CC BY
8
УДК 533.951
О ПОДАВЛЕНИИ ВЛИЯНИЯ ЭФФЕКТИВНОГО
НЕЛОКАЛЬНОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА НА НЕЛИНЕЙНОЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН В СЛАБОСТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ
К. Н. Овчинников, В. П. Силин, С. А. Урюпин
Установлено, что столкновительный вклад в нелинейное взаимодействие волн в слабостолкновительной плазме оказывается несущественным при сравнительно слабой интенсивности поля накачки. Показано, что это реализуется в условиях, когда скорость осцилляции электронов в электромагнитном поле накачки превышает тепловую скорость электрона, поделенную на большую для слабостолкновительной плазмы величину, корень четвертой степени произведения электрон-ионной длины свободного пробега тепловых электронов на волновой вектор, характеризующий взаимодействие волн.
Ранее говорили о бесстолкновительной плазме тогда, когда длина свободного про бега 1е{(Уг) = велика по сравнению с характерным масштабом неоднородности
Ь рассматриваемых в плазме процессов
иут) > Ь. (1)
Здесь
1/„- =А\/2^ге4п\/Ът2У$ (2)
- частота столкновений теплового электрона с ионами, ей т -заряд и масса электрона, п - плотность числа электронов, Уг = \/ квТ/т - тепловая скорость электронов, к в постоянная Больцмана, X - кратность ионизации ионов, /V - кулоновский логарифм.
В последние годы стало ясно, что и в условиях (1) столкновения электронов могут играть существенную роль тогда, когда в тех или иных плазменных процессах существенную роль играют достаточно медленные электроны. О такой ситуации будем говорить как о слабостолкновительной плазме. Возможность влияния столкновений на медленные электроны в условиях (1) связана с тем, что длина свободного пробега электрона со скоростью V прямо пропорциональна четвертой степени его скорости
1е,(У) и (У/Ут)%(Ут). (3)
Поэтому условие Ь > ¡¿(У) выполняется для электронов со скоростями
V <. Уг[£//е№)]1/4 = К < Ут, (4)
а такие электроны оказываются сильностолкновительными. Все это позволяет пони мать под слабостолкновительной плазмой такую плазму, в которой основную массу электронного распределения по скоростям в соответствии с неравенством (1) можно считать бесстолкновительной, а малую часть подтепловых электронов надо считать сильностолкновительной. При этом в случае слабостолкновительной плазмы именно подтепловые электроны определяют протекающие в ней физические явления.
Первому этапу теории слабостолкновительной плазмы были посвящены работы [1 - 7], в которых были сформулированы как численный [1 - 4], так и аналитический подходы [5 - 7] к описанию роли подтепловых сильностолкновительных электронов. При этом в работе [7] было проведено четкое разделение распределения электронов на область медленных столкновительных частиц и на область основного распределения бесстолкновительных электронов.
Результаты работ [1 - 7] существенны для теории параметрических неустойчивостей плазмы, взаимодействующей с электромагнитным полем вида
(1/2)Е(г, г) ехр(-г^) + к.с.. (5)
В частности, работы [1 - 7] позволили определить нелинейное возмущение 8п плотности числа электронов пространственно неоднородным полем Е{Е* —>■ ехр(гкг)£',£" Такое возмущение является ключевым для теории параметрических неустойчивостей и описывается выражением
бп/п = -(е2|Е|2/4т2ц;2Ут2)[1 + 1.73 г5/7{Ыы)-4'7]. (6)
Подчеркнем, что множитель перед квадратной скобкой правой части (6) считается много меньшим единицы, то есть осцилляторная энергия электронов мала по сравнению с их тепловой энергией. Первое слагаемое в квадратной скобке (6) (единица) отвечает вли янию пондеромоторной силы, а второе столкновительное слагаемое может превышать первое при условии достаточно высокой кратности ионизации ионов
Работы [1 - 7] трактовали воздействие электромагнитного поля на плазму как слабое возмущение электронного распределения по скоростям, приводящее к квадратичному по напряженности поля выражению для возмущения электронной плотности. В работах [8 - 10] была установлена новая плазменная нелинейность, проявляющаяся в том, что прг малых скоростях электронов при выполнении условия
благодаря обратному тормозному поглощению греющего плазму поля (Е —> Ео) это поле видоизменяет распределение электронов по скоростям (см. также ниже). В формуле (7) Уео = (|е|Ео/та>) - амплитуда скорости осцилляций электрона в греющем плазму поле излучения. Результат работ [8 - 10] в соответствии с условием (7), в частности, даех для нелинейного возмущения пространственно неоднородной электронной плотности
где бУ^/АУт отвечает множителю перед квадратной скобкой правой части формулы (6). При этом отвечает билинейной комбинации напряженности греющего электрического поля Ео и поля возмущения ¿>Е, описывающего нарастающее при параметрических неустойчивостях поле. Формула (8) заменяет формулу (6) при сравнительно небольших интенсивностях греющего излучения, когда
При этом возникает уменьшение столкновительного вклада, то есть можно говорить об определенном подавлении столкновительного вклада (6), который обычно связывается с нелокальным эффективным электронным теплопереносом. В то же время согласно (8) столкновительная нелинейность все еще может оказаться важнее пондеромоторной при
£ > (Щ4/5.
(7)
(9)
(44lZ)5'\klie)-^ > ViJVl (10)
Это условие совместно с условием (9) может реализоваться при
1 < klei < Z5/4. (11)
В настоящем сообщении мы покажем, что при сравнительно слабом поле накачки греющего излучения, когда
1 > (VEo/VT)2 > (VJVT)2 = (Щ"1/2, (12)
влиянием столкновений на нелинейное возмущение плотности можно полностью пренебречь. В условиях (12) скорость осцилляций электрона в греющем плазму поле накачки превышает скорость столкновительных электронов. В таком пределе в соответствии с работами [11 - 13] для медленно изменяющейся во времени функции распределения электронов
(/(V, г, t)) = (/oc(u = V - uE(t), r, t)) = F(u, r, t),
усредненной по быстрому времени осцилляций поля накачки, имеем следующее кинетическое уравнение
dF dF е2 d\E\2dF r rrn ^ л д , , ... dF
Здесь Jee - электрон-электронный интеграл столкновений, Ue(í) - скорость осцилляций электрона в электрическом поле воздействующего на плазму излучения, А = 27re2e2n¿A/m2, а
JM-W) = "^-»^»Ц. (14)
Для упрощения рассмотрения влияния плазменной нелинейности, отвечающей выражению (14), примем, что греющее излучение имеет круговую поляризацию
Ex = Ео eos (luí — <¿>), Еу = —Eq sin(u;í — </?), Ez - 0.
Тогда в обычном для описания воздействия греющего излучения дипольном приближении для подтепловых частиц с u < Veo получаем следующее кинетическое уравнение
dF0 ... . д [л/2дК0 \ А
^ = + , 2диу ' du\t
(15)
Следуя работам [1-10], можно считать изменение Ут медленным, а поэтому использовать стационарный предел уравнения (15). Для получения интересующих нас оценок и демонстрации связи такого рассмотрения с результатами предшествующих работ, во-первых, заменим последний дифференциальный оператор лапласианом в простран стве и, во-вторых, для описания перехода в область скоростей электронов больших Уео добавим в правую часть обычный нагревный вклад, обусловленный электрон-ионным интегралом столкновений в слабом греющем поле [8 - 10]. При этом из двух таких вкладов существенным является меньший. Тогда для симметричной части электронной функции распределения можно записать следующее уравнение:
du 1
ldFs0(u) | Fs0{u) и du Vj¡
, dFs0{u) .
+---min
du
и
(16)
где ¡3 = (\JttJsZVt/Уео) 1 отвечает аппроксимации последнего дифференциального оператора уравнения (15), а слагаемое, содержащее У£, отвечает использованной в работах [8 - 10] аппроксимации вклада электрон-ионного интеграла столкновений в нагревный процесс плазмы. Уравнение (16) позволяет записать симметричную часть функции распределения греющихся электронов в следующем интерполяционном виде
Fs0(u) =
п
(2тг)3/2^
ехр
У(У3 + V&) У3 + У?
(17)
Эта формула при тепловых и подтепловых скоростях, когда У V¿ > Уео-, дает обыч ное распределение Максвелла. При подтепловых скоростях, но больших Veo (Vt ^ У > Уео), формула (17) дает распределение работ [8 - 10]. Наконец, для интересующих нас в этом сообщении малых скоростей
V < Уео (18)
из формулы (17) имеем
'■-м-р(19)
Эта формула описывает эффект нелинейного перераспределения электронов в области фазового пространства малых подтепловых скоростей за счет тем более эффективного нагрева электронов при обратном тормозном поглощении греющего излучения, чем меньше электронная скорость. В этом смысле подобно распределению работ [8 - 10] формула (19) отвечает одному и тому же эффекту, хотя и описывается иной аналитической закономерностью.
Далее, интересуясь нелинейностью плазмы применительно к проблематике параметрических неустойчивостей, будем считать, что помимо греющего плазму поля имеется также поле возмущения <5Е, которому отвечает возмущение скорости осцилляций электрона 8uE(t).
Теперь, считая частоту поля возмущения слабо отличающейся от частоты поля накачки, для возмущения электронной функции распределения 8F, возникшего из-за нагрева электронов, можно записать следующее уравнение
dSF dSF Ai Id2 1 д2 З2 \ ГТ Здесь учтено неравенство
ZVT > Veo > и, (21)
что позволяет пренебречь электрон-электронным интегралом столкновений, а также использованы обозначения
= 4е2е2п,Лтае TTZtuW^Veo
Sue = 8uEY + 8иЕХ,
8usE = (8u(t) sin(u;i - v?)), 8ucE = (¿u(i) cos(u;* - </>)). (23)
В формулах (23) усреднение проводится по быстрому времени осцилляций поля накачки.
Имея в виду линейность уравнения (20), примем, что ¿и^ и 8иЕ пропорциональны ехр(гкг). Тогда, подобно [1 - 10], для стационарного случая имеем:
А (1 д2 1 д2 д2 \
Ы + + <24)
Для наших оценок ограничимся случаем к = (0,0,&), когда SF оказывается зависящей лишь от uz■ Соответственно этому
Umax
Snc » и2тах J duzSF(uz), (25)
о
где итах - мксимальное значение скорости, при которой пригодно уравнение (24). В соответствии с изложенным выше
При этом, обозначая
где
^тах < Ve- (26)
uz = uo(, 6F(uz) = CФ(0, (27)
i— \ „ Т/ I /97Г Vt \ Г 2пи06иЕ
имеем для определения Ф(£) следующее уравнение
¿2Ф
Заметим, что в силу неравенств (12)
<¿0 < Ут{к1ег)~1/4 = V, < (30)
Формулы (27) и (28) позволяют представить (25) в виде
(итах/и о)
Ьпс 3 umaJuE
п 7Г уДтг VjVeoZkle Принимая далее итах « Veo, имеем
/ (31)
ьпс < уео&уе ■
п - АУ^гки
Последняя оценка позволяет видеть, что столкновительный вклад оказывается в Zklei 1 раз меньше пондеромоторного вклада в нелинейное возмущение плотности
Нетрудно убедиться, что отказ от ограничения частным случаем к = (0,0, к) не меняет оценку (32).
Таким образом показано, что при сравнительно небольшой энергии осцилляций электрона в поле накачки, когда выполнено условие
^ > 7ТО <33>
mor [klei)L'¿ в слабостолкновительной плазме, то есть при
klei » 1, (34)
нелинейное возмущение плотности плзамы, определяющее развитие параметрических неустойчивостей, дается теорией, полностью пренебрегающей столкновениями. Иными словами можно говорить о чисто бесстолкновительной пондеромоторной нелинейности при выполнении условий (33) и (34).
Возмущение плотности медленных электронов с u < Ve позволяет записать оценку для возмущения их температуры
¿Tc 6тгс VeqSue , .
Т ~ ~ п ~ 4ZV*klei- (d5j
С другой стороны, возмущение температуры тепловых электронов с V ~ Vr Veo составляет [9, 10]
8Тт VeqSue , . и превосходит (35) в2>1 раз. Далее, используя условие баланса тепла
¿kq Ri nmVEoSuEVei (37)
и связь теплового потока с возмущением температуры
q = -ikXST « -ikX6TT, (38)
из (36) - (38) получаем оценку для коэффициента эффективной теплопроводности
X ~ nVtkB/k. (39)
Теплопроводность (39) отвечает бесстолкновительному переносу тепла. Тем самым в условиях (33) можно говорить о подавлении полем ограничения теплового потока.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных иследований (проект 99-02-18075) и при Государственной поддержке ведущих научных школ.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Е р р е г 1 е i п Е. М. Phys. Rev. Lett., 65, 2145 (1990).
[2] Е р р е г 1 е i п Е. М. and S h о г t R. W. Phys. Fluids, В4, 4190 (1992).
[3] S h о г t R. W. and Е р р е г 1 е i п Е. М. Phys. Rev. Lett., 68, 3307 (1992).
[4] В е г g е г R. L., L a s i n s k i B. F., К a i s e г Т. В., Williams E. A., and Langdon A. B. Phys. Fluids, B5, 2243 (1993).
[5] M а к с и м о в А. В., С и л и н В. П. ЖЭТФ, 103, 73 (1993).
[6] М а к с и м о в А. В., С и л и н В. П. ЖЭТФ, 105, 1242 (1994).
[7] С и л и н В. П. ЖЭТФ, 106, 1398 (1994).
[8] М а х i m о v А. V., Ovchinnikov К. N., S i 1 i n V. P., and U г у u p i n S. A. Physics Letters, A237, 64 (1997).
[9] M а к с и м о в А. В., Овчинников К. Н., Силин В. П., Урюпин С. А. ЖЭТФ, 113, 1299 (1998).
[10] Максимов А. В., Овчинников К. Н., Силин В. П., Урюпин С. А. ДАН, 358, 618 (1998).
[11] Силин В. П. ЖЭТФ, 47, 2254 (1964).
[12] Силин В. П. Введение в кинетическую теорию газов. М., Изд-во ФИАН, Москва, 1998 г.
[13] Силин В. П. ЖЭТФ, 111, 478 (1997).
Поступила в редакцию 28 декабря 1999 г.
