Научная статья на тему 'О почти периодичности преобразования Бохнера'

О почти периодичности преобразования Бохнера Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
129
33
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ / БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО / ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БОХНЕРА / КОМПАКТНОСТЬ / РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ / ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ / Ε-ПОЧТИ ПЕРИОД / Ε-ALMOST THE PERIOD / ALMOST PERIODIC FUNCTION / BANACH SPACE / CONVERSION OF THE BOCHNER / COMPACTNESS / UNIFORM CONTINUITY / THE RELATIVE DENSITY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кретов Михаил Васильевич, Виноградова Наталья Викторовна, Воротникова Ольга Владимировна

Найдено необходимое и достаточное условие почти периодичности преобразования Бохнера в банаховом пространстве.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кретов Михаил Васильевич, Виноградова Наталья Викторовна, Воротникова Ольга Владимировна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Necessary and the sufficient condition almost periodicity of conversion of the Bochner in Banach space is found.

Текст научной работы на тему «О почти периодичности преобразования Бохнера»

УДК 517.4

М. В. Кретов, Н. В. Виноградова, О. В. Воротникова О ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БОХНЕРА

Найдено необходимое и достаточное условие почти периодичности преобразования Бохнера в банаховом пространстве.

Necessary and the sufficient condition almost periodicity of conversion of the Bodmer in Banach space is found.

Ключевые слова: почти периодическая функция, банахово пространство, преобразование Бохнера, компактность, равномерная непрерывность, относительная плотность, е-почти период.

Key words: almost periodic function, Banach space, conversion of the Bochner, compactness, uniform continuity, the relative density, e-almost the period.

Пусть дано банахово пространство E [1] и банахово пространство CE всех непрерывных и ограниченных функций f (t) (t е (-да, да)) в пространстве Е. Элемент в CE, соответствующей

функции f (t) (-да < t <да), обозначим через /. Норма элемента в CE вводится следующим образом:

C = sup ||f(t)||E .

E -да<К+да

Положим f (s) = {f (t + s); t, s е (-да; да)}. Преобразованием Бохнера называется отображения s ^ f(s), то есть отображение из (-да, да) в CE, при этом /(0) = f. Область значений преобразований Бохнера обладает следующими свойствами:

1) состоит из точек сферы, так как

||/(s)||c = Sup IIf (t + s)llE = su p IIf (t^1E HIf(0)||C ;

11 CE -w<t <да -да<Кда 11 CE

2) сохраняет расстояние, так как

11.%(s+т) - f (s)C = sup iif(t+s+т) - f(t+s)|E =

11 CE -да<t<да

= sup ||f(t + t) - f(t|e =|f (t) - f (0)C ;

-да<^да E

3) функция f (t) почти периодична тогда и только тогда, когда почти периодична функция f (s) с тем же почти периодом;

4) из определения Бохнера [2] почти периодической функции со значениями в банаховом пространстве следует, что для того, чтобы функция f(s) была почти периодической, необходимо и достаточно, чтобы область значений преобразований Бохнера была относительно компактный.

Докажем следующую теорему.

Теорема. Для того чтобы преобразование Бохнера f(s) было почти периодической функцией, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая относительно плотная на действительной оси последовательность чисел {sn}, для которой соответствующая последовательность {f (sn)} была относительно компактной.

Доказательство. Необходимость следует из того, что область значений преобразований Бохнера относительно компактна, то есть любая последовательность {f (sn)} относительно компактна.

Докажем достаточность. Сначала докажем, что для любого числа е > 0 множество е-почти периодов {т}е относительно плотно.

Так как последовательность {f (sn)} относительно компактна, то существует k значений, зависящих от е: f (s10), f (s2 0),..., f (sk,0) таких, что для любого натурального числа справедливо

Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2010. Вып. 10. С. 160—162.

%(вп) є и(%(ві,о)' є) і=і

где (%, є) обозначает открытую сферу с центром % и радиусом є.

Разобьем последовательность {%(эп)} на к подпоследовательностей {% (э^п)} таких, что для

любого числа І ||/Ц п ) - %Ц,о)||^ <є.

Согласно свойству 2 области значений преобразований Бохнера это означает, что ||/Ц,п) - %Ц,о) - %(0)||с <Є значит, хі,п = віп - ві о есть почти период.

Докажем, что множество и {т у * } есть относительно плотное множество чисел. Пусть число

у=1

й > 0 — длина интервала, в каждом из которых есть член последовательности {эп}. Положим

m = min(-s,0}, M = max{-sj0}, e = M - m + d.

іє[1,к] j0 іє[1,к] j ,0

Рассмотрим интервал (а < а + 1), где число а произвольно. Интервал (а - т, а - т + й) содержит хотя бы одну точку последовательности {эп}, следовательно, из равенств (6) следует: а - т + т

і S ■ —S ■ „ S

h'ni Зі*®

f a-m + d + M, то есть, учитывая (5), получаем а <.н s' а +1. Значит, множество U {т І ,n } —

i=1

относительно плотное множество чисел.

Докажем теперь, что функция f(s) непрерывна. Из свойства 2 области значений преобразований Бохнера следует, что для этого нужно доказать, что функция f (t) равномерно непрерывна. Для этого положим Д = {—d > С <_ d}. Пусть z = C (Д, £) есть непрерывное преобразование всех функций z(Z) из промежутка Д в банахово пространство E, следовательно,

г = {г(С}; С є д}/ |И|ё = max||r(Q|| . Положим^ = {f(Q+sJ; Qe А}. Так как ||r„ -rm||£ ^ ||/(s„)-/(sB

Д E E то последовательности {zn} и {f(sn)} относительно компактної. Так как функция f (t) непрерывна, то функция f(Z+ sn) равномерно непрерывна на отрезке Д, значит, каждому числу є> 0

соответствует число 5S, 0 д.. <[ такое, что для любых чисел Iі и сиз промежутка Д и любого

натурального числа и из неравенства |С'-С"| ^ следует неравенство ||/(C,+sn)_/(C"+s,,)||£ ^є.

Выберем произвольное число t є (-да; да), тогда существует число sn є^ t -d, t +d j,

следовательно, t = C + s-, где |c| Пусть теперь имеет место неравенство |f - f | и положим

t = "-+S-. Тогда будут выполняться неравенства |^| d и |С - С | = |f - f | ^ 8S, откуда следует ||/(0-/(0||£ = ||/(С + s-)-/(С +s-)||£ ^s. Значит, функция /(f) равномерно непрерывна на

рассматриваемом промежутке. Теорема доказана.^

Эта теорема позволяет упростить определение Бохнера [2] почти периодической функции со значениями в Банаховом пространстве.

Список литературы

1. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М., 19б8.

2. Кретов М. В. О почти периодических функциях со значениями в банаховом пространстве // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. Вып. 4. 2010. С. 1б2 — 1бб.

Об авторах

Михаил Васильевич Кретов — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта, e-mail: kretov200б200б@yandex.ru

Наталья Викторовна Виноградова — ст. преп., РГУ им. И. Канта, e-mail: natavino@yandex.ru

Ольга Владимировна Воротникова — ст. преп., РГУ им. И. Канта, e-mail: vorotnikova1@narod.ru

Authors

Dr Michail Kretov — assistant professor, IKSUR, e-mail: kretov20062006@ yandex.ru Natalya Vinogradova — high instructor, IKSUR, e-mail: natavino@yandex.ru Olga Vorotnikova — high instructor, IKSUR, e-mail:vorotnikova1@narod.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.