Научная статья на тему 'О слабо почти периодических функцияхсо значениями в банаховом'

О слабо почти периодических функцияхсо значениями в банаховом Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
195
38
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ / СЛАБО ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ / БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО / ФУНКЦИОНАЛ / КОНЕЧНОЕ E-ДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА / НОРМА / КОМПАКТНОЕ МНОЖЕСТВО / РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ / ALMOST PERIODIC FUNCTION / POORLY ALMOST PERIODIC FUNCTION / BANACH SPACE / FUNCTIONALITY / FINITE EDIVISION OF SPACE / NORM / COMPACT SET / EQUIPOTENTIAL CONTINUITY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кретов Михаил Васильевич

Исследуются свойства слабо почти периодических функций со значениями в банаховом пространстве.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

About poorly almost periodic functions with values in Banach space

Properties of poorly almost periodic functions with values in Banach space are researched.

Текст научной работы на тему «О слабо почти периодических функцияхсо значениями в банаховом»

УДК 517.4

М. В. Кретов

О СЛАБО ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Исследуются свойства слабо почти периодических функций со значениями в банаховом пространстве.

Properties of poorly almost periodic functions with values in Banach space are researched.

Ключевые слова: почти периодическая функция, слабо почти периодическая функция, банахово пространство, функционал, конечное 8-деление пространства, норма, компактное множество, равностепенная непрерывность.

Key words: almost periodic function, poorly almost periodic function, Banach space, functionality, finite 8- division of space, norm, compact set, equipotential continuity.

Продолжается исследование почти периодических функций со значениями в банаховом пространстве [1 — 5].

Определение 1. Функция f (t) со значениями в банаховом пространстве E слабо почти периодическая [6], если на любом линейном функционале [7] функция ф (t) = l (f (t)) является почти периодической.

Для слабо почти периодических функций со значениями в банаховом пространстве доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Если f (t) - слабо почти периодическая функция со значениями в банаховом пространстве E, то множество ее значений ограничено.

Доказательство. Так как |l(f (t))| < M для любого числа t, то согласно теореме Банаха — Штейнгауса, нормы функционалов l также будут ограничены, сто есть |/(/(0)|#||||/(ф sup||/||-||/(f)|| < Мдпя некоторого конечного числа M > 0, значит, Ilf (t )|| < —^^¡¡-, где норма sup III ограничена.

11 11 sup || l||

Без ограничения общности можно считать, что sup ||l|| Ф 0, следовательно, теорема доказана. □

© Кретов М. В., 2013

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 168-170.

Теорема 2. Если последовательность слабо почти периодических функций fn (t) сходится слабо к функции f(t) равномерно относительно переменной t, то функция f (t) слабо почти периодична.

Доказательство этой теоремы следует из неравенства

\i(nt+i)- т\ $ | / (fn+х) ■- /„ (f+х))|+1/ (/п ц+х) ■- /„ (о)|+1/ a, (t) - f(t)) |. □

Теорема 3. Если функция f (t) слабо почти периодична и последовательность f (t + sn) слабо сходится к функции f*(t) при всех t, то она сходится равномерно относительно t.

Доказательство. Согласно условию теоремы последовательность функций f (t + sn) слабо сходится к функции f*(t) при всех t, значит, на любом линейном функционале последовательность почти периодических функций ф^ + sn) = l(f (t + sn)) сходится к функции ф.^) = l(f*(t)) при всех t. Это означает, что ряды Фурье [8] для функций q>(t + sn) сходятся к ряду Фурье функции ф„(0, то есть если функциям ф^ + sn) соответствуют ряды Фурье У Ааeis"K г'Ла1, то функции ф.(0 соответству-

а

ет ряд Фурье У Аа eis“ eiAaX, где s** = lim Ла sn (mod 2л), то есть имеет ме-

n^<x>

а

сто формальная сходимость рядов Фурье. Потому согласно работе [9] формальная сходимость рядов Фурье в множестве сдвинутых функций H (<$>(t + h)) совпадает с равномерной сходимостью. Следовательно,

sup | ф(t + sn) — ф*(t) | < 8, где 8 — любое положительное число. □

t

Для доказательства следующей теоремы понадобятся понятия конечного 8-деления пространства и теорема об 8-делении [6].

Определение 2. Конечным 8-делением пространства Z, соответствующим семейству функций {f(z)}, где z е Z, называется такое разложение Z в сумму конечного числа множеств Z = U1 + U2 +... + Un, что для любой f(z) из рассматриваемого семейства и любых точек z", ..., z” из множества Uk (k = 1, 2, ., n) выполняется неравенство |f(z ') — f (z " )| < 8..

Теорема об £-делении. Для того чтобы семейство ограниченных в совокупности функций {f(z)}, заданных в пространстве Z, было компактным [7] (в смысле равномерной сходимости на множестве Z), необходимо и достаточно, чтобы для любого числа 8 > 0 существовало конечное 8-деление пространства Z, соответствующее семейству {fz)}.

Теорема 4. Если функция f(t) является слабо почти периодической и множество ее значений относительно компактно [7], то функция f(t) почти периодична.

Доказательство. Обозначим через Ф единичную сферу сопряженного пространства E*. Пусть ф — произвольный элемент из Ф. Рассмотрим функцию Р(ф, t) = ф(/(t)) и покажем, что семейство функций Р(ф, t) компактно в смысле равномерной сходимости на Ф. Действительно, если набор функций f(t1), f(t2), . , f(tn) является конечной 8-сетью для функции ft), то набор функций Р(ф, t1), ¥(ф, t2), ., Р(ф, tn) — конечной 8-сетью для семейства Р(ф, t) (t — параметр). Тогда согласно теореме об 8-делении семейство Р(ф, t) компактно в смысле равномерной сходимости на всей

169

170

прямой. Поэтому для любого числа е > 0 существуют элементы фа, ф2 ..фт из сферы Ф такие, что для любого элемента ф из области Ф найдется такой элемент фк (к = 1, 2, ., m), для которого

suplF^ t)-F(9k, t)|<е. (1)

t

Так как при любом фиксированном номере k функция Р(фк/1) является почти периодической, то из формулы (1) следует, что семейство функций Р(ф, t) является равностепенно непрерывным [7] и равностепенно почти периодическим [6].

Пусть х = хе есть общий е-почти период для семейства функций

Р(ф, t), то есть для любого числа е > 0 sup | F(<p, t + х) - Р(ф, t)| <е для всех

t

элементов ф из множества Ф. Тогда в силу теоремы Хана — Банаха [7] при фиксированных переменных t и т имеем:

||/(t + х) - f(t^ = suP 1F(ф, t + х) - F(ф, t) < е.

феФ

Аналогично доказывается непрерывность функции ft), следовательно, функция f (t) почти периодична. □

Список литературы

1. Кретов М. В. О почти периодических функциях со значениями в банаховом пространстве / / Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. Калининград, 2010. Вып. 4. С. 162 — 166.

2. Кретов М. В., Виноградова Н. В., Воротникова О. В. О почти периодичности преобразования Бохнера // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. Калининград, 2010. Вып. 10. С. 160 — 162.

3. Кретов М. В. О приближении почти периодической функции со значениями в банаховом пространстве // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Калининград, 2012. Вып. 4. С. 148 — 150.

4. Кретов М. В., Лейцин В. Н., Малаховский В. С. и др. Математическое моделирование почти периодической функции конусами банахова пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Калининград, 2012. Вып. 10. С. 141—143.

5. Кретов М. В., Малаховский В. С., Сёменов В. И. и др. Математическое моделирование почти периодической функции со значениями в банаховом пространстве мультипликаторами // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Калининград, 2013. Вып. 4. С. 106 — 109.

6. Левитан Б. М. Почти периодические функции. М., 1953.

7. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М., 1968.

8. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Т. 3. М., 2003.

9. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., 1967.

Об авторе

Михаил Васильевич Кретов — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: kretov1@mail.ru

About the author

Dr Mikhail Kretov — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: kretov1@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.