io, 2016]. То есть язык ЪЕ1 содержит Л, V, свойства которых идентичны классическому случаю. Для многозначных логик это означает, что матричные операции, соответствующие данным связкам, отвечают следующим условиям:
• ж л у е Б ^ ж е Б и у е Б;
• ж V уеБ ^ ж е Б и у е Б;
• ж ^ уеБ ^ ж е Б и уеБ.
Кроме того, обычно предполагается, что операции сохраняют классические истинностные значения: Л,(Ф(рь... ,рп)) е {0,1}, когда Л,(рг) е {0,1} для всех г е {1,...,п}. Заметим, что такой подход к построению многозначных паранепротиворечивых логик не ограничен логиками формальной противоречивости [АпеН, Аугоп, 2015].
Следуя этим конвенциям, получаем следующие варианты табличных определений для Л, V, ^ и оператора о, выступающего в роли О в трехзначной логике:
Л 0 1 2 V 0 1 2 0 1 2 x ox
0 0 0 0 0 0 1 1|2 0 1 1 1|2 0 1
1 0 1 1|2 1 1 1 1|2 1 0 1 1|2 1 1
2 0 1|2 1|2 2 1|2 1|2 1|2 2 0 1|2 1|2 2 0
Здесь и далее таблицы являются не определениями связок, а схемами таких определений. Нотация a|b обозначает, что необходимо выбрать либо а, либо b при построении табличного определения связки.
Теорема 2. Каждая трехзначная логика формальной противоречивости L, являющаяся расширением CPC+, является языковым расширением подлинно паранепротиворечивой логики.
Доказательство. Достаточно показать, что в матрице M логики L определима такая конъюнкция А, что F —(pA —p). Это всегда можно сделать следующим образом:
жАy =: ((ж ^ (ожАжА— ж)) ^ (ожАжА—ж)) A((y ^ (oyAyA— y)) ^ (oyAyA—y)).
Если мы примем Л в качестве базовой конъюнкции, то получим языковой вариант исходной ЬЕ1, являющийся подлинно паранепротиворечивой логикой. Таким образом, в трехзначном случае для расширений СРС+ понятия формальной противоречивости и подлинной паранепротиворечи-вости, в определенном смысле, совпадают.
Четырехзначный случай существенно отличается от трехзначного. Главное отличие состоит в том, что увеличение числа значений истинности позволяет конструировать подлинно паранепротиворечивые логики, не являющиеся логиками формальной противоречивости.
Теорема 3. Пусть матрица М = ({0,1, 2, 3}, Л, —, {1, 3}), сохраняющая {0,1}, задает паранепротиворечивую логику Ь. Если 2 Л 2 = 2, 3 Л 3 = 3, —2 = 2 и —3 = 3, то Ь — подлинно противоречивая логика, которая не является ЬЕ1.
Доказательство. Логика Ь является подлинно паранепротиворечивой логикой, так как —(2 Л —2) = 2. Логика Ь не является логикой формальной противоречивости, так как Н(©р) = 3 при Н(р) = 3 для любой унарной связки ©, и поэтому условие О(р),р, — р ^ Я не может быть выполнено никаким О(р). ■
Результаты, приведенные ниже, устанавливают более общие свойства четырехзначных логик с двумя выделенными значениями, которые подлинно паранепротиворечивы, но не являются логиками формальной противоречивости. В каждом случае рассматриваем матрицу М = ({0,1, 2, 3},^, {1, 3}), где {Л, —} С ^, и все операции в ^ сохраняют множество {0,1}. Кроме того, полагаем, как и в трехзначном случае, что х Л у € В ^ х € В & у € В.
Теорема 4. Пусть матрица М задает подлинно паранепротиворечивую логику Ь. Если операции {Л, —} не сохраняют множество {3}, то Ь является логикой формальной противоречивости.
Доказательство. Случай 1. Пусть 3 Л 3 = 1. Пусть ох =: х Л х. Тогда ох =: —(охЛо—х) удовлетворяет определению О. Случай 2. Пусть —(3) = 1.
Пусть ох =: ——х. Снова ох =: —(ох Л о—х) удовлетворяет определению О.
■
Теорема 5. Пусть матрица М задает подлинно паранепротиворечивую логику Ь, не являющуюся ЬЕ1. Тогда —2 = 0 и 2 Л 0 = 0 Л 2 = 2, либо —2 = 2 и 2 Л 2 = 2.
Доказательство. В силу Теоремы 4 {Л, —} сохраняет {3}. Согласно допущению, в Ь имеет место Ь —(р Л —р). В силу определения {Л, —} —(хЛ—х) = 1 для всех х € {1, 0}. Так как {Л, —} сохраняет {3}, —(3Л—3) = 3. Следовательно, —(х Л —х) € В, только если —(2 Л —2) € В. По определению Л, 2 Л х € В для всех х. Так как —0 = 1, получаем, что 2 Л —2 = 2. Следовательно, —2 = 0 и 2 Л 0 = 0 Л 2 = 2, либо —2 = 2 и 2 Л 2 = 2. ■
В силу Теорем 4 и 5, если матрица М задает подлинно паранепротиворечивую логику Ь, не являющуюся ЬЕ1, то Л отвечает схеме Л1 и — есть —1, либо Л отвечает схеме Л2 и — есть —2:
Лх 0 1 2 3 X -IX
0 0 0 2 0| 2 0 1
1 0 1 0|2 1|3 1 0
2 2 0|2 0|2 0| 2 2 0
3 0|2 1|3 0|2 3 3 3
Л2 0 1 2 3 X —2Х
0 0 0 0|2 0| 2 0 1
1 0 1 0|2 1|3 1 0
2 0| 2 0|2 2 0| 2 2 2
3 0| 2 1|3 0|2 3 3 3
В исследованиях паранепротиворечивых логик важную роль играет понятие максимальности [АпеН е! а1., 2011а]. Различают максимальность относительно классической логики и максимальность в абсолютном смысле. Логика максимально паранепротиворечива относительно классической логики, если добавление к ней любого правила классической логики в том же языке дает классическую логику. Логика максимально паранепротиворечива в абсолютном смысле, если ни одно ее собственное дедуктивное расширение в том же языке не является паранепротиворечивым. В рамках данной работы будем называть максимально паранепротиворе-чивой логику, которая максимально паранепротиворечива в абсолютном смысле.
Теорема 6. Пусть матрица М задает паранепротиворечивую логику Ь, не являющуюся ЬЕ1. Логика Ь максимально паранепротиворечива, только если М не сохраняет множество {0, 1, 3}.
Доказательство. Если М сохраняет множество {0,1,3}, то М' = ({0,1,3},^', {1,3}) — подматрица М, задающая паранепротиворечивую логику Ь', причем Си(М) С Си(М'). В то же время р, —р Ь я, —я € Си(М'), но р, —р Ь я, —я € Си(М). Таким образом, Ь' — паранепротиворечивое собственное расширение Ь в том же языке, и логика Ь не является максимально паранепротиворечивой. ■
Теорема 7. Пусть матрица М задает подлинно паранепротиворечивую логику Ь, не являющуюся ЬЕ1, которая максимально паранепротиворечи-ва. Тогда М сохраняет множество {3}.
Доказательство. Так как Ь максимально паранепротиворечива, в силу Теоремы 6 найдется такая операция / € М, что /(х1,..., хп) = 2 на некотором наборе (а1,..., ап), где (ц € {0,1, 3} для всех 1 < г < и. Предположим, что д(3) = 3 для некоторой операции д € М.
Случай 1. д(3) = 0. Пусть /'(х) = /(Фь ..., Фп), где:
(д(ж), если ai = 0, —g (ж), если ai = 1, ж, если ai = 3.
Ясно, что /'(3) = 2. Если /'(0) = 0, то ож =: /'(-(ж Л —ж)). Если /'(0) = 1, то ож =: /'(ж Л -ж). В обоих случаях op,p, —p h q. Но это противоречит условию теоремы.
Случай 2. g(3) = 1. Сводится к предыдущему, так как — g(3) = 0.
Случай 3. g(3) = 2. Если g(0) = 0, то ож =: —(g(ж Л —ж)). Если g(0) = 1, то ож =: g (ж Л —ж). Снова op,p, —p h q, и приходим к противоречию. ■
Итак, мы сформулировали ряд необходимых условий, которым должны отвечать матрицы довольно обширного класса многозначных логик, которые являются подлинно паранепротиворечивыми логиками, но не являются логиками формальной противоречивости. Следующий раздел посвящен классу параполных логик, изоморфному только что рассмотренному.
3. Параполные логики
В этом разделе рассматривается соотношение между понятиями формальной неопределенности и подлинной параполноты в трехзначных и четырехзначных логиках. Понятие параполноты введено в [Loparic, da Costa, 1984]. Логики аналогичного рода рассматриваются в [Sette, Carnielli, 1995] под названием «слабо интуиционистские». Феномен дуальности между паранепротиворечивыми и параполными логиками исследуется в [Brunner, Carnielli, 2005] и [Marcos, 2005]. В последней работе также вводится понятие формальной неопределенности, дуальное понятию формальной противоречивости.
Дуальность логических систем определяется следующим образом. Если © — произвольная связка, обозначим дуальную ей как ©d. Если X — множество формул, обозначим как Xd результат замены всех связок в X на дуальные им. Если дана логика Li с отношением следования hi, заданным на множестве формул Si, дуальную логику L2 определяем, полагая S2 = Sf и Xd h2 Yd ^ Y h1 X. Маркос характеризует процедуру дуали-зации следующим образом: «Итак, в абстрактных терминах, все что нам нужно сделать, некоторым образом, это читать изначальные умозаключения справа налево вместо того, чтобы читать их слева направо, и менять имена логических констант, когда необходимо» [Marcos, 2005]. Когда речь, как в нашем случае, идет о многозначных логиках, процедуру дуализации можно также интерпретировать как перенос фокуса с сохранения истинности от посылок к заключению на сохранение ложности от заключения к посылкам. Проиллюстрируем этот тезис примерами.
Логики формальной паранепротиворечивости определяются с помощью мягкой эксплозивности: О(а),а И в; О(а), —а И в; О(а),а, —а Ь в для всех а и в — существует оценка, при которой О(а) и а истинны, а в ложна; существует оценка, при которой О(а) и —а истинны, а в ложна; не существует оценки, при которой О(а), а и —а истинны, а в ложна. Дуальные логики формальной неопределенности (ЬЕи) определяются посредством мягкой имплозивности: в И ^(а),а; в И ^(а), —а; в Ь ^(а),а, —а для всех а и в — существует оценка, при которой ^(а) и а ложны, а в истинна; существует оценка, при которой ^(а) и —а ложны, а в истинна; не существует оценки, при которой ^(а), а и —а ложны, а в истинна.
Аналогичным образом получаем критерий подлинной параполноты, дуальный критерию подлинной паранепротиворечивости. Критерий подлинной паранепротиворечивости: И —(а Л —а) — существует оценка, при которой формула —(а Л —а) ложна. Дуальный критерий подлинной парапол-ноты: —(а V —а) И — существует оценка, при которой формула —(а V —а) истинна. То есть критерий подлинной параполноты базируется на свойствах V и —.
Многозначное параполное отрицание, дуальное паранепротиворечиво-му, определяем так: а € В, —а € В, Ь € В, — Ь € В, с € В, —с € В для некоторых а, Ь, с € А. Не теряя общности, в трехзначном случае будем считать, что а = 1, Ь = 0, с = 2. Далее, определение подлинно паранепротиворечи-вой логики требует выполнения условия: Л(—(р V —р)) € В для некоторой оценки Л. По аналогии с подлинно паранепротиворечивыми логиками полагаем, что дизъюнкция в подлинно параполной логике ведет себя классическим образом: а Ь а V в; в Ь а V в; а V в Ь а, в, или — эквивалентно в случае многозначных логик — Л(а V в) € В ^ Л(а) € В & Л(в) € В. В этом случае можно доказать следующую теорему.
Теорема 8. Каждая трехзначная подлинно параполная логика является логикой формальной неопределенности.
Доказательство. В силу требований, предъявляемых к отрицанию и дизъюнкции, —(0 V —0) € В и —(1 V —1) € В, поэтому единственная возможность выполнить также Л(—(р V —р)) € В состоит в выборе таких — и V, что Л(—(р V —р)) = 1 при Л(р) = 2. Ясно, что в таком случае —(р V —р) отвечает определению ^(р). ■
Теперь постараемся ответить на обратный вопрос: когда трехзначные логики формальной неопределенности являются подлинно параполными?
Классу логик формальной противоречивости, являющихся языковыми расширениями позитивного фрагмента классической логики высказываний
(СРС+), дуален класс логик формальной неопределенности, расширяющих дуально-позитивный фрагмент классической логики (СРС-). Такой фрагмент можно получить, поменяв местами роли выделенных и невыделенных значений в определениях связок.
СРС+ СРС-
ж л уеБ ^ жеБ и уеБ жеБ и уеБ ^ ж V уеБ
ж V уеБ ^ жеБ и уеБ жеБ и уеБ ^ ж л уеБ
ж ^ уеБ ^ жеБ и уеБ жеБ и уеБ ^ ж ^ уеБ
Получаем следующие варианты табличных определений для Л, V, ^ в СРС-:
Л 0 1 2 V 0 1 2 0 1 2
0 0 0 0| 2 0 0 1 0| 2 0 0 1 0|2
1 0 1 0| 2 1 1 1 1 1 0 0 0|2
2 0|2 0|2 0| 2 2 0| 2 1 0| 2 2 0|2 1 0|2
Заметим, что логика, которая является расширением СРС- и СРС+, также является расширением классической пропозициональной логики целиком.
Теорема 9. Каждая трехзначная логика формальной неопределенности Ь, являющаяся расширением СРС-, является языковым расширением подлинно параполной логики.
Доказательство. Достаточно показать, что в матрице М логики Ь определима такая дизъюнкция V, что — (^—р) У-. Это всегда можно сделать следующим образом:
жVу =: ((ж ^ (★жVжV—ж)) ^ (★жVжV—ж))V((y ^ (★yVyV—у)) ^ (★yVyV—у)).
Если мы примем V в качестве базовой дизъюнкции, то получим языковой вариант исходной ЪЕи, являющийся подлинно параполной логикой.
Четырехзначный случай отличается от трехзначного тем, что возможно конструировать подлинно параполные логики, не являющиеся логиками формальной неопределенности.
Теорема 10. Пусть матрица М = ({0,1, 2, 3}, V, —, {1, 3}), сохраняющая {0,1}, задает параполную логику Ь. Если 2 Л 2 = 2, 3 Л 3 = 3, —2 = 2 и —3 = 3, то Ь — подлинно параполная логика, которая не является ЪЕи.
Доказательство. Логика Ь является подлинно параполной логикой, так как —(3 V —3) = 3. Логика Ь не является логикой формальной противоречивости, так как Л(®р) = 2 при Л(р) = 2 для любой унарной связки ©,
и поэтому условие я Ь ^(р),р, —р не может быть выполнено никаким ^(р).
■
Результаты, приведенные ниже, устанавливают более общие свойства четырехзначных логик с двумя выделенными значениями, которые подлинно параполны, но не являются логиками формальной неопределенности. В каждом случае рассматриваем матрицу М = ({0,1, 2, 3},^, {1, 3}), где {V, —} С ^, и все операции в ^ сохраняют множество {0,1}.
Теорема 11. Пусть матрица М задает подлинно параполную логику Ь. Если операции {V, —} не сохраняют множество {2}, то Ь является логикой формальной неопределенности.
Доказательство. Случай 1. Пусть 2 V 2 = 0. Пусть Пх =: х V х. Тогда *х =: —(Пх V □—х) удовлетворяет определению Случай 2. Пусть —(2) = 0. Пусть Пх =: ——х. Снова *х =: —(Пх V □—х) удовлетворяет определению ■
Теорема 12. Пусть матрица М задает подлинно параполную логику, не являющуюся ЬЕи. Тогда —3 = 1 и 3 Л 1 = 1 Л 3 = 3, либо —3 = 3 и 3 Л 3 = 3.
Доказательство. В силу Теоремы 11 {V, —} сохраняет {2}. Согласно допущению, в Ь имеет место —(р V —р) И. В силу определения {V, —} —(xV—х) = 0 для всех х € {1, 0}. Так как {V, —} сохраняет {2}, —(2Л—2) = 2. Следовательно, —(х V —х) € В, только если —(3 V —3) € В. По определению V, 3 V х € В для всех х. Так как —1 = 0, получаем, что 3 V —3 = 3. Следовательно, —3 = 1 и 3 V 1 = 1 V 3 = 3, либо —3 = 3 и 3 Л 3 = 3. ■
В силу Теорем 11 и 12, если матрица М задает подлинно параполную логику Ь, не являющуюся ЬЕи, то V отвечает схеме V! и — есть —1, либо V отвечает схеме V2 и — есть —2:
VI 0 12
3
X —IX
0 0 1 012
111 1|3
2 0|2 1|3 2
3 1|3 3 1|3
1|3
1|3 1|3
3
01 1 0 22 31
V2 0 12
3
X -2Х
0 0 1 012
111 1|3
2 0|2 1|3 2
3 113 1 |з 1|3
1|3 1|3 1|3
3
01 1 0 22 33
Говорим, что логика максимально параполна (в абсолютном смысле), если ни одно ее собственное расширение в том же языке не параполно.
Теорема 13. Пусть матрица М задает параполную логику Ь. Логика Ь максимально параполна, только если М не сохраняет множество
Доказательство. Если М сохраняет множество {0,1,2}, то у М имеется такая подматрица М' = ({0,1,2}, V, —, {1}), что (1) в ^ а, —а в М' и (2) в, —в \ а, —а в М'. Однако в, —в ^ а, —а в М. Поскольку М' — подматрица М, также имеет место: Сп(М) С Сп(М'). То есть М' задает параполное собственное расширение логики, задаваемой М, без изменения языка. I
Теорема 14. Пусть матрица М задает подлинно параполную логику Ь, не являющуюся ЬЕЦ", которая максимально параполна. Тогда операции Б сохраняют множество {2}.
Доказательство. Так как Ь максимально параполна, в силу Теоремы 13 найдется такая операция / е М, что /(ж1,...,жп) = 3 на некотором наборе (а1,..., ага), где а е {0,1, 2} для всех 1 < г < п. Предположим, что #(2) = 2 для некоторой операции д е М.
Ясно, что /'(2) = 3. Если /'(1) = 1, то *ж = /'(—(ж V —ж)). Если /'(1) = 0, то *ж = /'(ж V —ж). В обоих случаях q *р,р, —р. Но это противоречит условию теоремы.
Случай 2. д(2) = 0. Сводится к предыдущему, так как — д(2) = 1.
Случай 3. д(2) = 3. Если д(1) = 1, то *ж = — (д(ж V —ж)). Если д(1) = 0, то *ж = д(ж V —ж). Снова q \ *р,р, —р, и приходим к противоречию. I
В заключительном разделе объединим результаты, полученные в отношении паранепротиворечивых и параполных логик, и исследуем логики, которые являются одновременно паранепротиворечивыми и параполными.
{0,1, 2}.
4. Паранормальные логики
Следуя [Bëziau, 1999], называем логику паранормальной, если она одновременно паранепротиворечива и параполна. Как показано в [АпеИ, Аугоп, 2017], минимальное число истинностных значений в матрице такой логики равняется четырем, причем два из них — выделенные, а два — невыделенные. Будем говорить, что логика подлинно паранормальна, если она подлинно паранепротиворечива и подлинно параполна.
Ниже нас будут интересовать подлинно паранормальные логики, которые не являются ни логиками формальной противоречивости, ни логиками формальной неопределенности.
Из Теорем 4, 5, 11, 12 вытекает следующее. Пусть М = ({0,1,2,3}, {1, 3}) — матрица, которая сохраняет {0,1} и задает подлинно паранормальную логику Ь, которая не является ни ЬЕ1, ни ЬЕИ. В таком случае {Л, V, —} С ^ и Л, V, — отвечают схемам, приведенным ниже.
Л2 0 1 2 3 V2 0 1 2 3 X —2X
0 0 0 0| 2 0| 2 0 0 1 0| 2 1|3 0 1
1 0 1 0| 2 1|3 1 1 1 1|3 1|3 1 0
2 0| 2 0|2 2 0| 2 2 0| 2 1|3 2 1|3 2 2
3 0| 2 1|3 0| 2 3 3 1|3 1|3 1|3 3 3 3
Перечислим несколько свойств, которыми обладает матрица М, описанная выше, и логика Ь, которую она порождает. Ясно, что в логике Ь имеет место следующее: И — (аЛ— а); —(аV—а) И; —(аV—а) И —(вЛ—в). Как следует из Теоремы 7, если М задает максимально паранепротиворечивую логику и не сохраняет {3}, то в ней можно определить О, то есть соответствующая логика является логикой формальной противоречивости. Как следует из Теоремы 14, если М задает максимально параполную логику и не сохраняет {2}, то в ней можно определить то есть соответствующая логика является логикой формальной неопределенности.
Будем говорить, что логика максимально паранормальна (в абсолютном смысле), если она максимально паранепротиворечива и максимально параполна. Пусть матрица М задает максимально паранормальную логику Ь. Если найдется такая формула а, что Ь а в Ь, то Ь есть ЬЕИ. Если найдется такая формула а, что а Ь в Ь, то Ь есть ЬЕ1. Таким образом, добавление классических ^ или ^ к матрице М дает, соответственно, ЬЕИ или ЬЕ1, поскольку х ^ х€В, х ^ х€В для всех х € {0,1, 2, 3}.
Интересным примером подлинно паранормальной логики, которая не является ни ЬЕ1, ни ЬЕИ, выступает логика ЕЮЕ [Ве1пар, 1977]. Операции ее четырехзначной матрицы имеют следующий вид (0 = Г, 1 = ^ 2 = ±, 3 = Т):
Л 0 1 2 3
V 0
23
x -<x
00000 10 12 3 20220 30303
00 1 1
22 33
21 11 21 13
01 1 0 22 33
Эта логика и ее расширения неоднократно привлекали внимание исследователей. Обзоры таких расширений доступны, например, в [Arieli, Avron, 2017], [Karpenko, 2017], [Omori, Wansing, 2017]. Ниже мы предлагаем новый класс расширений, а именно расширений, сохраняющих множество {0,1}, которые максимально паранормальны и подлинно паранормальны, но не являются логиками формальной противоречивости либо неопределенности.
Нижеследующие теоремы дают условия, достаточные для того, чтобы расширение матрицы логики FDE задавало максимально паранепротиво-речивую и максимально параполную логику.
Теорема 15. Если M — сохраняющее {0,1} расширение матрицы логики FDE, и M не сохраняет {0,1, 3}, то логика L, задаваемая M, максимально паранепротиворечива.
Доказательство. Предположим, что L' = (L, 1Ь) — логика в языке L, которая строго сильнее L. Тогда найдутся такие формулы 7 и а, что h*(7) С {1,3} и h*(а) е {0,2} для некоторой оценки h* в M, однако 7 1Ь а. Также допустим, что матрица M логики L не сохраняет {0,1, 3}. В этом случае найдется такая формула ß, что h2(ß) = 2 и h2(r) е {0,1, 3} для каждой r е Var(ß).
Определим подстановки для каждой r е Var(ß) и ре Var(Y, а):
Для каждой оценки Н в М имеет место: если Н(р0) = 3 и Н^0) е {0,1, 2}, то Н(е(7)) С {1, 3} и Н(е(а)) е {0, 2}. Кроме того, поскольку М сохраняет {3}, если Н(р0) = Н^0) = 3, то Н(е(а)) = 3 и Н(е(7)) = 3. Таким образом, имеет место следующее: (1) р0, —р0 \ £(7); (2) р0, —р0, £(а) \ q0.
о), если h2 (r) = 0, <^(r) = -qo)), если h2(r) = 1,
e(p)
(ро Л qo) Л (ро Л -qo), если h*(p) = 0, -((po Л qo) Л (ро Л -qo)), если h*(p) = 1, <^(ß), если h*(p) = 2, po, если h*(p) = 3.
Вспомним, что Ь' строго сильнее Ь. Поэтому ро, —ро 1Ь £(7) и ро, —р0,£(а) 1Ь Яо. Кроме того, в Ь' также выполняется £(7) 1Ь £(а).
Из р0, —р0 1Ь е(7) получаем р0, —р0 1Ь е(7),е(а) (монотонность). Из е(7) 1Ь £(а) получаем е(7),р0, —р0 1Ь £(а) (монотонность). Из р0, —р0 1Ь е(7),е(а) и е(7),р0, —р0 1Ь £(а) получаем р0, —р0 1Ь £(а) (сечение). Из р0, —р0 1Ь £(а) получаем р0, —р0 1Ь £(а), я0 (монотонность). Из р0, —р0 1Ь £(а), я0 и р0, —р0, £(а) 1Ь я0 получаем р0, —р0 1Ь я0 (сечение). В силу последнего Ь' не является паранепротиворечивой. ■
Теорема 16. Если М — сохраняющее {0,1} расширение матрицы логики ЕЮЕ, и М не сохраняет {0,1, 2}, то логика Ь, задаваемая М, максимально параполна.
Доказательство. Вновь предположим, что Ь' = (£, 1Ь) — логика в языке Ь, которая строго сильнее Ь. Тогда найдутся такие 7 и а, что Л*(7) С {1, 3} и Л*(а) € {0, 2} для некоторой оценки Л* в М, однако 7 1Ь а. Также допустим, что матрица М логики Ь не сохраняет {0, 1, 2}. В этом случае найдется такая формула в, что Л3(в) =3 и Л3(г) € {0,1, 2} для каждой г € Уаг(в).
Определим подстановки для каждой г € Уаг(в) и р € Уаг(7, а):
{—((р0 V Я0) V (р0 V —Я0)), если Л3(г) = 0, (р0 V 50) V (р0 V —50), если Л3(г) = 1, р0, если Л3(г) = 2.
Ф) =
—((р0 V 50) V (р0 V —50)), если Л*(р) = 0, (р0 V 50) V (р0 V —50), если Л*(р) = 1, р0, если Л*(р) = 2, ^(в), если Л*(р) = 3.
Для каждой оценки Л в М имеет место: если Л(р0) = 2 и Л(я0) € {0,1, 3}, то Л(е(7)) С {1, 3} и Л(е(а)) € {0, 2}. Кроме того, поскольку М сохраняет {2}, если Л(р0) = Л(я0) = 2, то Л(е(а)) = 2 и Л(е(7)) = 2. Таким образом, имеет место следующее: (1) £(а) Ь р0, —р0; (2) я0 Ь р0, —р0,е(7).
Вспомним, что Ь' строго сильнее Ь. Поэтому £(а) 1Ь р0, —р0 и 50 р0, —р0,е(7). Кроме того, в Ь' также выполняется £(7) 1Ь £(а).
Из £(а) 1Ь р0, —р0 получаем е(7),е(а) 1Ь р0, —р0 (монотонность). Из £(7) 1Ь £(а) получаем £(7) 1Ь £(а),р0, —р0 (монотонность). Из е(7),е(а) 1Ь р0, —р0 и £(7) 1Ь £(а),р0, —р0 получаем £(7) 1Ь р0, —р0 (сечение). Из £(7) 1Ь р0, —р0 получаем д0,£(7) 1Ь р0, —р0 (монотонность). Из д0,£(7) 1Ь р0, —р0
и qo lb po, —po,e(7) получаем qo lb po, —po (сечение). В силу последнего L' не является параполной. ■
Таким образом, необходимые и достаточные условия, при которых сохраняющая {0,1} матрица M, представляющая собой расширение матрицы логики FDE, задает подлинно паранормальную логику, которая максимально паранормальна, а также не является ни LFI, ни LFU, таковы: (1) M сохраняет {2} (Теорема 14); (2) M сохраняет {3} (Теорема 7); (3) M не сохраняет {0,1, 2} (Теоремы 13 и 16); (4) M не сохраняет {0,1, 3} (Теоремы 6 и 15).
Помимо прочего, это позволяет дать описание подобного расширения FDE, обладающего наибольшей выразительной силой. Такое расширение задается матрицей M = ({0,1,2,3},F, {1,3}), где F — порождающая система замкнутого класса функций Toi П T2 П T3; Toi — замкнутый класс всех функций, сохраняющих {0,1}, T2 — замкнутый класс всех функций, сохраняющих {2}, T3 — замкнутый класс всех функций, сохраняющих {3}.
Литература
Arieli, Avron, 2015 - Arieli O, Avron A. Three-Valued Paraconsistent Propositional Logics // New Directions in Paraconsistent Logic / Ed. by J.-Y. Beziau et al. Springer, India, 2015. P. 91-129.
Arieli, Avron, 2017- Arieli O, Avron A. Four-valued paradefinite logics // Studia Logica. 2017. Vol. 105. No. 6. P. 1087-1122.
Arieli et al., 2011a- Arieli O, Avron A., Zamansky A. Maximal and premaximal paraconsistency in the framework of three-valued semantics // Studia Logica. 2011. Vol. 97. No 1. P. 31-60.
Arieli et al., 2011b - Arieli O, Avron A., Zamansky A. Ideal paraconsistent logics. Studia Logica. 2011. Vol. 99. No. 1-3. P. 31-60.
Belnap, 1977- Belnap N. A useful four-valued logic // Modern Uses of Multiple-Valued Logic / Ed. by J.M. Dunn, G. Epstein. Reidel Publishing Co., 1977. P. 8-37.
Beziau, 1999 - Beziau J.-Y. The future of paraconsistent logic // Logical Investigations. 1999. Vol. 2. P. 1-23.
Beziau, 2000 - Beziau, J.-Y. What is paraconsistent logic // Frontiers of paraconsistent logic / Ed. by D. Batens et al. Research Studies Press, 2000. P. 95-111.
Beziau, 2016 - Beziau J.-Y. Two genuine 3-valued paraconsistent logics // Towards Paraconsistent Engineering / Ed. by S. Akama. Springer, 2016. P. 35-47.
Beziau, Franceschetto, 2015 - Beziau J.-Y., Franceschetto A. Strong three-valued paraconsistent logics / New Directions in Paraconsistent Logic // Ed. by J.-Y. Beziau et al. Springer, New Delhi, 2015. P. 131-145.
Brunner, Carnielli, 2005 - Brunner A.B., Carnielli W.A. Anti-intuitionism and paraconsistency // Journal of Applied Logic. 2005. Vol. 3. No. 1. P. 161-184.
Carnielli, Coniglio, 2016 - Carnielli W, Coniglio M.E. Paraconsistent Logic: Consistency, Contradiction and Negation. Springer, 2016. 398 p.
Carnielli et al., 2002 - Carnielli W, Marcos J. A taxonomy of C-systems // Para-consistency: The Logical Way to the Inconsistent / Ed. by W.A. Carnielli et al. Marcel Dekker, 2002. P. 1-94.
Carnielli et al., 2007 - Carnielli W, Coniglio M.E., Marcos J. Logics of formal inconsistency // Handbook of Philosophical Logic. Vol. 14 / Ed. by D. Gabbay, F. Guenthner. Springer, 2007. P. 1-93.
Karpenko, 2017- Karpenko A.S. Four-valued logics BD and DM4: Expansions // Bulletin of the Section of Logic. 2017. Vol. 46. No. 1-2. P. 33-45.
Loparic, da Costa, 1984 - Loparic A., da Costa N.C.A. Paraconsistency, paracomp-leteness, and valuations // Logique et Analyse. Nouvelle serie. 1984. Vol. 27. No. 106. P. 119-131.
Marcos, 2005 - Marcos J. Nearly every normal modal logic is paranormal // Logique et Analyse. Nouvelle serie. 2005. Vol. 48. No. 189-192. P. 279-300.
Omori, Wansing, 2017 - Omori H., Wansing H. 40 years of FDE: an introductory overview // Studia Logica. 2017. Vol. 105. No. 6. P. 1021-1049.
Sette, Carnielli, 1995 - Sette A.M., Carnielli W.A. Maximal weakly-intuitionistic logics // Studia Logica. 1995. Vol. 55. No. 1. P. 181-203.
Urbas, 1990 - Urbas I. Paraconsistency // Studies in Soviet Thought. 1990. Vol. 39. No. 3-4. P. 343-354.
Leonid Yu. Deyyatkin
On genuine paraconsistent and genuine paracomplete
many-valued logics
Leonid Yu. Devyatkin
Institute of Philosophy, Russian Academy of Sciences, 12/1 Goncharnaya Str., Moscow, 109240, Russian Federation. E-mail: [email protected]
Abstract: The paper is devoted to the analysis of several classes of paraconsistent and paracomplete logics using the example of three- and four-valued logics which preserve the classical truth-values. The results presented in the paper can be divided into three groups. The first group concerns paraconsistent logics. We demonstrate that all three-valued genuine paraconsistent logics are logics of formal inconsistency, while all three-valued logics of formal inconsistency which expand the positive fragment of classical propositional logic are linguistic variants of genuine paraconsistent logics. Further, we provide examples of four-valued genuine paraconsistent logics which are not logics of formal inconsistency. We present a number of necessary conditions that four-valued matrices of genuine paraconsistent logics must satisfy in order to not induce logics that are logics of formal inconsistency. The second group concerns paracomplete logics. We demonstrate that all three-valued genuine paracomplete logics are logics of formal undeterminedness, while all three-valued logics of formal undetermined-ness which expand the dual-positive fragment of classical propositional logic are linguistic variants of genuine paracomplete logics. We also provide examples of four-valued genuine paracomplete logics which are not logics of formal undeterminedness. We present a number of necessary conditions that four-valued matrices of genuine paracomplete logics must satisfy in order to not induce logics that are logics of formal undeterminedness. The second group concerns paranormal logics. We give a number of necessary conditions which must be satisfied by four-valued matrices of genuine paranormal logics so that those logics were neither logics of formal inconsistency nor logics of formal undeterminedness. For paranormal expansions of Belnap's "useful four-valued logic" we also provide the necesssary and sufficient conditions for being maximal genuine paranormal logics which are neither logics of formal inconsistency nor logics of formal undeterminedness.
Keywords: paraconsistency, paracompleteness, many-valued logics, logical matrices, the law of non-contradiction, formal inconsistency, formal undeterminedness, functional properties
For citation: Devyatkin L.Yu. "O podlinno paraneprotivorechivykh i podlinno parapolnykh mnogoznachnykh logikakh" [On genuine paraconsistent and genuine paracomplete many-valued logics], Logicheskie Issledovaniya / Logical Investigations, 2019, Vol. 25, No. 2, pp. 26-45. DOI: 10.21146/2074-1472-2019-25-2-26-45 (In Russian)
References
Arieli, Avron, 2015 - Arieli, O., Avron, A. "Three-Valued Paraconsistent Prepositional Logics", New Directions in Paraconsistent Logic, ed. by J.-Y. Beziau et al. Springer India, 2015, pp. 91-129.
Arieli, Avron, 2017 - Arieli, O., Avron, A. "Four-valued paradefinite logics", Studia Logica, 2017, Vol. 105, No. 6, pp. 1087-1122.
Arieli et al., 2011a - Arieli, O., Avron, A., Zamansky, A. "Maximal and premaximal paraconsistency in the framework of three-valued semantics", Studia Logica, 2011, Vol. 97, No. 1, pp. 31-60.
Arieli et al., 2011b - Arieli, O., Avron, A., Zamansky, A. "Ideal paraconsistent logics", Studia Logica, 2011, Vol. 99, No. 1-3, pp. 31-60.
Belnap, 1977 - Belnap, N. "A useful four-valued logic", Modern Uses of Multiple-Valued Logic, ed. by J.M. Dunn, G. Epstein. Reidel Publishing Co., 1977, pp. 8-37.
Beziau, 1999 - Beziau, J.-Y. "The future of paraconsistent logic", Logical Investigations, 1999, Vol. 2, pp. 1-23.
Beziau, 2000 - Beziau, J.-Y. "What is paraconsistent logic", Frontiers of paraconsistent logic, ed. by D. Batens et al. Research Studies Press, 2000, pp. 95-111.
Beziau, 2016 - Beziau, J.-Y. "Two genuine 3-valued paraconsistent logics", Towards Paraconsistent Engineering, ed. by S. Akama. Springer, 2016, pp. 35-47.
Beziau, Franceschetto, 2015 - Beziau, J.-Y., Franceschetto, A. "Strong three-valued paraconsistent logics", New Directions in Paraconsistent Logic, ed. by J.-Y. Beziau et al. Springer, 2015, pp. 131-145.
Brunner, Carnielli, 2005 - Brunner, A.B., Carnielli, W.A. "Anti-intuitionism and paraconsistency", Journal of Applied Logic, 2005, Vol. 3, No. 1, pp. 161-184.
Carnielli, Coniglio, 2016 - Carnielli, W., Coniglio, M.E. Paraconsistent Logic: Consistency, Contradiction and Negation. Springer, 2016. 398 p.
Carnielli et al., 2002 - Carnielli, W., Marcos, J. "A taxonomy of C-systems", Paraconsistency: The Logical Way to the Inconsistent, ed. by W.A. Carnielli et al. Marcel Dekker, 2002, pp. 1-94.
Carnielli et al., 2007 - Carnielli, W., Coniglio, M.E., Marcos, J. "Logics of formal inconsistency", Handbook of Philosophical Logic. Vol. 14, ed. by D. Gabbay, F. Guenthner. Springer, 2007, pp. 1-93.
Karpenko, 2017 - Karpenko, A.S. "Four-valued logics BD and DM4: Expansions", Bulletin of the Section of Logic, 2017, Vol. 46, No. 1-2, pp. 33-45.
Loparic, da Costa, 1984 - Loparic, A., da Costa, N.C.A. "Paraconsistency, paracom-pleteness, and valuations", Logique et Analyse. Nouvelle série, 1984, Vol. 27, No. 106, pp. 119-131.
Marcos, 2005 - Marcos, J. "Nearly every normal modal logic is paranormal", Logique et Analyse. Nouvelle série, 2005, Vol. 48, No. 189-192, pp. 279-300.
Omori, Wansing, 2017 - Omori, H., Wansing, H. "40 years of FDE: an introductory overview", Studia Logica, 2017, Vol. 105, No. 6, pp. 1021-1049.
Sette, Carnielli, 1995 - Sette, A.M., Carnielli, W.A. "Maximal weakly-intuitionistic
logics", Studia Logica, 1995, Vol. 55, No. 1, pp. 181-203. Urbas, 1990 - Urbas, I. "Paraconsistency", Studies in Soviet Thought, 1990, Vol. 39, No. 3-4, pp. 343-354.
